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高二新人教A版数学选修1-2同步练习3-2-1复数代数形式的加减运算及其几何意义 Word版含答案]


3.2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义
一、选择题 1.已知:z1=a+bi,z2=c+di(a、b、c、d∈R),若 z1+z2 是纯虚数,则有( A.a-c=0 且 b-d≠0 B.a-c=0 且 b+d≠0 C.a+c=0 且 b-d≠0 D.a+c=0 且 b+d≠0 [答案] D [解析] z1+z2=(a+c)+(b+d)i, 又 z1+z2 为纯虚

数 所以 a+c=0 且 b+d≠0. 2.[(a-b)-(a+b)i]-[(a+b)-(a-b)i]等于( A.-2b-2bi C.-2a-2bi [答案] A [解析] 原式=[(a-b)-(a+b)]+[(a-b)-(a-b)]i=-2b-2bi. 3.若|z-1|=1,则|z-2i-1|的最大值为( A.1 C.3 [答案] C [解析] |z-1|=1 表示以(1,0)为原心, 半径为 1 的圆, 而|z-2i-1|表示圆上的点到点(1,2) 的距离故最大距离为 (1-1)2+22+1=3 故选 C. 4.设 z1=2+bi,z2=a+i,当 z1+z2=0 时,复数 a+bi 为( A.1+i C.3 [答案] D [解析] ∵z1+z2=(2+bi)+(a+i) =(2+a)+(b+1)i=0
? ? ?2+a=0 ?a=-2 ∴? ∴? ?b+1=0 ?b=-1 ? ?

)

)

B.-2b+2bi D.-2a-2ai

)

B.2 D.4

)

B.2+i D.-2-i

∴a+bi=-2-i 5.(2010· 北京文,2)在复平面内,复数 6+5i,-2+3i 对应的点分别为 A,B.若 C 为线

段 AB 的中点,则点 C 对应的复数是( A.4+8i C.2+4i [答案] C B.8+2i D.4+i

)

[解析] 本题考查了复数与复平面上点的对应关系及中点坐标公式. 6-2 5+3 由题意知 A(6,5),B(-2,3),AB 中点 C(x,y),则 x= =2,y= =4, 2 2 ∴点 C 对应的复数为 2+4i,故选 C. 6.设 f(z)=z-2i,z1=3+4i,z2=-2-i,则 f(z1-z2)是( A.1-5i C.-2-i [答案] D [解析] ∵z1-z2=(3+4i)-(-2-i) =5+5i ∴f(z1-z2)=5+5i-2i =5+3i 7.若 z∈C 且|z+2-2i|=1,则|z-2-2i|的最小值是( A.2 C.4 [答案] B [解析] ∵|z+2-2i|=1, ∴z 在以(-2,2)为圆心,半径为 1 的圆上,而|z-2-2i|是该圆上的点到点(2,2)的距离, 故最小值为 3,如图 B.3 D.5 ) B.-2+9i D.5+3i )

8.△ABC 的三个顶点对应的复数分别为 z1、z2、z3,若复数 z 满足|z-z1|=|z-z2|=|z- z3|,则 z 对应的点为△ABC 的( A.内心 C.重心 [答案] D [解析] 由几何意义知,z 到△ABC 三个顶点距离都相等,z 对应点是△ABC 的外心. 二、填空题 9.已知|z|=4,且 z+2i 是实数,则复数 z=______. ) B.垂心 D.外心

[答案] ± 2 3-2i [解析] ∵z+2i 是实数,可设 z=a-2i(a∈R), 由|z|=4 得 a2+4=16 ∴a2=12,∴a=± 2 3, ∴z=± 2 3-2i. 10.(2010· 徐州高二检测)在复平面内,O 是原点,O A ,O C ,A B 对应的复数分别为- 2+i,3+2i,1+5i,那么 B C 对应的复数为______. [答案] 4-4i [解析] B C =O C -O B =O C -(O A +A B ) =3+2i-(-2+i+1+5i) =(3+2-1)+(2-1-5)i =4-4i 11.已知 z1= =______. [答案] 3 [解析] z1-z2=[ =( 3 a+(a+1)i]-[-3 3b+(b+2)i] 2 3 a+(a+1)i,z2=-3 3b+(b+2)i(a,b∈R),若 z1-z2=4 3,则 a+b 2





















3 a+3 3b)+(a+1-b-2)i=4 3 2

? ? 3a+3 3b=4 3 ∴? 2 ?a-b=1 ?
? ?a=2 解得? ∴a+b=3 ?b=1 ?

12.若|z-1|=|z+1|,则|z-1|的最小值是______. [答案] 1 [解析] 解法一:设 z=a+bi,(a,b∈R) 则|(a-1)+bi|=|(a+1)+bi| ∴ (a-1)2+b2= (a+1)2+b2 即 a=0∴z=bi,b∈R ∴|z-1|min=|bi-1|min= (-1)2+b2 故当 b=0 时,|z-1|的最小值为 1.

解法二∵|z-1|=|z+1|, ∴z 的轨迹为以(1,0),(-1,0)为端点的线段的垂直平分线,即 y 轴,|z-1|表示,y 轴上 的点到(1,0)的距离,所以最小值为 1. 三、解答题 13.计算: (1)(3+5i)+(3-4i); (2)(-3+2i)-(4-5i); (3)(5-6i)+(-2-2i)-(3+3i). [解析] (1)(3+5i)+(3-4i) =(3+3)+(5-4)i=6+i. (2)(-3+2i)-(4-5i) =(-3-4)+[2-(-5)]i =-7+7i. (3)(5-6i)+(-2-2i)-(3+3i) =(5-2-3)+[-6+(-2)-3]i =-11i. 14.(2010· 株洲高二检测)已知 ABCD 是复平面内的平行四边形,且 A,B,C 三点对应 的复数分别是 1+3i,-i,2+i,求点 D 对应的复数. [解析] 方法一:设 D 点对应复数为 x+yi(x,y∈R), 则 D(x,y), 又由已知 A(1,3),B(0,-1),C(2,1). 3 x y-1 ∴AC 中点为( ,2),BD 中点为( , ). 2 2 2 ∵平行四边形对角线互相平分,

?2=2 ∴? y-1 ?2= 2

3

x

?x=3 ? ,∴? ?y=5 ?

即点 D 对应的复数为 3+5i. 方法二:设 D 点对应的复数为 x+yi(x,y∈R). 则 A D 对应的复数为(x+yi)-(1+3i)=(x-1)+(y-3)i, 又 B C 对应的复数为(2+i)-(-i)=2+2i. 由已知 A D =B C . ∴(x-1)+(y-3)i=2+2i,

→ →





? ?x-1=2 ∴? , ?y-3=2 ? ?x=3 ? ∴? . ?y=5 ?

即点 D 对应的复数为 3+5i. 15.已知复数 z 满足 z+|z|=2+8i.求复数 z. [分析] 常规解法为:设出 z=a+bi(a、b∈R)代入等式后,可利用复数相等的充要条件 求出 a、b. [解析] 解法一:设 z=a+bi(a、b∈R),则|z|= a2+b2代入方程得: a+bi+ a2+b2=2+8i, ,

?a+ a2+b2=2 解得: ? ?b=8
? ?a=-15 ? ,即 z=-15+8i. ?b=8 ?

解法二:原式可化为:z=2-|z|+8i, ∵|z|∈R, ∴2-|z|是 z 的实数, 于是|z|= (2-|z|2)+82即: |z|2=68-4|z|+|z|2, ∴|z|=17 代入 z=2-|z|+8i,得: z=-15+8i. 16.(2010· 徐州高二检测)已知|z1|=|z2|=|z1-z2|=1, 求|z1+z2|. [分析] 由题目可获取以下主要信息: ①|z1|=|z2|=|z1-z2|=1;②求|z1+z2|. 解答本题可利用“复数问题实数化”的思想或利用“数形结合”的思想求解. [解析] 方法一: 设 z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R), ∵|z1|=|z2|=|z1-z2|=1, ∴a2+b2=c2+d2=1① (a-c)2+(b-d)2=1② 由①②得 2ac+2bd=1

∴|z1+z2|= (a+c)2+(b+d)2 = a2+c2+b2+d2+2ac+2bd= 3. 方法二:设 O 为坐标原点, z1,z2,z1+z2 对应的复数分别为 A、B、C. ∵|z1|=|z2|=|z1-z2|=1, ∴△OAB 是边长为 1 的正三角形, ∴四边形 OACB 是一个内角为 60° ,边长为 1 的菱形,且|z1+z2|是菱形的较长的对角线 OC 的长, ∴|z1+z2|=|OC| = |OA|2+|AC|2-2|OA||AC|cos120° = 3.


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