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等差数列求和课件


高中数学

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等差数列求和

复习
1.等差数列的定义:
一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前 一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列

?an ? 是等差数列 ? an ? an?1 ? d(n ? 2)
2.通项公式:
an

? a1 ? (n ? 1)d .

3.重要性质:

⑵m ? n ? p ? q ? am ? an ? a p ? aq .

⑴an ? am ? (n ? m)d .

情景1
高斯“神速求和”的故事:

高斯出生于一个工 匠家庭,幼时家境贫困, 但聪敏异常。上小学四 年级时,一次老师布置 了一道数学习题:“把 从1到100的自然数加起 来,和是多少?”年仅 10岁的小高斯略一思索 就得到答案5050,这使 老师非常吃惊。那么高 斯是采用了什么方法来 巧妙地计算出来的呢?

高斯(1777---1855), 德 国数学家、物理学家和天文学 家。他和牛顿、阿基米德,被 誉为有史以来的三大数学家。 有“数学王子”之称。

你知道高斯是怎 求 么计算的吗? S=1+2+3+〃〃〃〃〃〃+100=? 高斯算法:

首项与末项的和:

1+100=101,

第2项与倒数第2项的和: 2+99 =101,

第3项与倒数第3项的和: 3+98 =101, · · · · · · 第50项与倒数第50项的和:50+51=101,
于是所求的和是:
100 S ? 101? ? 5050 2

高斯算法用到了等差数列的什么性质?

m ? n ? p ? q ? am ? an ? a p ? aq .

情景2
如图,是一堆钢管,自上而下每层钢管数为4、 5、6、7、8、9、10,求钢管总数。

即求:S=4+5+6+7+8+9+10.
高斯算法:

还有其它算 法吗?

S=(4+10) +(5+9)+(6+8)+7 = 14×3+7=49.

S=4+5+6+7+8+9+10. S=10+9+8+7+6+5+4. 相加得:

倒序相加法

2S ? (4 ? 10) ? (5 ? 9) ? (6 ? 8) ? (7 ? 7) ? (8 ? 6) ? (9 ? 5) ? (10 ? 4)

? (4 ? 10) ? 7.

(4 ? 10) ? 7 ?S ? ? 49. 2

新课
设等差数列?an ?的前n项和为Sn , 即Sn ? a1 ? a2 ?

? an .

怎样求一般等差数列的前n项和呢?

Sn ? a1 ? a2 ? ? an . Sn ? an ? an?1 ? ? a1.
2Sn ? (a1 ? an ) ? (a2 ? an?1 ) ? ? (an ? a1 )
? an ? a1

? n(a1 ? an ).

a1 ? an ? a2 ? an?1 ?

n( a1 ? an ) ? Sn ? . 2

式 公和项前 的列数差等 公式1

n(a1 ? an ) Sn ? 2
an ? a1 ? ( n ? 1) d

公式2

n(n ? 1) Sn ? na1 ? d 2

n

思考
(1)两个求和公式有何异同点? (2)在等差数列?an ? 中,如果已知五个元素


a1, an , n, d , Sn

的任意三个, 请问: 能否求出其 余两个量 ?

n(n ? 1) Sn ? na1 ? d 2 an ? a 1 ? ( n ? 1)d
结论:知 三 求 二

举例
例1:根据题中的条件,求相应的等差数列{an}的Sn
(1)a1 ? 5, an ? 95, n ? 10;
解 : S1 0 10 ?(5 ? 95) ? ? 500. 2

(2)a 1 ? 100, d ? ?2, n ? 50;
解 : S50

(3)a1 ? 14.5, d ? 0.7, an ? 32.

50 ( 50 ? 1) ? 50 ?100 ? ? (?2) ? 2550 2

32 ? 14.5 26 ? (14 .5 ? 32 ) 解: n ? ? 1 ? 26 , ? S 26 ? ? 604 .5. 0.7 2

n(a1 ? an ) Sn ? 2

(1)

n(n ? 1) S n ? na1 ? d ??(2) 2

举例
思考:如何求下列数列的和? 3230 提示: (1) 5+6+7+…+79+80 n=76 (2) 1+3+5+…+(2n-1) n2 (3)1-2+3-4+5-6+…+(2n-1)-2n -n 法二:
1 ? 3 ? 5 ? …+ ? 2n ?1? ? ?2? 解: 2 n ? 2n 2 ? ?n 2 1? 3 ? 5 ? …+ ? 2n ?1? ? ? 2+4+6+…+2n? ?3? 解:原式= n? 1 ? ? 2n ? 1?? n ? 2 ? 2n ? ? ? 2 ? ? ? n ? n ? n ? 1? ? ?n 2 2
n? ?1 ? ? 2n ? 1? ? ?

举例
例2. 已知一个等差数列的前10项的和是310, 前 20 项的和是 1220 ,能否求其前 n 项和的公 式.
由题设: 解:

S10 ? 310
得:

S20 ? 1220

?a1 ? 4 ?? ?d ? 6

? 10a1 ? 45d ? 310 ? ?20a1 ? 190d ? 1220

n(n ? 1) ? S n ? 4n ? ? 6 ? 3n 2 ? n 2

练 : 根据下列条件, 求相应相应的等差?a n ? 的有 关未知数 :

(1)a1 ? 20, an ? 54, Sn ? 999, 求d及n; 1 (2)d ? , n ? 37, S n ? 629, 求a1及an ; 3
17 (1) d ? , n ? 27 13

(2)a1 ? 11, an ? 23

例3

等差数列-10,-6,-2,2, …的前多少项 的和为54?

解:设题中的等差数列是{an},前n项和为Sn. 则a1=-10,d=-6-(-10)=4,Sn=54. 由等差数列前n项和公式,得

n(n ? 1) ? 10 n ? ? 4 ? 54. 2
解得 n1=9,n2=-3(舍去). 因此,等差数列的前9项和是54.

小结
n(a1 ? an ) 2、求和公式 (? ) S n ? 2 n( n ? 1) (?? )S n ? na1 ? d 2
1、用倒序相加法推导等差数列前n项和公式;

3、应用公式求和.“知三求二”,方程的思想. ①已知首项、末项用公式Ⅰ;已知首项、公差用公式Ⅱ.

②应用求和公式时一定弄清项数n.
③当已知条件不足以求出a1和d时,要认真观察, 灵活应用等差数列的性质,看能否用整体思想求 a1+an的值.

1.将等差数列前n项和公式
看作是一个关于n的函数,这个函数 有什么特点?

n(n ? 1)d S n ? na1 ? 2


d d 令 A ? ,B ? a ? 1 2 2

d 2 d Sn ? n ? (a1 ? )n 2 2
Sn=An2+Bn

当d≠0时,Sn是常数项为零的二次函数

等差数列的前n项的最值问题 例1.已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11,求n 取何值时,Sn取最大值. 解法1 由S3=S11得 1 1 3 ? 13 ? ? 3 ? 2 ? d ? 11 ? 13 ? ? 11 ? 10 ? d 2 2 ∴ d=- 2

1 ? Sn ? 13n ? n( n ? 1) ? ( ?2) 2 2 2 ? ? n ? 14n ? ?(n ? 7) ? 49
∴当n=7时,Sn取最大值49.

等差数列的前n项的最值问题 例1.已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11,求n 取何值时,Sn取最大值. 解法2 由S3=S11得

d=-2<0
Sn

则Sn的图象如图所示 又S3=S11 所以图象的对称轴为

∴当n=7时,Sn取最大值49.

3 ? 11 n? ?7 2

n 3 7 11

等差数列的前n项的最值问题 例1.已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11,求n 取何值时,Sn取最大值. 解法3 由S3=S11得

d=- 2

∴ an=13+(n-1) ×(-2)=-2n+15 由

? an ? 0 ? ? an ? 1 ? 0

15 ? n? ? ? 2 得 ? ? n ? 13 ? ? 2

∴当n=7时,Sn取最大值49.

等差数列的前n项的最值问题 例1.已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11,求n 取何值时,Sn取最大值. 解法4 由S3=S11得

a4+a5+a6+……+a11=0 而 a4+a11=a5+a10=a6+a9=a7+a8
∴a7+a8=0 又d=-2<0,a1=13>0 ∴a7>0,a8<0 ∴当n=7时,Sn取最大值49.

求等差数列前n项的最大(小)的方法

d d 2 方法1:由 S ? n ? (a ? )n n 1 2 2 利用二次函数的对称轴求得最值及取得最值时
的n的值. 方法2:利用an的符号①当a1>0,d<0时,数列前面 有若干项为正,此时所有正项的和为Sn的最大 值,其n的值由an≥0且an+1≤0求得.②当 a1<0,d>0时,数列前面有若干项为负,此时所有 负项的和为Sn的最小值,其n的值由an ≤0且 an+1 ≥ 0求得.

练习:已知数列{an}的通项为an=26-2n,要使 此数列的前n项和最大,则n的值为( ) A.12 B.13 C.12或13 D.14

C

2.等差数列{an}前n项和的性质 在等差数列{an}中,其前n项的和为Sn,则有 性质1:Sn,S2n-Sn,S3n-S2n, …也在等差数列,公 差为 n2d 性质2:若Sm=p,Sp=m(m≠p),则Sm+p= 性质3:若Sm=Sp (m≠p),则 Sp+m= 0 - (m+p)

性质4:(1)若项数为偶数2n,则 S2n=n(a1+a2n)=n(an+an+1) (an,an+1为中 间两项), an 此时有:S偶-S奇= ,S奇 ? nd

S偶

an ? 1

性质4:(1)若项数为奇数2n-1,则 S2n-1=(2n- 1)an (an为中间项), 此时有:S偶-S奇= 性质5: 数列.

an

S ,奇 S偶

Sn { } n

n ? n?1

为等差

两等差数列前n项和与通项的关系

性质6:若数列{an}与{bn}都是等差数列,且前n
项的和分别为Sn和Tn,则

a n S 2 n ?1 ? bn T2 n?1

3.等差数列{an}前n项和的性质的应用 例1.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若 S3=9,S6=36,则a7+a8+a9=( ) A.63 B.45 C.36 B D.27 例2.在等差数列{an}中,已知公差d=1/2,且 a1+a3+a5+…+a99=60,a2+a4+a6+…+a100=( ) A.85 B.145 C.110 A D.90

等差数列{an}前n项和的性质的应用 例3.一个等差数列的前10项的和为100,前 100项的和为10,则它的前110项的和 为 . -110 例4.两等差数列{an} 、{bn}的前n项和分别 是Sn和Tn,且

a5 求 和 b5

an b. n

Sn 7n ? 1 ? Tn 4n ? 27
a5 64 ? b5 63 an 14n ? 6 ? bn 8n ? 23

等差数列{an}前n项和的性质的应用 例5.一个等差数列的前12项的和为354,其中 项数为偶数的项的和与项数为奇数的项的和 之比为32:27,则公差为 .

5

例6.(09宁夏)等差数列{an}的前n项的和为 Sn,已知am-1+am+1-am2=0,S2m-1=38,则 m= .

10

例7.设数列{an}的通项公式为an=2n-7,则 |a1|+|a2|+|a3|+……+|a15|= 153 .

等差数列{an}前n项和的性质 例8.设等差数列的前n项和为Sn,已知 a3=12,S12>0,S13<0. (1)求公差d的取值范围; (2)指出数列{Sn}中数值最大的项,并说明理 由. a1+2d=12 解:(1)由已知得 12a1+6×11d>0

13a1+13×6d<0

24 ? ? d ? ?3 7

(2) ∵

1 Sn ? na1 ? n( n ? 1)d 2 1 ? n(12 ? 2d ) ? n( n ? 1)d 2

d 2 5d ? n ? (12 ? )n 2 2

∴Sn图象的对称轴为

24 由(1)知 ? ? d ? ?3 ∴Sn有最大值. 7 5 12 13 13 由上得 6 ? ? 即6? n? ? 2 d 2 2
由于n为正整数,所以当n=6时Sn有最大值.

5 12 n? ? 2 d

练习1
已知等差数列25,21,19, …的前n项和 为Sn,求使得Sn最大的序号n的值.

练习3:已知在等差数列{an}中,a10=23, a25=-22 ,Sn为其前n项和. (1)问该数列从第几项开始为负? (2)求S10 (3)求使 Sn<0的最小的正整数n. (4) 求|a1|+|a2|+|a3|+…+|a20|的值

1.根据等差数列前n项和,求通项公式.

n?1 ? a1 an ? ? ? S n ? S n ?1 n ? 2
2、结合二次函数图象和性质求

d 2 d S n ? n ? (a1 ? ) n 的最值 2. 2

3.等差数列{an}前n项和的性质 在等差数列{an}中,其前n项的和为Sn,则有 性质1:Sn,S2n-Sn,S3n-S2n, …也在等差数列,公 差为 n2d 性质2:若Sm=p,Sp=m(m≠p),则Sm+p= 性质3:若Sm=Sp (m≠p),则 Sp+m= 0 - (m+p)

性质4:(1)若项数为偶数2n,则 S2n=n(a1+a2n)=n(an+an+1) (an,an+1为中 间两项), an 此时有:S偶-S奇= ,S奇 ? nd

S偶

an ? 1

性质4:(1)若项数为奇数2n-1,则 S2n-1=(2n- 1)an (an为中间项), 此时有:S偶-S奇= 性质5: 数列.

an

S ,奇 S偶

Sn { } n

n ? n?1

为等差

两等差数列前n项和与通项的关系

性质6:若数列{an}与{bn}都是等差数列,且前n
项的和分别为Sn和Tn,则

a n S 2 n ?1 ? bn T2 n?1


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