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2016-2017学年高中数学第三章指数函数和对数函数章末测评北师大版必修1(新)


第三章测评
(时间:120 分钟 满分:150 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.函数 f(x)=的定义域为( A.(0,2) C.(2,+∞) B.(0,2] D.[2,+∞) )

解析:∵f(x)有意义,

∴ ∴x>2, ∴f(x)的定义域为(2,+∞).
答案:C 2.下列函数中,定义域是 R 且为增函数的是( A.y=e
-x

)

B.y=x
-x

3

C.y=ln x

D.y=|x|
3

解析:A 项,函数 y=e 为 R 上的减函数; B 项,函数 y=x 为 R 上的增函数; C 项,函数 y=ln x 为(0,+∞)上的增函数; D 项,函数 y=|x|在(-∞,0)上为减函数,在(0,+∞)上为增函数. 故只有 B 项符合题意,应选 B. 答案:B 3.设 f(x)=则 f(f(2))等于( A.0 C.2 B.1 D.3
2

)

解析:∵f(2)=log3(2 -1)=1,

∴f(f(2))=f(1)=2e1-1=2.
答案:C 4.下列函数为偶函数的是( A.f(x)=x-1 B.f(x)=x +x C.f(x)=2 -2 D.f(x)=2 +2
x x -x -x
2

)

解析:由题意知,所给四个函数其定义域均为 R,关于原点对称.由偶函数的定义知,选项 A,B,C 中函 数均不满足 f(-x)=f(x).而 D 选项中,f(-x)=2 +2 =f(x),显然为偶函数,故选 D. 答案:D 5.已知 b>0,log5b=a,lg b=c,5 =10,则下列等式一定成立的是( A.d=ac B.a=cd
d -x x

)

1

C.c=ad
d

D.d=a+c

解析:由 log5b=a,得=a; 由 5 =10,得 d=log510=, 又 lg b=c,所以 cd=a.故选 B. 答案:B 6.已知函数:①y=2 ;②y=log2x;③y=x ;④y=;则下列函数图像(第一象限部分)从左到右依次与函数 序号的对应顺序是( )
x -1

A.②①③④ C.④①③② 答案:D

B.②③①④ D.④③①②

解析:根据幂函数、指数函数、对数函数的图像可知选 D. 7.下列函数中,满足“f(x+y)=f(x)f(y)”的增函数是( A.f(x)=x C.f(x)=
3

)

B.f(x)=3 D.f(x)=
3

x

解析:对于函数 f(x)=x ,f(x+y)=(x+y) ,

3

f(x)f(y)=x3·y3,而(x+y)3≠x3y3,
所以 f(x)=x 不满足 f(x+y)=f(x)f(y),故 A 错误; 对于函数 f(x)=3 ,f(x+y)=3 =3 ·3 =f(x)f(y), 因此 f(x)=3 满足 f(x+y)=f(x)f(y),且 f(x)=3 是增函数,故 B 正确; 对于函数 f(x)=,f(x+y)=(x+y,f(x)f(y)==(xy,而(x+y≠(xy,所以 f(x)=不满足
x x x x+y x y
3

f(x+y)=f(x)f(y),故 C 错误;
对于函数 f(x)=,f(x+y)==f(x)·f(y), 因此 f(x)=满足 f(x+y)=f(x)f(y), 但 f(x)=不是增函数,故 D 错误. 答案:B 8.已知函数 y=loga(x+c)(a,c 为常数,其中 a>0,a≠1)的图像如图所示,则下列结论成立的是( )

A.a>1,c>1

2

B.a>1,0<c<1 C.0<a<1,c>1 D.0<a<1,0<c<1 解析:由图像可知 y=loga(x+c)的图像是由 y=logax 的图像向左平移 c 个单位得到的,其中 0<c<1.再 根据单调性易知 0<a<1. 答案:D 9.已知函数 f(x)=ln(-3x)+1,则 f(lg 2)+f=( A.-1 B.0 C.1 D.2 解析:∵f(x)=ln(-3x)+1, )

∴f(-x)=ln(+3x)+1, ∴f(x)+f(-x)=ln 1+1+1=2,
又 lg=-lg 2,

∴f(lg 2)+f=2,故选 D.
答案:D 10.设函数 f(x)=loga|x|(a>0,且 a≠1)在(-∞,0)上单调递增,则 f(a+1)与 f(2)的大小关系为( A.f(a+1)=f(2) C.f(a+1)<f(2) B.f(a+1)>f(2) D.不确定 )

解析:易知 f(x)为偶函数,所以 f(x)在(0,+∞)上单调递减.所以 0<a<1.则 1<a+1<2.所以

f(a+1)>f(2).
答案:B 11.若函数 y=logax(a>0,且 a≠1)的图像如图所示,则下列函数图像正确的是( )

解析:由题中图像可知 loga3=1,所以 a=3.A 选项,y=3 =为指数函数,在 R 上单调递减,故 A 不正确.B 选项,y=x 为幂函数,图像正确.C 选项,y=(-x) =-x ,其图像和 B 选项中 y=x 的图像关于 x 轴对称,故
3 3 3 3

-x

3

C 不正确.D 选项,y=log3(-x),其图像与 y=log3x 的图像关于 y 轴对称,故 D 选项不正确.综上可知选 B. 答案:B 12. 导学号 91000150 已知函数 f(x)=的值域是[-8,1],则实数 a 的取值范围是( A.(-∞,-3] B.[-3,0) C.[-3,-1] D.{-3} 解析:当 0≤x≤4 时,-8≤f(x)≤1,当 a≤x<0 时,-≤f(x)<-1, 所以? [-8,1], 所以-8≤-<-1, 解得-3≤a<0. 答案:B 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.把答案填在题中横线上) 13.已知指数函数 f(x)的图像过点(3,8),则 f(6)= 解析:设 f(x)=a (a>0,且 a≠1),则 f(3)=a =8,
x
3

)

.

∴f(6)=a6=(a3)2=82=64.
答案:64 14.已知 log95=m,log37=n,则用 m,n 表示 log359= 解析:∵log359=2log353=, 且 m=log95=log35,n=log37,

.

∴log359=.
答案: 15.已知函数 f(x)=若 f(x)=2,则 x= 答案:log32 16.(2016 江苏无锡高三模拟)对于函数 f(x)定义域中任意的 x1,x2(x1≠x2),有如下结论:

.

解析:由? x=log32,? x=-2 不符合,故应填 log32.

①f(x1+x2)=f(x1)·f(x2); ②f(x1·x2)=f(x1)+f(x2); ③>0; ④f.
当 f(x)=lg x 时,上述结论中正确结论的序号是 解析:因为 f(x)=lg x,且 x1≠x2, 所以 f(x1+x2)=lg(x1+x2)≠lg x1·lg x2. 所以①不正确.

.

f(x1·x2)=lg(x1·x2)=lg x1+lg x2=f(x1)+f(x2).
因此②正确. 因为 f(x)=lg x 是增函数,

4

所以 f(x1)-f(x2)与 x1-x2 同号. 所以>0. 因此③正确. 因为 f, 因此④是不正确的. 综上,填②③. 答案:②③ 三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(12 分)求下列各式的值: (1)log535+2lo-log5-log514; (2)(lg 2) +(lg 5) +3lg 2·lg 5; (3)[(1-log63) +log62·log618]÷log64; (4). 解:(1)原式=log5+2lo
2 3 3

=log553-1=2.
(2)原式=(lg 2+lg 5)(lg 2-lg 2·lg 5+lg 5)+3lg 2·lg 5=lg 2+lg 5+2lg 2·lg 5
2 2 2 2

=(lg 2+lg 5)2=1.
(3)原式

=[(log66-log63)2+log62·log6(2×32)]÷log64 =÷log622 =[(log62)2+(log62)2+2log62·log63]÷2log62 =log62+log63=log6(2×3)=1.
(4)原式=log32·log6427=. 18.(12 分)已知-1≤x≤2,求函数 f(x)=3+2·3 -9 的最大值和最小值. 解:令 t=3 ,因为-1≤x≤2, 所以≤t≤9,且 f(x)=g(t)=-(t-3) +12. 故当 t=3,即 x=1 时,f(x)的最大值为 12, 当 t=9 时,即 x=2 时,f(x)的最小值是-24. 19.(12 分)解不等式 2loga(x-4)>loga(x-2). 解:当 a>1 时,原不等式可化归为解得 x>6; 当 0<a<1 时,原不等式可化归为解得 4<x<6. 综上所述:当 a>1 时,原不等式的解集是{x|x>6}; 当 0<a<1 时,原不等式的解集是{x|4<x<6}. 20.(12 分)已知函数 f(x)=. (1)求函数 f(x)的定义域、值域; (2)试判断函数 f(x)的奇偶性. 解:(1)要使 f(x)有意义,只要使 2 +1≠0,由于对任意的 x∈R,2 ≠-1, 所以 x∈R,即函数 f(x)的定义域为 R.y=f(x)==1-.
x x
2

x+1

x

x

5

令 t=2 ,则 t>0, 所以 y=1-. 所以 y∈(-1,1), 即 f(x)的值域为(-1,1). (2)对任意 x∈R,则有-x∈R. 又因为 f(-x)==-f(x), 所以 f(x)为奇函数. 21.(12 分)已知 f(x)=loga(a -1)(a>0,且 a≠1). (1)求 f(x)的定义域; (2)讨论 f(x)的单调性; (3)当 a 取何值时,图像在 y 轴的左侧? 解:(1)当 a>1 时,定义域为(0,+∞); 当 0<a<1 时,由 a -1>0 可知,定义域为(-∞,0). (2)设 f(u)=logau,u=a -1. 当 a>1 时,x∈(0,+∞),u=a -1 是增函数,
x x x x

x

y=logau 也是增函数.
由复合函数单调性可知:f(x)在(0,+∞)上为增函数. 同理可得:当 0<a<1 时,f(x)在(-∞,0)上为增函数. (3)由图像在 y 轴的左侧可知:当 x<0 时,a -1>0,解得 0<a<1. 22. 导学号 91000151(14 分)(2016 山东日照高一检测)我国加入 WTO 时,根据达成的协议,若干年内 某产品市场供应量 p 与关税的关系近似满足 p(x)=(其中 t 为关税的税率,且 t∈,x 为市场价格,b,k 为正常数),当 t=时的市场供应量曲线如图所示.
x

(1)根据图像,求 b,k 的值; (2)记市场需求量为 a,它近似满足 a(x)=,当 p=a 时的市场价格称为市场平衡价格.当市场平衡价格 控制在不低于 9 元时,求关税税率的最小值. 解:(1)由图像,知 即 由 1-≠0,解得 b=5,k=6. (2)p=a 时,有, 即(1-6t)(x-5) =11-,2(1-6t)=. 由 x≥9,得 x-5≥4, 即 0<. 令 m=,则 2(1-6t)=17m -m. 当 m=时,2(1-6t)max=, 则 1-6t≤,t≥.
2 2

6

又∵t∈,∴tmin=. 所以最小关税税率应定为.

7


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