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11.2-1直线的倾斜角和斜率


11.2-1

直线的倾斜角和斜率

Angles of Inclination and Slopes of Straight Lines

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教学目标

学习要求

>
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〔教学目标〕 知识与技能 1.了解直线的斜率、倾斜角的概念,并进一步研究直线

的点斜式方程。
2.掌握直线的斜率、倾斜角之间的转化关系。 过程与方法 1.通过运用向量的知识,求直线方程。体现了代数 与几何之间的联系,初步建立了解析几何的思想。

2.通过具体问题的求解,探求直线方程的通式。体
现了从简单到复杂,从特殊到一般的探究思维过程。

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〔教学目标〕 情感态度与价值观

1.通过探究事物本质的过程,培养实事求事的治学态度。 2.在不同条件下选取不同形式的方程,从而最有效解决 题设问题。培养辨析的能力.

教学重点和难点
1.理解倾斜角和斜率之间的关系 2.对于直线的斜率、倾斜角进行相互转化。

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〔学习要求 〕

1.理解直线的倾斜角和斜率的概念。

2.掌握直线的点斜式方程。
3.能在具体题设条件下应用直线方程解决实际问题 。 4.能进行几种形式之间的相互转化。

5.领悟并掌握解题过程中的数形结合思想。

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准备一

准备二

导入一

导入二

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〔准备一〕 1、画正切函数 y ? tan x x ?[0, ? ) 图象,并在 定义域下求值域。 ? y 当 x ? [0, ) 时:

o

? 2

? ?

tan x ? _______ [0, ??) ? 当 x? 时: x 2 tan x _______ 不存在
当x ? ( , ? )时: 2 (??,0) tan x ? _______
?

2

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〔准备二〕 1、如图,在平面直角坐标系中
1)向量 p1 p2 的坐标:______ (3, 4) 2)标出向量p1 p2 的位置向量 OA

y
A (3,4)
?

p2 (4,1)

(3, 4) 它的坐标为 _____
3)显然向量 p1 p2 与 x 轴正方向的夹角

o
?p1 (1,?3)

x

大小等于向量OA 与 x 轴正方向的夹角,

????? ? 可见 p1 p2 ? (3, 4)与 x 轴正方向夹角的正切值为: / 3 4
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夹角的正切值为 ______ 4/3

〔导入一〕 1.如图,1、 2 是平面直角坐标系中的两条直线。相对 l l 于 x 轴来说,直线 l1 较平坦些,而 l 2 较陡些。那么
我们如何用数学概念来刻画直线的“陡”的程度呢? y l2
l1

o

x

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〔导入二〕 现在我们给出直线倾斜角的概念: l3 x 轴正方向绕着直线与 x 轴 的交点逆时针旋转所形成的角 叫做直线的倾斜角 按照定义请标出右图中三条 直线的倾斜角。

y
l2

l1

o

x

规定:直线与 x 轴平行或重合时, 倾斜角 ? ? 0 结论:直线的倾斜角? 的范围: ? ? ? ? 0

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探究一

探究二

探究三

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〔探究与深化一〕

现在我们给出直线的斜率的概念: 对于直线的倾斜角? 时,把 ? 的正切值 k ? tan? 叫做直线的斜率 2 y ? 当 ? ? 时,直线的斜率不存在 2 ? 当倾斜角? ?[0, ) 时:斜率k ? _______ [0, ??) 当? ?
2

?

当倾斜角 ? ?
?

?

时:斜率k ? _______ 不存在 2

o

? 2

? ? x

? (??,0) 当倾斜角 ? ( , ? )时:斜率k ? _______
2

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〔探究与深化二〕

直线的方向向量、倾斜角、斜率之间的相互转化关系 设直线 l 的方向向量 d 如果已知 d

? ( ? ,? ) ,倾斜角? ,斜率 k

? ( ? ,? ) , ? ? ? 那么当? ? 0 时,k ? , 可以由 tan? ? 求得
当?

?

2 d 如果已知 ? , 那么 k ? tan?, ? (cos? , sin ? )
如果已知

? 0 时, 不存在, ? ? k

?

?

k , ? 可以由 tan? ? k 求得, ? (1, k ) d 那么
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〔探究与深化三〕

已知直线上任意两点,求直线斜率 如图直线 l 经过 P ( x1 , y1 ) 和 P2 ( x2 , y2 ) 1 其中 x1 ? x2 ,求直线 l 的斜率 k

y

l P2 ( x2 , y2 ) ?
x

? 1 解: P P2 ? ( x2 ? x1 , y2 ? y1 )
是直线 l 的一个方向向量 y2 ? y1 ? 直线 l 的斜率 k ? x2 ? x1

P ( x1 , y1 ) 1

?

o

若 x1 ? x2 ,直线的斜率 k 不存在

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练习一
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练习二
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〔练习与评价一〕

B 1. 已知直线 l 上的两点 A、 ,求该直线 l 的斜率k
及倾斜角 ? 1) A(1,2) , B ? (3,4) 2) A(0,3) , B ? (2, 2 )

B 解: 1)因为直线 l 过点 A、 ,它的一个方向向量 ??? ? 可表示为 AB ? (2, 2) , 2 ? 所以直线 l 的斜率 k ? ? 1 ,倾斜角? ? 2 4 B 2)因为直线 l 过点 A、 ,它的一个方向向量 ??? ? ? 可表示为 AB ? (2, 2, 3) 2 ?3 所以直线 l 的斜率k ? , 2 3? 2 倾斜角? ? ? ? arctan 2
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〔练习与评价二〕

直线的点斜式方程

已知直线 l 的倾斜角为? (0 ? ? ? ? , ? ? 且通过点 N ( x0 , y0 ) , 求直线 l 的方程. 解: ? ?直线 l 的倾斜角为? ? ? d ? (cos ? ,sin ? )与直线 l 平行

?

2 y

),

l
?

N ( x0 , y0 )
x

易得直线 l 的点方向式方程为: ? x ? x0 y ? y0 o (? ? 0) ? cos ? sin ? ? ? ? ? 整理得: y ? y0 ? ( x ? x0 ) tan ? 2 记 tan ? ? k ,方程 y ? y0 ? k ( x ? x0 ) 叫做直线 l 的点斜式方程
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回顾与小结一

回顾与小结二

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〔回顾与小结一〕

1、直线的倾斜角:

x 轴正方向绕着直线与 x 轴的交点逆时针旋转所形成的角 规定:直线与 x 轴平行或重合时,倾斜角 ? ? 0 2、直线的斜率:(直线的倾斜角为?)
当? ? 当? ?

?

?

2

时,把 ? 的正切值 k ? tan? 叫做直线的斜率 时,直线的斜率不存在

2 3、直线的点斜式方程:

直线 l 的斜率为 k , 且过点 N ( x0 , y0 ) 则直线的 点斜式方程为:y ? y0 ? k ( x ? x0 )
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〔作业与拓展〕 1.已知直线 l 与向量 d 平行,求直线的斜率与倾斜角

1) d ? (2,? 3 )
2) d ? (?4,?3) 3) d ? (?2,0)

3 3 k ?? , ? ? ? ? arctan 2 2 3 3 k ? , ? ? arctan 4 4

k ? 0, ? ? 0

4) d ? (0,?5)

k不存在, ? ?

?
2

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〔作业与拓展〕 2.求经过下列两点的直线的斜率和倾斜角 1) P(?2,?2) , Q ? (2,2) 2) P(1, 3 ) , Q ? (2,2 3 )

3.已知直线 l 经过点 P 且倾斜角为? ,求 l 直线的方程 P(3,?4) , ? ? 70 0 P(?2,5) , ? ? 30 0 1) 2)

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