当前位置:首页 >> 学科竞赛 >>

2013年全国高中数学联赛陕西赛区预赛试题及参考答案


:  23第嘲 上 )… 一 … t  Ⅲ;   二 0年 5 (  . 一… 一 ”  ̄g n “ / 1 望  甸   鐾_ ” o s m ”   n ;.‘   ““ “  
一  

④ 静   回商0   
及 

赜窗唿画窝叵 

陕 西省数 学竞 赛委 员会 
( 0 3年

4月 2 日上 午 8 3 一 1 : 0   21 1 :O 10 )

第 一试 
填 空 题 ( 小 题 8分 , 8 每 共 O分 )  

(I) 函数 厂 ) 求 ( 的最 小正 周期  (I 求 函数 厂 z 的单 调递 增 区间 . 1) ()  
二 、本题 满分 2 ( O分 ) 不 经 过 坐 标 原 点 。 的 直   设

1 设 A、 是 两 个 非 空 的 有 限 集 , 集 U— A . B 全  

UB, 【   且 ,中含 有 m 个 元 素. (c ) cB) 若   A U( U 中含  有  个元 素 , An B中所 含元 素的个 数 为  则    2 已知 △AB 的 三个 内角 A 、 C所 对 的边 分  . C B、
. 
一  

线 Z 圆  +  = 1交 于 不 同 的 两 点 P、 若 直 线  与 Q, P 的斜 率 是 直 线 o 和 O 斜 率 的 等 比 中 项 , Q P Q 求  △ P Q 面积 S的取 值 范围. 0   三 、本 题 满 分 2 ( O分 ) 如 

别为 n、、, 满 足a i AsnB+bo  bC 且 s  i n   csA一 /a 则  g.
“ 

图 1 AB是 半 圆 0 的直 径 ,   , C
是半 圆弧 的 中点 , 是 AB 延  . P  
o  8  P 

的值是  .   3 在 直 角 坐 标 系 x y 中 , 知 三 点 A( , )  . O 已 a 1、

B 26 、 ( ,) 若 向量 o ; (,)C 34 . 0 - 与  - 7
上 的投 影相 同 , 3 一4 则 n 6的值是 

在 向量 o 方向 - 8  

。   4 已知正三 棱锥 P AB 的侧 棱与 底 面所成 的 角  . . C 为 4 。则相 邻 两侧 面所成 角 的余 弦值为  5, .   5 已知 三个互 不相 等 的整数 z Y z之 和 介 于 4  . 、、 0 与4 4之 间 , 3, , 次构成 公差 为 d的等差 数 列 , 若 2Y z依   z + , +z z Y , +z依 次 构 成 公 比为 q的等 比数 列 , 则  d? q的值是  .   6 设 点 P、 分别 在直 线 3 . Q  —Y —0和 3 —Y +5 x   1 —0上 运动 , 3 线段 PQ 的中点 为 M ( 。Y ) 且 3  x ,。 , g 。


长 线上 一点 , D 与半 圆 0 相  P 图 1   切 于 点 D, APD 的平 分 线    分别 交 AC、 C于点 E、 . B F 求证 : 段 AE、 F、 F 可  线 B E 以组 成一 个 直角 三角形 .  
1  

四、 本 题 满分 3 ) ( O分 已知 曲线 C : ( : ÷ (    f x)= e =
厶 

1  

+e , 一) 曲线 c : ( ) 2g z 一音 (  ~) 直线 x e一e , =n与  
厶 

+Y ≥4 则  的取 值 范 围是  。 .
0 —



 

.  

7 在 一个 圆上 随机 取三 点 , 以这 三点 为顶 点 的  . 则 三 角形是 锐角 三角 形 的概率 等于  .   8 设 M 一 1 + 2 + 3 + … 十 2 1  则 M 的 个 位  。       O3, 数 字为  .  
1   ~ 

曲线 C 、 。   C 分别 交于 点 A、 曲线 C B,  在点 A 处 的切  线 为 z, 。 曲线 C 在 点 B 处 的切线 为  .     ( 证 明: 线 z I) 直  与 z 。必 相 交 , 交 点 到 直 线  且 AB 的距 离 为定值 ;   (I 设 a< 0 直 线 z 1) , 。与 Z 的 交 点 为 P   .若  △P AB为 钝角 三角 形 , a的取值 范 围. 求  
五 、 本 题 满 分 3 分 )设 P。 P  P。 … , ( O , , , P (  

∈N 是平 面 上 的  +1个 点 , 任 意 两 点 间 的 距 离  +) 且

都 不 小于 1 证 明 : " ?    

9 对 意z ( 专, ,有 ? 任 ∈一   都   若 )

一。 n  

参 考 答 案 
第 一 试 
1 m一 2 .  . . . .    32
8.1; 9.一 2; 0. . 1 4 

+ 口 z+ a  + … + az + … , a +a 的 值 是  l z n” 则   4 3 1. O 0 若 ≤ ≤ 1 i , , ,) 则 M— I 一z    (一1 2 … 5 ,   2。 J + f 2 C I+ l 3 4 。+ l4 5 。 l 5 1 。   —5 。   一z  z 3 z l   一z  +   一z    I z J 的最大 值是  .  

i 5 4 .. l 1. . 2 6 E


37 ; ).  .丢

第 二试 


( : 一试 各 题详 细 解答 见 本 刊 网站 W 注 第 WW.  
z o g h cn c r) h n s u a .o   n

( 题 满分 2 本 0分 ) 已知 函数 厂( 一 1(i2 z)   s   n



第 二 试 


(I)c 7  .

一  

—s  一 s( 手, 2 譬’  ) z + 1z f n一     \ z  

() 一 ,+ ] ∈) Ⅱ   詈是 詈 ( z  兀 足 .

亭静  亭

荨  {

=_等= :?. _ !   h = _  

黑   : ?冀 ! _ ! _  

 ̄V .h g h   【 (l 1 V Vz on s n( 1  I   a  n

二 、 : 直线 P 的 方 程 为 : 一志 +b 志 0 b 解 设 Q Y z ( ≠ , 

又 P E平 分 /AP 所 以 DF- B DE=AE  D, - F, - .
因 为  PDE 一 1 0 一 P 8 。   AE 一 1 5 , P   3。   DF
=  A BF= 4 。  5,

≠O , 人 z +. :1 得  )代   y   ,
(  1 z + 2 b 忌+ )  k x+ b 一 1 0  。 = .

由 A- 4 。。 4 k + 1 (  1 > 0  - k b一 (  ) 6 一 ) ;
得 b < 是 + 1  。 。 .

所 以  EDF ̄ /PDE- P - -   DF=9 。 - 0.   故 AE +B     F :DE 4 DF 一E    。-   F ,

设 P( 1 ) Q( 2 y ) 1 2 ) 贝  x , 、 z , 2 ( X ≠O , 0  1
  .

即线 段 AE、 BF、 F可 以组 成一个 直 角三 角形. E   证法 2 参见 文 献1 3 : - 中例 2 1 .  

2 b k 

b— 1 2  

l 十 2=一i = =  

’12=k-1  zz :— - ’ =2F —

四、 : I 因为 / ( )   e一e  =g z , 解 ( )   一 1(。 一 ) ( )  

从 , ? 一     ±筹± 而 k  ?: 筹旦  忌 a a

_

k+墨 兰± ±竺 2 鱼     
X l 2 Z  

g( )  z 一去(  一) () e+e 一,  ,  
所 以 惫1 1(“ e ) k f 一  e一 ~ ,  z



.  

因为 志P? ∞:忌 , 以 k ( l 2 +6 一0 0 志 。所 b x +z )   .   因为 忌 0 bZ , 以 z +z 一一  . ≠ , ̄ 0 所 =       从而, 一  一一  . 解得 愚 =±1 .  

专(+ - ? e e) a a 

又e ~>0 所 以 k, ¨ 故直 线 z ,  ≠忌  与 z  必相 交.   又直 线 l  的方 程 为 :  一厂 口 =g 口 ( 一口 , () ()z ) 直  线z 。的方程 为 : —g 口 =, 口 ( Y ( ) ( ) z一辞 , 立求 得 交  )联
点 坐 标 为 P( + 1 e) n ,。 .  

又 圆心 0到 直线 P 的距 离 为  Q
一   :   ,  

故点 P到直 线 AB; =口的距 离 d=1为定值 . z  

 ̄是 +1 √   /。   2

()(),。1。e)B ,( Ⅱ由I知A ,(+一) (丢e ( e 。、n 。    
一~ ) ( 1a e) Pn   ) 、 + e?  

所 1I、 一 1 . 以 Q 2  一     一  P 譬

于 ,一 t ? = √ 譬 是s 丢          ~
b  2
:  

所   =0 e) 一1 (一~) 以 (一~, (专e e)  ,   ,   ,

b 2


一1 (  ) ,e ) 专 叶e .  
于 是,  
一  

号 .  

.  

一   (  一 1 , e )荫 ?  ̄-1k e _e2 - - p - -1(2 - ) a a
. 

.茚  

又 
不 成立 .  

。 : 

≠ o 所 以 6 1 因此 , 式 等 号  , ≠ . 上

1 ( - +1 , e2 ) a  

因为 口 ,   <o 所以

? - , - A >0  ̄  

. >o 茚 .  

故 PQ 积 的 值 围 (丢. △0面 s 取 范 是0 ) , 
三 、 法 1 如 图 2 设 直  证 : ,

所 以 , A、 B均 为锐 角 , 而 , P为钝 角.     从    

由1 +÷( 。   ) 得 e < 一2 e 一e <0       。 ,   则口 <妻1( 一2. n   )  
D   B   图2  
尸 

线 P 与半 圆 0 交 于 M 、 E N  两点 , 接 DE、 连 DF、 DB, 则 
APM   1 (  

故 的 值 围 (。专n 一) 口 取 范 为 一。 1 2 . , ( )    
五、 明: 点 集 S 证 令  : {   l忌 l 。  l k P <   P ≤   P + 1 , 一1 2 … ,S f 示集 合 S }k , , f   表  中元素 的个 数.   设  ma {  P ,  。 zf … ,f 。  f : M , 当 志 x f P。  { f P  , P   P ) P 则  



百 ) D M兰 ( + N   、 , P    ℃   一 D .  、   )
厶 

因为  AP 一 DP , M   M  
所 以  又  一  +  一  +  一  .   =  .   :  +  : = +  , 以  所

> [ 时 ,   空集 , M] S 为 即 
  l . I  一0 S  

从而, D M兰丢( +命 ~ )   Z P     =喜
厶 

若 P ∈S ,   则以点 P  为圆心的圆盘J   】m     I PQj Q  

兰  CBD ,  

.  

<÷; 互不相交, 且都包含在以点 P 为圆心的圆环 。  
厶 J   .   ?  

所 以 P, F、 四点共 圆. D、 B  
同 理 , D、 A 四 点 共 圆 . P、 E、  

{ k — IQ 是 ) ,此   Q - <P I + 内因 有      < 1 。


相关文章:
2013年全国高中数学联赛陕西赛区预赛试卷
2013年全国高中数学联赛陕西赛区预赛试卷_学科竞赛_高中教育_教育专区。2013年全国高中数学联赛陕西赛区预赛试卷2013 年全国高中数学联赛陕西赛区预赛试卷 (4 月 21 日...
2014全国高中数学联赛陕西赛区预赛试卷
2014全国高中数学联赛陕西赛区预赛试卷_学科竞赛_高中教育_教育专区。2014全国高中数学联赛陕西赛区预赛试卷2014 年全国高中数学联赛 陕西省赛区预赛试卷(4 月 20 上午...
2013陕西高中数学竞赛预赛试题及参考答案
2013陕西高中数学竞赛预赛试题及参考答案_高二数学_数学_高中教育_教育专区。陕西2013数学竞赛预赛试题及参考答案(完整版)2013 年全国高中数学联赛陕西赛区预赛 试题参考...
2013年全国高中数学联赛陕西赛区预赛试卷
2013 年全国高中数学联赛陕西赛区预赛试卷 (4 月 21 日上午 8:00——11:00) 第一试 填空题(每题 8 分,共 80 分) 1. 设 A、 是两个非空的有限集,...
2013年全国高中数学联赛陕西区预赛试卷
2013年全国高中数学联赛陕西预赛试卷_学科竞赛_高中教育_教育专区。2013 年全国高中数学联赛陕西预赛试卷考生注意: (1)本试卷共有两个大题,15 个小题,全卷满...
2013年高中数学联赛四川预赛试题及参考答案
2013 年全国高中数学联合竞赛(四川初赛)及参考答案(5 月 19 日下午 14:30——16:30)题目得分 评卷人 复核人 考生注意:1、本试卷共三大题(16 个小题) ,...
2014年全国高中数学联赛陕西赛区预赛试题
2014年全国高中数学联赛陕西赛区预赛试题_学科竞赛_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 2014年全国高中数学联赛陕西赛区预赛试题_学科竞赛_高中...
2011年全国高中数学联赛陕西赛区预赛试卷及答案
2011年全国高中数学联赛陕西赛区预赛试卷及答案_学科竞赛_高中教育_教育专区。2011 年全国高中数学联赛陕西赛区预赛试卷 2011.5.22 第一试 一﹑填空题( 一﹑填空题...
2006年全国高中数学联赛陕西赛区预赛试题
2006年全国高中数学联赛陕西赛区预赛试题_学科竞赛_高中教育_教育专区。今日推荐 180份文档 2014证券从业资格考试 2014证券资格证券交易高分突破试卷及答案 2014年证券考...
更多相关标签:
世预赛南美赛区积分榜 | 世界杯预选赛南美赛区 | 世界杯预选赛欧洲赛区 | 世预赛南美赛区 | 世预赛欧洲赛区积分榜 | 世预赛南美赛区赛程 | 世预赛南美赛区直播 | 世预赛欧洲赛区 |