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东北三省(黑吉辽)2013届高三第一次大联考 数学理


东北三省 2013 届高三第一次大联考

数学(理)试题
考生注意: 1.本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分,共 150 分,考试时间 120 分钟。 2.请将各题答案填在试卷后面的答题卷上。 3.本试卷主要考试内容:集合、与常用逻辑用语、函数(导数) 、三角、向量、数列、解三角 形。

第I卷

>一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的) 1.已知全集 U ? {2,3, 4,5}, M ? {3, 4,5}, N ? {2, 4,5}, 则 A. M ? N ? {4} C. (CU N ) ? M ? U 2.已知命题 p : ?x0 ? R? ,log2 x0 ? 1, 则?p 是 A. ?x0 ? R? ,log2 x0 ? 1 C. ?x0 ? R? ,log2 x0 ? 1 B. ?x0 ? R? ,log2 x0 ? 1 D. ?x0 ? R? ,log2 x0 ? 1 B. M ? N ? U D. (CU M ) ? N ? N

3.已知向量 i ? (1,0), j ? (0,1), 则与2i ? j 垂直的向量是 A. i ? 2 j B. 2i ? j C. 2i ? j D. i ? 2 j

4.设 a ? ( ) , b ? ( ) , c ? log 3 (log3 4) ,则
0.5 0.4 4

3 4

4 3

B. a ? b ? c 1 1 s 5. n a ? ”是“ cos 2 a ? ”的 “i 2 2 A.充分不必要条件 C.充要条件

A. c ? b ? a

C. c ? a ? b

D. a ? c ? b

B.必要不充分条件 D.既不充分也必要条件

6.设非零向量 a、b、c 满足 | a | ? | b |?| c |, a ? b ? c, 则cos( a, b) 等于 A. ?

1 2

B.1

C.

2 2

D.

3 2

7.将函数 y ? sin ? x(? ? 0) 的图象向左平移 对应的函数解析式为 A. y ? sin( x ?

? 个单位,平移后的图象如图所示,则平移后的图象所 6
B. y ? sin( x ?

?
6

) )

?
6

) )

C. y ? sin(2 x ?

?
3

D. y ? sin(2 x ?

?
3

8.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边长分别为 a,b,c,若∠C=120° c ? A. a ? b C. a ? b 9.函数 f ( x) ? ? A.0 B. a ? b

2a 则

D. a与b 的大小关系不能确定

?ln x ? x 2 ? 2 x( x ? 0), ?2 x ? 1( x ? 0),
B.1

的零点个数为 C.2 D.3

10.已知函数 f ( x ) 的定义域为 R,且满足: f ( x ) 是偶函数, f ( x ? 1) 是奇函数,若 f (0.5) ? 3 ,则

f (2012) ? f(2014) ? ( 2.5) 等于 f ?
A.—9 B.9 C.—3 D.3

11.已知函数 f ( x) ?| sin x | 的图象与直线y ? kx(k ? 0) 有且仅有三个公共点,这三个公共点横坐 标的最大值为 ? ,则 ? 等于 A. ? cos? B.—sin ? 12.已知函数 f ( x) ? ln A.6 C.—tan ? D.tan ?

2012 ex ke , 若? f( )=503(a ? b), 则a 2 ? b2 的最小值为 e?x 2013 i ?1

B.8

C.9

D.12

第 II 卷
二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在答题卷中的横线上) 13.已知角 ? 的终边经过点 P ( x, ?6), 且 tan ? ? ? 14.已知 2 ?

3 ,则 x 的值为 5




?

2

1

(kx ? 1)dx ? 4 ,则实数 k 的取值范围为

15 . 已 知 向 量 a ? (2cos x,sin 2 x), b ? (2sin x,cos2 x)( x ? R), 且f ( x) ?| a | ? | b |, 则f ( x) 的 最 大 值 。

16.已知函数 f ( x) ? e x ? e? x (e 为自然对数的底数) ,其导函数为 f ?( x) ,有下列四个结论: ① f ?( x) 的图象关于原点对称; ③ f ?(| x |) 的图象关于 y 轴对称; ② f ?( x) 在 R 上不是增函数; ④ f ?(| x |) 的最小值为 0

其中正确的结论是 (填写正确结论的序号) 。 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分。解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤) 17. (本小题满分 10 分)

5? ? ?) 2 5 2 已知 sin ? ? , 求 tan(a ? ? ) ? . 5? 5 cos( ? ? ) 2 sin(

18. (本小题满分 12 分) 已知命题 p : ?x ? R, 使x ? (a ? 1) x ? a ? 4 ? 0 ;命题 q : 对?x ? 0, 都有2
2 2x

? 2x?1 ? a ? 0.

若命题“ (?p) ? q ”为真命题,求实数 a 的取值范围。

19. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? sin( x ?

7? 3? ) ? cos( x ? ), x ? R. 4 4

(1)求 f ( x ) 的最小正周期和最小值; (2)已知 cos( ? ? ? ) ?

4 4 ? , cos( ? ? ? ) ? ? , 0 ? ? ? ? ? , 求f ( ? ) 的值。 5 5 2

20. (本小题满分 12 分) 已知锐角△ABC 中的三个内角分别为 A,B,C。 (1)设 BC ? CA ? CA ? AB ,求证:△ABC 是等腰三角形; (2)设向量 s ? (2sin C , ? 3), t ? (cos 2C , 2 cos 的值。
2

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

C 1 ? ? 1), 且s / / t , 若 sin A ? , 求 sin( ? B ) 2 3 3

21. (本小题满分 12 分) 某工厂有 214 名工人,现要生产 1500 件产品,每件产品由 3 个 A 型零件与 1 个 B 型零件配 套组成,每个工人加工 5 个 A 型零件与 3 个 B 型零件所需时间相同,现将全部工人分为两组, 分别加工一种零件,同时开始加工,设加工 A 型零件的工人有 x 人,在单位时间内每人加工 A 型零件 5 k (k ? N ) 个,加工完 A 型零件所需时间为 g ( x) ,加工完 B 型零件所需时间为 h( x).
*

(1)试比较 g ( x)与h( x) 大小,并写出完成总任务的时间 f ( x ) 的表达式; (2)怎样分组才能使完成任务所需时间最少?

22. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ln x ?

a( x ? 1) . x ?1

(1)若函数 f ( x)在(0, ??) 上为单调增函数,求 a 的取值范围; (2)设 m,n 为正实数,且 m ? n, 求证 :

m?n m?n ? . ln m ? ln n 2


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