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自2013CMO试题自编的一道题及答案


自 2013CMO 试题自编的一道题及答案
李增慧

D A O1 E M O3 B P O4 O2 N F

C

已知 ABC,在边AC上任取一点D,作 ABD、 BCD的外接圆O1、O2,分别交 CB、AB的延长线于点E、F,得 BEF,做 BEF的外接圆O3,连接点O3、D, 求证:O3D垂直于AC。

又以AC为直径作圆O4,交圆O3于点M、N,连接点CM、AN, 求证:CM、AN、DO3交于一点,且交点P在圆O3上。
证明: ( 1) =
?

?

DEB+
°

?

BEO3+
?

?

O3FB+
?

?

BFD
?

DAB+(360

-

EO3F+

EBF)+

DCB

=180° -?ABC+360° -?EO3F-?EBF =540° -?EO3F-2?EBF 1 =540° -2( ?EO3F+?EBF) 2 =540° -360° =180°

?DEO3F四点共圆 又因为EO3=FO3 ??EDO3=?FDO3 因为?ADE=?ABE=?CBF=?CDF 1 ??ADE+?EDO3= *180° =90° 2 即O3D?AC
(2)


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