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2.1.2 指数函数及其性质 第2课时 指数函数及其性质的应用


第2课时 指数函数及其性质的应用

指数函数的图象和性质
0<a<1
a>1
y

y ? a
图 象 0 定义 域 值 域

x

y ? ax

y

1
x

1 0



x

R (0,+∞)
(1)过定点(0,1),即x=0时,y=1 (2)在R上是减函数

性 质

(2)在R上是增函数

a>1 性 质

0<a<1

单调性 是 R 上的 增函数 是 R 上的 减函数 奇偶性 非奇非偶函数

对称性 函数 y=a-x 与 y=ax 的图象关于 y 轴对称.

探究点1 指数函数的定义域和值域 【例1】 求函数 y ? 2
1 x-1
1 x-1

的定义域及值域.

【解析】由x-1≠0得x≠1, 所以函数 y ? 2
x- 1

的定义域是{x|x≠1}.

令 t ? 1 , 则t∈{t|t≠0}. 根据指数函数y=2t的图象可知 y=2t∈{y|y>0且y≠1}, 所以函数 y ? 2
1 x-1

的值域是{y|y>0且y≠1}.

【例2】 求函数f(x)=4x-3×2x+1+3(0≤x≤4)

的值域.
【解析】因为0≤x≤4,所以1≤2x≤16,

所以f(x)=4 x-3×2x+1+3=(2x)2-6×2x+3
=(2x-3)2-6,

所以当2x=3时,f(x)=4 x-3×2x+1+3(0≤x≤4)
取最小值-6, 当2x=16时,f(x)=4 x-3×2x+1+3(0≤x≤4)取最 大值163,故函数f(x)的值域为[-6,163].

【提升总结】函数y=af(x)定义域、值域的求法

(1)定义域
函数y=af(x)的定义域与y=f(x)的定义域相同.

(2)值域
①换元,令t=f(x);

②求t=f(x)的值域t∈M;
③利用y=at的单调性求y=at,t∈M的值域.

【变式训练】求函数f(x)=3-x-1的定义域、值
域.

【解析】因为f(x)=3-x-1=( 1 )x-1,
3

所以函数f(x)=3-x-1的定义域为R. 由x∈R得( 1 )x>0,所以( 1 )x-1>-1,
3 3

所以函数f(x)=3-x-1的值域为(-1,+∞).

复合函数求定义域,值域,单调区间

1.f (x) ? ? 3 ?

x 2 ? 2x
2

?1? 2.f (x) ? ? ? ? 3? 3.f (x) ? ? 3 ?

x ? 2x

? x 2 ? 2x

例2.解下列不等式:

(1) 2 ? 4
x

x ?1
2x ?4

(2) a

3x ?1

?a

(a ? 0, 且a ? 1)

分析:根据指数函数的单调性把指数不等式转化
为代数不等式. 解:(1)由 2 x ? 4 x ?1 ,得 2x ? 22 x ?2 , 根据指数函数的单调性得 x ? 2 x ? 2. 解这个不等式得 x ? ?2.

(2)当0<a<1时,根据指数函数的单调性得不
等式 3x-1≥2x-4

解这个不等式得x≥-3. 当a>1时,根据指数函数的单调性得不等式3x1≤2x-4,解这个不等式得x≤-3.

所以,当0<a<1时,不等式的解集是x≥-3;
当a>1时,不等式的解集是x≤-3.

【提升总结】 本题的不等式通常称为指数不等式,解这类不 等式的基本方法是根据指数函数的单调性转化为代 数不等式,在底数不确定时要注意分类讨论.

转化的思 想方法!

探究点2 指数函数在实际问题中的应用 例3.截止到1999年底,我国人口约13亿。如果今后 能将人口年平均增长率控制在1%,那么经过20年后, 我国人口数最多为多少(精确到亿)? 分析:可以从经过1年后、2年后、3年后等具体的 人口数入手,归纳经过x年之后的人口数的函数关 系式,再把经过20年后的人口数表示出来,进行具 体计算.

解:设今后人口年平均增长率为1%,经过x年后,我
国人口数为y亿.1999年底,我国人口数约为13亿.

经过1年(即2000年),人口数为

13 ? 13 ?1% ? 13 ? (1 ? 1%)(亿);
经过2年(即2001年),人口数为

13? (1 ? 1%) ? 13? (1 ? 1%) ?1% ? 13? (1 ? 1%)2(亿).

经过3年(即2002年),人口数为 (亿); 13? (1 ? 1%)2 ? 13? (1 ? 1%)2 ?1% ? 13? (1 ? 1%)3
……

所以,经过x年,人口数为
y ? 13 ? (1 ? 1%) x ? 13?1.01x(亿)

当x=20时,y ? 13?1.0120 ? 16 (亿)。 所以,经过20年后,我国人口数最多为16亿。

【提升总结】 在实际问题中,经常会遇到类似本例的指数增

长模型:设原有量为N,每次的增长率为p,经过x
次增长,该量增长到y,则 y ? N (1 ? p) x ( x ? N). 形

如 y ? ka x (k ? R, 且k ? 0, a ? 0, 且a ? 1) 的函数是一
种指数型函数,这是非常有用的函数模型。

探究点3 人口增长率问题的进一步探究
(1)如果人口年平均增长率保持在2%,利用计算器 分别计算2020到2100年,每隔5年相应的人口数。 以例题中计算的2020年我国的人口数16亿为基准。

这时函数模型是 y ? 16 ?1.02x.

; 2025年的人口数是 y ? 16 ?1.02 ? 18(亿)
5

2030年的人口数是 y ? 16 ?1.0210 ? 20(亿) ;

2035年的人口数是 y ? 16 ?1.0215 ? 22(亿); 2040年的人口数是 y ? 16 ?1.0220 ? 24(亿) ;
2045年的人口数是 y ? 16 ?1.0225 ? 26(亿); 2050年的人口数是 y ? 16 ?1.0230 ? 29(亿);

2055年的人口数是 y ? 16 ?1.0235 ? 32(亿);
2060年的人口数是 y ? 16 ?1.02 ? 35(亿);
40

2065年的人口数是 y ? 16 ?1.0245 ? 39(亿);

2070年的人口数是 y ? 16 ?1.0250 ? 43(亿);
55 y ? 16 ? 1.02 ? 48(亿); 2075年的人口数是

2080年的人口数是 y ? 16 ?1.02 ? 52(亿);
60

2085年的人口数是 y ? 16 ?1.0265 ? 58(亿);

(亿); 2090年的人口数是 y ? 16 ?1.0270 ? 64
2095年的人口数是 y ? 16 ?1.0275 ? 71(亿);
80 (亿) ; 2100年的人口数是 y ? 16 ?1.02 ? 78

(2)你看到人口的增长呈什么趋势? 我们使用软件画出函数 f ( x) ? 16 ?1.02x 的图象
y

从这个图象上可以看 出随着x的增大,函 数值的增长越来越快, 呈现一种“爆炸式” 的增长趋势。
O

x

1.如果指数函数 f ( x) ? (a ? 1) x 是 R 上的减函数,那么 a 的取值范围是 ( C ) A. a ? 2
b

B. a ? 2
a

C. 1 ? a ? 2

D. 0 ? a ? 1

1 ?1? ?1? 2. 设 ? ? ? ? ? ? ? 1 .则有( D ) 3 ? 3? ? 3?

A. 0 ? b ? a ? 1

B. a ? b ? 1

C. 1 ? a ? b

D. 0 ? a ? b ? 1

3.函数y=4x+2x+1+5,x∈[1,2]的最大值为( C ) A.20 B.25 C.29 D.31

【解析】因为x∈[1,2],所以2≤2x≤4,
所以y=4x+2x+1+5=(2x)2+2×2x+5=(2x+1)2+4,

当2x=4时,ymax=(4+1)2+4=29.

4. 解方程 4 ? 2
x

x2 ?1

1 , x ? __

解: 4 ? 2
x

2x

?2

x2 ?1

? 2 x ? x2 ? 1
解方程得x=1

1.若函数y=(a2-3a+3)ax是指数函数,则( D ) A.a>1且a≠1 C.a=1或a=2 B.a=1 D.a=2

【解析】若函数y=(a2-3a+3)ax是指数函数,

则a2-3a+3=1,
解得a=2或a=1,

又因为指数函数的底数a>0且a≠1,
故a=2.

2.函数y=ax-3+2(a>0且a≠1)的图象一定经过点
P,则P点的坐标为( B )

A.(-2,-3)
C.(3,2)

B.(3,3)
D.(-3,-2)

【解析】因为y=ax-3+2(a>0且a≠1),
所以当x-3=0,即x=3时,y=3,

所以函数y=ax-3+2(a>0且a≠1)的图象过定点
P ( 3, 3) .

1x (6)函数y ? 1 ? ( ) 的定义域是( A ) 3 (A)[0, ??) (B)(??,0] (C)[1, ? ?)

(D) (??, ??)

(7)函数y ? a x在?01 ,上最大值与最小值和为 3,则a ? ?

(8):当x ???1,1?时,函数f ( x) ? 3x ? 2的值域为?

?

(9) A ? ? y y ? x ? B ? ? y y ? 2 ? ,
2 x

A B?? (10) A ? ?( x, y ) y ? x ? B ? ?( x, y ) y ? 2 ? ,
2 x

A B的子集个数是?个

练习2、解下列不等式 x 2 ? x ?2 (1)6 ?1 1 x 2 ?8 (2) ( ) ? 3? 2 x 3 1 x x ?2 x (3) a ? ( ) (a ? 0且a ? 1) a
2 2

(1)6

x 2 ? x ?2

?1
x 2 ? x ?2

6 解:原不等式可化为

?6

0

∵函数y=6x 在R上是增函数

∴ x2+x-2<0

解之得: -2<x <1 ∴原不等式的解集为(-2,1)

1 x 2 ?8 ?2 x (2) ( ) ?3 3 ? x 2 ?8 ?2 x ?3 解:原不等式可化 3


∵ 函数 y=3x 在R上是增函数 ∴ - x 2 + 8 > - 2x
解之得:- 2 < x < 4

∴ 原不等式的解集是(- 2, 4)

(4)求使不等式

4

x

>32成立的x的集合;
2

?5? 已知a

4 5

?a

, 求数a的取值范围 .

练习3、指出下列函数的单调区间,并判 断增减性; 3? x (1) f ( x) ? 2 1 | x-1| ( 2) f ( x ) ? ( ) 2 1 ( x ?1)( x ?3) (3) y ? ( ) 2

(1) f ( x) ? 2

3? x

单调区间为( -∞ ,+∞ )
函数在该区间上是减函数

1 | x ?1| (2) f ( x) ? ( ) 2
单调区间为: (-∞,1]、 [1,+∞) 函数在区间 [1,+∞)上是减函数 在区间(-∞,1] 上是增函数

单调区间为:(-∞ ,1]、[3,+∞ )
函数在区间(-∞,1] 上是增函数
在区间[3,+∞)上是减函数

1 (3) y ? ( ) 2

( x ?1)( x ?3)

类型 三 指数函数性质的综合应用 1.已知函数f(x)=a-

1 是定义在(-∞,-1]∪[1,+∞)上 x 2 ?1

的奇函数,则f(x)的值域是________.
x a ? 1 (a>1), 2.已知函数f(x)= ax ?1

(1)判断函数的奇偶性. (2)求该函数的值域.

(3)利用定义法证明f(x)是R上的增函数.

【自主解答】1.因为f(x)是奇函数,f(-1)+f(1)=0,解得a=

1 1 易知f(x)在(-∞,-1]上为增函数, 1 所以f(x)= ? ? x , 2 2 ?1 ? , 2 1,+∞)上也是增函数.当x∈[1,+∞)时,f(x)∈ 在[ 3 1 又f(x)是奇函数,所以f(x)的值域是 3 1 1 3 [? , ? ). [? , ? ) ? ( , ]. 2 2 2 2 2 2 1 3 答案: 3 1 [? , ? ) ? ( , ] 2 2 2 2

2.(1)因为定义域为{x|x∈R},

a ?x ?1 1 ? a x ? ?f ? x ? , 所以f(x)是奇函数. 且f(-x)= ? x ? x ax ? 1 1 ? a 2 a ?1? 2 2 x+1>1,所以0< (2)f(x)= 因为 a <2, ? 1? x , x x a ?1 a2 ? 1 a ?1 所以-1< 1 ? x <1,即f(x)的值域为(-1,1). a ?1
(3)任取x1,x2∈R,且x1<x2,
x1 x2 x1 x2 a ? 1 a ? 1 2a ? 2a f(x1)-f(x2)= ? x2 ? x ?0 x1 x2 1 a ?1 a ?1 a ?1 a ?1

? ?? ? (因为分母大于零,且a>1时,y=a 为R上的增函数,
x

由x1<x2得

a ?a
x1

x2

),所以f(x)是R上的增函数.

1.指数型函数模型是应用十分广泛的一类函数模 型,当指数函数的底数大于1时,随着自变量的 增加,函数值呈现“爆炸式”增长. 2.根据指数函数性质进行数值的大小比较时,要 注意采用中间值0、1进行比较.

3.解指数不等式或者指数方程时,要注意根据指数
函数的单调性进行转化,转化为代数不等式或者代

数方程求解,在底数不确定时要注意分类讨论,这
里体现了化归转化思想和分类讨论思想.

除了人格以外,人生最大的损失,莫过 于失掉自信心了。


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