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【原创精品资料】7.3《点、直线和圆锥曲线》错误解题分析


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7.3《点、直线和圆锥曲线》错误解题分析
一、知识导学 1、点 M(x0,y0)与圆锥曲线 C:f(x,y)=0 的位置关系 已知

x2 y2 x2 y2 ? 2 ? 1 (a>b>0)的焦点为 F1、F2, 2 ? 2 ? 1 (a

>0,b>0) a2 b a b

的焦点为 F1、F2, y 2 ? 2 px (p>0)的焦点为 F,一定点为 P(x0,y0),M 点到抛物线的准线 的距离为 d,则有:

上述结论可以利用定比分点公式,建立两点间的关系进行证明。 2、直线 l ∶Ax+B y +C=0 与圆锥曲线 C∶f(x,y)=0 的位置关系: 直线与圆锥曲线的位置关系可分为:相交、相切、相离。对于抛物线来说,平行于对称轴的 直线与抛物线相交于一点,但并不是相切;对于双曲线来说,平行于渐近线的直线与双曲线 只有一个交点,但并不相切。这三种位置关系的判定条件可引导学生归纳为: 设直线 l :Ax+By+C=0,圆锥曲线 C:f(x,y)=0,由 ?

?Ax ? By ? C ? 0 ? f(x,y) ? 0

消去 y(或消去 x)得:ax2+bx+c=0,△=b2-4ac,(若 a≠0 时), △>0 ? 相交 △<0 ? 相离 △= 0 ? 相切

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【注意】直线与抛物线、双曲线有一个公共点是直线与抛物线、双曲线相切的必要条件, 但不是充分条件。 二、疑难知识导析 1、椭圆的焦半径公式:(左焦半径) r1 ? a ? ex0 ,(右焦半径) r2 ? a ? ex0 ,其中 e 是离心 率。 焦点在 y 轴上的椭圆的焦半径公式: ? 下上焦点)。 焦半径公式的两种形式的区别只和焦点的左右有关, 而与点在左在右无关 可以记为: 左加 右减,上减下加。 2、双曲线的焦半径 定义:双曲线上任意一点 M 与双曲线焦点 F1 , F2 的连线段,叫做双曲线的焦半径。 焦点在 x 轴上的双曲线的焦半径公式:? ?

? MF1 ? a ? ey0 ( 其中 F1 , F2 分别是椭圆的 MF2 ? a ? ey0 ?

? MF1 ? a ? ex0 ? MF2 ? a ? ex0
( 其中 F1 , F2 分别是双曲线

? 焦点在 y 轴上的双曲线的焦半径公式: ?
的下上焦点) 3、双曲线的焦点弦:

? MF1 ? a ? ey0 ? MF2 ? a ? ey0

定义:过焦点的直线割双曲线所成的相交弦。 焦点弦公式: 当双曲线焦点在 x 轴上时, 过左焦点与左支交于两点时: AB ? ?2a ? e( x1 ? x2 ) ; 过右焦点与右支交于两点时: AB ? ?2a ? e( x1 ? x2 ) 。 当双曲线焦点在 y 轴上时, 过左焦点与左支交于两点时: AB ? ?2a ? e( y1 ? y2 ) ; 过右焦点与右支交于两点时: AB ? ?2a ? e( y1 ? y2 ) 。 4、双曲线的通径:

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定义:过焦点且垂直于对称轴的相交弦 5、直线和抛物线 (1)位置关系:

d?

2b 2 。 a

相交(两个公共点或一个公共点);相离(无公共点);相切(一个公共点)。 联立 ?

? y ? kx ? b 2 ,得关于 x 的方程 ax ? bx ? c ? 0 2 ? y ? 2 px

当 a ? 0 (二次项系数为零),唯一一个公共点(交点); 当 a ? 0 ,则 若 ? ? 0 ,两个公共点(交点);

? ? 0 ,一个公共点(切点); ? ? 0 ,无公共点 (相离)。
(2)相交弦长: 弦长公式: d ?

? 1? k 2 。 a

(3)焦点弦公式: 抛物线 y ? 2 px( p ? 0) , AB ? p ? ( x1 ? x2 ) 。
2

抛物线 y ? ?2 px( p ? 0) , AB ? p ? ( x1 ? x2 ) 。
2

抛物线 x ? 2 py( p ? 0) , AB ? p ? ( y1 ? y2 ) 。
2

抛物线 x ? ?2 py( p ? 0) , AB ? p ? ( y1 ? y2 ) 。
2

(4)通径: 定义:过焦点且垂直于对称轴的相交弦 通径: d ? 2 p 。 (5)常用结论:

p ? 2p k 2 p2 ? y ? k(x ? ) ? y2 ? y ? p 2 ? 0 和 k 2 x 2 ? (k 2 p ? 2 p) x ? ?0 ? 2 k 4 2 ? y ? 2 px ?

? y1 y2 ? ? p 2 和 x1 x 2 ?

p2 。 4
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三、经典例题导讲 [例 1]求过点 (0,1) 的直线,使它与抛物线 y ? 2 x 仅有一个交点。
2

【错解】设所求的过点 (0,1) 的直线为 y ? kx ? 1 ,则它与抛物线的交点为

? y ? kx ? 1 ? 2 2 ? y ? 2 x ,消去 y 得 (kx ? 1) ? 2x ? 0. 整理得

k 2 x 2 ? (2k ? 2) x ? 1 ? 0.
1 1 . ? y ? x ? 1. 2 2 所求直线为

? 直线与抛物线仅有一个交点,? ? ? 0, 解得

k?

【正解】 ①当所求直线斜率不存在时, 即直线垂直 x 轴, 因为过点 (0,1) , 所以 x ? 0, 即 y 轴, 它正好与抛物线 y ? 2 x 相切。②当所求直线斜率为零时,直线为 y = 1 平行 x 轴,它正好
2 2 与 抛 物 线 y ? 2 x 只 有 一 个 交 点 。 ③ 一 般 地 , 设 所 求 的 过 点 (0,1) 的 直 线 为

? y ? kx ? 1 y ? kx ? 1 (k ? 0) ,则 ? 2 , ? y ? 2x
1 1 ? k 2 x 2 ? (2k ? 2) x ? 1 ? 0. 令 ? ? 0, 解得 k = 2 ,∴ 所求直线为 y ? x ? 1. 2 1 综上,满足条件的直线为: y ? 1, x ? 0, y ? x ? 1. 2
[例 2]已知曲线 C: y ?

20 ? x 2 与直线 L: y ? ? x ? m 仅有一个公共点,求 m 的范围。 2
2 2 ?y ? ?x ? m 20 ? x 2 可化为 x ? 4 y ? 20①,联立 ? 2 ,得: 2 2 ? x ? 4 y ? 20

【错解】曲线 C: y ?

5x 2 ? 8mx ? 4m 2 ? 20 ? 0 ,由 Δ=0,得 m ? ?5 。
【错因】方程①与原方程并不等价,应加上 y ? ?0,???。 【正解】原方程的对应曲线应为椭圆的上半部分。(如图), 结合图形易求得 m 的范围为 m ? 5或 ? 2 5 ? m ? 2 5 。 注意: 在将方程变形时应时时注意范围的变化, 这样才不会出 错。 [例 3]已知双曲线 x ?
2

y

o

x

y2 ? 1 ,过 P(1,1)能否作一条直线 L 与双曲线交于 A、B 两点,且 P 2
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为 AB 中点。 【错解】(1)过点 P 且与 x 轴垂直的直线显然不符合要求。 (2)设过 P 的直线方程为 y ? 1 ? k ( x ? 1) ,代入 x ?
2

y2 ? 1 并整理得: 2

(2 ? k 2 ) x 2 ? 2k (1 ? k ) x ? (1 ? k ) 2 ? 2 ? 0
∴ x1 ? x 2 ?

2k (1 ? k ) 2k (1 ? k ) ?2 ,又∵ x1 ? x2 ? 2 ∴ 2 2?k 2?k2

解之得:k=2,故直线方程为:y=2x-1,即直线是存在的。 【正解】接以上过程,考虑隐含条件“Δ>0”,当 k=2 时代入方程可知 Δ<0,故这样的直线不 存在。 [例 4]已知 A、B 是圆 x ? y ? 1 与 x 轴的两个交点,CD 是垂直于 AB 的动弦,直线 AC
2 2

和 DB 相交于点 P, 问是否存在两个定点 E、 使 | | PE |-| PF | | 为定值?若存在, F, 求出 E、 y F 的坐标;若不存在,请说明理由。 P 解:由已知得 A (-1, 0 )、B ( 1, 0 ), 设 P ( x, y ), C ( x0 , y0 ) , 则 D ( x0 ,? y 0 ), A 由 A、C、P 三点共线得 O D ② B x C

y0 y ? x ? 1 x0 ? 1
? y0 y ? x ? 1 x0 ? 1




由 D、B、P 三点共线得

①× 得 ②

?y y2 ? 20 2 x ? 1 x0 ? 1
2

又 x0 ? y0 ? 1 ,
2 2

∴ y0 ? 1 ? x0 , 代入③得 x ? y ? 1 ,
2 2
2 2

2 2 即点 P 在双曲线 x ? y ? 1 上, 故由双曲线定义知,存在两个定点 E (- 2 , 0 )、

F ( 2 , 0 )(即此双曲线的焦点),使 | | PE |-| PF | | = 2 (即此双曲线的实轴长为定值)。 [例 5]已知椭圆的中心在坐标原点 O, 焦点在坐标轴上, 直线 y=x+1 与该椭圆相交于 P 和 Q, 且 OP⊥OQ,|PQ|=

10 ,求椭圆的方程。 2

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解:设所求椭圆的方程为

x2 y2 ? =1。 a2 b2
?x 2 y2 ? 2 ? 2 ? 1    ① ?a b ?y ? x ? 1     ② ?


依题意知,点 P、Q 的坐标满足方程组:

将②代入①,整理得 (a 2 ? b 2 ) x 2 ? 2a 2 x ? a 2 (1 ? b 2 ) ? 0 , 设方程③的两个根分别为 x1 、 x2 ,则直线 y=x+1 和椭圆的交点为 P( x1 , x1 +1),Q( x2 , x2 +1)

? x1 ? 1 x 2 ? 1 ? x ? x ? ?1 ? 1 2 ? 10 2 ? 2 2 10 ?( x 2 ? x1 ) ? [(x 2 ? 1) ? ( x1 ? 1)] ? ( 2 ) 由题设 OP⊥OQ,|OP|= ,可得 ? 2
?( x1 ? x 2 ) ? 2 x1 x 2 ? 1 ? 0       ① ? 4( x1 ? x 2 ) 2 ? 16x1 x 2 ? 5 ? 0     ② 整理得 ?
1 ? ? x1 x 2 ? 4 ? 解这个方程组,得 ? ?x ? x ? ? 3 2 ? 1 2 ? 1 ? ? x1 x 2 ? ? 4 ? 或 ? ?x ? x ? ? 1 2 ? 1 2 ?

? 2a 2 3 ? ? 2 2 ?a ? b 2 根据根与系数的关系,由③式得(1) ? 2 2 ? a (1 ? b ) ? 1 ? a2 ? b2 4 ?
解方程组(1)、(2)得

? 2a 2 1 ? ? 2 2 ?a ? b 2 或 (2) ? 2 2 ? a (1 ? b ) ? ? 1 ? a2 ? b2 4 ?

?a 2 ? 2 ? ? 2 2 ?b ? 3 ?

? 2 2 ?a ? 或? 3 ?b 2 ? 2 ?
x2 y2 ? =1 , 或 =1。 2 2 3
=1, 抛物线 C2:( y ? m) ? 2 px( p ? 0) ,
2

x2 y2 ? 故所求椭圆方程为 2 2 3

x2 y2 ? [例 6] 高考湖南) ( 已知椭圆 C1: 4 3

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且 C1、C2 的公共弦 AB 过椭圆 C1 的右焦点。(1)当 AB⊥ x 轴时,求 m 、 p 的值,并判 断抛物线 C2 的焦点是否在直线 AB 上;(2)若 p = 求 m 的值及直线 AB 的方程。 解:(1)当 AB⊥ x 轴时,点 A、B 关于 x 轴对称,所以 m =0,直线 AB 的方程为 x =1,

4 ,且抛物线 C2 的焦点在直线 AB 上, 3

3 3 )或(1,- ), 2 2 9 9 因为点 A 在抛物线上,所以 ? 2 p , p = 。 4 8 9 此时,抛物线 C2 的焦点坐标为( ,0),该焦点不在直线 AB 上。 16
从而点 A 的坐标为(1, (2)当抛物线 C2 的焦点在直线 AB 上时,由(1)知直线 AB 的斜率存在,设直线 AB 的方 程为

y ? k ( x ? 1) 。

? y ? k ( x ? 1) ? 由 ? x2 消去 y 得 (3 ? 4k 2 ) x 2 ? 8k 2 x ? 4k 2 ? 12 ? 0 y2 ?1 ? ? 3 ?4
设 A、B 的坐标分别为 ( x1 , y1 )、( x2 , y2 )。 则 x1 , x2 是方程①的两根, x1 + x2 =



8k 2 。 3 ? 4k 2

因为 AB 既是过 C1 的右焦点的弦,又是 C2 的焦点的弦,

1 1 1 x1 )+(2- x 2 )=4- ( x1 ? x 2 ) , 2 2 2 p p 4 且|AB|=( x1 ? )+( x 2 ? )= x1 ? x2 ? p = x1 ? x 2 ? 。 2 2 3 4 1 从而 x1 ? x 2 ? =4- ( x1 ? x 2 ) 3 2
所以|AB|=(2- 所以 x1 ? x 2 ?

16 16 8k 2 ? ,即 2 9 9 3 ? 4k

解得 k ? ? 6 。


因为 C2 的焦点 F (

2 1 6 , m )在直线 y ? k ( x ? 1) 上,所以 m ? ? k ,即 m ? ? 3 3 3

当m ?

6 时直线 AB 的方程为 y ? ? 6 ( x ? 1) ; 3
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当m ? ?

6 时直线 AB 的方程为 y ? 6 ( x ? 1) 。 3

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