当前位置:首页 >> 数学 >>

1[1].6三角函数模型的简单应用


1.6三角函数模型的简单应用

我们已经学习了三角函数的概念、 我们已经学习了三角函数的概念、图象与 性质,其中周期性是三角函数的一个显著性质. 性质,其中周期性是三角函数的一个显著性质. 在现实生活中, 在现实生活中,如果某种变化着的现象具有周 期性,那么它就可以借助三角函数来描述, 期性,那么它就可以借助三角函数来描述,并 利用三角函数的图象和性质解决相

应的实际问 题.

应用一:根据图象建立解析式 应用一:
例1 如图1.6-1,某地一天从6~14时的温度变化曲 线近似满足函数 y = A sin(ω x + ? ) + b (1)求这一天6~14时的最大温差 30 (2) (2)写出这段曲线的函数解析式 20 10 o 6 10 14 t/h T/℃ ℃

注 意
1.一般的所求出的函数模型只能近似刻画这天某个时刻 的温度变化情况,因此应当特别注意自变量的变化范围

2.利用代点法求?时,该点一般是图象上的特殊点,?的一般范围 是: π ≤ ? ≤ π ?

应用二:根据解析式作出图象 应用二:
2 画 函 y 例 、 出 数 =| sin x | 的 象 并 察 图 , 观 周 期 和 偶 . 性 奇 性
问题1:怎样 画出此函数的图象?

方法1 (类比法)可类比y = x 的作图方法。
方法2利用数学中的作图软件: 解:函数图象如图所示
y
1

几何画板

y =| sin x |
π 2

?3π

? 5π

2

?2π

? 3π 2



?π 2

o
-1

π

3π 2



5π 2



x

从图中可以看出,函数y = sin x 是以π 为周期的波 浪形曲线我们也可以这样进行验证:

由 于 sin ( x + π ) = ? sin x = sin x ,
所以,函数y = sin x 是以π 为周期的函数.
小结
1.利 用 函 数 图 象 的 直 观 性 , 通 过 观 察 图 象 而 获 得 对 函 数 性质的认识,这是研究数学问题的常用方法

2.通 过 作 图 我 们 可 以 发 现 函 数 y = sin x 的 图 象 可 以 看 作 是 由 正 弦 曲 线 只 保 留 x轴 上 方 的 图 象 并 把 它 在 x轴 下 方 的 图 象 沿 x轴 对 称 而 得 到

应用三:将实际问题抽象为与 应用三: 三角函数有关的简单函数模型
例3. 如图,设地球表面某地正午太阳高度角为θ,δ为此时太阳直 射纬度,?为该地的纬度值,那么这三个量之间的关系是θ =90? -|? -δ |.当地夏半年δ取正值,冬半年δ取负值. 如果在北京地区(纬度数约为北纬40?)的一幢高为h0的楼房北面盖 一新楼,要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡,两 楼的距离不应小于多少?

B

北回归线 南回归线

?

? -δ θ
C

δ

太阳光

问题1:太阳高度角 纬度的定义是什么 题中的θ、 、 这三个 问题 太阳高度角,纬度的定义是什么 题中的 、δ、φ这三个 太阳高度角 纬度的定义是什么? 角之间的关系是什么?北京地区一年中,正午太阳直射什么纬度 角之间的关系是什么?北京地区一年中 正午太阳直射什么纬度 位置时,物体的影子最短或影子最长 物体的影子最短或影子最长? 位置时 物体的影子最短或影子最长? 地理知识 问题2::如图, 、 、 分别为太阳直射北回归线 赤道、 分别为太阳直射北回归线、 问题 :如图, A、B、C分别为太阳直射北回归线、 赤道、南回归线时 楼顶在地面上的投影点.要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮 楼顶在地面上的投影点 要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮 两楼的临界距离应是图中哪两点之间的距离? 挡,两楼的临界距离应是图中哪两点之间的距离?

由图中可看出两楼的间距应不小于MC 由图中可看出两楼的间距应不小于

解答

h0
40° °

?2326
0 '

0

0

2326 M A
0 '

B

C

太阳高度角 : 指某地太阳光线与该地作垂直于地心的地表切线 的夹角 纬度:某地的纬度就是该地的法线与赤道平面之间的夹角 纬度 某地的纬度就是该地的法线与赤道平面之间的夹角
90o ? θ

如图:?为该地的纬度值,

θ为该地正午的太阳高度角 δ为此时的太阳直射纬度

?
地心

θ

这三个量之间的关系为

?

δ

太阳光

θ = 90o ? ? ? δ
在北京地区,太阳直射北回归线时物体的影子最短 在北京地区,太阳直射北回归线时物体的影子最短, 直射南归线时物体的影子最长。 直射南归线时物体的影子最长。 动态演示

返回

如图, 、 、 分别太阳直射北回归线 赤道、南回归线时, 分别太阳直射北回归线、 解:如图,A、B、C分别太阳直射北回归线、赤道、南回归线时, 如图 楼顶在地面上的投影点, 楼顶在地面上的投影点,要使新楼一层正午的太阳全年不被前面 的楼房遮挡,应取太阳直射南回归线的情况考虑, 的楼房遮挡,应取太阳直射南回归线的情况考虑,此时的太阳直 射纬度为-23?26',依题意两楼的间距应不小于 射纬度为 ,依题意两楼的间距应不小于MC. 根据太阳高度角的定义, 根据太阳高度角的定义,有∠C=90?-|40?-(-23?26')|=26?34' C=90 -所以, 所以,

MC =

h

0

tan C

=

h

tan 26 34

0 o

'

≈ 2.000h 0

即在盖楼时为使后楼不被前楼遮挡, 即在盖楼时为使后楼不被前楼遮挡, 要留出相当于楼高两倍的间距. 要留出相当于楼高两倍的间距

小结
实际问题的背景往往比较复杂,而且需要综合应用多学科的知识才能解决它 因此在应用数学知识解决问题时,应当注意从复杂的背景中抽取基本的数学 关系,还要调动相关学科知识来帮助理解问题.

思考:

如果你要在北京买楼,前面的楼房距你家要 买的楼房15米,两幢楼的高都是21米,每层 楼高3米,为了使正午的太阳全年不被遮挡, 你应该挑选哪几层的房子?

应用四:利用收集到的数据作出散点图,并根 据散点图进行函数拟合,从而得到函数模型
海水受日月的引力, 例4.海水受日月的引力,在一定的时候发生涨落的现象叫潮,一般地,早潮叫潮 海水受日月的引力 在一定的时候发生涨落的现象叫潮,一般地, 晚潮叫汐.在通常情况下 船在涨潮时驶进航道,靠近码头;卸货后, 在通常情况下, 晚潮叫汐 在通常情况下,船在涨潮时驶进航道,靠近码头;卸货后,在落 潮时返回海洋,下面是某港口在某季节每天的时间与水深的关系表: 潮时返回海洋,下面是某港口在某季节每天的时间与水深的关系表:
时刻 水深( 水深(米) 时刻 水深( 水深(米) 时刻 水深( 水深(米)

0:00 3:00 6:00

5.0 7.5 5.0

9:00 12:00 15:00

2.5 5.0 7.5

18:00 21:00 24:00

5.0 2.5 5.0

(1)选用一个函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系,并给出 )选用一个函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系, 整点时的水深的近似数值。(精确到0.001) 。(精确到 整点时的水深的近似数值。(精确到 ) (2)一条货船的吃水深度(船底与水面的距离)为4米,安全条例规定至少 )一条货船的吃水深度(船底与水面的距离) 米 要有1.5米的安全间隙 船底与洋底的距离),该船何时能进入港口? 米的安全间隙( ),该船何时能进入港口 要有 米的安全间隙(船底与洋底的距离),该船何时能进入港口?在港口 能呆多久? 能呆多久? 开始卸货, (3)若某船的吃水深度为 米,安全间隙为 米,该船在 )若某船的吃水深度为4米 安全间隙为1.5米 该船在2:00开始卸货,吃 开始卸货 水深度以每小时0.3米的速度减少 那么该船在什么时间必须停止卸货, 米的速度减少, 水深度以每小时 米的速度减少,那么该船在什么时间必须停止卸货,将船 驶向较深的水域? 驶向较深的水域?

问题1:观察表格中的数据,每天水深的变化具有什么规律性? 问题 :观察表格中的数据,每天水深的变化具有什么规律性? 呈周期性变化规律. 呈周期性变化规律. 问题2:设想水深y是时间x的函数,作出表中的数据对应的散点图, 问题 :设想水深y是时间x的函数,作出表中的数据对应的散点图, 用一条光滑曲线连结这些点,得到一个函数图象, 用一条光滑曲线连结这些点,得到一个函数图象,该图象对 应的函数解析式可以是哪种形式? 应的函数解析式可以是哪种形式? y

y = A sin(ω x + ? ) + h

8 6 4 2 o 6 12 18 24 x 几何画板 动态演示

: )以时间为横坐标,水深为纵坐标,在直角坐标系中画出散点图, 解(1)以时间为横坐标,水深为纵坐标,在直角坐标系中画出散点图, 根据图象, 根据图象,可以考虑用函数 y = A sin(ω x + ? ) + h
来刻画水深与时间之间的对应关系.利用例题 的方法从数据和图象可以 来刻画水深与时间之间的对应关系 利用例题1的方法从数据和图象可以 利用例题 得出: 得出:

π A=2.5,h=5,T=12, ? =0; 由 T = 2π = 12 ,得 ω = . 6 ω

所以,这个港口的水深与时间的关系可以近似描述为: 所以,这个港口的水深与时间的关系可以近似描述为:

y = 2.5 sin

π
6

x+5

由上述关系式易得港口在整点时水深的近似值: 由上述关系式易得港口在整点时水深的近似值:

(2)货船需要的安全水深 为4 + 1.5 = 5.5 (米),所以 当 y ≥ 2.5时就可以进港.令 2.5 sin π x + 5 = 5.5化简得 6 sin π x = 0.2由计算器可得 6

8 6 4 2 o 5 10 15 x

A

B C D

y=5.5

π x ≈ 0.2014, 或π ? π x ≈ 0.2014解得x ≈ 0.3848, x ≈ 5.6152 A B
6 6
因 为 x ∈ [0, 24]所 以 由 函 数 周 期 性 易 得 :

xC ≈ 12 + 0.3848 = 12.3848, xD ≈ 12 + 5.6152 = 17.6152.
因此,货船可以在0时30分左右进港,早晨5时30分左右出港;或在中午12时 30分左右进港,下午17时30分左右出港,每次可以在港口停留5小时左右.

提示:科学计算器上,有 sin ?1 , ?1 , ?1 三个键在已知 cos tan 一个三角函数值时,可以利用它们,求出对应的角.

船舶的安全水深为y,那么y=5.5-0.3(x-2) (3)设在时刻 船舶的安全水深为 ,那么 )设在时刻x船舶的安全水深为 (x≥2 在同一坐标系内作出这两个函数的图象,可以看 ≥2),在同一坐标系内作出这两个函数的图象 ≥2 在同一坐标系内作出这两个函数的图象, 到在6时到 时之间两个函数图象有一个交点. 时到7时之间两个函数图象有一个交点 到在 时到 时之间两个函数图象有一个交点 y 8 6 4 2 o

p y = 2.5sin x + 5 6

y =5.5?0.3(x?2)(x ≥2)
2 4 6 8 10 12 x

通过计算可得在6时的水深约为 米 通过计算可得在 时的水深约为5米,此时船舶的安全水深约为 时的水深约为 4.3米;6.5时的水深约为 米,此时船舶的安全水深约为 米; 时的水深约为4.2米 此时船舶的安全水深约为4.1米 米 时的水深约为 7时的水深约为 米,而船舶的安全水深约为 米,因此为了安 时的水深约为3.8米 而船舶的安全水深约为4米 时的水深约为 船舶最好在6.5时之前停止卸货 将船舶驶向较深的水域。 时之前停止卸货, 全,船舶最好在 时之前停止卸货,将船舶驶向较深的水域。

思考:下图中,有人认为,由于 P点是两个图象的交点,说明 在x0时,货船的安全水深正好与港口水深相等,因此在这时停 止卸货将船驶向较深水域就可以了,你认为对吗?

y
不对.因为我们在建立数学 不对 因为我们在建立数学 模型解决实际问题时,所得 模型解决实际问题时 所得 的模型是近似的,并且得到 的模型是近似的 并且得到 的解也是近似的,因此要考 的解也是近似的 因此要考 虑问题的实际意义,如果恰 虑问题的实际意义 如果恰 好在这时停止是不安全的, 好在这时停止是不安全的 因为这样不能保证货船有 足够的时间发动螺旋桨. 足够的时间发动螺旋桨

8 6 4 2

p y = 2.5sin x + 5 6

.

p(x0, y0)
y=-0.3x+6.1
x

o 2 4 6 8 10 12

1.建立三角函数模型的一般步聚 建立三角函数模型的一般步聚 搜集数据

小 结

利用计算机作出 相应的散点图

进行函数拟合 得出函数模型

利用函数模型 解决实际问题

2.在解决实际问题时,要学会具体问题具体分析, 2.在解决实际问题时,要学会具体问题具体分析,充分运用数形结合 在解决实际问题时 的思想,在作图及求函数值要充分利用信息技术处理数据. 的思想,在作图及求函数值要充分利用信息技术处理数据.

总结
1.根据三角函数图象建立函数解析式, 1.根据三角函数图象建立函数解析式,就是要抓住图象的数字特征确定 根据三角函数图象建立函数解析式 相关的参数值,同时要注意函数的定义域. 相关的参数值,同时要注意函数的定义域. 2.三角函数是描述生产、生活中周期现象的一种数学模型 我们可以通过 三角函数是描述生产、生活中周期现象的一种数学模型, 三角函数是描述生产 中周期现象的一种数学模型 建立三角函数模型来解决很多实际问题,如军事、天文、地理和物理等等 等等. 建立三角函数模型来解决很多实际问题 如军事、天文、地理和物理等等 实际问题通常涉及复杂的数据,因此往往需要使用计算机或计算器 实际问题通常涉及复杂的数据 因此往往需要使用计算机或计算器. 因此往往需要使用计算机或计算器 3.解决三角函数 用问题的 解决三角函数 抽象概括 实际问题 示意图 数学模型 推 演 理 算

实际问题的解 数学模型的解

课后作业
1. 阅读教材 阅读教材P.60-P.64; ; 2. 课程基础训练 课程基础训练P29.8;P30.9;


相关文章:
1-6三角函数模型的简单应用
1-6 三角函数模型的简单应用 一、选择题 1. 电流 I(A)随时间 t(s)变化的关系是 I=3sin100πt, t∈[0, +∞), 则电流 I 变化的周期是( 1 A.50 ...
1、6三角函数模型的简单应用
1、6 三角函数模型的简单应用讲义编写者:数学教师秦红伟 一、 【学习目标】 1.会用三角函数解决一些简单的问题,体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型. 2...
1-6 三角函数模型的简单应用
1-6 三角函数模型的简单应用_数学_高中教育_教育专区。基础巩固一、选择题 π? ? 1.电流强度 I(A)随时间 t(s)变化的关系式是 I=5sin?100πt+3?, ? ...
1、6三角函数模型的简单应用
16 三角函数模型的简单应用(20 分钟,共 40 分) 、选择题(每小题 5 分,共 15 分) 1、在三角形 ABC 中, sin A ? A. ? 6 B. ? 3 1 ,则 ...
三角函数模型的简单应用
三角函数模型的简单应用 主讲:黄冈中学教师 汤彩仙 例1、已知电流 在个周期内的图象如图: (1)根据图中数据求 的解析式. (2)如果 t 在任意段 秒的时间...
三角函数模型的简单应用
三角函数模型的简单应用_高一数学_数学_高中教育_教育专区。三角函数模型的简单应用...0.1 小时) 日期 日期位置 序号 x 1 月 2 月 3 月 4 月 5 月 6 月...
1.6《三角函数模型的简单应用》1
1.6三角函数模型 的简单应用》导学案【学习目标】 1、会用三角函数解决一些简单的问题,体会三角函 数是描述周期变化现象的重要函数模型. 2 通过对三角函数的应用...
1.6 三角函数模型的简单应用(1)
1.6 三角函数模型的简单应用(1)_数学_高中教育_教育专区。1.6 、教学分析 三角函数模型的简单应用 三角函数作为描述现实世界中周期现象的种数学模型,可以用来...
1[1].6_三角函数模型的简单应用_教案3
1[1].6_三角函数模型的简单应用_教案3 隐藏>> 三角函数模型的简单应用---潮汐问题刘 泽 教学目标: 巩固已知三角函数, 求给定自变量对应的函数值;已知三角函数...
更多相关标签:
三角函数的简单应用 | 三角函数解题模型 | 高中三角函数解题模型 | 初中三角函数解题模型 | 三角函数模型 | 简单三角函数 | 三角函数简单题 | 简单三角函数值 |