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4.1比例线段(3)用


浙教版九年级上册第四章相似三角形

4.1.3 黄金分割

1. a、b、c、d 四个数成比例 a c = d , 或 a:b=c:d b
2. 四条线段a、b、c、d 是成比例线段

a c = d , 或 a:b=c:d b
3.比例的基本性质
内项之积等于外项之积

/>a c =d b

ad ? bc
比过来,比过去

4. b是 a、 c的比例中项 a b ? b c

b ? ac
2

2. 四条线段a、b、c、d 是成比例线段
ad ? bc

a c = d , 或 a:b=c:d b
内项之积等于外项之积

3.比例的基本性质

a c =d b

比过来,比过去

取一张长与宽之比为 2 : 1 的长方形,将它对 折,请判断图中两个长方形长与宽这4条线段 是否成比例,如果成比例,请写出比例式

b
a

?

c

b

这个比例式有 什么特别之处 吗? 这个比例式的 内项相同。

a b ? b c

做一做
1 2 (1) 1是不是1 和 的比例中项?如果是比例中项,请写出比 2 3 例式.

注意:比例中项是相等的两个比例内项
(2) 如果a=3,b=27,求a, b的比例中项.

注意:请先设比例中项

练一练

求线段a,b的比例中项.

(1)a=
(2)a=

5 ?1 , 2

3 ,b= 3 3
b=

5 ?1 2

注意:线段的比例中项,只能是正数

著名画家达?芬奇的名画《蒙娜丽莎》, 画中脸部被围在矩形ABCD中,图中 四边形BCEF为正方形,点F把线段 AB分成两条线段AF,BF,其中

A

D

F

E

AF BF ? BF AB

B

C







如图,如果点P把线段AB分成两条线段AP和BP,使

叫线段AB的黄金分割点, 线段AP与AB的比叫黄金比.

BP AP ,那么称线段AB被点P黄金分割,点P ? AP AB







AP 利用一元二次方程的知识,可以求出黄金比的数值,即 AB

的值

5 ?1 AP ? AB PB AP AB ? AB ? x AB ? X 由 ? ,得 ? 2 AP AB AB ? x AB 1? x 5 ?1 即 ? x化 简, 得x 2 ? x ? 1 ? 0 BP ? AP x 2 5 ?1 ?1? 5 ?不 合 题 意舍 去? 解 得 : x1 ? , x2 ? ,
2 2 AP 5 ?1 所以 ? ? 0.618 AB 2

AP 设 ? x, 则PB ? AB ? AP ? AB ? AB ? x AB

A

B

你们知道如何确定线段AB的黄金 分割点所在的位置吗?
A B

例5:
已知线段AB=a,用直尺和圆规作出 它的黄金分割点
a
A B

追溯黄金分割的历史文化
早在古希腊,数学家、天文学家欧多克 索斯(Eudoxus,约前400——前347)曾提出: 能否将一条线段分成不相等的两部分,使较 短线段与较长线段的比等于较长线段与原线 段的比?这就是黄金分割问题.

而发现黄金分割的是古希腊哲学家毕达哥拉斯。一 天,毕达哥拉斯从一家铁匠铺路过,被铺子中那有节奏 的叮叮当当的打铁声所吸引,便站在那里仔细聆听,似 乎这声音中隐匿着什么秘密。他走进作坊,拿出一把尺 量了一下铁锤和铁砧的尺寸,发现它们之间存在着一种 十分和谐的关系。回到家里,毕达哥拉斯拿出一根线, 想将它分为两段。怎样分才最好呢?经过反复比较,他 最后确定0.618 :1的比例截断最优美。后来,意大利著 名科学家、艺术家达·芬奇给这个比例冠以“黄金”二 字的美名。

天文学家开普勒(Johannes Kepler,1571——1630)把这种分割线段的 方法称为神圣分割,并指出,毕达哥拉斯定 理(勾股定理)和黄金分割“是几何中的双 宝,前者好比黄金,后者堪称珠玉”。 而 历史上最早正式在书中使用“黄金分割”这 个名称的是欧姆(Martin Ohm,1792—— 1872)。19世纪以后,“黄金分割”的说 法逐渐流行起来…。

自己动手找黄金分割点

黄金分割原理最初 运用于雕塑和建筑
世界艺术珍品——维纳 斯女神,她是西元前一 百多年希腊雕塑鼎盛时 期的代表作,她的上半 身和下半身的比值接近 0.618.

巴特农神庙

古希腊的一些神庙,在建筑时高和宽也是按黄金比0.618来建立,他们 认为这样的长方形看来是较美观;其大理石柱廓,就是根据黄金分割 律分割整个神庙的.

数学美的魅力 1

古埃及胡夫金字塔

文明古国埃及的金字塔,形似方锥,大 小各异。但这些金字塔底面的边长与高 这比都接近于0.618.

观察

欣赏

你知道芭蕾舞演员跳 芭蕾舞 舞时为什么要掂起脚 尖吗?
芭蕾舞演员的身段是苗条 的,但下半身与身高的比 值也只有0.58左右,演员 在表演时掂起脚尖,身高 就可以增加6-8cm.这时比 值就接近0.618了,给人以 更为优美的艺术形象.

读一读

?耐人寻味的0.618
打开地图,你就会发现那些好茶产地大多位 于北纬30度左右。特别是红茶中的极品“祁 红”,产地在安徽的祁门,也恰好在此纬度 上。这不免让人联想起许多与北纬30度有关 的地方。奇石异峰,名川秀水的黄山,庐山 ,九寨沟等等。衔远山,吞长江的中国三大 淡水湖也恰好在这黄金分割的纬度上。 蝴蝶身长与双翅展开后的长度之比, 普通 树叶的宽与长之比也接近0.618; 节目主持人报幕,绝对不会站在舞台的中 央,而总是站在舞台的1/3处,站在舞台 上侧近于0.618的位置才是最佳的位置; 生活中用的纸为黄金矩形,这样的长方形 让人看起来舒服顺眼,正规裁法得到的纸 张,不管其大小,如对于8开、16开、32开 等,都仍然是近似的黄金矩形。

实际 应用 上海东方明珠电视塔 高468m,上球体是塔身 的黄金分割点,它到塔 底部的距离大约是多 少米(精确到0.1m)?

468m

?
468×0.618≈289.2m

有些植物茎上,相邻两张叶子成137°28′的角,这种角度 使植物通风和采光的效果最佳,这一度数与怎样的角的度 数成黄金比?

小结

拓展

悟出一个新自己
? 什么是黄金分割. ? 如何去确定黄金分割点或黄金比. ? 将所学知识网络化. ? 要用数学美去装点和美化生活.

? 与同伴谈谈你对黄金分割的收获与体

会.

1 : 2也 是 一 个 很 有 趣 的 比 知 线 段 如 图, 用 .已 AB 直 尺 和 圆 规 求 作 上 的 一 点 , 使AP : AB ? 1 : 2 AB P

a
A B

1.作顶角为36°的等腰△ABC;量出
BC ? 0.618 ; 底BC与腰AB的长度,计算: AB

尝试

2.作∠B的平分线,交AC于点D,量出CD的长度,
CD ? 0.618 . (精确到0.001) 再计算: BC A ☆顶角为36°的等腰三角形称为

黄金三角形

☆点D是线段AC的黄金分割点.
E B

D ☆再作∠C的平分线,交BD于E,

△CDE也是黄金三角形……
C


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