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1.6三角函数模型的简单应用(精细修改后)[1]


1.6三角函数模型 的简单应用
教学目标:
能力目标:让同学们体验一些具有周期性变化规律 的实际问题的数学“建模”思想,从而培养学生的建 模、分析问题、数形结合、抽象概括等能力. 情感目标:让同学们切身感受数学建模的过程,体 验数学在解决实际问题中的价值和作用,从而激发 学生的学习兴趣,培养锲而不舍的钻研精神;培养 学生勇于探索、勤于思考的精神。
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br /> 例1 如图,某地一天从6~14时的温度变化曲线近 似满足函数y=Asin(ω x+φ )+b (1)求这一天的最大温差; (2)写出这段曲线的函数解析式.
y T/℃
30 20 10

O

6 10 14

x t/h

解:(1)最大温差是20℃ (2)从6~14时的图象是函数y=Asin(ω x+φ )+b 的半个周期的图象 1 1 所求出的函数模型只能近 b = ? 30 +10 ? = 20 A = ?30-10 ? =10, 似刻画这天某个时段温度 2
2

1 1 2? ? T= ? 14 ? 6 所以? ? 2 2 ? 8

变化,因此应当特别注意自 变量的变化范围

将x=6,y=10代入上式,解得
所以
3π φ= 4

y T/℃

30 20

3π ? ?π y =10sin ? x+ ? +20,x ∈?6,14? 10 4 ? ?8

O

6 10 14

x t/h

一半径为3m的水轮如图所示,水轮圆心O距离水面2m, 已知水轮每分钟转动4圈(逆时针),如果当水轮上点P 与O处在同一水平面时开始计时。

例题2

(1)点P第一次到达最高点大约要多长时间?
(2)将点P距离水面的高度h(m)表示为时间t(s)的函数; h p' O P

t

解:从图中读出信息

(1)、T=15’,P点第一次到达最 高点用了四分之一个周期,时间 为:

h

p
M p0

O

t

N

1、你能一刀削出一条正弦曲线吗?

体验探究

提示:把一张纸卷到圆柱形的纸筒面上, 卷上几圈,用刀斜着将纸筒削断,再把卷着 的纸展开,你就会看到:纸的边缘线是一条 波浪形的曲线。
你知道吗?

这条曲线就是正弦曲线!
2、你能试着针对周围一些呈周期性变化 的现象编拟一道能用三角函数模型解决它 的题吗?

例3 如图,设地球表面某地正午太阳高度角为θ ,δ 为此 时太阳直射纬度,φ 为该地的纬度值,那么这三个量之间 的关系是θ =90°-|φ -δ |.当地夏半年δ 取正值,冬半年δ 负值. 北半球 ? 90 ?? 如果在北京地区(纬度 数约为北纬40°)的一 ? 太阳光 幢高为h0的楼房北面 ? 盖一新楼,要使新楼一 ? 层正午的太阳全年不 地心 被前面的楼房遮挡,两 楼的距离不应小于多 少? 南半球

太阳高度角的定义
? 如图,设地球表面某地 纬度值为 ? , ? 正午太阳高度角为 ? , 此时太阳直射纬度为 ? ? 那么这三个量之间的关 系是 ?

北半球

90? ? ?

?

太阳光

?
地心

?

? ? 90 ? | ? ? ? |

? 当地夏半年? 取正值, 冬半年 ? 取负值。

90 ?? ? ? ? ?
?

南半球

90 ? ? ?| ? ? ? |
?

? ? 90 ? | ? ? ? |
?

分析:太阳高度角?、楼高h0与此时楼房在地面的投影 长h之间的有如下关系:h0=htan ? 根据地理知识,在北京地区,太阳直身北回归线时物 体的影子最短,直射南回归线时物体的影子最长.

课件演示
考虑 太阳 直射 南回 归线

h

?23 26?

0 23 26? M 40 A

B

C

解: 取太阳直射南回归线的情况考虑,此时太阳直射纬 度为-23°26′,依题意两楼的间距应不小于MC. 根据太阳高度角的定义,有
?C ? 90 ? ? 40 ? ? ? 23 ? 26? ? 26 ? 34?,

h0 h0 所以 MC ? ? ? 2.000h0 ? tanC tan 26 34?

?

?

即在盖楼时,为使后楼不被前楼遮挡,要留出相当于 楼高两倍的间距
h0

? ?
P
A B C

小结:
1.三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学 模型,可以用来研究很多问题,我们可以通过建立三角 函数模型来解决实际问题,如天气预报,地震预测,等等. 2.建立三角函数模型的一般步聚:
现实问题
是否符合实际 现实模型的解 修改
还原 说明 改 造

三角函数模型的解
数学 方法
抽象 概括

解析式 图 形

现实模型

三角函数模型

课堂练习

课本65页练习1, 2,3

1.6三角函数模型 的简单应用
教学目标:

能力目标:让同学们体验一些具有周期性变化规律 的实际问题的数学“建模”思想,从而培养学生的建 模、分析问题、数形结合、抽象概括等能力. 情感目标:让同学们切身感受数学建模的过程,体 验数学在解决实际问题中的价值和作用,从而激发 学生的学习兴趣,培养锲而不舍的钻研精神;培养 学生勇于探索、勤于思考的精神。

(一)设置情境,呈现问题 法国圣米切尔山【Mount Archangel Michae】

涨潮

落潮

海水受日月的引力,在一定的时候发生涨 落的现象叫潮。一般地,早潮叫潮,晚潮叫汐。

事例一

依据规定,当海浪高度高于1m时才对冲浪爱好者开放。

事例二

宁波港地处我国大陆海岸线中部,南北和长江“ T ”型结构 的交汇点上,地理位置适中,是中国大陆著名的深水良港,分 成宁波老港区、镇海港区、北仑港区,宁波港水深流顺风浪小。 进港航道水深在 18.2 米 以上,20 万吨以下船舶自由进港, 25 万吨 30 万吨船舶可候潮进出港。

1.依据规定,当海浪高度高于1m时才对冲浪爱好者开 放,请设计一天内从上午到晚上之间,开放冲浪场所的具 体时间段,有多少时间可供冲浪者进行活动? 2.按安全条例规定,船何时安全进出港 (潮汐对轮船进出港口产生什么影响?) 上述的变化过程中,哪些量在发生变化? 哪个是自变量?哪个是因变量?

例4 海水受日月的引力,在一定的时候发生涨落的 现象叫潮.一般地,早潮叫潮,晚潮叫汐.在通常情况 下,船在涨潮时驶进航道,靠近码头;卸货后,在落潮 时返回海洋.下面是某港口在某季节每天的时间与 水深关系表:
时刻 0:00 3:00 6:00 水深/米 5.0 7.5 5.0 时刻 9:00 12:00 15:00 水深/米 2.5 5.0 7.5 时刻 18:00 21:00 24:00 水深/米 5.0 2.5 5.0

(1)选用一个函数来近似描述这个港口的水深与时间的 函数生态系统,给出整点时的水深的近似数值(精确到 0.001). (2)一条货船的吃小深度(船底与水面的距离)为4米,安 全例规定至少要有1.5米的安全间隙 (船底与洋底的距 离),该船何时能进入港口?在港口能呆多久? (3)若某船的吃水深度为4米.安全间隙为1.5米,该船在 2:00开始卸货,吃水深度以每小时0.3米的速度减少,那 么该船在什么时间必须停止卸货,将船驶向较深的水域?

课件演示

解:(1)以时间为横坐标,水深为纵坐标,在直角坐 标系中画出散点图
根据图象,可以考虑用函数 y=Asin(??x+?)+h刻画水深与题 意之间的对应关系.
y

6
4

A=2.5,h=5,T=12,?=0 2π π 由T = = 12, 得ω = . ω 6

2 O 3 6 9 12 15 18 21 24 x

所以,港口的水深与时间的关系可用 π y = 2.5sin x + 5近似描述.

6

π 由y = 2.5sin x + 5 得到港口在整点时水深的近似值: 6
时刻 0:00 1:00 2:00 3:00 4:00 5:00 6:00 7:00 8:00 9:00 10:00 11:00 水深 5.000 6.250 7.165 7.5 7.165 6.250 5.000 3.754 2.835 2.500 2.835 3.754

时刻 12:00 13:00 14:00 15:00 16:00 17:00 18:00 19:00 20:00 21:00 22:00 23:00
水深 5.000 6.250 7.165 7.5 7.165 6.250 5.000 3.754 2.835 2.500 2.835 3.754

(2)货船需要的安全水深为4+1.5=5.5(米),所以当y≥5.5 ? 时就可以进港 . 2.5 sin x ? 5 ? 5.5 ? 6
由计算器可得
MODE MODE SHIFT

sin

2

6

x ? 0.2

sin-1 0.2 =

0.20135792≈0.2014

π 在区间? 0,12?内, 函数y = 2.5sin x + 5的图象、 6 与直线y = 5.5有两个交点A, B, 因此
?
xA xB

6 ? 0.3848, ? 5.6152

x ? 0.2014 , 或? y 8 6A

?

6

? 0.2014
C D

B y=5.5

由函数的周期性易得: 4 xC ? 12 ? 0.3848? 12.3848,2 x D ? 12 ? 5.6152 ? 17.6152
O 5

y ? 2.5sin

?
6

x?5

10

15

x

因此,货船可以在0时30分左右进港,早晨5时30分左 右出港;或在中午12时30分左右进港,下午17时30分 左右出港.每次可以在港口停留5小时左右.

(3)设在时刻x货船的安全水深为y,那么y=5.5-0.3(x-2)(x≥2). 在同一坐标系内作出这两个函数,可以看到在6~7时之间两

个函数图象有一个交点.

通过计算.在6时的水深约 为5米,此时货船的安全小 深约为4.3米.6.5时的水深 约为4.2米,此时货船的安 全小深约为4.1米;7时的小 深约为3.8米,而货船的安 全小深约为4米.因此为了 安全,货船最好在6.5时之 前停止卸货,将船驶向较深 的水域.

y 8 6

y ? 2.5 sin

?
6

x?5

4
2 O 2 4 6

P
y ? 5.5 ? 0.3? x ? 2?
8 10 x

小结:
1.三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学 模型,可以用来研究很多问题,我们可以通过建立三角 函数模型来解决实际问题,如天气预报,地震预测,等等. 2.建立三角函数模型的一般步聚:
现实问题
是否符合实际 现实模型的解 修改
还原 说明 改 造

三角函数模型的解
数学 方法
抽象 概括

解析式 图 形

现实模型

三角函数模型

课堂练习

课本65页练习1, 2,3


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