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指数函数


§2.2.2指数函数
宜兴市周铁中学:沈俊

观察事例1:细胞的分裂过程

y=2x (x∈ N+)
第1次
第2次 第3次

第X次

问题:求一个这样的细胞分裂x次后,得到的细 胞个数y(用解析式表示)

观察事例2 :一根1米长的绳子,第一次剪掉绳长的
一半,第二次剪掉剩余绳长的一半……剪了x次后剩 余绳子的长度为y米,试写出y和x的函数关系
第1次 第2次 第3次 第4次 第X次

1 x y=( ) 2

( x∈N+ )

指数函数的概念:
一般地,函数

y=ax( a>0,a≠1)
叫做指数函数(exponential function),它 的定义域是R.
为什么要限制a>0,a≠1?

例1:判断下列函数,哪些是指数函数
(1) (3) (5) (7)

y?4 x y ? ?4 y ?? x x y?x
x

(2) (4)

y ? (?4) x

y?x

4 2

(6)
(8)

y ? 4x

y ? (2a ? 1) x

(a>0.5且a≠1)

x 如何画出指数函数y=2 的图


列表
x y=2x … …
-3 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1.4 1 2 1.5 2 2.8 4 3 8 0.13 0.25 0.35 0.5 0.71 1

… …

描点连线
y

y=2x

y=10x y 图象特征 函数性质
图象都位于x 轴 上方 图象都经过定点 (0,1) 自左向右, 图象逐渐上升 1 X∈R时,y >0 X=0时,y=1, 即a0=1 两个函数都为 增函数

1 O 1 x

O

1

x

1x y=( ) 2

1 y=( )x 10

y

图象特征
图象都位于x 轴上方

函数性质
X∈R时,y >0

1 0

x

图象都经过定点 (0,1) 自左向右, 图象逐渐下降

X=0时,y=1, 即a0=1 两个函数都为 减函数

1x x q?x? = h ? x ? = 3 3

()

6

5

想看一般情 况的图象? 想了解变化 规律吗?

4

1x g?x? = 2

()
-2

3

f?x? = 2x

2

1

-4

2

4

a>1
y

0<a<1
y=ax
y=ax

y

图 象
1 0 x 1 0 x

1.定义域:R

1.定义域:R 2.值域:(0,∞) 3.过定点(0,1),

性 质

2.值域:(0,∞) 3.过定点(0,1), 即x=0时,y=1 4.在R上是增函数

即x=0时,y=1 4.在R上是减函数

例2:比较下列各题中两个值的大小
(1)、1.72.5 < 1.73 (2)、0.8-0.1 < 0.8-0.2 (3)、1.70.3 > 0.93.1
x y=ax

例3.(1)已知3x≥30.5,求实数x的取值范围;
(2)指数函数y=ax 满足ax ≥a0.5 ,求实 数x的取值范围;

(3)已知3x <9x-1 ,求实数x的取值范围; (4)已知0.9x>1, 试求x的取值范围;
(5)若0.9x>2m-1对于x ∈ R恒成立, 试求m的取值范围.

例4.(1)试问指数函数y=ax经过哪一个定点?
(2)函数y=ax-1(x∈R)又经过哪一个定点?

(3)函数y=ax-1+2(x∈R)又经过哪一个定点?
(4)函数y=ax-1+m(m为常数) 经过定点 (1,1),试求m的值。 (5)函数y=ax-1(x ∈ R)不经过哪一 个象限?

课堂小结:
1.知识方面:掌握指数函数的定义、图象和性质

2.从研究问题的思想方法上
① 图象 性质 数形结合思想方法

② 特殊

一般

③类比、分类讨论等思想方法



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