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2014届高三第二次月考试题数学(文科)及答案


2014 届高三第二次月考试题数学(文科)
时间:120 分钟 内容:高中全部内容,命题:高三数学备课组 一、选择题(每小题 5 分,共 45 分) 1.集合 A ? {x | x( x ? 1) ? 0} , B ? { y | y ? x 2 , x ? R} ,则 A∩B=( ) A. (0,2) B.(1,2) C.(0,1) D.( ??,0 ) )

>
2. 已知 A(0, ?3) , B(3,3) , C ( x, ?1) ,若 AB 与 BC 共线,则 x 等于( A.5 B.1 C. ?1 D. ?5

??? ?

??? ?

3..等差数列 {an } 前 n 项和为 S n ,若 a7 ? a9 ? 16 , S7 ? 7 ,则 a12 ? ( A.15 B.30 C.31

) D.64

4. ?ABC 的内角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c ,若 B ? 2 A , a ? 1 , b ? 3 ,则

c?
A.2 B. 2 3 C. 2



) D.1

y ?1
5 若 变 量

x, y





x? y?0 x? y?2?0



z ? x ? 2y















) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 ) 2 3 4 正视图 侧视图 4 俯视图

6.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为(

16? 3 40? C、 3
A、

B、

20? 3

D、 5?

7.已知非负实数 x, y 满足 x ? y ? 1 ,则 A.1 B.2 C.3

1 4 的最小值为( ? x ?1 y ?1
D.4



8 如图 A 是单位圆与 x轴的交点, 点P在单位圆上,∠AOP= ? (0< ? < ? ), OQ ? OA ? OP ,四边形 OAQP 的面积为 S,当 OA ? OP ? S 取得最大值时 ? 的值为( A.

??? ?

??? ?

??? ?

??? ? ??? ?



?
6

B.

?
4

C.

?
3

D.

?
2

2 2 9.某同学为了研究函数 f ( x) ? 1 ? x ? 1 ? (1 ? x) (0 ? x ? 1) 的性质, 构造了如图所示的两个边长为 1

1

的正方形 ABCD 和 BEFC ,点 P 是边 BC 上的一个动点,设 CP ? x ,则

22 解的个数是 ( f ( x) ? AP ? PF .那么可推知方程 f ( x) ? 2
A0 . B 1. C 2. D 4.

座位号 )

二、填空题(每小题 5 分,共 30 分) 10.已知复数 z ? 1 ? i (其中 i 是虚数单位) ,则 z 2 ? z ? _______. 11 ..已知双曲线 心率等于 12. 已知曲线 C 的极坐标方程为 ? ? 2cos ? .以极点为原点,极轴为 x 轴的正半轴建立直角坐标系 ,则曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的两条渐近线均与 C : x 2 ? y 2 ? 6 x ? 5 ? 0 相切,则该双曲线离 a 2 b2

C 的参数方程为____________.
13. 是 如 下 图 是 把 二 进 制 数 111(2) 化 成 十 进 制 数 的 一 个 程 序 框 图 , 则 判 断 框 内 应 填 入 的 条 件 .

开始

i=1,S=1

?




S=1+2S

i=i+1

输出 S 结束 14. 把数列{2n+1}(n∈N ),依次按第 1 个括号一个数,第 2 个括号两个数,第 3 个括号三个数,第 4 个括 号 四 个 数 , 第 5 个 括 号 一 个 数 , … , 循 环 为 (3) , (5,7),(9,11,13),(15,17,19,21),(23),(25,27),(29,31,33),(35,37,39,41),(43),… , 则 第 104 个 括 号 内 各 数 之 和 为 .
*

x 2 ? 3x ? 8 ( x ? 2), g ( x) ? a x (a ? 1, x ? 2) 2 15.在数学中“所有”一词,叫做全称量词,用符号“ ? ”表示;“存在”一词,叫做存在量词,用符号“ ? ”表 f ( x) ?
示.设. (1)若 ? x0 ? [2, ??) 使 f(x0)=m 成立,则实数 m 的取值范围是 . .

(2)若 ? x1 ? [2, ??), ? x2 ? (2, ??) 使得 f(x1)=g(x2),则实数 a 的取值范围是

2

高三第五次月考数学(文科)答卷
一、选择题(45 分)
-------------------------------------------------密--------------------------------------------------封-----------------------------------------------线---------------------------------------

题号 答案

1

2

3

4

5

6

7

8

9

二、填空题(30 分)
10. 13. ;14. ; 11. ;15. ; 12. ;

班号

三、解答题:本大题共6小题,满分75分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分 12 分)为了了解湖南各景点在大众中的熟知度,随机对 15~65 岁的人群抽样了 n 人,回答 问题“湖南省有哪几个著名的旅游景点?”统计结果如下图表. 组号 分组 回答正确 的人数 第1组 第2组 第3组 第4组 第5组 [15,25) [25,35) [35,45) [45,55) [55,65] a 18 b 9 3 回答正确的人数 占本组的频率 0.5 x 0.9 0.36 y
35 45 55 65 年龄 (Ⅰ)分别求出 15 a,25 b,x ,y 的值;

频率 组距
0.030 0.025 0.020 0.015 0.010

班级

(Ⅱ)从第 2,3,4 组回答正确的人中用分层抽样的方法 抽取 6 人,求第 2,3,4 组每组各抽取多少人? (Ⅲ)在(Ⅱ)抽取的 6 人中随机抽取 2 人,求所抽取的人中恰好没有第 3 组人的概率

姓名

3

17.已知函数 f ( x) ? sin(? x ? ? ) (? ? 0 , 0 ? ? ? ? ) 在一个周期内的部分对应值如下表:

x
y

?

?
4

0

0

1

? 6 1 2

? 4
0

? 2
?1

3? 4
0

(I)求 f ( x) 的解析式; (II)设函数 h( x) ? f ( x ?

?
4

) ? 3 f ( x) , x ? [ ?

? ?

, ] ,求 h( x) 的最大值和最小值. 4 4

18. (本题满分 12 分) 在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,∠ABC=90° , AB=BC=1. (Ⅰ) 求异面直线 B1C1 与 AC 所成角的大小; (Ⅱ) 若该直三棱柱 ABC-A1B1C1 的体积为 距离

2 ,求点 A 到平面 A1BC 的 2

4

19. (本题满分 13 分)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn, an 是 Sn 与 2 的等差中项, 数列{bn}中, b1=1,点 P(bn,bn+1) 在直线 x-y+2=0 上. (Ⅰ)求数列{an}与{bn}的通项 an,bn; (Ⅱ)设数列{bn}的前 n 项和为 Bn,比较

1 1 1 ? ??? 与 2 的大小; B1 B2 Bn

x2 y 2 1 20.(本小题满分 13 分) 已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,以原点为圆心,椭圆的短半轴 a b 2
为半径的圆与直线 x ? y ? 6 ? 0 相切,过点 P(4,0)且不垂直于 x 轴直线 l 与椭圆 C 相交于 A、B 两点。
??? ? ???? (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)求 OA ? OB 的取值范围;

(Ⅲ)若 B 点在于 x 轴的对称点是 E,证明:直线 AE 与 x 轴相交于定点。[来

5

21. (本小题满分 13 分) 已知函数

f ( x) ? ln

x ?1 x ?1

(Ⅰ)求函数的定义域,并证明 f ( x) ? ln (Ⅱ)若 x ? [2,6] f ( x) ? ln

x ?1 在定义域上是奇函数; x ?1

x ?1 m 恒成立,求实数 m 的取值范围; ? ln x ?1 ( x ? 1)(7 ? x)
2

(Ⅲ)当 n ? N 时,试比较 f (2) ? f (4) ? f (6) ? ... ? f (2n) 与 2n ? 2n 的大小关系.
*

6

数 学(文科)参考答案
一.CBA ACA CBC

二.10

1 ? 3i

11

3 5 5

12 ?

? x ? 1 ? cos ? ? 为参数) ? y ? sin ?

13 i ? 2 (或 i<3)

14. 2072

15.(1)[3,+∞) (2) (1, 3)

三.16.解: (Ⅰ)由频率表中第 4 组数据可知,第 4 组总人数为

9 ? 25 , 0.36

再结合频率分布直方图可知 n=

25 ? 100 , ∴ a=100×0.01×10×0.5=5,b=100×0.03×10×0.9=27, 0.025 ? 10
…4 分

x?

18 ? 0.9, 20

y?

3 ? 0.2 15

(Ⅱ)因为第 2,3,4 组回答正确的人数共有 54 人, 所以利用分层抽样在 54 人中抽取 6 人, 每组分别抽取的人数为: 第 2 组:

18 27 第 3 组: ? 6 ? 3 ? 6 ? 2 人; 54 54

人;第 4 组:

9 ?6 ?1人 54

…8 分

(Ⅲ)设第 2 组 2 人为:A1,A2;第 3 组 3 人为:B1,B2,B3;第 4 组 1 人为:C1. 则从 6 人中随机抽取 2 人的所有可能的结果为:(A1,A2),(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A1,C1), (A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(A2,C1),(B1,B2),(B1,B3),(B1,C1),(B2,B3),(B2,C1),(B3,C1)共 15 个基本事件, 其中恰好没有第 3 组人共 3 个基本事件, …….…10 分

∴ 所抽取的人中恰好没有第 3 组人的概率是: P ?

3 1 ? . …….…12 分 15 5 3? ? ? ?? , 4 4

17. 解: (Ⅰ)由表格给出的信息可以知道,函数 f ( x) 的周期为 T ? 所以 ? ?

2?

? 2 .由 sin(2 ? (? ) ? ? ) ? 0 ,且 0 ? ? ? ? ,得 ? ? .……4 分 2 ? 4

?

?

所以函数解析式为 f ( x) ? sin(2 x ? (Ⅱ) h( x) ? f ( x ?

?

?

2

. …………6 分 ) (或者 f ( x) ? cos 2 x )

) ? 3 f ( x) ? cos(2 x ? ) ? 3 cos 2 x 4 2

?

………………………9 分 ? sin 2 x ? 3 cos 2 x ? 2sin(2 x ? ) , 3 ? ? ? ? 5? 1 ? 又因为 x ? [? , ] ,所以 ? ? 2 x ? ? ,所以 ? ? sin(2 x ? ) ? 1 , 4 4 6 3 6 2 3 所以函数 h( x ) 的最大值是 2,最小值是 ?1 18.解:(Ⅰ) ∵BC∥B1C1, ∴∠ACB 为异面直线 B1C1 与 AC 所成角(或它的补角) , (2 分)
7

?

∵∠ABC=90° ,AB=BC=1,∴∠ACB=45° , ∴异面直线 B1C1 与 AC 所成角为 45° 。 (4 分)

2 1 (Ⅱ)∵S△ ABC= 2 ,三棱柱 ABC- A1B1C1 的体积 V=S△ ABC× AA1= 2
2 ,A B=
1

∴AA1=

3 3 (2 分)∵CB⊥平面 ABB A ,∴∠A BC=90° ,S△ A1BC= 2 (4 分) 1 1 1

设点 A 到平面 A1BC 的距离为 h,

1 1 三棱锥 A1-ABC 的体积 V= 3 × S△ ABC× AA1=三棱锥 A-A1BC 的体积 V= 3 × S△ A1BC× h
6 ∴h= 3 (8 分)

(Ⅰ)∵ an 是 Sn 与 2 的等差中项,∴2an=Sn+2 …① 19.解: 当 n=1 时,a1=2;n≥2 时,2an-1=Sn-1+2 …② ;∴由①-②得: a n ? 2a n ?1
n

∴{an}是一个以 2 为首项,以 2 为公比的等比数列,∴ a n ? 2

……3 分

又∵点 P(bn,bn+1)在直线 x-y+2=0 上,∴bn-bn+1+2=0 即:bn+1-bn=2 又 b1=1,∴{bn}是一个以 1 为首项,以 2 为公差的等差数列,∴ bn ? 2n ? 1……6 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知:Bn=n2 …8 分 ?

1 1 1 1 1 ? 2 ? ? ? (n ? 2) Bn n n(n ? 1) n ? 1 n

…10 分



1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? = 1 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? 1 ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? ) =2- <2 …13 分 B1 B2 Bn n 2 2 3 n ?1 n 2 3 n
c 2 a 2 ? b2 1 c 1 4 ? ,即 a 2 ? b2 ? ,∴ e2 ? 2 ? 2 4 a 2 3 a a

20.(Ⅰ)解:由题意知 e ? 又b ?
6 1?1

b2 ? 3 ? 3 ,∴ a 2 ? 4,

故椭圆的方程为

y2 x2 ? ?1 4 3

2分

( Ⅱ)解:由题意知直线 AB 的斜率存在,设直线 PB 的方程为 y ? k ( x ? 4)
? y ? k ( x ? 4) ? 由 ? x2 得: (4k 2 ? 3) x2 ? 32k 2 x ? 64k 2 ? 12 ? 0 y2 ? ? 1 ? 3 ? 4

4分

由 ? ? (?32k 2 )2 ? 4(4k 2 ? 3)(64k 2 ? 12) ? 0 得: k 2 ? 设 A(x1,y1),B (x2,y2),则 x1 ? x2 ?

1 4

32k 2 64k 2 ? 12 , x x ? 1 2 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3
8



6分

∴ y1 y2 ? k ( x1 ? 4)k ( x2 ? 4) ? k 2 x1 x2 ? 4k 2 ( x1 ? x2 ) ? 16k 2 ??? ? ???? 64 k 2 ? 12 32k 2 87 2 ∴ OA ? OB ? x1 x2 ? y1 y2 ? (1 ? k 2 ) ? ? 4 k ? ? 16k 2 ? 25 ? 2 2 2 4k ? 3 4k ? 3 4k ? 3 ??? ? ???? 1 87 87 87 13 ∵ 0 ≤ k 2 ? ,∴ ? ,∴ OA ? OB ? [?4, ) ≤? 2 ?? 4 3 4 4 4k ? 3 ??? ? ???? 13 ∴ OA ? OB 的取值范围是 [?4, ) . 4 (Ⅲ)证:∵B、E 两点关于 x 轴对称,∴E(x2,-y2) y ? y2 y ( x ? x2 ) 直线 AE 的方程为 y ? y1 ? 1 ( x ? x1 ) ,令 y = 0 得: x ? x1 ? 1 1 x1 ? x2 y1 ? y2 2 x x ? 4( x1 ? x2 ) 又 y1 ? k ( x1 ? 4),y2 ? k ( x2 ? 4) ,∴ x ? 1 2 x1 ? x2 ? 8 由将①代入得:x = 1,∴直线 AE 与 x 轴交于定点(1,0).

8分

10 分

12 分

21.(Ⅰ)由

x ?1 ? 0 ,解得 x ? ?1 或 x ? 1 , x ?1
………2 分

∴ 函数的定义域为 (??, ?1) ? (1, ??) 当 x ? (??, ?1) ? (1, ??) 时,

?x ?1 x ?1 x ? 1 ?1 x ?1 ? ln ? ln( ) ? ? ln ? ? f ( x) ? x ?1 x ?1 x ?1 x ?1 x ?1 ∴ f ( x) ? ln 在定义域上是奇函数。 ………4 分 x ?1 f (? x) ? ln
(Ⅱ)由 x ? [2,6] 时, f ( x) ? ln

x ?1 m 恒成立, ? ln x ?1 ( x ? 1)(7 ? x)



x ?1 m ? ? 0,? x ? [2, 6] x ? 1 ( x ? 1)(7 ? x)
………6 分

∴ 0 ? m ? ( x ? 1)(7 ? x) 在 x ? [2, 6] 成立
2

令 g ( x) ? ( x ? 1)(7 ? x) ? ?( x ? 3) ? 16 , x ? [2, 6] ,由二次函数的性质可知

x ? [2,3] 时函数单调递增, x ? [3, 6] 时函数单调递减, x ? [2, 6] 时, g ( x)min ? g (6) ? 7
∴0? m?7 ………8 分

(Ⅲ) f (2) ? f (4) ? f (6) ? ??? ? f (2n) = ln ? ? ????? 证法一:构造函数 h( x) ? ln(1 ? x) ? ( x ?

3 5 7 1 3 5

2n ? 1 ? ln(2n ? 1) …9 分 2n ? 1

x2 1 ? x2 ? 2 x )( x ? 0) , h?( x) ? ? x ?1 ? 2 x ?1 x ?1

9

当 x ? 0 时, h?( x) ? 0 ,∴ h( x) ? ln(1 ? x) ? ( x ?

x2 ) 在 (0, ??) 单调递减, 2

? h( x) ? h(0) ? 0

………12 分
2 2 ?l n ( 1 ? n2 ? ) n 2? n 2…13 分

当 x ? 2n ( n ? N ? )时, ln(1 ? 2n) ? (2n ? 2n ) ? 0

证 法 二 : 构 造 函 数 h( x) ? ln x ? ( x ? 1)( x ? 1) , 证 明 : ln x ? x ? 1 在 x ? [1, ??) 成 立 , 则 当

x ? 2 n ? 1 (n ? ? N时 ) , ln(2n ? 1) ? 2n ? 2n2 ? 2n 成立.

10


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