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圆锥曲线中的最值和范围问题(教师版)


圆锥曲线中的最值和范围问题
★★★高考在考什么
【考题回放】 1.已知双曲线

x2 y2 的直 ? ? 1 (a>0,b>0)的右焦点为 F,若过点 F 且倾斜角为 60° a2 b2

线与双曲线的右支有且只有一个交点,则此双曲线离心率的取值范围是(C ) A.( 1,2) B. (1,2) C. [2,

??) D.(2,+∞)

x2 y 2 2. P 是双曲线 ? ? 1 的右支上一点,M、N 分别是圆(x+5)2+y2=4 和(x-5)2 9 16
+y2=1 上的点,则|PM|-|PN|的最大值为( B ) A. 6 B.7 C.8 D.9 2 3.抛物线 y=-x 上的点到直线 4x+3y-8=0 距离的最小值是( A ) A.

4 3

B.

7 5

C.

8 5

D. 3

4.已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1, (a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1、F2,点 P 在双 a 2 b2
(B)

曲线的右支上,且|PF1|=4|PF2|,则此双曲线的离心率 e 的最大值为: (B) (A)
2

4 3

5 3

(C) 2

(D)

7 3

5.已知抛物线 y2=4x,过点 P(4,0)的直线与抛物线相交于 A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则 y1 +y22 的最小值是 32 .

★★★突破重难点
【范例 1】 已知动点 P 与双曲线 且 cos?F1PF2 的最小值为 ?

x2 y2 ? ? 1 的两个焦点 F1、 2 的距离之和为定值, F 2 3

1 . 9

(1)求动点 P 的轨迹方程; (2)若已知 D(0,3),M、N 在动点 P 的轨迹上且 DM ? ? DN ,求实数?的取值范 围. 讲解 (1)由题意 c2=5.设|PF1|+|PF2|=2a( a ? 5 ) ,由余弦定理, 得

cos ?F1 PF2 ?

| PF1 | 2 ? | PF2 | 2 ? | F1 F2 | 2 2a 2 ? 10 ? ? 1. 2 | PF1 | ? | PF2 | | PF1 | ? | PF2 |

又 | PF1 | · PF2 |? ( |

| PF1 | ? | PF2 | 2 ) ? a2 , 2

当且仅当|PF1|=|PF2|时,|PF1|?|PF2| 取最大值,

2a 2 ? 10 2a 2 ? 10 1 ?1 ? ? , ? 1 ,令 此时 cos?F1PF2 取最小值 2 2 9 a a
《圆锥曲线中的最值和范围问题》第 1 页(共 4 页)

解得 a2=9,? c ?

5 ,∴b2=4,故所求 P 的轨迹方程为

x2 y2 ? ? 1. 9 4

(2)设 N(s,t),M(x,y),则由 DM ? ? DN ,可得(x,y-3) =?(s,t-3), 故 x=?s,y=3+?(t-3). ∵M、N 在动点 P 的轨迹上,

?

s2 t2 (?s) 2 (?t ? 3 ? 3? ) 2 ? ? 1, ? ? 1且 9 4 9 4 (?t ? 3 ? 3? ) 2 ? ?2 t 2 13? ? 5 消去 s 可得 , ? 1 ? ?2 ,解得 t ? 4 6? 13? ? 5 1 又|t|?2,∴ | |? 2 ,解得 ? ? ? 5 , 6? 5 1 故实数?的取值范围是 [ ,5] . 5 2 x 2 【文 1】设 P 是椭圆 2 ? y ? 1? a ? 1? 短轴的一个端点,Q 为椭圆上的一个动点, a

求|PQ|的最大值。 解: 依题意可设 P(0,1), Q(x,y),则 |PQ|= x2+(y-1)2 ,又因为 Q 在椭圆上, 所以 x2=a2(1-y2) , |PQ|2= a2(1-y2)+y2-2y+1=(1-a2)y2-2y+1+a2 1 1 =(1-a2)(y- )2- +1+a2 . 1-a2 1-a2 a2 a2-1 1 1 |≤1, 当 y= 时, |PQ|取最大值 2 ; 1-a2 1-a2 a -1 若 1<a< 2,则当 y=-1 时, |PQ|取最大值 2. 因为|y|≤1,a>1, 若 a≥ 2, 则|

★★★自我提升
1.设 AB 是过椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 中心的弦,椭圆的左焦点为 F1(-c,0), a 2 b2
C.ac D.b2

则△F1AB 的面积最大为( A ) A.bc B.ab

2.已知 A(3,2) 、B(-4,0) 是椭圆 ,P 大值为( C ) A.10 B. 10 ? 5
2 2

x2 y2 ? ? 1 上一点,则|PA|+|PB|的最 25 9
D. 10 ? 2 5

C. 10 ? 5

3.已知双曲线

x y ? ? 1 ,过其右焦点 F 的直线 l 交双曲线于 AB,若|AB|=5,则 16 9

直线 l 有( B ) A.1 条 B.2 条 C.3 条 D.4 条 4.已知点 P 是抛物线 y2=4x 上一点,设 P 到此抛物线的准线的距离为 d1, 到直线 x+2y+10=0 的距离为 d2,则 d1+d2 的最小值为 ( C )

《圆锥曲线中的最值和范围问题》第 2 页(共 4 页)

A.5 5.设 F 是椭圆

B.4

C.

11 5 5

(D)

11 5

x2 y2 ? ? 1 的右焦点,且椭圆上至少有 21 个不同的点 Pi(i=1,2, 7 6

3,…) ,使|FP1|,|FP2|,|FP3|,…组成公差为 d 的等差数列,则 d 的取值范围为____

[?

1 1 ,0) ? (0, ] . 10 10

1 6.抛物线 y2=2x 上到直线 x-y+3=0 距离最短的点的坐标为__________ ( ,1) 2

7.如图,已知 A、B 是椭圆

x2 y2 ? ? 1 的两个顶点, 16 9

C、D 是椭圆上两点,且分别在 AB 两侧,则四边形 ABCD 面积的最大值是_______ 12 2 8.求实数 m 的取值范围,使抛物线 y2=x 上存在两点关于直线 y=m(x-3)对称 解法 1:设抛物线上两点 A(x1,y1),B(x2,y2)关于直线 y=m(x-3)对称,A,B 中点 M(x,y), 则当 m=0 时,有直线 y=0,显然存在点关于它对称。

? y12 ? x1 y ? y2 1 1 1 ? ? 1 ? ? ?? 当 m?0 时, ? 2 x1 ? x2 y1 ? y2 2 y m ? y2 ? x2 ?
所以 y ? ? 则有

m ?5 m? ,所以 M 的坐标为 ? , ? ? ,∵M 在抛物线内, 2 ?2 2 ?
2

5 ? m? ? ? ? ? ,得 ? 10 ? m ? 10 且 m?0,综上所述, m ? ? 10, 10 2 ? 2?

?

?

解法 2:设两点为 A(x1,y1),B(x2,y2),它们的中点为 M(x,y),两个对称点连线的 方程为 x=-my+b,与方程 y2=x 联立,得 y2+my-b=0 所以 y1+y2= -m,即 y ? ?

? ??

m , 2
?5 m? ,? ? ?2 2 ?

又因为中点 M 在直线 y=m(x-3)上,所以得 M 的坐标为 ?

5 m2 又因为中点 M 在直线 x=-my+b 上, b ? ? , 2 2 对于 ? ? ? ,有?=m2+4b=10-m2>0,所以 ? 10 ? m ? 10 。
9 已知椭圆的一个焦点为 F1(0,-2 2 ),对应的准线方程为 y ? ? 满足:

9 2 ,且离心率 e 4

2 4 , e, 成等差数列。 3 3 1 2

(1)求椭圆方程; (2) 是否存在直线 l, l 与椭圆交于不同的两点 M、 且线段 MN 恰被直线 x ? ? 使 N, 《圆锥曲线中的最值和范围问题》第 3 页(共 4 页)

平分,若存在,求出 l 的倾斜角的范围;若不存在,请说明理由。 (1)解:依题意 e ?

2 2 a2 9 2 2 ,? ?c ? ?2 2 ? 3 c 4 4 9 2 4

∴a=3,c=2 2 ,b=1, 又 F1(0,-2 2 ),对应的准线方程为 y ? ? ∴椭圆中心在原点,所求方程为 x 2 ?

1 2 y ?1 9 1 平分 2

(2)假设存在直线 l,依题意 l 交椭圆所得弦 MN 被 x ? ? ∴直线 l 的斜率存在。 设直线 l:y=kx+m

? y ? kx ? m ? 由 ? 2 y2 消去 y,整理得 (k2+9)x2+2kmx+m2-9=0 x ? ?1 ? 9 ?
∵l 与椭圆交于不同的两点 M、N, ∴Δ=4k2m2-4(k2+9)(m2-9)>0 即 m2-k2-9<0 ①

x1 ? x2 ?km 1 ? 2 ?? 2 k ?9 2 2 2 (k ? 9) ? (k 2 ? 9) ? 0 把②代入①式中得 4k 2 ∴k> 3 或 k<- 3 ? ? ? 2? ∴直线 l 倾斜角 ? ? ( , ) ? ( , ) 3 2 2 3
设 M(x1,y1),N(x2,y2) ?

?m ?

k ?9 2k
2



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