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高中数学必修4(人教A版)第二章平面向量2.3知识点总结含同步练习及答案


高中数学必修4(人教A版)知识点总结含同步练习题及答案
第二章 平面向量 2.3 平面向量的基本定理及坐标表示

一、学习任务 理解平面向量的正交分解及其坐标表示,会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算;理解用坐 标表示的平面向量共线的条件(对线段定比分点坐标公式不作要求). 二、知识清单
平面向量的分解 平面向量的坐标运算

三、知识讲解
1.平面向量的分解 描述: 平面向量基本定理

如果 e1 、e2 是同一平面内的两个不平行的向量,那么该平面内的任一向量 a ,存在唯一的一 对实数 a1 、a2 ,使 a = a1 e1 + a2 e2 .我们把不共线向量 e1 、e2 叫做表示这一平面内所有 向量的一组基底(base),记做 { e1 , e2 }.a1 e1 + a2 e2 叫做向量 a 关于基底 { e1 , e2 } 的分解式. 平面向量的正交分解及坐标表示

















? →? →







? →? →

如果基底的两个基向量 e 1 , e 2 互相垂直,则称这个基底为正交基底.在正交基底下分解向 量,叫做正交分解. 在平面直角坐标系 xOy 中,分别取与 x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量 e1 ,e2 作为基 底.由平面向量基本定理可知,有且只有一对实数 a1 、a2 ,使得 a = a1 e 1 + a2 e 2 .这样, 平面内的任一向量 a 都可由 a1 、a2 唯一确定,我们把有序数对 (a1 , a2 ) 叫做向量 a 在基 底 { e 1 , e 2 } 的坐标,记做 a = (a1 , a2 ) ,其中 a1 叫做 a 在 x 轴上的坐标分量,a2 叫 做 a 在 y 轴上的坐标分量.



















→ →







例题: 设 → 、→ 是不共线的两个向量,给出下列四组向量: e1 e2

① e1 与 e1 + e2 ;② e1 ? 2e2 与 e2 ? 2e1 ;③ e1 ? 2e2 与 4e2 ? 2e1 ;④ e1 + e2 与



























→ → e1 ? e2 .

其中,不能作为平面内所有向量的一组基底的是______(写出满足条件的序号). 解:③ ① 中,设 e1 + e2 = λe1 ,则 { λ = 1, 无解,所以 e1 + e2 与 e1 不共线,故 e1 与 两个向量共线,不可作为一组基底.

1 = 0, → → e1 + e2 可作为一组基底;同理,可得 ② ④ 中的两个向量不共线,可作为一组基底;③ 中的
在 △OAB 中,OD = 2DB ,延长 BA 至 C ,使 A 是 BC 中点,设 OA = a ,















?→ ?

?→ ?

?→ ?



→ ?→ ? OB = b .

(1)试用 a 、 b 表示 OC 、DC . 解:由题意知OD =





?→ ?

?→ ?

? 2 ?→ OB ,所以 3 ?→ ? ?→ ? ?→ ? ?→ ? ?→ ? ?→ ? ?→ ? ?→ ? ?→ ? ?→ ? → → OC = OB + BC = OB + 2BA = OB + 2OA ? 2OB = 2OA ? OB = 2 a ? b , ?→ ? ?→ ? ?→ ? → → 2→ → 5→ DC = OC ? OD = (2 a ? b ) ? b =2a ? b. 3 3

?→ ?

2.平面向量的坐标运算 描述: 向量的直角坐标运算

设 a = (a1 , a2 ) , b = (b 1 , b 2 ) ,则





→ → a + b = ( a1 + b 1 , a2 + b 2 ) . → → a ? b = ( a1 ? b 1 , a2 ? b 2 ) . → λ a = λ(a1 , a2 ) = (λa1 , λa2 ) .
平面向量共线的坐标表示

设 a = (a1 , a2 ) , b = (b 1 , b 2 ) ,其中 b ≠ 0 . a 、 b 共线,则存在唯一的实数 λ,使







→ →



→ → a = λ b .用坐标表示,可写成 (a1 , a2 ) = λ(b 1 , b 2 ) ,即 { a1 = λb 1 , 消去 λ 后得 a2 = λb 2 . → →→ → a1 b 2 ? b 1 a2 = 0.当且仅当 a1 b 2 ? b 1 a2 = 0 时,向量 a 、 b ( b ≠ 0 ) 共线.
平面向量数量积的坐标运算与度量公式

设 a = (a1 , a2 ) , b = (b 1 , b 2 ) ,两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和,即





→ → → → → → → → → → a ? b = a1 b 1 + a2 b 2 .如果 a ⊥ b ,则 a ? b = 0 ,反之,如果 a ? b = 0 ,则 a ⊥ b . → → 所以 a ⊥ b ? a1 b 1 + a2 b 2 = 0 .
2

? ? ? ? ? ? → →∣ ∣→∣2 = → 2 ,所以 ∣ 2 + a2 . ? a = ( a1 , a2 ) ? ( a1 , a2 ) = a2 + = a a ∣ a ∣ √ ∣ a ∣ a 1 2 1 2 ∣ ∣ ∣ ∣ → 如果表示向量 a 的有向线段的起点和终点的坐标为 (x 1 , y 1 )、(x2 , y 2 ),那么 ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? → ∣→∣ = √? 2 2 . a = (x2 ? x1 , y 2 ? y 1 ) ,∣ a ∣ ( ? + ( ? x x ) y y ) 2 1 2 1 ∣ ∣ → → → → 设 a 、 b 都是非零向量,θ 是 a 与 b 的夹角,则 → → a ? b a1 b 1 + a2 b 2 cos θ = = ? ? ? ? ? ?. ? ? ? ? ? ? 2 + a2 √b 2 + b 2 ∣→∣ ∣→∣ √ a ∣ b∣ 1 2 1 2 ∣a ∣ ∣∣ ∣ ∣
例题: 已知 a = (3, 2), b = (?2, 1),求 a + b , a ? b , a + 2 b ,2 a ? 3 b . 解: a + b = (3, 2) + (?2, 1) = (3 ? 2, 2 + 1) = (1, 3);







→ →

→ →











→ → a ? b = (3, 2) ? (?2, 1) = (3 + 2, 2 ? 1) = (5, 1); → → a + 2 b = (3, 2) + 2(?2, 1) = (3, 2) + (?4, 2) = (3 ? 4, 2 + 2) = (?1, 4); → → 2 a ? 3 b = 2(3, 2) ? 3(?2, 1) = (6, 4) ? (?6, 3) = (6 + 6, 4 ? 3) = (12, 1). OC = (9, 16),求证:点 A ,B ,C 共线. ?→ ? ?→ ? ?→ ? ?→ ? ?→ ? ?→ ? ? ?→ ? 3 ?→ 证明:因为 AB = OB ? OA = (4, 8) ,AC = OC ? OA = (6, 12),所以 AC = AB ,即 2 ?→ ? ?→ ? ?→ ? ?→ ? AB 与AC 共线,又因为 AB 与 AC 有公共点 A ,所以点 A ,B ,C 共线.
已知向量 a = (1, 2), b = (3, 4),求| a | , a ? b ,( a ? b ) ? (2 a + 3 b ). 解:| a | = √1 2 + 2 2 = √5 ; 已知 OA = (3, 4) ,OB = (7, 12),

?→ ?

?→ ?











→ →









? ? ? ? ? ? →

因为 a = (1, 2), b = (3, 4),所以 a ? b = (1, 2) ? (3, 4) = 1 × 3 + 2 × 4 = 11 . 又因为 a ? b = (1, 2) ? (3, 4) = (?2, ?2),2 a + 3 b = 2(1, 2) + 3(3, 4) = (11, 16),所以



→ →









→ → → → ( a ? b ) ? (2 a + 3 b ) = (?2, ?2) ? (11, 16) = (?2) × 11 + (?2) × 16 = ?54. → → → → → → →

已知平面向量 a = (2, x), b = (2, y), c = (3, ?4),且 a ∥ c , b ⊥ c ,求 a 与 b 的 夹角.





→ → 8 .因为 b ⊥ c ,所以 6 ? 4y = 0,解 3 → → 3 → 8 3 → 得 y = .因为 a = (2, ? ) , b = (2, ) .设 a 与 b 的夹角为 θ ,则 2 3 2 8 3 → → 2×2? × → a ? b 3 2 = 0 ,所以 θ = 90? ,即向量 → cos θ = = a 与 b 的夹角为 90? . → → → → |a |?| b | |a |?| b |
解:因为 a ∥ c ,所以 ?8 ? 3x = 0 ,解得 x = ?





四、课后作业
?→ ?

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1. 若 AB = (2, 4) , AC = (1, 3),则 BC = (

?→ ?

?→ ?

)

A.(1, 1)
答案: B 解析:

C.(3, 7)

B.(?1, ?1)

D.(?3, ?7)

?→ ? ?→ ? ?→ ? BC = AC ? AB = (?1, ?1) . )

2. 在下列向量组中,可以把向量 a??= (3, 2) 表示出来的是 ( A.e1 = (0, 0) , e2 = (1, 2) C.e1 = (3, 5) , e2 = (6, 10)
答案: B









B.e1 = (?1, 2) , e2 = (5, ?2) D.e1 = (2, ?3) , e2 = (?2, 3)









→ 解析: 只要 → e1 , e2 非零不共线即可
3. 已知四边形 ABCD 的三个顶点 A (0, 2) , B (?1, ?2) , C (3, 1) ,且 BC = 2AD ,则顶点 D 的 坐标为 ( A.(2,

?→ ?

?→ ?

)
B.(2, ?

7 ) 2

1 ) 2

C.(3, 2)

D.(1, 3)

答案: A 解析: 设

?→ ? ?→ ? D (x, y) ,则 2AD = (2x, 2y ? 4) ,又 BC = (4, 3) ,故 2x = 4, 2y ? 4 = 3 . → → → ).

4. 如图,e1 ,e2 为互相垂直的单位向量,则向量 a ? b 可表示为 (



A.3e2 ? e1
答案: C





B.?2e1 ? 4e2





C.e1 ? 3e2





D.3e1 ? e2





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