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巧用习题证明三角形三条内角平分线交于一点


巧用习题证明三角形的三条内角平分线交于一点 问题:在学习平面向量一章中,有这样一个习题,题目叙述如下: 在△abc 中,如果点 p 为△abc 的内角∠a 的平分线上任意一点, 那么 ap=λ (ab∣ab∣ +ac∣ac∣) (λ ∈r ?+) ?证明:如图,设 ab ? 1=ab∣ab∣,ac ? 1=ac∣ac∣有∣ab ? 1 ∣=∣ac ? 1∣=1, ∠b ? 1ad=∠c ? 1ad,ad 是公共边有△ab ? 1d ≌△ac ? 1d 所以 b ? 1d=c ? 1d,有? ad ?=12(ab ? 1+ac ? 1),即 ad=12(ab∣ab∣+ac∣ac∣) ,又 a,d,p 三点共线,有 ap= μ ? ad ?,ap 同向,有μ ∈r ?+,令λ =μ 2,所以 ap=λ (ab∣ab ∣+ac∣ac∣) (λ ∈r ?+) ,证毕。? ?定理 三角形三条内角平分线交于一点(内心) ?已知:在△abc 中,∠a,∠b,∠c 所对的边为 a,b,c,ad,be,cf 分别为 内角∠a,∠b,∠c 的平分线, ?求证:ad,be,cf 交于一点 ?证明:如图,令 ab=c,ac=b ?设 ad,be 交于点 m,下证 c,m,f 共线, ? cm=cb+bm=c-b+x ? e ?? 2…(1)? cm=ca+am=-b+y ? e ?? 2…(2)其中 x,y∈r, ? e ? 1=ab∣ab∣+ac∣ac∣? e ? 2=ba∣ba∣+bc∣bc∣? e ? 3=cb∣cb∣+ca∣ca∣ ?所以有 e ? 1=cc+bb ? e ? 2=-(1a+ 1c)c+ba 带入(1),(2)得? e ? 3=ca-(1a+1b)b ? cm=(xa-1)b+[1-(1a+1b)x]c…(3) ? cm=(yb-1)b+ycc…(4)所以,有 ? cm=(xa-1)b+[1-(1a+1b)x]c=(yb-1)b+ycc 因为 b,c 不公线, 由平面向量基本定理,任何向量表示法唯一,得 ? xa-1=yb-1 ? 1-(1a+1b)x=yc ?解得 x=aca+b+c ? y=bca+b+c 代入(4)有 cm=a+ba+b+c [1ac-(1a+1bb] ,所以 cm=a+ba+b+ce ? 3,得 cm// e ? 3,cf 为 ∠c 的平分线,由引理知 cf=λ e ? 3(λ ∈r ?+) ?所以 cm=a+b(a+b+c)λ cf,有 cm//cf,c,m,f 三点共线。 ?所以△abc 的三条内角平分线交于一点,该点为△abc 的内心, 证毕。 ?点评:证明过程看似有些复杂和凌乱,但是只要对平面向量基 本定理做到真正的理解,注意挖掘定理中的奥妙,其实证明也是顺 利成章的,对定理的深刻理解,以至于达到灵活的应用,正是高中 学生所缺乏的。本文的写作,一是为了显示向量作为一种工具有它 的内在优势,为今后在解决问题时提供一种思考的方式;二是为教 师在教学向量是提供了一点的素材。向量是几何与代数融合的最好 的工具代表,大小、方向侧重于几何的特点,基底、平面向量基本 定理、坐标主要展现代数的本质。 ?参考文献? [1] 《空间解析几何》. 北京大学出版社.丘维声? [2] 《高等数学辅导》 .北京大学数学科学学院.邹本腾.漆毅. 王奕倩? [3] 《高等代数》.西南师大出版.陈重穆

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