当前位置:首页 >> 数学 >>

巧用习题证明三角形三条内角平分线交于一点


巧用习题证明三角形的三条内角平分线交于一点 问题:在学习平面向量一章中,有这样一个习题,题目叙述如下: 在△abc 中,如果点 p 为△abc 的内角∠a 的平分线上任意一点, 那么 ap=λ (ab∣ab∣ +ac∣ac∣) (λ ∈r ?+) ?证明:如图,设 ab ? 1=ab∣ab∣,ac ? 1=ac∣ac∣有∣ab ? 1 ∣=∣ac ? 1∣=1, ∠b ? 1ad

=∠c ? 1ad,ad 是公共边有△ab ? 1d ≌△ac ? 1d 所以 b ? 1d=c ? 1d,有? ad ?=12(ab ? 1+ac ? 1),即 ad=12(ab∣ab∣+ac∣ac∣) ,又 a,d,p 三点共线,有 ap= μ ? ad ?,ap 同向,有μ ∈r ?+,令λ =μ 2,所以 ap=λ (ab∣ab ∣+ac∣ac∣) (λ ∈r ?+) ,证毕。? ?定理 三角形三条内角平分线交于一点(内心) ?已知:在△abc 中,∠a,∠b,∠c 所对的边为 a,b,c,ad,be,cf 分别为 内角∠a,∠b,∠c 的平分线, ?求证:ad,be,cf 交于一点 ?证明:如图,令 ab=c,ac=b ?设 ad,be 交于点 m,下证 c,m,f 共线, ? cm=cb+bm=c-b+x ? e ?? 2…(1)? cm=ca+am=-b+y ? e ?? 2…(2)其中 x,y∈r, ? e ? 1=ab∣ab∣+ac∣ac∣? e ? 2=ba∣ba∣+bc∣bc∣? e ? 3=cb∣cb∣+ca∣ca∣ ?所以有 e ? 1=cc+bb ? e ? 2=-(1a+ 1c)c+ba 带入(1),(2)得? e ? 3=ca-(1a+1b)b ? cm=(xa-1)b+[1-(1a+1b)x]c…(3) ? cm=(yb-1)b+ycc…(4)所以,有 ? cm=(xa-1)b+[1-(1a+1b)x]c=(yb-1)b+ycc 因为 b,c 不公线, 由平面向量基本定理,任何向量表示法唯一,得 ? xa-1=yb-1 ? 1-(1a+1b)x=yc ?解得 x=aca+b+c ? y=bca+b+c 代入(4)有 cm=a+ba+b+c [1ac-(1a+1bb] ,所以 cm=a+ba+b+ce ? 3,得 cm// e ? 3,cf 为 ∠c 的平分线,由引理知 cf=λ e ? 3(λ ∈r ?+) ?所以 cm=a+b(a+b+c)λ cf,有 cm//cf,c,m,f 三点共线。 ?所以△abc 的三条内角平分线交于一点,该点为△abc 的内心, 证毕。 ?点评:证明过程看似有些复杂和凌乱,但是只要对平面向量基 本定理做到真正的理解,注意挖掘定理中的奥妙,其实证明也是顺 利成章的,对定理的深刻理解,以至于达到灵活的应用,正是高中 学生所缺乏的。本文的写作,一是为了显示向量作为一种工具有它 的内在优势,为今后在解决问题时提供一种思考的方式;二是为教 师在教学向量是提供了一点的素材。向量是几何与代数融合的最好 的工具代表,大小、方向侧重于几何的特点,基底、平面向量基本 定理、坐标主要展现代数的本质。 ?参考文献? [1] 《空间解析几何》. 北京大学出版社.丘维声? [2] 《高等数学辅导》 .北京大学数学科学学院.邹本腾.漆毅. 王奕倩? [3] 《高等代数》.西南师大出版.陈重穆

相关文章:
三角形三条高交于一点证明方法总结
三角形三条线交于一点证明作者:吴丁盟 年级...关键词: 平面向量 斜率 平面直角坐标系 三角形内角...c 。 由题意知:? BE垂直于AC, CF垂直于AB 。...
三角形的证明详细知识点、例题、习题)
三角形的证明详细知识点、例题、习题)_初二数学_数学_初中教育_教育专区。三角形...2.三角形三边的垂直平分线的性质 三角形三条边的垂直平分线相交于一点,并且...
三角形的认识练习题
三角形的认识练习题_数学_初中教育_教育专区。认识...②当已知两边时,可确定第三边的范围; ③证明线段不...性质:三角形三条平分线交于一点。交点在三角...
三角形测试题
三角形测试题_数学_初中教育_教育专区。第五章 三角形 单元复习题一、选择题 1.一个钝角三角形三条平分线所在的直线一定交于一点,这交点一定在 A.三角形...
三角形三条内角平分线交于一点随堂演练
三角形三条内角平分线交于一点随堂演练 1.我们用...如果是,如何证明它呢? 2.如右图在一三角形的小岛...《建设工程经济》计算题考点及例题 《建筑工程管理与...
《三角形》单元测试题(含答案)
三角形》单元测试题(含答案)_数学_初中教育_教育...三角形内角和定理 角平分线 三条重要线段 中线 高...其中两条恰好是直角 交于一点 边 八、全等三角形...
三角形基础练习题
三角形基础练习题 1、已知:如图已知△ABC 求证:∠...14、给出下列命题:①三条线段组成的图形叫三角形②...角平分 线是射线④三角形的高所在的直线交于一点,...
15分钟课堂过关训练( 三角形三条内角平分线交于一点)_...
§1.4.2 三角形三条内角平分线交于一点 班级:___ 姓名:___ 一、判断题 1.在同一平面内,到三角形三边距离相等的点只有一个 2.在同一平面内,到三角形...
...1.4 三角形三条内角的平分线(第2课时)导学案(无答案...
【学练优】八年级数学下册 1.4 三角形三条内角的...巩固练习: 已知:如图,P 是∠AOB 平分线上的一点...这种形式的证明, 需要利用转化的思想,用相等的线段...
北师大八年级数学下 角平分线 三角形三条内角的平分线 ...
北师大八年级数学下 角平分线 三角形三条内角的...已知: 求证: 证明: B C A (本题基本思路提示)...的三条角平分线相交于一点外, 还发现这个点到三...
更多相关标签: