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2010年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题解析


高一数学竞赛训练试题(5)
一、填空题(本题满分 70 分,每小题 7 分)
x x 1.方程 9 ? 1 ? 3 ? 5 的实数解为

. . . ,最小值是 . .

2.函数 y ? sin x ? cos x ( x ? R ) 的单调减区间是

??? ? ??? ? ??? ? ??? ?

??? ? 3.在△ ABC 中,已知 AB ? AC ? 4 , AB ? BC ? ?12 ,则 AB =
4.函数 f ? x ? ? ? x ? 2 ?? x ? 1? 在区间 ? 0, 2? 上的最大值是
2

5.在直角坐标系 xOy 中,已知圆心在原点 O 、半径为 R 的圆与△ ABC 的边有公共点, 其中 A ? ? 4,0? 、B ? ? 6,8? 、C ? ? 2, 4? , 则 R 的取值范围为 6.设函数 f ? x ? 的定义域为 R,若 f ? x ? 1? 与 f ? x ?1? 都是关于 x 的奇函数,则函数

y ? f ? x ? 在区间 ?0,100? 上至少有

个零点.

7.四个不同的小球放入编号 1、2、3、4 的四个盒中,则恰有一个空盒的放法有____种。 8.圆环形手镯上等距地镶嵌着 4 颗相同的小珍珠,每颗珍珠镀金、银两色中的一种.其中 镀 2 金 2 银的概率是 . 9.方程 x y ? 1 ? y x ? 1 ? xy 的实数解为:___________. 10.设复数列 ?xn ? 满足 xn ? a ?1 ,0,且 xn ?1 ? 则 a 的值是 . 二、解答题(本题满分 80 分,每小题 20 分) 11.求使方程 a+ a+sinx=sinx 有实数解的实数 a 的取值范围.

a xn .若对任意 n ?N* 都有 xn?3 ? xn , xn ? 1

1

- 5-1 -

12.已知整数列 ?an ? 满足 a3 ? ?1 , a7 ? 4 ,前 6 项依次成等差数列,从第 5 项起依次 成等比数列. (1) 求数列 ?an ? 的通项公式; (2) 求出所有的正整数 m ,使得 am ? am?1 ? am?2 ? am am?1am?2 .

1

- 5-2 -

13.如图,圆内接五边形 ABCDE 中, AD 是外接圆的直径, BE ? AD ,垂足 H . 过点 H 作平行于 CE 的直线,与直线 AC 、 DC 分别交于点 F 、 G . 证明: (1) 点 A 、 B 、 F 、 H 共圆; (2) 四边形 BFCG 是矩形.

E

A

H F B G C

D

1

- 5-3 -

14.求所有正整数 x , y ,使得 x2 ? 3 y 与 y 2 ? 3x 都是完全平方数.

1

- 5-4 -

2010 年全国高中数学联赛江苏赛区 初赛参考答案与评分细则
一、填空题(本题满分 70 分,每小题 7 分)
x x 1.方程 9 ? 1 ? 3 ? 5 的实数解为



提示与答案:x<0 无解; 当 x ? 0 时,原方程变形为 32x+3x-6=0,解得 3x=2,x=log32. 2.函数 y ? sin x ? cos x ( x ? R ) 的单调减区间是 提示与答案:与 f(x)=y
2

.

=1+|sin2x|的单调减区间相同, [

3.在△ ABC 中,已知 AB ? AC ? 4 , AB ? BC ? ?12 ,则 AB = 提示与答案: AB ? AC ? AB ? BC ? AB ? 16 ,得 AB ? 4 . 4.函数 f ? x ? ? ? x ? 2 ?? x ? 1? 在区间 ? 0, 2? 上的最大值是
2

??? ? ??? ?

k? ? k? ? ? , ? ], k ? Z. 2 4 2 2

??? ? ??? ?

??? ?

.

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

??? ?2

??? ?

,最小值是



提示与答案:极小值-4,端点函数值 f(2)=0,f(0)=-2,最小值-4,最大值 0. 5.在直角坐标系 xOy 中,已知圆心在原点 O 、半径为 R 的圆与△ ABC 的边有公共点, 其中 A ? ? 4,0? 、B ? ? 6,8? 、C ? ? 2, 4? , 则 R 的取值范围为 .

8 5 提示与答案:画图观察,R 最小时圆与直线段 AC 相切,R 最大时圆过点 B.[ ,10]. 5 6.设函数 f ? x ? 的定义域为 R,若 f ? x ? 1? 与 f ? x ?1? 都是关于 x 的奇函数,则函数

y ? f ? x ? 在区间 ?0,100? 上至少有

个零点.

提示与答案:f(2k-1)=0,k∈Z. 又可作一个函数 f ? x ? 满足问题中的条件,且 f ? x ? 的 一个零点恰为 x ? 2k ? 1 ,k∈Z. 所以至少有 50 个零点. 7.四个不同的小球放入编号 1、2、3、4 的四个盒中,则恰有一个空盒的放法有____种。 分析 排列组合中诸如把教师医生分到各所学校; 把不同的小球放入盒中等 问题都可以归 类为分组问题,分组问题解题的原则是: “分组先分堆” .
1 - 5-5 -

解 把 4 个球分成“2、1、1”三堆,有

2 1 1 C4 C 2 C1 2 A2

种分法,把三堆球分别放入四个盒子的

3 任三个中, 有 A4 种放法,由乘法原理,恰有一个空盒的放法共有

2 1 1 C4 C 2 C1 2 A2

3 · =144 种. A4

说明:本题也可以分类讨论求解,若 1 号盒空,2 号盒放二个球,3、4 号盒各放一个
2 2 球有 C 4 =12 种放法;同理,若 1 号盒空,3 号盒放 2 个球,2、4 号盒各放一个球也 ? A2

是 12 种放法;1 号盒空,4 号盒放 2 个球,2、3 号盒各放一个球同样是 12 种放法。所以, 1 号盒空共有 12×3 = 36 种放法。故满足题设的总放法种数为 4×36 = 144 种。 8.圆环形手镯上等距地镶嵌着 4 颗小珍珠,每颗珍珠镀金、银两色中的一种.其中 镀 2 金 2 银的概率是 . 1 . 3

提示与答案:穷举法,注意可翻转,有 6 种情况,2 金 2 银有两种,概率为 9.方程 x y ? 1 ? y x ? 1 ? xy 的实数解为:___________.

分析 这是一个具有对称性的无理方程,可考虑用三角代换去掉根号,化有三角方 2 2 2 程求解, 由于根号里面为 x-1 与 y-1, 故联想公式 sec α-1=tan α, 可进行如下变换: x=sec α, 2 y=sec β. 解 由题意知 x>1,y>1,可设 x=sec α,y=sec β,其中 0 ? ? , ? ?
2 2 2 2

?
2



从而 x-1= sec α-1=tan2α,y-1= sec β-1=tan2β,原 方程可化为: 2 2 sec2α· tanβ+ sec2β· tanα=sec α· sec β, sin ? sin ? 1 ? ? 即 , cos 2 ? cos ? cos 2 ? cos ? cos 2 ? cos 2 ? 因此有 sinβ· cosβ+sinα· cosα=1,即 sin2β+sin2α=2,从而 sin2β=1,sin2α=1, ? ? ? ?

?
4



因此 x=y=2,经检验,x=2,y=2 是原方程的解. 说明 施行适当的三角代换,将代数式或方程转化为三角式或方程求解,这是三角 代换应用的一个重要方面,充分体现了三角与代数之间的内在联系. 10.设复数列 ?xn ? 满足 xn ? a ?1 , 0 ,且 xn ?1 ? 则 a 的值是

a xn .若对任意 n ?N* 都有 xn?3 ? xn , xn ? 1



1

- 5-6 -

提示与答案: 由 xn ?1 ?

a 3 xn a xn a xn ? 2 a 2 xn?1 ? xn , xn ?3 ? ? ? 2 xn ? 1 xn ? 2 ? 1 ? a ? 1? xn?1 ? 1 ? a ? a ? 1? xn ? 1

2 2 恒成立,即 a ? a ? 1 xn ? xn ? 1 ? a ? ? 0 . 因为 xn ? a ?1 或 0 ,故 a ? a ? 1 ? 0 ,所以

?

?

1 3 a?? ? i. 2 2
二、解答题(本题满分 80 分,每小题 20 分) 11.求使方程 a+ a+sinx=sinx 有实数解的实数 a 的取值范围. 解:sinx≥0,平方得 a+sinx=sin2x-a,故 a≤sin2x, 平方整理得,a2-(2sin2x+1)a+sin4x-sinx=0,这是一个关于 a 的一元二次方程. ?=(2sin2x+1)2-4(sin4x-sinx)=4sin2x+4sinx+1=(2sinx+1)2. 1 ∴ a= [2sin2x+1±(2sinx+1)]. 2 其中,a=sin2x+sinx+1>sin2x,故舍去; 1 a=sin2x-sinx,当 0≤sinx≤1 时,有 a∈[- ,0]。 4 1 1 当 a=0 时,得 sinx=0 或 1,有实解;当 a=- 时,sinx= ,有实解. 4 2 1 即 a 的取值范围为[- ,0]. 4 12.已知整数列 ?an ? 满足 a3 ? ?1 , a7 ? 4 ,前 6 项依次成等差数列,从第 5 项起依次 成等比数列. (1) 求数列 ?an ? 的通项公式; (2) 求出所有的正整数 m ,使得 am ? am?1 ? am?2 ? am am?1am?2 . 解:(1) 设数列前 6 项的公差为 d,则 a5=-1+2d,a6=-1+3d,d 为整数. 又 a5,a6,a7 成等比数列,所以(3d-1)2=4(2d-1), 即 9d2-14d+5=0,得 d =1. 当 n≤6 时,an =n-4, 由此 a5=1,a6=2,数列从第 5 项起构成的等比数列的公比为 2, 所以,当 n≥5 时,an =2n-5。
1 - 5-7 -

???????6 分

? ?n-4,n≤4, 故 an =? n-5 ?2 , n≥5. ?

???????10 分

(2) 由(1)知,数列 ?an ? 为:-3,-2,-1,0,1,2,4,8,16,? 当 m=1 时等式成立,即 -3-2-1=―6=(-3)(-2)(-1); 当 m=3 时等式成立,即 -1+0+1=0; 当 m=2、4 时等式不成立;
3

???????15 分

当 m≥5 时,amam+1am+2 =23m-12, am +am+1+am+2=2m-5(2 -1)=7×2m-5, 7×2m-5≠23m-12, 所以 am +am+1+am+2≠amam+1am+2 . 故所求 m= 1,或 m=3. ???????20 分

13.如图,圆内接五边形 ABCDE 中, AD 是外接圆的直径, BE ? AD ,垂足 H . 过点 H 作平行于 CE 的直线,与直线 AC 、 DC 分别交于点 F 、 G . 证明: (1) 点 A 、 B 、 F 、 H 共圆; (2) 四边形 BFCG 是矩形.

证明:(1) 由 HG∥CE,得∠BHF=∠BEC, 又同弧的圆周角 ∠BAF=∠BEC, ∴ ∠BAF=∠BHF, ∴ (2) 点 A、B、F、H 共圆; ???????8 分 A H F B G C D E

由(1)的结论,得 ∠BHA=∠BFA,

∵ BE⊥AD, ∴ BF⊥AC, 又 AD 是圆的直径,∴ CG⊥AC, ??14 分

由 A、B、C、D 共圆及 A、B、F、H 共圆, ∴∠BFG =∠DAB =∠BCG, ∴ ∠BGC=∠AFB=900, ∴ 所以四边形 BFCG 是矩形. ∴ B、G、C、F 共圆. ∴ BG⊥GC, ??????20 分

14.求所有正整数 x , y ,使得 x ? 3 y 与 y ? 3x 都是完全平方数.
2 2

1

- 5-8 -

解:若 x=y,则 x2+3x 是完全平方数. ∵ x2<x2+3x<x2+4x+4= (x+2)2, ∴ x2+3x= (x+1)2,∴ x=y =1. 若 x>y,则 x2<x2+3y<x2+3x<x2+4x+4= (x+2)2. ∵ x2+3y 是完全平方数, ∴ x2+3y= (x+1)2,得 3y = 2x+1,由此可知 y 是奇数,设 y = 2k+1,则 x=3k+1,k 是正 整数. 又 y2+3x= 4k2+4k+1+9k+3=4k2+13k+4 是完全平方数,且 (2k+2)2=4k2+8k+4<4k2+13k+4<4k2+16k+16= (2k+4)2, ∴ y2+3x=4k2+13k+4=(2k+3)2, 得 k=5,从而求得 x=16,y=11. 若 x<y,同 x>y 情形可求得 x=11,y=16. 综上所述,(x,y)= (1,1), (11,16), (16,11). ???????20 分 ???????15 分 ??????5 分

1

- 5-9 -


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