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辅助角公式的推导


辅助角公式 a sin? ? b cos? ? a2 ? b2 sin(? ? ? ) 的推导
在三角函数中,有一种常见而重要的题型,即化 a sin ?

? b cos ? 为一个角

的一个三角函数的形式,进而求原函数的周期、值域、单调区间等.为了帮助学 生记忆和掌握这种题型的解答方法,教师们总结出公式

>a sin ? ? b cos ? = a 2 ? b2 sin(? ? ? ) 或 a sin ? ? b cos ? = a 2 ? b 2 ·

cos(? ? ? ) ,让学生在大量的训练和考试中加以记忆和活用.但事与愿违,半个
学期不到,大部分学生都忘了,教师不得不重推一遍.到了高三一轮复习,再次忘 记,教师还得重推!本文旨在通过辅助角公式的另一种自然的推导,体现一种解决 问题的过程与方法,减轻学生的记忆负担;同时说明“辅助角”的范围和常见的取 角方法,帮助学生澄清一些认识;另外通过例子说明辅助角公式的灵活应用,优化 解题过程与方法;最后通过例子说明辅助公式在实际中的应用,让学生把握辅助 角与原生角的范围关系,以更好地掌握和使用公式. 一.教学中常见的的推导方法 教学中常见的推导过程与方法如下 1.引例 例1 求证:

3 sin ? +cos ? =2sin( ? +

? ? )=2cos( ? - ). 6 3

其证法是从右往左展开证明,也可以从左往右“凑”,使等式得到证明,并得出 结论: 可见,

3 sin ? +cos ? 可以化为一个角的三角函数形式.

一般地,asin ? +bcos ? 是否可以化为一个角的三角函数形式呢? 2.辅助角公式的推导 例 2 化 a sin ?

? b cos ? 为一个角的一个三角函数的形式.
a 2 ? b2 (

解: asin ? +bcos ? =

a a 2 ? b2
2

sin ? +

b a 2 ? b2

cos? ),

① 令

a a ?b
2 2

=cos ? ,

b a ?b
2

=sin ? ,

则 asin ? +bcos ? = =

a 2 ? b 2 (sin? cos ? +cos? sin ? )

b a 2 ? b 2 sin(? + ? ),(其中 tan ? = ) a

1

② 令

a a ?b
2 2

=sin ? ,

b a ?b
2 2

=cos ? ,则

asin ? +bcos ? =

a 2 ? b 2 (sin? sin ? +cos? cos ? )= a 2 ? b 2 cos(

? - ? ),(其中 tan ? =

a ) b

其中 ? 的大小可以由 sin ? 、 ? 的符号确定 ? 的象限,再由 tan ? 的值求 cos 出.或由 tan ? =

b 和(a,b)所在的象限来确定. a

推导之后,是配套的例题和大量的练习. 但是这种推导方法有两个问题:一是为什么要令

a a ?b
2 2

=cos ? ,

b a ?b
2 2

=sin ? ?让学生费解.二是这种 “规定”式的推

导,学生难记易忘、易错! 二.让辅助角公式 a sin ?

? b cos ? = a 2 ? b2 sin(? ? ? ) 来得更自然

能否让让辅助角公式来得更自然些?这是我多少年来一直思考的问题.2009 年春.我又一次代 2008 级学生时,终于想出一种与三角函数的定义衔接又通俗易 懂的教学推导方法. 首先要说明,若 a=0 或 b=0 时, a sin ? 函数的形式,无需化简.故有 ab≠0. 1.在平面直角坐标系中,以 a 为横坐 标,b 为纵坐标描一点 P(a,b)如图 1 所示, 则总有一个角 ? ,它的终边经过点 P.设 OP=r,r= sin ? =

? b cos ? 已经是一个角的一个三角

? 的终边
y

?
r

P(a,b)

a 2 ? b 2 ,由三角函数的定义知
O

b b = , r a 2 ? b2 a a cos ? = ? . 2 2 r a ?b
所以 asin ? +bcos ? == =

x 图1

a 2 ? b 2 cos ? sin? + a 2 ? b 2 sin ? cos?

b a 2 ? b2 sin(? ? ? ) .(其中 tan ? = ) a
2

2.若在平面直角坐标系中,以 b 为 横坐标,以 a 为纵坐标可以描点 P(b,a), 如图 2 所示,则总有一个角 ? 的终边经过 点 P(b,a),设 OP=r,则 r= 角函数的定义知 sin ? = cos ? =
y

? 的终边
?
r

a 2 ? b 2 .由三
,
O

P(b,a)

b = r a 2 ? b2

a a = r a 2 ? b2 b
.

x 图2

asin ? +bcos ? = = 例3 化

a 2 ? b2 sin? sin ? ? a 2 ? b2 cos ? cos ?

a a 2 ? b2 co s(? ? ? ) . (其中 tan ? = ) b

3 sin ? ? cos ? 为一个角的一个三角函数的形式.
3 ,1), 设 角 ? 的 终 边 过 点 P, 则 OP

解 : 在 坐 标 系 中 描 点 P( =r=

? ?
3


2

? 12 =2.sin ? =

3 1 ,cos ? = . 2 2 3 . 3

3 sin ? ? cos ? =2cos ? sin? +2sin ? cos? =2sin(? ? ? ).tan ? =

??

?
6

? 2k? ,∴ 3 sin ? ? cos ? =2sin(? ?
a a 2 ? b2

?
6

).

经过多次的运用,同学们可以在教师的指导下,总结出辅助角公式 asin

?

+bcos

?

=

a 2 ? b2 (

sin

?

+

b a 2 ? b2

cos

?

)=

b a 2 ? b2 sin(? ? ? ) ,(其中 tan ? = ).或者 a
asin

?

+bcos

?

=

a 2 ? b2 (

a a ?b
2 2

sin

?

+

b a ?b
2 2

cos

?

)=

a a 2 ? b2 cos(? ? ? ) ,(其中 tan ? = ) b
3

我想这样的推导,学生理解起来会容易得多,而且也更容易理解 asin ? +bcos ? 凑成

a 2 ? b2 (

a a 2 ? b2

sin ? +

b a 2 ? b2

cos ? )的道理,以

及为什么只有两种形式的结果. 例 4 化 sin ?

? 3 cos ? 为一个角的一个三角函数的形式.
3 ) 在 第 四 象 限 .OP=2. 设 角 ? 过 P 点 . 则

解 法 一 : 点 (1,-

sin ? ? ?

3 1 , cos ? ? . 满 足 条 件 的 最 小 正 角 为 2 2

5 5 ? , ? ? ? ? 2k? , k ? Z . 3 3
1 3 ? sin ? ? 3 cos ? ? 2( sin ? ? cos ? ) ? 2(sin ? cos ? ? cos ? sin ? ) 2 2 5 5 ? 2 sin(? ? ? ) ? 2 sin(? ? ? ? 2k? ) ? 2 sin(? ? ? ). 3 3
解 法 二 : 点 P(-

3 ,1) 在 第 二 象 限 ,OP=2, 设 角 ? 过 P 点 . 则

sin ? ?

1 2

,

cos ? ? ?

3 2

. 满 足 条 件 的 最 小 正 角 为

5 5 ? , ? ? ? ? 2k? , k ? Z . 6 6
1 3 ? sin ? ? 3 cos ? ? 2( sin ? ? cos ? ) ? 2(sin ? sin ? ? cos ? cos ? ) 2 2 5 5 ? 2 cos(? ? ? ) ? 2 cos(? ? ? ? 2k? ) ? 2 cos(? ? ? ). 6 6
三.关于辅助角的范围问题 由 a sin ?

? b cos ? ? a 2 ? b2 sin(? ? ? ) 中,点 P(a,b)的位置可知,终

边过点 P(a,b)的角可能有四种情况(第一象限、 第二象限、 第三象限、 第四象限). 设满足条件的最小正角为 ?1 ,则 ?

? ?1 ? 2k? .由诱导公式(一)知

a sin ? ? b cos ? ? a 2 ? b2 sin(? ? ? ) ? a 2 ? b2 sin(? ? ?1 ) . 其
4

中 ?1 ? (0, 2? ) , tan ?1 小由 tan ?1

?

b ,?1 的具体位置由 sin ?1 与 cos ?1 决定,?1 的大 a

?

b 决定. a
(b, ? ? b cos ? ? a 2 ? b2 cos(? ? ? ) , 的终边过点P

类似地,a sin ?

a) ,设满足条件的最小正角为 ?2 ,则 ?

? ?2 ? 2k? . 由诱导公式有

a sin ? ? b cos ? ? a 2 ? b2 cos(? ? ? ) ? a 2 ? b2 cos(? ? ?2 ) ,其
中 ?2 ? (0, 2? ) , tan ?2 由 tan ?2

?

a , ?2 的位置由 sin ?2 和 cos ?2 确定, ?2 的大小 b

?

a 确定. b

注意:①一般地, ?1

? ?2 ;②以后没有特别说明时,角 ?1 (或 ?2 )是所

求的辅助角. 四.关于辅助角公式的灵活应用 引入辅助角公式的主要目的是化简三角函数式. 在实际中结果是化为正弦还 是化为余弦要具体问题具体分析,还有一个重要问题是,并不是每次都要化为

a sin ? ? b cos ? ? a 2 ? b2 sin(? ? ?1 )









a sin ? ? b cos ? ? a 2 ? b2 cos(? ? ?2 ) 的形式. 可以利用两角和与差的正、
余弦公式灵活处理. 例5 化下列三角函数式为一个角的一个三角函数的形式. (1) (2)

3 sin ? ? cos ? ;
2 ? 6 ? sin( ? ? ) ? cos( ? ? ) . 6 3 6 3
3 sin ? ? cos ? ? 2( 3 1 sin ? ? cos ? ) 2 2

解:

(1)

? 2(sin ? cos

?

? cos ? sin ) ? 2 sin(? ? ) 6 6 6

?

?

5

2 ? 6 ? sin( ? ? ) ? cos( ? ? ) 6 3 6 3 2 1 ? 3 ? ? [ sin( ? ? ) ? cos( ? ? )] 3 2 3 2 3 (2) 2 ? ? ? ? ? [sin( ? ? ) cos ? cos( ? ? ) sin ] 3 3 3 3 3 2 2? ? sin( ??) 3 3
在本例第(1)小题中, a 1) ,而取的是点P( 们可以取P( 就更加方便.

? 3 , b ? ?1 ,我们并没有取点P( 3 ,-

3 ,1) .也就是说,当 a 、b 中至少有一个是负值时.我

a ,b ) ,或者P( b , a ) .这样确定的角 ?1 (或 ?2 )是锐角,

? ? ? ? 1 例 6 已知向量 a ? (cos( x ? ),1) , b ? (cos( x ? ), ? ) , 3 3 2 ? ? ? ? ? ? c ? (sin( x ? ), 0) ,求函数 h( x) = a ? b ? b ? c ? 2 的最大值及相应的 x 3
的值. 解: h( x) ? cos
2

? 1 ? ? ( x ? ) ? ? sin( x ? ) cos( x ? ) ? 2 3 2 3 3

2 1 ? cos(2 x ? ? ) 3 ? 1 sin(2 x ? 2 ? ) ? 3 = 2 2 3 2
=

1 2 1 2 cos(2 x ? ? ) ? sin(2 x ? ? ) ? 2 2 3 2 3
2 2 2 2 2 [ cos(2 x ? ? ) ? sin(2 x ? ? )] ? 2 2 2 3 2 3

=

=

2 11 cos(2 x ? ? ) ? 2 2 12

? h( x) max ? 2 ?

2 . 2
6

这时 2 x ?

11 11 ? ? 2k? , x ? k? ? ? .k ? Z . 12 24

此处,若转化为两角和与差的正弦公式不仅麻繁,而且易错,请读者一试. 五.与辅助角有关的应用题 与辅助角有关的应用题在实际中也比较常见,而且涉及辅角的范围,在相应 范围内求三角函数的最值往往是个难点. 例 7 如图 3,记扇 OAB 的中心角为

45? ,半径为

1,矩形 PQMN 内接于这个扇
N

B

形,求矩形的对角线 l 的最小值. 解 : 连 结 OM, 设 ∠ AOM=

M

?

.则

MQ= sin ? ,OQ= cos ? ,OP=PN= sin ? . PQ=OQ-OP= cos ?

? sin ? .

?
O P 图 3 书 资 料 Q

A

l 2 ? MQ 2 ? PQ 2
= sin =
2

? ? (cos ? ? sin ? ) 2

3 1 ? (sin 2? ? cos 2? ) 2 2
3 5 1 ? 1 ? sin(2? ? ?1 ) ,其中 tan ?1 ? , ?1 ? (0, ) , ?1 ? arctan . 2 2 2 2 2

=

?0 ? ? ?
? l 2 min ?
所以当 ?

?
4

,? arctan

1 ? 1 ? 2? ? ?1 ? ? arctan . 2 2 2

3 5 5 ?1 ? , lmin ? . 2 2 2

?

?

1 1 ? arctan 时, 4 2 2

矩形的对角线 l 的最小值为

5 ?1 . 2

7


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