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广东省佛山市南海区黄岐中学2014-2015学年高一下学期第一次质检数学试卷


广东省佛山市南海区黄岐中学 2014-2015 学年高一下学期第一次 质检数学试卷
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的.请将正确选项涂在答题卡相应位置) 1.数列 1,3,6,10,…的一个通项公式是() A.an=n ﹣(n﹣1) B.an=n ﹣1
2 2

C.an=

D.

2.设 a,b∈R,若 a﹣|b|>0,则下列不等式中正确的是() 3 3 2 2 A.b﹣a>0 B.a +b <0 C.a ﹣b <0 3.已知△ ABC 中,a=4,b=4,∠A=30°,则∠B 等于() A.60°或 120° B.30°或 150° C.60° 4.在等比数列{an}中,a1=﹣16,a4=8,则 a7=() A.﹣4 B.±4 C.﹣2 5.在△ ABC 中,若∠A=60°,∠B=45°, A. B. C. ,则 AC=()

D.b+a>0

D.30°

D.±2

D.

6.等差数列{an}中,已知前 15 项的和 S15=90,则 a8 等于() A. B.12 C. 6 D.

7.在三角形 ABC 中,AB=5,AC=3,BC=7,则∠BAC 大小为() A. B. C. D.

8.已知等比数列{an}满足 a1+a2=3,a2+a3=6,则 a7=() A.64 B.81 C.128 9.△ ABC 的三内角 A,B,C 的对边边长分别为 a,b,c,若 A. B. C.

D.243

,则 cosB=() D.

10.在 R 上定义运算?:a?b=ab+2a+b,则满足 x?(x﹣2)<0 的实数 x 的取值范围为() A.(0,2) B.(﹣2,1) C.(﹣∞,﹣2)∪(1,+∞) D. (﹣1, 2)

二、填空题: (每小题 5 分,共 20 分.请将答案填写在答题卷相应的空格内) 11.已知等差数列{an}中,a7+a9=16,a4=1,则 a12 的值是. 12.不等式 x(9﹣x)>0 的解集是. 13.在三角形 ABC 中,角 A,B,C 所对应的长分别为 a,b,c,若 a=2,B= 则 b=. 14.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,对任意 n∈N 都有 Sn=2an﹣1,则 a1 的值为,数列{an} 的通项公式 an=.
*

,c=2



三、解答题: (本大题共 6 个小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 15.设正项等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 a3=4, (Ⅰ)求首项 a1 和公比 q 的值; (Ⅱ)若 ,求 n 的值. .

16.求下列不等式的解集: 2 (1)6x ﹣x﹣1≥0; 2 (2)﹣4x +4x﹣1<0. 17.已知在△ ABC 中,内角 A,B,C 所对边的边长分别是 a,b,c,若 a,b,c 满足 a +c 2 ﹣b = ac. (1)求角 B; (2)若 b=2,∠A=105°,求 c 边长. 18.已知等差数列{an}中,a3=3,a7=7,其通项公式为 an,前 n 项和为 Sn; (1)求 an 与 Sn an (2)若 bn=2 ,试求数列{bn}的前 n 项和 Tn; (3)若 kn= ,试求数列{kn}的前 n 项和 Qn.
2 2

19. 已知 A、 B、 C 为△ ABC 的三内角, 且其对边分别为 a、 b、 c, 若 cosBcosC﹣sinBsinC= . (Ⅰ)求 A; (Ⅱ)若 a=2

,b+c=4,求△ ABC 的面积.
*

20.在数列{an}中,a1=2,an+1=4an﹣3n+1,n∈N (1)证明数列{an﹣n}为等比数列

(2)求数列{an}的前 n 项和 Sn.

广东省佛山市南海区黄岐中学 2014-2015 学年高一下学 期第一次质检数学试卷
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的.请将正确选项涂在答题卡相应位置) 1.数列 1,3,6,10,…的一个通项公式是() A.an=n ﹣(n﹣1) B.an=n ﹣1
2 2

C.an=

D.

考点: 数列的概念及简单表示法. 专题: 点列、递归数列与数学归纳法. 分析: 仔细观察数列 1,3,6,10,15…,便可发现其中的规律:第 n 项应该为 1+2+3+4+…+n= ,便可求出数列的通项公式.

解答: 解:设此数列为{ an},则由题意可得 a1=1,a2=3,a3=6,a4=10,… 仔细观察数列 1,3,6,10,15,…可以发现: 1=1, 3=1+2, 6=1+2+3, 10=1+2+3+4, … ∴第 n 项为 1+2+3+4+…+n= , ,

∴数列 1,3,6,10,15…的通项公式为 an=

故选 C. 点评: 本题考查了数列的基本知识, 考查了学生的计算能力和观察能力, 解题时要认真审 题,仔细解答,避免错误,属于基础题. 2.设 a,b∈R,若 a﹣|b|>0,则下列不等式中正确的是() 3 3 2 2 A.b﹣a>0 B.a +b <0 C.a ﹣b <0

D.b+a>0

考点: 不等关系与不等式. 专题: 压轴题. 分析: 由题意可以令 a=1,b=0 分别代入 A,B,C,D 四个选项进行一一排除. 解答: 解:利用赋值法:令 a=1,b=0 b﹣a=﹣1<0,故 A 错误;

a +b =1>0,故 B 错误; 2 2 a ﹣b =1>0,故 C 错误; 排除 A,B,C,选 D. 点评: 此题利用特殊值进行代入逐一排除错误选项,方法简洁、直观,此题为基础题. 3.已知△ ABC 中,a=4,b=4,∠A=30°,则∠B 等于() A.60°或 120° B.30°或 150° C.60° 考点: 专题: 分析: 解答: 正弦定理. 解三角形. 直接利用正弦定理化简求解即可. 解:由题意在△ ABC 中,a=4,b=4,∠A=30°, 可得 sinB= = = .∴B=30°.

3

3

D.30°

由正弦定理:

故选:D. 点评: 本题考查正弦定理的应用,基本知识的考查. 4.在等比数列{an}中,a1=﹣16,a4=8,则 a7=() A.﹣4 B.±4 C.﹣2 考点: 专题: 分析: 解答: 等比数列的通项公式. 计算题. 2 由等比数列的性质可得,a1?a7=a4 结合已知可求 2 解:由等比数列的性质可得,a1?a7=a4

D.±2

故选: . 点评: 本题主要考查了等比数列的性质:若 m+n=p+q,则 an?am=ap?aq 在数列的项的求解 中的应用. 5.在△ ABC 中,若∠A=60°,∠B=45°, A. B. C. ,则 AC=() D.

考点: 正弦定理. 专题: 解三角形. 分析: 结合已知,根据正弦定理, 解答: 解:根据正弦定理, , 可求 AC



故选 B 点评: 本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用,属于基础试题 6.等差数列{an}中,已知前 15 项的和 S15=90,则 a8 等于() A. B.12 C. 6 D.

考点: 等差数列的前 n 项和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 由 a8 是等差数列前 15 项的中间项,则由 S15=15a8 结合已知得答案. 解答: 解:在等差数列{an}中, ∵S15=90, 由 S15=15a8=90,得 a8=6. 故选:C. 点评: 本题考查了等差数列的性质,考查了等差数列的前 n 项和,是基础题. 7.在三角形 ABC 中,AB=5,AC=3,BC=7,则∠BAC 大小为() A. B. C. D.

考点: 余弦定理的应用. 专题: 计算题. 分析: 先根据余弦定理求出角∠BAC 的余弦值,再由角的范围确定大小即可. 解答: 解:∵ 又∠BAC∈(0,π) ,所以 . ,

故选 A. 点评: 本题主要考查余弦定理的应用. 在三角形中求出余弦值找对应的角时切记莫忘角的 范围. 8.已知等比数列{an}满足 a1+a2=3,a2+a3=6,则 a7=() A.64 B.81 C.128

D.243

考点: 等比数列. 分析: 由 a1+a2=3,a2+a3=6 的关系求得 q,进而求得 a1,再由等比数列通项公式求解. 解答: 解:由 a2+a3=q(a1+a2)=3q=6, ∴q=2, ∴a1(1+q)=3,

∴a1=1, 6 ∴a7=2 =64. 故选 A. 点评: 本题主要考查了等比数列的通项及整体运算. 9.△ ABC 的三内角 A,B,C 的对边边长分别为 a,b,c,若 A. B. C. D.

,则 cosB=()

考点: 正弦定理的应用. 专题: 计算题. 分析: 通过正弦定理得出 sinA 和 sinB 的方程组,求出 cosB 的值. 解答: 解:∵△ABC 中

∴根据正弦定理得

∴ 故选 B; 点评: 本题主要考查了正弦定理的应用. 在解三角形中, 利用正余弦定理进行边角转化是 解题的基本方法,在三角函数的化简求值中常要重视角的统一,函数的统一,降次思想的应 用 10.在 R 上定义运算?:a?b=ab+2a+b,则满足 x?(x﹣2)<0 的实数 x 的取值范围为() A.(0,2) B.(﹣2,1) C.(﹣∞,﹣2)∪(1,+∞) D. (﹣1, 2) 考点: 一元二次不等式的解法. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 根据规定的新定义运算法则先把不等式化简, 然后利用一元二次不等式求解集的方 法求出 x 的范围即可. 解答: 解:∵x⊙(x﹣2)=x(x﹣2)+2x+x﹣2<0, ∴化简得 x +x﹣2<0 即(x﹣1) (x+2)<0, 得到 x﹣1<0 且 x+2>0①或 x﹣1>0 且 x+2<0②,解出①得﹣2<x<1;解出②得 x>1 且 x<﹣2 无解. ∴﹣2<x<1. 故选 B 点评: 此题是一道基础题, 要求学生会根据已知的新定义化简求值, 会求一元二次不等式 的解集. 二、填空题: (每小题 5 分,共 20 分.请将答案填写在答题卷相应的空格内)
2

11.已知等差数列{an}中,a7+a9=16,a4=1,则 a12 的值是 15. 考点: 等差数列的通项公式. 专题: 计算题. 分析: 由 a7+a9=16 可得 2a1+14d=16,再由 a4=1=a1+3d,解方程求得 a1 和公差 d 的值, 从而求得 a12 的值. 解答: 解:设公差等于 d,由 a7+a9=16 可得 2a1+14d=16,即 a1+7d=8. 再由 a4=1=a1+3d,可得 a1=﹣ 故 a12 =a1+11d=﹣ + =15, ,d= .

故答案为 15. 点评: 本题主要考查等差数列的等差数列的通项公式的应用, 求出首项和公差 d 的值, 是 解题的关键,属于基础题. 12.不等式 x(9﹣x)>0 的解集是(0,9) . 考点: 一元二次不等式的解法. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 把不等式 x(9﹣x)>0 化为 x(x﹣9)<0,求出解集即可. 解答: 解:∵不等式 x(9﹣x)>0 可化为 x(x﹣9)<0, 解得 0<x<9, ∴该不等式的解集是(0,9) . 故答案为: (0,1) . 点评: 本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题,是容易题.

13.在三角形 ABC 中,角 A,B,C 所对应的长分别为 a,b,c,若 a=2,B= 则 b=2. 考点: 余弦定理. 专题: 计算题. 分析: 由题设条件知,直接利用余弦定理建立方程求出 b 即可. 解答: 解:由余弦定理可知 b =a +c ﹣2accosB=2 + 因为 b 是三角形的边长,所以 b=2. 故答案为:2. 点评: 本题考查余弦定理的应用,考查计算能力.
2 2 2 2

,c=2



﹣2×2×2

×

=4.

14.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,对任意 n∈N 都有 Sn=2an﹣1,则 a1 的值为 1,数列{an} n﹣1 的通项公式 an=2 . 考点: 数列递推式.

*

专题: 计算题;转化思想. 分析: 把 n=1 代入 Sn=2an﹣1 就可以求出 a1 的值;首先表示出 sn﹣1,然后利用 an=sn﹣sn ﹣1,即可求出通项公式. 解答: 解:当 n=1 时,s1=2a1﹣1∴a1=1 ∵Sn=2an﹣1 ① ∴sn﹣1=2an﹣1﹣1 ② ①﹣②得,an=2an﹣2an﹣1 ∴ ∴数列{an}是以 1 为首项公比为 2 的等比数列 n﹣1 ∴数列{an}的通项公式 an=2 n﹣1 故答案为 1,2 . 点评: 本题考查了数列的递推式和等比数列的通项公式, 巧用 an=sn﹣sn﹣1 是解题的关键, 属于基础题. 三、解答题: (本大题共 6 个小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 15.设正项等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 a3=4, (Ⅰ)求首项 a1 和公比 q 的值; (Ⅱ)若 ,求 n 的值. .

考点: 等比关系的确定;等比数列的前 n 项和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (Ⅰ)利用等比数列的性质,求出 a5,利用 a3=4,即可求首项 a1 和公比 q 的值; (Ⅱ)利用等比数列的求和公式,即可求 n 的值. 解答: 解: (Ⅰ)∵ ∴ ,… ,



,∴q=2,…

∵a3=4,∴a1=1.… (Ⅱ)由
n 10

,得

,…

∴2 ﹣1=2 ﹣1 n 10 ∴2 =2 … ∴n=10.… 点评: 本题考查等比数列的通项与性质,考查等比数列的求和,考查学生的计算能力,属 于中档题.

16.求下列不等式的解集: (1)6x ﹣x﹣1≥0; 2 (2)﹣4x +4x﹣1<0. 考点: 一元二次不等式的解法. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: (1)先对原不等式进行因式分解,再求出不等式的解集; (2)先对原不等式利用完全平方公式进行化简,再求出不等式的解集. 2 解答: 解: (1)由 6x ﹣x﹣1≥0 得, (2x﹣1) (3x+1)≥0…(用方程求出根的同样给分) 解得 或 … 或 }…
2 2

故原不等式的解集为{x|
2

(2)由﹣4x +4x﹣1<0 可得(2x﹣1) >0…(用判别式同样给分) 故原不等式的解集为{x|x ,x∈R}…

点评: 本题考查一元二次不等式的解法,注意解集要用集合来表示,属于基础题. 17.已知在△ ABC 中,内角 A,B,C 所对边的边长分别是 a,b,c,若 a,b,c 满足 a +c 2 ﹣b = ac. (1)求角 B; (2)若 b=2,∠A=105°,求 c 边长.
2 2

考点: 余弦定理. 专题: 解三角形. 分析: (1)利用余弦定理表示出 cosB,把已知等式代入求出 cosB 的值,即可确定出 B 的度数; (2)由 A 与 B 的度数求出 C 的度数,根据 sinB,sinC,以及 b 的值,利用正弦定理求出 c 的值即可. 2 2 2 解答: 解: (1)∵a +c ﹣b = ac, ∴cosB= = ,

∵B 为三角形内角, ∴B=30°; (2)∵∠A=105°,∠B=30°, ∴∠C=45°, 由正弦定理得: = ,

解得:c=2 . 点评: 此题考查了正弦、余弦定理,以及特殊角的三角函数值,熟练掌握定理是解本题的 关键. 18.已知等差数列{an}中,a3=3,a7=7,其通项公式为 an,前 n 项和为 Sn;

(1)求 an 与 Sn an (2)若 bn=2 ,试求数列{bn}的前 n 项和 Tn; (3)若 kn= ,试求数列{kn}的前 n 项和 Qn.

考点: 数列的求和;等差数列的性质. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (1)由已知条件利用等差数列的通项公式列出方程组,求出首项和公差,由此能 求出 an 与 Sn. an n (2)由 bn=2 =2 ,利用等比数列前 n 项和公式能求出数列{bn}的前 n 项和 Tn. (3)由 kn= = =2( ) ,利用裂项求和法能求出数列{kn}的前 n 项和 Qn.

解答: 解: (1)设等差数列的首项为 a1,公差为 d, ∵等差数列{an}中,a3=3,a7=7, ∴ ,

解得 a1=1,d=1,… ∴an=1+(n﹣1)×1=n,… Sn=n×1+ =
an n

.…

(2)由(1)可知 bn=2 =2 ,… ∵数列{bn}是首项为 2,公比为 2 的等比数列… ∴Tn= = = =2
n+1

﹣2.… ) ,… )

(3)由(1)可知 kn= ∴Qn=2(1﹣ =2(1﹣ = .… )…

=2(

点评: 本题考查数列的通项公式和前 n 项和公式的求法, 是中档题, 解题时要注意裂项求 和法的合理运用. 19. 已知 A、 B、 C 为△ ABC 的三内角, 且其对边分别为 a、 b、 c, 若 cosBcosC﹣sinBsinC= . (Ⅰ)求 A; (Ⅱ)若 a=2

,b+c=4,求△ ABC 的面积.

考点: 解三角形;三角函数的恒等变换及化简求值. 专题: 综合题.

分析: (Ⅰ) 根据两角和的余弦函数公式化简已知的等式, 得到 cos (B+C) 的值, 由 B+C 的范围,利用特殊角的三角函数值即可求出 B+C 的度数,然后由三角形的内角和定理求出 A 的度数; (Ⅱ)根据余弦定理表示出 a 的平方,配方变形后,把 a,b+c 及 cosA 的值代入即可求出 bc 的值,然后由 bc 及 sinA 的值,利用三角形的面积公式即可求出三角形 ABC 的面积. 解答: 解: (Ⅰ)∵ ∴ 又∵0<B+C<π,∴ ∵A+B+C=π,∴
2



, .
2 2

(Ⅱ)由余弦定理 a =b +c ﹣2bc?cosA 得 即: ∴ ,∴bc=4, .

点评: 此题考查了三角函数的恒等变换及化简求值, 余弦定理及三角形的面积公式, 熟练 掌握公式及定理是解本题的关键. 20.在数列{an}中,a1=2,an+1=4an﹣3n+1,n∈N (1)证明数列{an﹣n}为等比数列 (2)求数列{an}的前 n 项和 Sn.
*

考点: 等比数列的前 n 项和;等差数列的前 n 项和;等比关系的确定. 专题: 计算题. 分析: (1)由 an+1=4an﹣3n+1 可得 an+1﹣(n+1)=4an﹣3n+1﹣(n+1)=4an﹣4n=4(an ﹣n) ,从而可证 (2)由(1)可求 an,利用分组求和及等差数列与等比数列的求和公式可求 Sn * 解答: 解: (1)∵an+1=4an﹣3n+1,n∈N , ∴an+1﹣(n+1)=4an﹣3n+1﹣(n+1) , 4an﹣4n=4(an﹣n) . ∴{an﹣n}为首项 a1﹣1=1,公比 q=4 的等比数列; (2)∵an﹣n=4 n﹣1 ∴an=n+4 ,
n﹣1



Sn=1+2+…+n+(1+4+…+4

n﹣1

)=

=



点评: 本题主要考查了利用数列的递推公式构造证明等比数列, 等比数列的通项公式的求 解及分组求和方法的应用,等差数列及等比数列的求和公式的应用.


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