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在高考中备受青睐的阿波罗尼斯圆


2 0 1 1年 第 6期 

中学数 学教 学 

2 1  

在 高 考 中备 受 青 睐 的 阿 波 罗 尼 斯 圆 
江 西省 吉安 市永新 县永 新二 中   龙太 春  ( 邮编 : 3 4 3 4 0 0 )  

1   问题 的提 出与分 析 

一<

br />
妻 ×2 m×2 m  
根据 余 弦定理 得 

,  
4 m。+  。 一 3  

在 今年 5月份 高三 的一 次 模 拟考 试 中 , 有 这 
样 一道 填 空题 :   在 等 腰 AA BC 中 , A B  


AB。 + AD 一 BD 。
c O A 一 —  

一 

A C, B D 是腰 AC 的 中线 ,  


5   。一 3  
一 —  

’  

且B D 一  , 则S △ 舳  的最 大 
值 是  .  
所以, s △ 加c一 —  ̄ /
- — —

9 m


4  




} - 30 m



z -



9  



本 题 旨在考 查三 角形 面积 公 式 、 余 弦定 理 以 
及 函数 思想 , 下 面给 出它 的一 般解 法.  
解 法 一  如 图 , 设A D —D C=7 r l , 则A B一  


√ 二 9 (   2 一 号 )   +   6  
— — — — —   — — 一

’  

2 m, 根据 面积 公式 得 

s   仙 c 一 丢 衄? A C s i n A  
命题 者 为 什 么会 认 为 例 1中的 三棱 柱 是 直  三棱 柱 呢? 我想 , 原 因在 于 底 面 是 正 三 角 形 这 个 

易 知 当   2 : _ 薹 _ 时 , S △ A B c 的 最 大 值 为 2 .  
评 注  此 法 利 用 余 弦 定 理 解 三 角 形 , 全 面 了 

积等 于 (  
A.  

)  
B. 2   C.2   D.6  

条件 . 命题 者包 括众 多 的考 生 把 此 条件 误 认 为 此  三棱 柱 的俯视 图为 正 三角 形. 其 实 满足 例 1条 件 
的三 棱柱 ( 如例 3 )的俯 视 图可 以如上 图 5所示 .  
2   错 题 更 正 

若 按 以上 更 正 , 则此三棱柱为正三棱柱 , 其 
侧 面积 为 6 , 即为 给 出的参考 答案 .  

方案二: 改成 计 算体 积 
题 目为 : 若一 个底 面 是正 三角 形 的三 棱 柱 的  正 视 图如 图 6所 示 , 则 其体 积 等于 (  
A.   B.2   c. 2  

弄清 楚 了例题 1的错误 原 因 , 更 正 此 题 就 非  常容 易.  

)  
D. 6  

方案一 : 加 上俯 视 图或侧 视 图 
若 加 俯视 图 , 题 目变 为 : 若 一 个 俯 视 图是 正  三 角形 的 三棱柱 的 正视 图如 图 6所示 , 则 其 侧 面  积 等于 (   )  
‘ 士  

此 时不 管三 棱柱 是正 棱 柱 还是 斜 棱 柱 , 其 底  面是边 长为 2 的正 三角 形 , 高为 I , 其 体积 为 : V一 


×2 。 × 1一 √ 3 , 故选 A.  
高考 涉 及到 千千 万万 个 考生 的命 运 , 直 接关 

A.  

B . 2  

c . 2 √  

D. 6  

系 到考生 的前 途. 2 0 0 5年的福 建理 科卷 曾 出现过 


道错题 ( 理科 1 2 题) ( 可参 阅福 建厦 门市 禾 山中 

学 的钟 玉兰 老师在 2 0 0 7 年《 中学 理科 : 高考 导航 》  

第 二期 题 目为 “ 一 道 高 考 错 题 的 深 度 分 析 ”一 
文) , 而事 隔 5 年后 又在 高考 文理 卷 中均 出现一道 
图 6   图 7  

错题 , 这是否应引起我们命题者的深思 ! 我们 今 

若 加侧 视 图 , 题 目变 为 : 若 一 个 三 棱 柱 的 的 
正 视 图与侧 视 图如 上 图 6和 图 7所 示 , 则 其 侧 面 

后 应如何 尽 量避 免此 类事情 的发生 呢 ?  
( 收 稿 日期 : 2 0 1 1 — 1 0 — 1 6 )  

万方数据

2 2  

中学数 学教 学 

2 0 1 1年 第 6期 

解 △AB C 的各 元 素 , 属常 规解 法. 并 且此 法处 理  技巧 是把 角化 成边 . 那 么把 边 化 成 角是 否 也 可解  呢? 经过 一番 思考 , 得 到如下 解法 .   解 法二  ( 三 角 函数 )   设 A D —D C — m, 则 AB 一 2 m, 由c o s A 一 


( z 一  )   4 -   。 一   4  
有『 y   l ≤  ,  
√3  

B / ? I   / / 1 、  
\ 
图 3  

所以 S △ A B c= : :2 S △ 仙D  


所以 S △ 仙 。一告 A B? A C s i n A一  

B D ?l   y   I ≤2 ,  

2   2   s i n A 一  
c 。 s A 一 号  

, 考 虑  
l  

一 一 号 ?   S△  c最 大值 为 2 .  
√3  

当J  l =   时取等号.  

的几何 意义 .  

评 注  此种 建坐 标 系方式 关 注 AA BD 中 ,  
恒有 A B一 2 A D, 符合 阿 波罗尼 斯 轨迹定 理 .  
2   问题 的 源 与 流 

因 为 

表 

c O s A 一 昔  
示过圆3 / 7   +  一 1 上点 
( c o s A, s i n A)   和  点 

\ 
P 

事实 上 , 通 过 这 道 题 可 以产 生 联 想 , 这 道 题 

是来 源于 2 0 0 8年江 苏卷 的第 1 3 题.  
5 } 霹 \   :  

满足条件 A B: 2 , A C一√ 2 B C的三角形 A B C   面积 的最 大值 


(   5 , o ) 的 直 线 的 斜 率 走 .  
如图 1 , 易知 当直 线 与 圆 

/ 
图 1  

\  

. 在 此条 件下 , 都 存在 这 样 

个 三角形 , 一 边 确定 , 另两 边 长成 比例 , 解 决 起 
的背 景 : 阿 波 罗 尼 斯 圆.  
,  

来都 可用解法 三 的解 析 法 . 这也 显 示 两题 有 相 同   解  如图 4 , 以A B  
c 

相切时 , 直线 的斜率 志最小 , 即是   i  一一 ÷ , 则 
S △  。的最 大值 为 2 .   受 解法 二 的影 响 , 就 想 能 不能 建 立 直 角坐 标  系, 用 解 析几何 的方 法来 解 呢?  
经分 析 , 发现 在 AA B D 中, 边B D确 定 , 为 定 

的 中 点 为 坐 标 原 点 ,以  A B所 在直 线为 z轴 , 建 立  直角 坐 标 系 , 则 A( 一1 ,  
0 ), B( 1 , 0 ) . 设 C( z,  ) ,  

/ 
A 

/ / 7  
o  B 

值√ 3 , 而 另两 边 A B 与 AD 成 比例 ,即 A B 一 
2 A D, 那 么 顶点 A 的轨 迹 不 就 是一 个 圆吗 , 脑子 

图 4  

由 AC 一 √ 2 B C, 则   ̄ / (  + 1 )  + y 。一 √ 2 ̄ / (  一 1 ) 。 +y   ,  
整 理得 (  一 3 ) 。 +  一 8 ,  

里一 下 就联想 起 阿波 罗尼 斯 圆. 下 面先 来 介 绍一 
下 阿波 罗尼 斯 圆的定 义 :  

所 以点 C的轨 迹为一 个 圆 , 即当 点 C位 于圆  的最高 处 时 , S △ 仙c最 大 , 即 z一 3时 , Y一 2 √ 2 ,  
1   一   一  
厶 

2 盖 B   P   相 异 两 点   、 , 设   点 在 同   △ / \ \    



 





 



‘ 



平面上且 满足两

l - ' A 

一 A ,  

图2  

s △  c一 . 去 . × 2×2 √ 2— 2 √ 2 .  
评 注  由上观 之 , 可知该调研题实 由 2 0 0 8  

当  > 0且  ≠ 1时 , P点 的轨 迹是 个 圆 , 这个 圆  我们 称作 阿波 罗尼 斯 圆. 这 个 结论 称 作 阿 波 罗尼 

年江苏 卷 的第 1 3题 改编 而来 的.  
实 际上 , 以阿 波罗尼 斯 圆为 背景 的考 题 在最 

近十 年高 考 中不断 出现 过 , 可 以说 备 受 命 题 人 的 
解法 三  以 B D 中点 0 为原 点 , B D 所 在直 
线 为  轴 , 建 立 如 图 3所 示 的 直 角 坐 标 系 , 设 

青睐, 笔 者做 了番 统计 , 依次 如下 :  
考题 1   ( 1 9 9 9年 全 国 卷 )设 A( 一 3 , 0 ) ,  

B( 3 , O ) 为 两定 点 , 动点 P到点A 的距离 与到 点 B  
距 离为 定 比 1: 2 , 则 P点 的轨 迹 图形所 围得 的面 
积 是  .  

A (  ) , B ( 一  , o ) , D (   2 , o ) , 则 A B 一 2 A D ,  

即 (   +   ) 。  一 4  一   2 )   q _ y 2 ] , 整 理 得  
万方数据

考题 2  ( 2 0 0 3 年 春 季北 京卷 ) 设 A( 一c , O ) ,  
B( f , 0 ) ( f > O ) 为两 定点 , 动 点 P 到点 A 的距 离 

2 0 1 1年 第 6 期 

中学数 学教 学 

2 3  

向量 法证 明 线 面 垂 直 的 商榷 
新 疆乌 鲁木 齐兵 团二 中   司 永斌  ( 邮编: 8 3 0 0 0 2 )  

直线 与平 面垂 直 的判 定 定理 : 如 果 直线 z 垂  直 于 平 面a内的两条 相 交直 线 口 、 b , 则z 垂 直 于 .  

传 统 的证 明方法 是利 用 镜 面 反射 , 构造 全 等 
三 角形 . 此 法不 易想 到 , 过程 复 杂 , 于 是 很 多人 提  出了不 同 的证 法 , 其 中有 一 种利 用 向量 证 明 的方 
法, 过程 如下 :  
D  

0 

图 1  

图 2  

在 平面 n内任 取直 线 f , 因为直 线 n 、 b相 交 ,   由平 面 向量 基 本定 理 , 存 在惟 一 的实 数  ,  , 可 
使 c:  l a +  2 b . 从而 l ? c — l ?(   1 n十 灭 2 b )一  
1  

当n , b , c 共 面时, 如图 1 证明简单 ( 详见文[ 5 ] ) ,   而当 口 , b , C 不共 面时 , 如图 2 , 必然要 将 C 平移转化 ,  
此 处必然要利用线面垂直的判定定理 : 由C T " _ l I   ,  
C H_ l _ O A推出 O A 上 HF, 从 而上 述利用 向量证 明 

Z ? n+, 1 2   Z ? b . 又 因为 , 上 口 , Z _ l - b , 所以Z ? a—  

z ? b= 0 , 于是 Z ? c一 0 , z 上C . 再 由直 线垂 直 于平 
面 的定 义可知 Z 上a .   此法 一般 被公 认为 较 简 洁 的证 法 , 很 多 老 师 

线面垂直 的方法犯 了循环论证的错误 .  
参 考 文 献  1   陈永才. 线 面垂直 的判 定 定理 的新证 法 E J ] .中 学 数 
学, 2 0 0 3, 7  

在 课 堂上 也用 过 , 还 有人 将 此 法 视 为线 面垂 直 的  新证 、 巧证 , 写 成文 章见 诸 某些 杂 志 , 如文 [ 1 ] , 文  E 2 ] , 文E 3 ]等等 , 这种 证法 难道 还有 问题 吗 ?   事实 上 , 上 述证 法 中用 到 了空 间 向量 数 量 积 
的分 配律 , 即空 间向量 口 , b , c 满 足 口? ( b +c )一 n  
?

2   周淦利. 线 面垂 直 判 定 定 理 的 向量 证 明 E J ] . 中学数 学 
杂志( 高 中) , 2 0 0 4 , 6  

3   高辉. 直线 与平 面判 定定 理新 i  ̄ - E J ] . 中学生数 学 , 2 0 0 3 , 4  

4   普 通 高 中课 程 标 准 实验 教 科 书选 修 2 —1 E M] . 人 民教 
育 出版 社 , 2 0 0 7, 2  

b +n? C , 很少 有人 关 注在 文r - 4 ]第 9 O 页 中提 及 

5   普 通 高 中课 程 标 准 实 验 教 科 书 必修 4   J - M] . 人 民教 育 
出版 社 , 2 0 0 4, 5  
( 收 稿 日期 : 2 0 1 1 — 0 9 — 2 2 )  

的问题 “ 证 明空 间 向量数 量 积 的分 配律 与 证 明平 

面 向量 数量 积 的分配 律 有何 不 同? ”  

与 到点 B距离 的为定值 n (  > 0 ) , 求 尸点 的轨迹 
方 程及 图形 .  

3   问 题 之 后 的 反 思 

高 考题 的 出现 对 数 学 的教 研 是 否具 有 一 定  的 导 向作 用 呢? 或者说 , 高 考 题 以某 个 知识 点 为 
背景 频频 出题 , 是偶然的巧合吗? 值 得 我们 思 考 
的 问 题 太 多 了 … … 

考题 3 ( 2 0 0 5 年 江苏卷) 圆0 l 与 圆  的半径 

都是 1 , o 1 0 2 —4 , 过动点 P分别作 圆 0 1 、   的切线 
P A d 、 P N( M、 N 分别为 切点) , 使得 P M 一 ̄ f 2 P N. 试 

建 立适 当的坐标 系 , 并求动点 P 的轨迹方程.  
考题 4 ( 2 0 0 6 年 四 川 卷 ) 已 知 两 定 点 

( 1 ) 注 重基 础是 亘古 不变 的主 题.   ( 2 ) 抓基 本 能力决 不 放松 .  

A( 一2 , 0 ) , B( 1 , 0 ) , 如果 动 点 P 满足 『  
A. 丁 [   B. 4丁 c   C. 8 了 c  

I 一  

( 3 ) 在 高三 复 习时 , 教 师 应 对 高考 题 目进 行  变 式教 学 和开 展命题 编 制 工作 , 这样 才 能将 问题  教活, 以不 变 应 万 变 , 最 终 做 到 把 数 学 的科 研 形 
态转 变 为教 学 的教育 形态 .  
( 收 稿 日期 : 2 0 1 1 — 0 9 — 2 0 )  

2   I   P l B   J , 则点 P的轨迹所包围的图形的面积等于 
D. 9 丁 c  

运用 同样 的方法 , 我 们 能解 答 上 述 这些 高 考 
题, 解法 略.  

万方数据

在高考中备受青睐的阿波罗尼斯圆
作者: 作者单位: 刊名: 英文刊名: 年,卷(期): 龙太春 江西省吉安市永新县永新二中,343400 中学数学教学 High School Mathematics Teaching 2011(6)

本文读者也读过(3条) 1. 周永兴 从江苏08年高考13题的解法看"阿波罗尼斯圆"的应用[期刊论文]-数学通报2009,48(5) 2. 任峰 应用高等数学观点求解初等数学问题实例[期刊论文]-高等函授学报:自然科学版2011(5) 3. 王勇.周雪丽 柯西不等式在几何中的妙用[期刊论文]-中学数学教学2012(2)

本文链接:http://d.g.wanfangdata.com.cn/Periodical_zxsxjx201106008.aspx


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