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【与名师对话】2015新课标A版数学文一轮复习课时作业:8-6


课时作业(四十九)
一、选择题 y2 x2 1.(2013· 吉林市期中复习检测)设双曲线 9 -a2=1(a>0)的渐近线 方程为 3x± 4y=0,则双曲线的离心率为( 5 A.4 7 C. 4 5 B.3 D. 7 )

解析:由双曲线的渐近线方程为 3x± 4y=0 知 a2=16,双曲线的 离心率为 e= 答案:B 2.(2013·

北京朝阳期末考试)已知双曲线的中心在原点,一个焦 点为 F1(- 5,0),点 P 在双曲线上,且线段 PF1 的中点坐标为(0,2), 则此双曲线的方程是( x2 2 A. 4 -y =1 x2 y 2 C. 2 - 3 =1 ) y2 B.x - 4 =1
2

9+16 5 3 =3,故选 B.

x2 y2 D. 3 - 2 =1

解析:由题可知 c= 5,线段 PF1 的中点坐标为(0,2),画图可得 y2 P( 5,4),故可得双曲线方程为 x - 4 =1.
2

答案:B x2 2 3. (2013· 湖北武汉高三调研测试)已知椭圆m+y =1(m>1)和双曲 x2 2 线 n -y =1(n>0)有相同的焦点 F1、F2,P 是它们的一个交点,则△

F1PF2 的形状是( A.锐角三角形 C.钝角三角形 解析:

) B.直角三角形 D.随 m、n 变化而变化

x2 2 如图,对椭圆m +y =1(m>1),c2=m-1,|PF1|+|PF2|=2 m, x2 2 对双曲线 n -y =1,c2=n+1,|PF1|-|PF2|=2 n, ∴|PF1|= m+ n,|PF2|= m- n,(2c)2=2(m+n), 而|PF1|2+|PF2|2=2(m+n)=(2c)2, ∴△F1PF2 是直角三角形.选 B. 答案:B x2 y 2 4.(2013· 马鞍山第一次质检)斜率为 3的直线与双曲线a2-b2= 1(a>0,b>0)恒有两个公共点,则双曲线离心率的取值范围是( A.[2,+∞) C.(1, 3) B.( 3,+∞) D.(2,+∞) )

b 解析:由双曲线的性质知a> 3,即得 c2-a2>3a2,e>2. 答案:D

5.(2014· 河北沧州名师名校俱乐部二调)圆锥曲线 C 的两个焦点 分别为 F1, F2, 若曲线 C 上存在点 P 满足|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|=4∶3∶ 2,则曲线 C 的离心率为( 2 3 A.3或2 1 C.2或 2 ) 2 B.3或 2 1 3 D.2或2

解析: 不妨设|PF1|=4x,|F1F2|=3x,|PF2|=2x, 若此曲线为椭圆, 2c 3 x 则有|PF1|+|PF2|=6x=2a, |F1F2|=3x=2c, 所以离心率为 e=2a=6x= 1 2c ,若此曲线为双曲线,则有 | PF 1|-|PF2|=2x=2a,此时离心率 e= 2 2a 3x 3 =2x=2,故选 D. 答案:D

x2 y2 6.(2013· 郑州第二次质量预测)如图所示,F1,F2 是双曲线a2-b2 =1(a>0,b>0)的两个焦点,以坐标原点 O 为圆心,|OF1|为半径的圆 与该双曲线的左支的两个交点分别为 A, B, 且△F2AB 是等边三角形, 则双曲线的离心率为( A. 2+1 C. 2+1 2 ) B. 3+1 D. 3+1 2

解析:连接 OA,AF1,|OA|=|OF2|=c,因△AF2B 为等边三角形, ∴∠AF2O=∠F2AO=30° ,∠AOF2=120° ,|AF2|= 3c,△AF1O 为 c 等边三角形,∴|AF1|=c,|AF2|-|AF1|= 3c-c=2a,∴e=a= = 3+1,选 B. 答案:B x2 y2 7.(2013· 重庆市模拟)已知 A 是双曲线a2-b2=1(a>0,b>0)的左 顶点,F1、F2 分别为双曲线的左、右焦点,P 为双曲线上一点,G 是 → → △PF1F2 的重心,若GA=λPF1,则双曲线的离心率为( A.2 C.4 B.3 D.与 λ 的取值有关 ) 2 3-1

→ → OG 解析:由已知GA=λPF1知 GA∥PF1,即△OAG∽△OF1P,得 OP OA a 1 c =OF =c =3得 e=a=3,故选 B.
1

答案:B 二、填空题 x2 y2 8.(2013· 湖南卷)设 F1,F2 是双曲线 C:a2-b2=1(a>0,b>0)的 两个焦点.若在 C 上存在一点 P,使 PF1⊥PF2,且∠PF1F2=30° , 则 C 的离心率为________. 解析:由已知可得,|PF1|=2ccos 30° = 3c,|PF2|=2csin 30° =c, c 由双曲线的定义,可得 3c-c=2a,则 e=a= 答案: 3+1 9.(2013· 茂名市第一次模拟)已知双曲线 x2-ky2=1 的一个焦点 2 = 3+1. 3-1

是( 5,0),则其渐近线方程为________. 1 1 1 解析:由方程知 a2=1,b2=k ,∴c2=5=1+k,∴k=4,即 b2 b =4,∴渐近线方程为 y=± 2 x. ax=± 答案:y=± 2x x2 y2 10.(2013· 辽宁卷)已知 F 为双曲线 C: 9 -16=1 的左焦点,P, Q 为 C 上的点.若 PQ 的长等于虚轴长的 2 倍,点 A(5,0)在线段 PQ 上,则△PQF 的周长为________. 解析:由题意得,|FP|-|PA|=6,|FQ|-|QA|=6,两式相加,利 用双曲线的定义得 |FP|+|FQ|=28,所以△PQF 的周长为|FP|+|FQ| +|PQ|=44. 答案:44 11. (2013· 温州市高三第二次适应性测试)已知 F1, F2 分别是双曲 y2 线 x -b2=1 的左、 右焦点, A 是双曲线上在第一象限内的点, 若|AF2|
2

=2 且∠F1AF2=45° .延长 AF2 交双曲线右支于点 B, 则△F1AB 的面积 等于________. 解析:

由题知 a=1,根据双曲线定义|AF1|-|AF2|=2a

所以|AF1|=4,|BF1|-|BF2|=2,∴|BF1|=2+|BF2| 由图知|AB|=|AF2|+|BF2|=2+|BF2|∴|BA|=|BF1|,△ABF1 为等腰 三角形,又因∠F1AF2=45° ,所以∠ABF1=90° ,则△ABF1 为等腰直 1 角三角形,所以|AB|=|BF1|=2 2.所以 S△F1AB=2×2 2×2 2=4. 答案:4 三、解答题 12.已知双曲线的中心在原点,焦点 F1,F2 在坐标轴上,离心 率为 2,且过点(4,- 10).点 M(3,m)在双曲线上. (1)求双曲线方程; → → (2)求证:MF1· MF2=0; (3)求△F1MF2 面积. 解:(1)∵e= 2,∴可设双曲线方程为 x2-y2=λ. ∵过点(4,- 10),∴16-10=λ,即 λ=6. ∴双曲线方程为 x2-y2=6. (2)证明:由(1)可知,双曲线中 a=b= 6, ∴c=2 3, ∴F1(-2 3,0),F2(2 3,0), → → ∵MF1=(-3-2 3,-m),MF2=(2 3-3,-m), → → ∴MF1· MF2=(3+2 3)×(3-2 3)+m2 =-3+m2, ∵M 点在双曲线上,∴9-m2=6,即 m2-3=0, → → ∴MF1· MF2=0.

(3)△F1MF2 的底|F1F2|=4 3,由(2)知 m=± 3. ∴△F1MF2 的高 h=|m|= 3,∴S△F1MF2=6. x2 y2 13.(2013· 大纲卷)已知双曲线 C:a2-b2=1(a>0,b>0)的左、右 焦点分别为 F1、F2,离心率为 3,直线 y=2 与 C 的两个交点间的距 离为 6; (1)求 a、b; (2)设过 F2 的直线 l 与 C 的左、 右两支分别交于 A、 B 两点, 且|AF1| =|BF1|,证明:|AF2|、|AB|、|BF2|成等比数列. a2+b2 c 解:(1)由题设知a=3,即 a2 =9,故 b2=8a2. 所以 C 的方程为 8x2-y2=8a2. 将 y=2 代入上式,并求得 x=± 由题设知,2 1 a2+2.

1 a2+2= 6,解得 a2=1.

所以 a=1,b=2 2. (2)由(1)知,F1(-3,0),F2(3,0),C 的方程为 8x2-y2=8. ① 由题意可设 l 的方程为 y=k(x-3),|k|<2 2,代入①并化简得 (k2-8)x2-6k2x+9k2+8=0. 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 9k2+8 6 k2 x1≤-1,x2≥1,x1+x2= 2 ,x1· x2= 2 . k -8 k -8 于是
2 2 |AF1|= ?x1+3?2+y2 1= ?x1+3? +8x1-8

=-(3x1+1),

2 2 |BF1|= ?x2+3?2+y2 2= ?x2+3? +8x2-8

=3x2+1. 由|AF1|=|BF1|得-(3x1+1)=3x2+1, 2 即 x1+x2=-3. 6 k2 2 4 19 故 2 =-3,解得 k2=5,从而 x1· x2=- 9 . k -8
2 由于|AF2|= ?x1-3?2+y1 = ?x1-3?2+8x2 1-8

=1-3x1,
2 2 |BF2|= ?x2-3?2+y2 2= ?x2-3? +8x2-8

=3x2-1. 故|AB|=|AF2|-|BF2|=2-3(x1+x2)=4, |AF2|· |BF2|=3(x1+x2)-9x1x2-1=16. 因而|AF2|· |BF2|=|AB|2,所以|AF2|、|AB|、|BF2|成等比数列. [热点预测] x2 y2 14.(1)(2013· 南平质检)已知双曲线 Γ:a2-b2=1(a>0,b>0)的离 心率为 2,过双曲线 Γ 的左焦点 F 作圆 O:x2+y2=a2 的两条切线, 切点分别为 A、B,则∠AFB=( A.45° C.90° ) B.60° D.120°

x2 y2 (2)(2013· 石家庄质检(二))F1,F2 分别是双曲线a2-b2=1 的左、 右焦点, 过 F1 的直线 l 与双曲线的左、 右两支分别交于 A、 B 两点. 若 △ABF2 是等边三角形,则该双曲线的离心率为( A.2 C. 13 B. 7 D. 15 )

解析:

(1)双曲线的离心率为 2, 所以 c=2a, 由题可得右图, 所以∠AFB =60° . (2)

画出图形, 由双曲线的定义得|BF1|-|BF2|=2a, |AF2|-|AF1|=2a, 又∵△ABF2 为等边三角形, ∴ |AF1| = 2a , |AF2| = 4a , |BF2| = |BA| = 4a , |BF1| = 6a ,△ BF1F2 中|F1F2|=2c,∠F1BF2=60° . 1 ∴由余弦定理可得 4c2=36a2+16a2-2×6a×4a×2,离心率 e= c a= 7,故选 B.

答案:(1)B (2)B


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