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广东省东莞市2014届高三第二次模拟考试数学(理)试题


东莞市 2014 届高三理科数学模拟试题(二)
命题:胡佐华 审稿与校对:李名泰 一、选择题: 1. 已知全集 U ? R , 集合 A ? x 0 ? x ? 9, x ? R 和 B ? x ?4 ? x ? 4, x ? Z 集合 (? ) B 中的元素 UA 共 有( A. 3 个 ) B. 4 个 C. 5 个 ) D. 1 或 2 ) D.无穷多个[来源:学.科.网]

?

?

?

?

2 2. 若复数 a ? 3a ? 2 ? ? a ? 1? i 是纯虚数,则实数 a 的值为(

?

?

A. 2

B. 1

C. ? 2

3. 已知等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且 S2 ? 4 , S4 ? 20 ,则该数列的公差 d ? ( A. 2 B. 3 C. 6 D. 7 )

4. 已知抛物线 y 2 ? 2 px ( p ? 0 )的准线与圆 ( x ? 3)2 ? y 2 ? 16 相切,则 p 的值为( A.

1 2

B. 1

C. 2

D. 4

5. 若向量 a ? (cos? ,sin ? ) , b ? ( 3, ?1) ,则 2a ? b 的最大值为( A. 4 B. 2 2 C. 2

) D.

2

6. 已知平面 ? 、 ? 和直线 m ,给出条件:① m // ? ;② m ? ? ;③ m ? ? ;④ ? ? ? ;⑤ ? // ? .由这五 个条件中的两个同时成立能推导出 m // ? 的是( A.①④ B.①⑤ ) C.②⑤ D.③⑤

?y ? 0 ? 7. 若变量 x, y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 1 ,则 z ? 3x ? 5 y 的取值范围是( ?x ? 4 y ? 3 ?
A. ? ??,9? B. ?3, ?? ? C. ? ?8,9?

)

D. ? ?8,3?

8. 对任意实数 x, y ,定义运算 x ? y ? ax ? by ? cxy ,其中 a, b, c 是常数,等式右边的运算是通常的加法和乘 法运算.已知 1 ? 2 ? 3 , 2 ? 3 ? 4 ,并且有一个非零常数 m ,使得 ?x ? R ,都有 x ? m ? x ,则 3 ? 4 的值是 A. ?4 二、填空题:
3

B. 4

C. ?3

D. 3

(一)必做题(9~13 题)
2 1 侧视图 图1

9. 一个三棱锥的正视图和侧视 图及其尺寸如图 3 所示(均为 直角三角形),则该三棱锥的俯视图的面积为 .

正视图

1

2 ? ? 10. 二项式 ? 3 x ? ? 的展开式中常数项为_______. x? ?
11. 执行如图 2 的程序框图,输出的 S ? .

5

开始

k ? 2, S ?1

? ?cos x, x ? 0 12. 已知函数 f ? x ? ? ? ,则 ? 2 f ? x ? dx 的值 ?2 1, x ? 0 ?

S ? S ? logk (k ? 1)
k ? k ?1 k ?8
否 输出 S 结束 是

等于

.

13. 已知 ?ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c , 且c ?

2,b ? 6,B ? 120? ,则 ?ABC 的面积等

于________. (二)选做题(14、15 题,考生只能从中选做一题,两题 全答的,只计前一题的得分)

图2

14.(坐标系与参数方程选做题) 在极坐标系中,直线

1 的方程是

,以极点为原点,以 ? sin ? ? ? ? ? 4? 2 ?

?

π?

2

极轴为 x 轴的正半轴建立直角坐标系,在直角坐标系中,直线
2 的方程是

3x ? ky ? 1 .如果直线 1 与

2 垂直,则常数

k?



15.(几何证明选讲选做题)如图 3,在 ?ABC 中, DE // BC , EF // CD ,[来源:学科网] 若 BC ? 3 , DE ? 2 , DF ? 1 ,则 AB 的长为________. 三、解答题: 16.(本题满分 12 分)设函数 f ( x) ? sin ? x ? sin ? ? x ? (1) 若 ?= (2)若 x ?
图3

? ?

?? ?, x ? R . 2?

1 ,求 f ( x) 的最大值及相应的 x 的取值集合; 2 ? 是 f ( x) 的一个零点,且 0 ? ? ? 10 ,求 ? 的值和 f ( x) 的最小正周期. 8

17.(本题满分 12 分) 某地为绿化环境,移栽了银杏树 2 棵,梧桐树 3 棵.它们移栽后的成活率分别为 3 , 2 , 每棵树是否存活互不影响,在移栽的 5 棵树中: (1)求银杏树都成活且梧桐树成活 2 棵的概率; (2)求成活的棵树 ? 的分布列与期望.

2 1

18.(本题满分 14 分)如图 4,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 2 的正方形,侧面 PAD ? 底面

2

ABCD ,且 PA ? PD ?

2 AD , E 、 F 分别为 PC 、 BD 的中点. 2
P D F A
图4

(1) 求证: EF // 平面 PAD ; (2) 求证:面 PAB ? 平面 PDC ; (3) 在线段 AB 上是否存在点 G ,使得二面角

E C

1 C ? PD ? G 的余弦值为 ?说明理由. 3

B

19.(本题满分 14 分)设数 ?an ? 满足: a1 ? a2 ? a3 ? ??? ? an ? n ? an (n ? N ? ) . (1)求证:数列 ?an ? 1 ? 是等比数列; (2)若 bn ? (2 ? n)(an ? 1) ,且对任意的正整数 n,都有 bn ?

1 t ? t 2 ,求实数 t 的取值范围. 4

20.(本题满分 14 分 )已知定点 F1 ? ?1,0 ? , F2 ?1,0? ,动 点 P ? x, y ? ,且满足 PF 1 , F 1F 2 , PF 2 成等差数列. (1) 求点 P 的轨迹 C1 的方程; (2) 若曲线 C2 的方程为 ? x ? t ? ? y ? t ? 2t
2 2 2

?

?

2

(0 ? t ?

2 ),过点 A?? 2,0? 的直线 l 与曲线 C2 相切, 2

求直线 l 被曲线 C1 截得的线段长的最小值.

21.(本题满分 14 分) 已知函数 f ( x) 满足如下条件:当 x ? (?1, 1] 时, f ( x) ? ln(x ? 1) ,且对任意 x ? R , 都有 f ( x ? 2) ? 2 f ( x) ? 1 . (1)求函数 f ( x) 的图象在点 (0 , f (0)) 处的切线方程; (2)求当 x ? (2k ? 1 , 2k ? 1] , k ? N * 时,函数 f ( x) 的解析式;

1, 2, ?, 2011,使得等式 (3)是否存在 xk ? (2k ?1 , 2k ? 1] , k ? 0 ,
2011 k ?0

? [2 x
k

k

1, 2, ?, 2011) , 若不存在, ? f ( xk )] ? 4019? 22012 ? 2017成立?若存在就求出 xk( k ? 0 ,

说明理由.

东莞市 2014 届高三理科数学模拟试题(二)

3

参考答案
一、选择题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分[来源:Zxxk.Com] 题号 答案 1 B 2 A 3 B 4 C 5 A 6 D 7 C 8 D

二、填空题:本题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,共 30 分 9. 1 ; 10. 40 ; 11.3; 12. 3 ; 13.

3 ; 2

14. ?3 ; 15.

9 2

三、解答题:本大题共 6 小 题,满分 80 分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. 【解析】(1) f ( x) ? sin ? x ? sin ? ? x ?

? ?

?? ? ? sin ? x ? cos? x 2? ?x ?? ? ?, ?2 4?

当 ?= 时, f ( x) ? sin -cos = 2 sin? 而 ? 1 ? sin?

1 2

x 2

x 2

? x ?? ? ? ? 1 ,所以 f ( x) 的最大值为 2 , ?2 4?

此时

3? x ? ? ? ? ? 2k? , k ? Z ,即 x ? ? 4k? , k ? Z , 2 4 2 2 3? ? 4k? , k ? Z} 2

∴ f ( x) 取最大值 2 时相应的 x 的集合为 {x | x ? (2)依题意 f ?

?? ? ??? ? ?? ? ? ? ? k? , k ? Z , ? ? ? 0 ,即 ? ? sin? 8 4 4? ?8? ? 8
1 ? k ?1, 4

整理,得 ? ? 8k ? 2 , 又 0 ? ? ? 10 ,所以 0 ? 8k ? 2 ? 10 , ?

而 k ? Z ,所以 k ? 0 , ? ? 2 ,所以 f ( x) ?

?? ? 2 sin ? 2 x ? ? , f ( x) 的最小正周期为 ? . 4? ?

17.【解析】 (1)设 A 表示“银杏树都成活且梧桐树成活 2 棵” 设 Ai (i ? 0,1, 2) 表示“银杏树成活 i 棵”; P ( A0 ) ? 1 ; P ( A1 ) ? 4 ; P ( A2 ) ? 4
9 9 9 3
1

Bk (k ? 0,1, 2, 3) 表示“梧桐树成活 k 棵”; P ( B0 ) ? 8 ; P ( B1 ) ? 8 ; P ( B2 ) ? 8 ; P ( B3 ) ? 8
P ( A) ? P ( A2 ) ? P ( B2 ) ? 3 1 = 18 6

1

3

(2) ? 可能的取值: 0,1, 2, 3, 4, 5 P (? ? 0) ? P ( A0 ) P ( B0 ) ? 1
P (? ? 1) ? P ( A0 ) P ( B1 ) ? P ( A1 ) P ( B0 ) ?

72

7 ; 19 ; P (? ? 2) ? P ( A0 ) P ( B2 ) ? P ( A1 ) P ( B1 ) ? P ( A2 ) P ( B0 ) ? 72 72

4

同理: P (? ? 3) ? 25 ; P (? ? 4) ? 2 ; P (? ? 5) ? 1 ;
72
9

18

∴ ? 的分布列为:

?
P

0

1

2

3

4

5

1 72

7 72

19 72

25 72

2 9

1 18

∴ E? ?

17 6

18.【解析】(1)证明:连结 AC ,由正方形性质可知, AC 与 BD 相交于 BD 的中点 F ,

F 也为 AC 中点, E 为 PC 中点.
所以在 ?CPA 中, EF // PA 又 PA ? 平面 PAD , EF ? 平面 PAD , 所以 EF // 平面 PAD (2)证明:因为平面 PAD ? 平面 ABCD , 平面 PAD 面 ABCD ? AD

ABCD 为正方形, CD ? AD , CD ? 平面 ABCD ,所以 CD ? 平面 PAD .
又 PA ? 平面 PAD ,所以 CD ? PA .

? 又 PA ? PD ? 2 AD ,所以 ?PAD 是等腰直角三角形,且 ?APD ? ,即 PA ? PD .
2

2

又 CD

PD ? D ,且 CD 、 PD ? 面 PDC ,所以 PA ? 面 PDC .

又 PA ? 面 PAB , 所以面 PAB ? 面 PDC (3) 取 AD 的中点 O ,连结 OP , OF ,因为 PA ? PD ,所以 PO ? AD . 又侧面 PAD ? 底面 ABCD ,平面 PAD 平面 ABCD ? AD , 所以 PO ? 平面 ABCD ,

而 O, F 分别为 AD, BD 的中点,所以 OF // AB ,又 ABCD 是正 方形,故 OF ? AD ,[来源:学.科.网 Z.X.X 以 O 为原点,建立空间直角坐标系 O ? xyz , 则有 A(1, 0, 0) , C ? ?1,2,0? , F (0,1, 0) , D(?1, 0, 0) , P(0, 0,1) , 若在 AB 上存在点 G, 使得二面角 C ? PD ? G 的余弦值为

1 ,连结 PG, DG ,设 G(1, a,0)(0 ? a ? 2) , 3

则 DP ? (1,0,1), GD ? (?2, ?a,0) ,由(Ⅱ)知平面 PDC 的法向量为 PA ? (1,0, ?1) , 设平面 PGD 的法向量为 n ? ( x, y, z) .则 ?

? ?n ? DP ? 0 ? ?n ? GD ? 0

,即 ?

? ?x ? z ? 0 z? y ? 2 ,解得 ? ? ??2 x ? ay ? 0 a a

?x ? ? y ? ? 2

令 y ? ?2 ,得 n ? ? a, ?2, ?a ? ,来源:学.科.网]

5

所以 cos ? n, PA ? ?

n ? PA n PA

?

1 1 1 ? ,解得 a ? (舍去 ? ). 2 2 2 ? 4 ? 2a 2 3
2a

所以,线段 AB 上存在点 G ?1, ,0 ? ( AG ?

? 1 ? ? 2 ?

1 1 AB ),使得二面角 C ? PD ? G 的余弦值为 . 3 4

19.【解析】

20.【解析】(1)由 F1 ? ?1,0 ? , F2 ?1,0? , PF1 ? PF2 ? 4 ? F 1F 2 根据椭圆定义知 P 的轨迹为以 F1 , F2 为焦点的椭圆, 其长轴 2a ? 4 ,焦距 2c ? 2 ,短半轴 b ? a 2 ? c 2 ? 3 ,故 C1 的方程为

x2 y2 ? ?1. 4 3

(2)过点 A?? 2,0? 与 X 轴垂直的直线不与圆 C2 相切,故可设 l : y ? k ? x ? 2? ,由直线 l 与曲线 C2 相切得
k ?t ? 2? k ?1
2

? t ?t ? 2? ,化简得 t ?

? 2? ,t ?? ? 0,2 ? k ?1 ? ? k
2

由0 ? t ?

k k ?1
2

?

2 2 ,解得 0 ? k ? 1 2

6

联立 ? ? x2

? y ? k ?x ? 2? y2 ?1 ? ? 3 ?4

,消去 y 整理得 4k 2 ? 3 x 2 ? 16k 2 x ? 16k 2 ? 12 ? 0 ,

?

?

直线 l 被曲线 C1 截得的线段一端点为 A?? 2,0? ,设另一端点为 B ,解方程可得 B ?

? ?2 ? 4k 2 ? 3? ? ? 4k ? 3
2

,

12k ? ,有 ? 4k 2 ? 3 ? ?

? ?2 ? 4k 2 ? 3? ? ? 12k ?2 12 k 2 ? 1 ? ?? 2 AB ? ? ? 2 ? ? 4k 2 ? 3 ? ? 4k ? 3 ? 4k 2 ? 3 ? ? ?
2

令 k 2 ? 1 ? n ,则 AB ?

12n ? 4n 2 ? 1

12 1 4n ? n

, n ? (1, 2] ,

考查 函数 y ? 4n ? 所以 n ?

1 1 的性质知 y ? 4n ? 在区间 (1, 2] 上是增函数, n n 1 n

2 时, y ? 4n ? 取最大值

7 2 ,从而 AB ? 12 ? 12 2 . min 2 7 7 2
2

2 1.【解析】解: (1) x ? (?1, 1] 时, f ( x) ? ln(x ? 1) , f ?( x) ? 所以,函数 f ( x) 的图象在点 (0 , f (0)) 处的切线方程为

1 , x ?1

y ? f (0) ? f ?(0)(x ? 0) ,即 y ? x .
(2)因为 f ( x ? 2) ? 2 f ( x) ? 1 , 所以,当 x ? (2k ? 1 , 2k ? 1] , k ? N * 时, x ? 2k ? (?1 , 1] ,

f ( x) ? 2 f ( x ? 2) ? 1 ? 22 f ( x ? 4) ? 2 ? 1 ? 23 f ( x ? 6) ? 22 ? 2 ? 1

? ? ? 2k f ( x ? 2k ) ? 2k ?1 ? 2k ?2 ? ? ? 2 ? 1 ? 2k ln(x ? 2k ? 1) ? 2k ? 1 .
(3)考虑函数 g ( x) ? 2 x ? f ( x) , x ? (2k ? 1 , 2k ? 1] , k ? N ,
k
k 则 g ?( x) ? 2 ?

2k 2 k ( x ? 2k ) ? , x ? 2k ? 1 x ? 2k ? 1

当 2k ? 1 ? x ? 2k 时, g ?( x) ? 0 , g ( x) 单调递减; 当 x ? 2k 时, g ?( x) ? 0 ; 当 2k ? x ? 2k ? 1 时, g ?( x) ? 0 , g ( x) 单调递增; 所以,当 x ? (2k ? 1, 2k ? 1] , k ? N 时, g ( x) ? g (2k ) ? (2k ? 1)2 ? 1 ,
k

7

当且仅当 x ? 2k 时, g ( x) ? g (2k ) ? (2k ? 1)2k ? 1 .
2011

所以,
n

?[2 x
k k ?0

k

? f ( xk )] ? ? g ( xk ) ? ?[(2k ? 1)2k ? 1]
k ?0 k ?0 k

2011

2011



?[(2k ? 1)2
k ?0

? 1] ? 1 ? 21 ? 3 ? 22 ? ? ? (2n ? 1)2n ? n ,

令 Sn ? 1? 21 ? 3 ? 22 ? ? ? (2n ? 1)2n ,则 2Sn ? 1? 22 ? 3 ? 23 ? ? ? (2n ? 1)2n ?1 , 两式相减得, ? Sn ? 1? 21 ? 2 ? 22 ? 2 ? 23 ? ? ? 2 ? 2n ? (2n ? 1)2n ?1

? 1 ? 21 ?

2 ? 22 (2n ?1 ? 1) ? (2n ? 1)2n ?1 ? ?(2n ? 3)2n ?1 ? 6 . 2 ?1

所以, Sn ? (2n ? 3)2n ?1 ? 6 ,
2011



?[(2k ? 1)2
k ?0

k

? 1] ? S 2011 ? 2011? 4019? 2 2012 ? 2017.
2011 k ?0 2011 k ?0

2011

所以,

?[2k xk ? f ( xk )] ? ? g ( xk ) ? ?[(2k ? 1)2k ? 1 ? 4019? 2n ?1 ? 2017.
k ?0

当且仅当 xk ? 2k , k ? 0, 1, 2, ?, 2011时,
2011 k ?0

?[2 x
k

k

? f ( xk )] ? ? g ( xk ) ? ?[(2k ? 1)2k ? 1 ? 4019? 2n ?1 ? 2017.
k ?0 k ?0

2011

2011

所以,存在唯一一组实数 xk ? 2k , k ? 0 , 1 , 2 , ? , 2011 ,
2011

使得等式

?[ 2 x
k k ?0

k

? f ( xk )] ? 4019? 2n ?1 ? 2017成立.

8


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