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高中数学竞赛专题讲座——数列


高中数学竞赛专题试题讲座——数列
一、选择题部分 1. (2006 年江苏)已知数列 ? a n ? 的通项公式 a n ?
2 n ? 4n ? 5
2

,则 ? a n ? 的最大项是( B )

? A?

a1

?B?

a2
2



?C ?
3

a3

?D?
? 3 ? ,则 lg ( a 1 0 0 ) ?

a4

2 (2006 安徽初赛)正数列满足 a 1 A、98 B、99

? 1 , a2 ? 10 , an an?2 ? 10an?t

?n





C、100

D、101

3. (2006 吉林预赛)对于一个有 n 项的数列 P=(p1,p2,?,pn),P 的“蔡查罗和”定义 为 s1、s2、?sn、的算术平均值,其中 sk=p1+p2+?pk(1≤k≤n),若数列(p1,p2,?,p2006) 的 “蔡查罗和” 2007, 为 那么数列(1,1,2, p2006)的 p p ?, “蔡查罗和” 为 A. 2007 B. 2008 C. 2006 D. 1004 ( A )

4.(集训试题)已知数列{an}满足 3an+1+an=4(n≥1),且 a1=9,其前 n 项之和为 Sn。则满足不 等式|Sn-n-6|< A.5
1 125

的最小整数 n 是 B.6 C.7
1 3
8 [1 ? ( ? 1 3 1 3 ) ]
n

( D.8



解: 由递推式得: n+1-1)=-(an-1), 3(a 则{an-1}是以 8 为首项, 公比为-

的等比数列,

∴Sn-n=(a1-1)+(a2-1)+?+(an-1)=
1?
n-1

=6-6×(-

1 3

) ,∴|Sn-n-6|=6×(

n

1 3

)<

n

1 125



得:3 >250,∴满足条件的最小整数 n=7,故选 C。 5. (集训试题)给定数列{xn}, 1=1, xn+1= x 且
3xn ? 1 3 ? xn

, ? xn = 则
n ?1

2005





A.1
xn ?

B.-1
3 3 3 3 xn

C.2+ 3
?
6

D.-2+ 3

解:xn+1=
1?

,令 xn=tanα n,∴xn+1=tan(α n+

), ∴xn+6=xn, x1=1,x2=2+ 3 ,

x3=-2- 3 , x4=-1, x5=-2+ 3 , x6=2- 3 , x7=1,??,∴有 ? x n ? x 1 ? 1 。故选 A。
n ?1

2005

、b 的 6 、 2006 陕 西 赛 区 预 赛 ) 已 知 数 列 { a n } { n } 前 n 项 和 分 别 为 A n , B n 记 (

C n ? a n ? B n ? b n ? A n ? a n ? b n ( n ? 1) 则数列{ C n }的前 10 项和为

( C ) D.
A1 0 ? B1 0

A . A1 0 ? B1 0

B.

A1 0 ? B 1 0 2

C. A1 0 ? B1 0

7. (2006 年浙江省预赛)设 f ( n ) 为正整数 n(十进制)的各数位上的数字的平方之和,比 如 f (123 ) ? 1 ? 2 ? 3 ? 14 。记 f 1 ( n ) ? f ( n ) , f k ? 1 ( n ) ? f ( f k ( n )) , k ? 1, 2 , 3 , ? , 则
2 2 2

f 2006 ( 2006 ) =

(A) ( D )

20

(B)

4

(C)

42

(D)

145.

解: 将 f ( 2006 ) ? 40 记做 2006 ? 40 ,于是有
2006 ? 40 ? 16 ? 37 ? 58 ? 89 ? 145 ? 42 ? 20 ? 4 ? 16 ? ?



16







fn









8















f 2006 ( 2006 ) ? f 2004 (16 ) ? f 4 ? 250 ? 8 (16 ) ? f 4 (16 ) ? 145 .

正确答案为 D。

二、填空题部分 1. 数 列 ? a n ? 的 各 项 为 正 数 , 其 前 n 项 和 S n 满 足 S n ?
1 2 (a n ? 1 an ) ,则

a n =___

n ?

n ? 1 ___.

2. (200 6 天津)已知 a , b , c , d 都是偶数,且 0 ? a ? b ? c ? d ,d ? a ? 90 ,若 a , b , c 成等差数列, b , c , d 成等比数列,则 a ? b ? c ? d 的值等于 194 .
1 1 1 1 5 ? ? ? 4 10 ? 1 1 2 3 6 10 ? 3 4 5 ? 1 1 1 1 1 ?

3. (2006 吉林预赛)如图所示,在杨辉三角中斜线上方的数所组成的数列 1,3,6,10,?,记这个数列前 n 项和为 S(n),则 lim
n
3

=___________。
1 2

n ? ??

S (n)

4. (2006 年江苏)等比数列 ? a n ? 的首项为 a1 ? 2 0 2 0 ,公比 q ? ? 个数列的前 n 项的积,则当 n ? 12 时, f ? n ? 有最大值.

.设 f ? n ? 表示这

5. 在 x 轴的正方向上,从左向右依次取点列 物线 y ?
2

?A ?, j ? 1, 2 , ? ,以及在第一象限内的抛
j

3 2

x 上从左向右依次取点列 ?B k ?, k ? 1, 2 , ? ,使 ? A k ? 1 B k A k ( k ? 1, 2 , ? )都是等

边三角形,其中 A 0 是坐标原点,则第 2005 个等边三角形的边长是 2005。 【解】 设第 n 个等边三角形的边长为 a n 。 : 则第 n 个等边三角形的在抛物线上的顶点 B n 的坐标为( a 1 ? a 2 ? ? ? a n ?1 ?
an 2



an ? 3? ? a 1 ? a 2 ? ? ? a n ?1 ? ? 2? 2 ?

) 。

再从第 n 个等边三角形上,我们可得 B n 的纵坐标为
an ? 3? ? a 1 ? a 2 ? ? ? a n ?1 ? ? 2? 2 ?

2 an

?1 ? ? ? an ? ?2 ?

2

?

3 2

an

。从而有

3 2

an ?

,即有

1 2

a n ? a 1 ? a 2 ? ? ? a n ?1 ?
2

an 2



由 此 可 得 a1 ? a 2 ? ? ? a n ?
a 1 ? a 2 ? ? ? a n ?1 ? a n ?1 2 ? 1 2 an ?
2

an 2

?

1 2

an

2

( 1 )

,

以 及

a n ?1 1 2

(2)
1 2 ( a n ? a n ? 1 )( a n ? a n ? 1 ) .

(1)-(2)即得 变形可得

( a n ? a n ?1 ) ?

( a n ? a n ?1 ? 1)( a n ? a n ?1 ) ? 0

.
1 2 a1 ? 1 2 a1
2

由于 a n ? a n ?1 ? 0 , 所以 a n ? a n ? 1 ? 1 。(1) 在 式中取 n = 1, 可得 故 a1 ? 1 。 因此第 2005 个等边三角形的边长为 a 2005 ? 2005 。

, a1 ? 0 , 而

6.(2005 年浙江)已知数列 x n ,满足 ( n ? 1) x n ? 1 ? x n ? n , 且 x1 ? 2 , 则 x 2005 =
xn ? 1 n ?1

2005 !? 1 2005 !



【解】 :由 ( n ? 1) x n ?1 ? x n ? n ,推出 x n ? 1 ? 1 ?
x n ?1 ? 1 ? xn ? 1 n ?1 ? x n ?1 ? 1 ( n ? 1) n ? xn?2 ? 1 ( n ? 1) n ( n ? 1)

。因此有
x1 ? 1 ( n ? 1) n ( n ? 1) ? 2 ? 1 ( n ? 1)!

?? ?

.

即有 x n ? 1 ?

1 ( n ? 1 )!

?1。

从而可得 x 2005 ?

2005 !? 1 2005 !
a1 7 ? a2 7
2


a3 7
3

7. (2005 全国)记集合 T ? { 0 ,1, 2 , 3 , 4 , 5 , 6 }, M ? {

?

?

a4 7
4

| a i ? T , i ? 1, 2 , 3 , 4 },

将M中

的元素按从大到小的顺序排列,则第 2005 个数是( A .
5 7 ? 5 7
2


? 6 7
3

?

6 7
3

?

3 7
4

B .

5 7

?

5 7
2

?

2 7
4

C .

1 7

?

1 7
2

?

0 7
3

?

4 7
4

D.

1 7

?

1 7
2

?

0 7
3

?

3 7
4

解:用 [ a 1 a 2 ? a k ] p 表示 k 位 p 进制数,将集合 M 中的每个数乘以 7 ,得
3 2 M ? ? { a 1 ? 7 ? a 2 ? 7 ? a 3 ? 7 ? a 4 | a i ? T , i ? 1, 2, 3, 4} ? { [ a 1 a 2 a 3 a 4 ] 7 | a i ? T , i ? 1, 2, 3, 4} .

4

M ? 中的最大数为 [ 6666 ] 7 ? [ 2400 ] 10 。在十进制数中,从 2400 起从大到小顺序排列

的第 2005 个数是 2400-2004=396。而 [ 396 ] 10 ? [1104 ] 7 将此数除以 7 ,便得 M 中的数
4

1 7

?

1 7
2

?

0 7
3

?

4 7
4

. 故选 C。

8. (2004 全国)已知数列 a 0 , a 1 , a 2 , ..., a n , ..., 满足关系式 (3 ? a n ? 1 )(6 ? a n ) ? 1 8, 且 a 0 ? 3 , 则?
i?o n

1 ai

的值是_________________________。

解:设 b n ?

1 an

, n ? 0 ,1, 2 , ..., 则 (3 ?

1 bn ?1

)(6 ?

1 bn

) ? 1 8,


1

3bn ?1 ? 6 bn ? 1 ? 0 . ? bn ?1 ? 2 bn ?

1 3

, bn ?1 ?

1 3

? 2 (bn ?

1 3

)

故数列 { b n ? } 是公比为 2 的
3

等比数列,
bn ? 1 3
n

? 2 ( b0 ?
n

1 3

)? 2 (
n

1 a0

?

1 3

)?

1 3

?2

n ?1

? bn ?

1 3

(2

n ?1

? 1) 。

?
i?o

1 ai

?

?
i?0

n

bi ?

?
i?0

n

1 3

(2

i ?1

? 1) ?

? 1 1 ? 2(2 ? 1) n?2 ? ( n ? 1) ? ? ? 2 ? n ? 3? 。 ? 3? 2 ?1 ? 3
r s t

n ?1

9. (2005 四川)设 r , s , t 为整数,集合 { a | a ? 2 ? 2 ? 2 , 0 ? t ? s ? r } 中的数由小到大 组成数列 { a n } : 7 ,11 ,13 ,14 , ? ,则 a 36 ? 131 。
2

解:∵ r , s , t 为整数且 0 ? t ? s ? r ,∴ r 最小取 2,此时符合条件的数有 C 2 ? 1
r ? 3 , s , t 可在 0 ,1, 2 中取,符合条件有的数有 C 3 ? 3
2

同理, r ? 4 时,符合条件有的数有 C 4 ? 6
2

r ? 5 时,符合条件有的数有 C 5 ? 10
2

r ? 6 时,符合条件有的数有 C 6 ? 15
2

r ? 7 时,符合条件有的数有 C 7 ? 21
2

因此, a 36 是 r ? 7 中的最小值,即 a 36 ? 2 ? 2 ? 2 ? 131
0 1 7

三、解答题部分 1. (200 6 天津) 已知数列 { a n } 满足 a 1 ? p ,a 2 ? p ? 1 ,a n ? 2 ? 2 a n ? 1 ? a n ? n ? 20 , 其中 p 是给定的实数, n 是正整数,试求 n 的值,使得 a n 的值最小. 【 解 】 令 b n ? a n ?1 ? a n , n ? 1, 2 , ? 由 题 设 a n ? 2 ? 2 a n ? 1 ? a n ? n ? 20 , 有
b n ? 1 ? b n ? n ? 20 , 且 b 1 ? 1 ? ? ? 5 分

于是

?

n ?1

( b i ?1 ? b i ) ?

? ( i ? 20 )
i ?1

n ?1

,即

i ?1

b n ? b 1 ? [1 ? 2 ? ? ? ( n ? 1)] ? 2 n ( n ? 1) .

∴ bn ?

( n ? 1)( n ? 40 ) 2

?1.

(※) ???????10 分

又 a 1 ? p , a 2 ? p ? 1 ,则 a 3 ? 2 a 2 ? a 1 ? 1 ? 20 ? p ? 17 ? a 1 ? a 2 . ∴当 a n 的值最小时,应有 n ? 3 , a n ? a n ? 1 ,且 a n ? a n ?1 . 即 b n ? a n ? 1 ? a n ? 0 , b n ?1 ? a n ? a n ?1 ? 0 . 由(※)式,得 ?
? ( n ? 1 )( n ? 40 ) ? 2 ? ( n ? 2 )( n ? 41 ) ? ? 2

???????? 15 分
? n ? 40 ? n ? 40

由于 n ? 3 ,且 n ? N ,解得 ?
*



∴当 n ? 40 时, a 40 的值最小.

????????????????? 20 分

2. (2006 陕西赛区预赛)(20 分)已知 sin ( 2 ? ? ? ) ? 3 sin ? ,设 tan ? ? x , tan ? ? y , 记 y ? f (x) 。 (1)求 f ( x ) 的表达式;
f (x) ? x 1? 2x
2

2

(2)定义正数数列 { a n } ; a 1 ?
2 2
n?2

1 2

, a n ? 1 ? 2 a n ? f ( a n )( n ? N ) 。试求数列 { a n } 的通项公式。
*

an ?

n ?1

?1

.

3 . 2006 安 徽 初 赛 ) 已 知 数 列 ? a n ? ? n (
a n ?1 ? 2 3 0a n ? a n ? ?1 ? 1 1 n ? a

? 0?

满足

a0 ? 0

,对于所有

n ? N?

,有

5 ,求 a n 的通项公式.

4. (2006 吉林预赛)设{an}为一个实数数列,a1=t,an+1=4an(1-an)。求有多少个不同 的实数 t 使得 a2006=0。 ( 2
2004

+1)

5. (2006 年南昌市)将等差数列{ a n }: a n ? 4 n ? 1 ( n ? N ) 中所有能被 3 或 5 整除的
*

数删去后,剩下的数自小到大排成一个数列{ b n },求 b 2 0 0 6 的值. 解:由于 a n ? 15 ? a n ? 60 ,故若 a n 是 3 或 5 的倍数,当且仅当 a n ? 15 是 3 或 5 的倍数. 现将数轴正向分成一系列长为 60 的区间段:(0,+?)=(0,60]∪(60,120]∪(120,180] ∪ ? , 注 意 第 一 个 区 间 段 中 含 有 { an } 的 项 15 个 , 即 8 个 ,

3,7,11,15,19,23,27,31,35,39,43,47,51,55,59. 其 中 属 于 { b n } 的 项

为: b 1 ? 7 , b 2 ? 11 , b 3 ? 19 , b 4 ? 23 , b 5 ? 31 , b 6 ? 43 , b 7 ? 47 , b 8 ? 59 ,于是每个区 间段中恰有 15 个{ a n }的项,8 个{ b n }的项,且有 b 8 k ? r ? b r ? 60 k ,k∈N,1≤r≤8. 由 于 2006 = 8 × 250+6,
5. 0


4 3

b 6 ? 43

,





b 2006 ? 60 ? 250 ? b 6 ? 60 ? 250 ? 43 ? 1

6 . ( 2004

湖 南 ) 设 数 列 { a n } 满 足 条 件 : a 1 ? 1, a 2 ? 2 , 且

a n ? 2 ? a n ? 1 ? a n ( n ? 1, 2 , 3 , ? )
a n ?1 ? 1 ? 1
n

求证:对于任何正整数 n,都有

n

an
ak a k ?1 a k ?1 a k ?1

证明:令 a 0 ? 1 ,则有 a k ? 1 ? a k ? a k ? 1 ,且

1?

?

( k ? 1, 2 , ? ) ,

于是

n ?

?
k ?1

n

ak a k ?1

?

?
k ?1

n

a k ?1 a k ?1

由算术-几何平均值不等式,可得

1?

n

a1 a2

?

a2 a3

?? ?

an a n ?1

+n

a0 a2

?

a1 a3

?? ?

a n ?1 a n ?1

注意到

a 0 ? a 1 ? 1 ,可知 1 ?

1
n

?
n

1 a n a n ?1

,即

n

a n ?1

a n ?1 ? 1 ?

1
n

an

7 .( 2006 年 上 海 )
? an ? 1, 当 n 为 偶 数 时 , ? 2 ? an ? ? 1 , 当 n为奇数时. ? ? a n ?1 ?

数 列 ? a n ? 定 义 如 下 : a1 ? 1 , 且 当 n ? 2 时 ,

已知 a n ? 解

30 19

,求正整数 n.

由题设易知, a n ? 0 , n ?1 , 2 , ? .又由 a 1 ? 1 ,可得,当 n 为偶数时, a n ? 1 ;
1 a n ?1 30 19 11 19 19 11 8 11
n 2

当 n ( ? 1) 是奇数时, a n ?

?1.

??????(4 分)

由 an ?

30 19

? 1 ,所以 n 为偶数,于是 a n ?
2

?1 ?

? 1 ,所以,

是奇数.

于是依次可得:a n
2

?1

?

19 11

?1,

n 2

? 1 是偶数,a n ? 2 ?
4

?1 ?

?1,

n?2 4

是奇数,

a n?2
4

?1

?

11 8 8 3 5 3 3 2

?1,

n?6 4

是偶数, a n ? 6 ?
8

11 8 8 3

?1 ?

3 8 5 3

?1,

n?6 8

是奇数,

a n?6
8

?1

?

? 1,

n ? 14 8

是偶数, a n ? 1 4 ?
16

?1 ?

?1,

n ? 14 16

是偶数,

a n ?1 4 ?
32

?1 ?

2 3

? 1,

n ? 14 32

是奇数, ?????(9 分)

a n ?1 4
32

?1

?

?1,

n ? 46 32

是偶数, a n ? 4 6 ?
64

3 2

?1 ?

1 2

? 1,

n ? 46 64

是奇数,

a n ? 46
64

?1

? 2 ?1,
n ? 110 128

n ? 110 64

是偶数, a n ? 1 1 0 ? 2 ? 1 ? 1 ,
128

所以,

? 1 ,解得,n=238.

?????? (14 分)

13. (2005 全国)数列 { a n } 满足: a 0 ? 1, a n ? 1 ?

7an ?

45 a n ? 36
2

,n ? N.

2

证明: (1)对任意 n ? N , a n 为正整数;(2)对任意 n ? N , a n a n ? 1 ? 1 为完全平方数。 证 明 :( 1 ) 由 题 设 得 a 1 ? 5 , 且 { a n } 严 格 单 调 递 增 . 将 条 件 式 变 形 得
2 a n ?1 ? 7 a n ?
2

45 a n ? 36 , 两边平方整理得 a n ? 1 ? 7 a n a n ? 1 ? a n ? 9 ? 0
2
2 2



? a n ? 7 a n ?1 a n ? a n ?1 ? 9 ? 0
2



①-②得 ( a n ? 1 ? a n ? 1 )( a n ? 1 ? a n ? 1 ? 7 a n ) ? 0, ? a n ? 1 ? a n , ? a n ? 1 ? a n ? 1 ? 7 a n ? 0 ?
a n ? 1 ? 7 a n ? a b ?1 .



由③式及 a 0 ? 1, a 1 ? 5 可知,对任意 n ? N , a n 为正整数.??????????10 分 (2)将①两边配方,得 ( a n ? 1 ? a n ) ? 9 ( a n a n ? 1 ? 1), ? a n a n ? 1 ? 1 ? (
2

a n ?1 a n 3

) .④

2

由③ a n ? 1 ? a n ? 9 a n ? ( a n ? 1 ? a n ) ≡ ? ( a n ? a n ? 1 ) ? m o d 3 ? ∴ a n ? 1 ? a n ≡ ( ? 1) ? a 1 ? a 0 ? ≡0(mod3)∴
n

a n ?1 ? a n 3

为正整数

④式成立.? a n a n ? 1 ? 1 是完全平方数.??????????????20 分
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m


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