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广东省广州市越秀区2013届高三摸底调研测试数学(文科)试题卷


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广东省广州市越秀区 2013 届高三摸底调研测试数学(文科)试题卷
本试卷共 4 页,21 小题,满分 150 分.考试用时 120 分钟. 注意事项: 1.答选择题前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考试科 目填写在答题卡上,并用 2B 铅笔将相

应的信息点涂黑. 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需改 动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案,答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区 域内的相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使 用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁,考试结束后,将试卷和答题卡一并交回.

参考公式: 球的表面积公式 S ? 4? R ,其中 R 是球的半径
2

第Ⅰ卷 (选择题 共 50 分) 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分,在每小题给出的四个选项中,只
有一项是符合题目要求的) 1. 若集合 A={x|x -x<0},B={x|-1<x<3},则 A∩B 等于( * ) A.{x|0<x<1}
2
2

B.{x|-1<x<3}

C.{x|1<x<3}

D. ?

2. y ? (sin x ? cos x) ? 1 是 ( * ) A.最小正周期为 2π 的偶函数 C.最小正周期为 π 的偶函数
2

B.最小正周期为 2π 的奇函数 D.最小正周期为 π 的奇函数

3. 若复数(a -4a+3)+(a-1)i 是纯虚数,则实数 a 的值为 ( * ) A.1 B.3 C.1 或 3 D.-1

4.在边长为 1 的等边 ?ABC 中,设 BC ? a, CA ? b, AB ? c ,则a ? b ? b ? c ? c ? a ? ( * )
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??? ?

? ??? ?

? ??? ?

?

? ? ? ? ? ?

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A. ?

3 2

B.0

C.

3 2

D.3

5.已知相异直线 a,b 和不重合平面 ? , ? ,则 a∥b 的一个充分条件是( * ) A.a∥ ? , b∥ ? C.a⊥ ? ,b⊥ ? , ? ∥ ? B.a∥ ? ,b∥ ? , ? ∥ ? D. ? ⊥ ? ,a ⊥ ? ,b ∥ ?

6.P 是双曲线

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 左支上的一点,F1、F2 分别是左、右焦点,且焦距为 a2 b2

2c,则 ?PF F2 的内切圆的圆心的横坐标为( * ) 1 A. ? a B. ? b C. ? c D. a ? b ? c

7.已知 ? ? ?( x, y) | x ? y ? 6, x ? 0, y ? 0 , A ? ?( x, y) | x ? 4, y ? 0, x ? 2 y ? 0? ,若向区域 ? ? 内随机投一点 P,则点 P 落在区域 A 内的概率为 ( * ) A.

1 3

B.

2 3

C.

1 9
2

D.

2 9

8.在等差数列{an}中,其前 n 项和为 Sn.若 a2,a10 是方程 x +12x-8=0 的两个根,那么 S11 的值 为 ( * ) A.44 B.-44 C.66 D.-66

9.设 P 为曲线 C: y ? x2 ? 2x ? 3 上的点,且曲线 C 在点 P 处的切线的倾斜角的取值范围为

? ?? ?0, ? ,则点 P 的横坐标的取值范围为 ( * ) ? 4?
A. ? ?1 ? ? , 2

? ?

1? ?

B. ? ?1 0? ,

C. ?0, 1?

D. ? , 1?
y 2 A

?1 ? ?2 ?

10.函数 f(x)的图象是如图所示的折线段 OAB,点 A 坐标 为(1,2),点 B 坐标为(3,0).定义函数 g ( x) ? f ( x) ? ( x ? 1) .

B

则函数 g(x)最大值为( * ) A.0 B.2 C.1 D.4

o

1

3

x

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第 II 卷(非选择题 满分 100 分)
二、填空题(本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分)
(一)必做题(11 ? 13 题) 11.一个球的内接长方体的长、宽、高分别为 1、2、3, 则这个球的表面积是 * . 开始 输入 x

3 12. 若 sin( ? ? ) ? ,则 cos 2? ? 2 5
13. 按如图所示的程序框图运算. (1) 若输入 x ? 8 ,则输出 k ? *

?

k ?0
* .

x ? 10 x ? 8

; * .

k ? k ?1
x ? 2008
是 输出 x,k

(2) 若输出 k ? 2 ,则输入 x 的取值范围是



(二)选做题(14 ? 15 题,考生只能从中选做一题) 14.(坐标系与参数方程选做题) 结束

在极坐标系中,过圆 ? ? 6cos? 的圆心,且垂直于极轴的直线的极坐标方程为 * .
C

15.(几何证明选讲选做题) 如图 AB 是⊙O 的直径,P 为 AB 延长线上的一点,PC 切⊙O 于点 C, PC=4,PB=2。则⊙O 的半径等于 * .
A O B P

三、解答题(本大题共 6 小题,满分 80 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
16.(本小题满分 12 分) 已知 a ? (cosx ? sin x, sin x),b ? (cosx ? sin x,2 cos x) ,设 f ( x) ? a ? b . (1)求函数 f (x) 的最小正周期; (2)当 x ? [0,

?
2

] 时,求函数 f (x) 的最大值及最小值.

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17.(本小题满分 12 分) 某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入客运,据市场分析,每辆客车营运的总利润 y 万元与营运年数 x(x∈N )的关系为 y=-x +18x-36. (1)每辆客车营运多少年,可使其营运总利润最大? (2)每辆客车营运多少年,可使其营运年平均利润最大?
* 2

18.(本小题满分 14 分) 在数列 ?an ? 中, a1 ? 3 , an?1 ? 3an ? 3n?1 . (1)设 bn ?

an .证明:数列 ?bn ? 是等差数列; 3n

(2)求数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn .

19.(本小题满分 14 分) 已知三棱柱 ABC—A1B1C1 的三视图如图所示, 其中主视图 AA1B1B 和左视图 B1BCC1 均为矩形,
B1 C1 A1 C1 B1 B1 C1 A1

3 在俯视图△A1B1C1 中,A1C1=3,A1B1=5, cos ?A1 ? . 5
(1)在三棱柱 ABC—A1B1C1 中,求证:BC⊥AC1; (2)在三棱柱 ABC—A1B1C1 中,若 D 是底边 AB 的中点,求证:AC1∥平面 CDB1. (3)若三棱柱的高为 5,求三视图中左视图的面积.
B1 俯视图 A1 B C 主视图 C1 A C B 左视图 B D

C A

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20.(本小题满分 14 分)
2 2 椭圆 x ? y ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1、F2,过 F1 的直线 l 与椭圆交于 A、B 两 2 2

a

b

点. (1)如果点 A 在圆 x 2 ? y 2 ? c 2 (c 为椭圆的半焦距)上,且|F1A|=c,求椭圆的离心率; (2)若函数 y ? 2 ? logm x (m ? 0且m ? 1) 的图象,无论 m 为何值时恒过定点(b,a) , 求 F2 B ? F2 A 的取值范围.

21.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x ) ?

ax 在 x ? 1 处取得极值 2. x ?b
2

(1)求函数 f (x) 的表达式; (2)当 m 满足什么条件时,函数 f (x) 在区间 (m , 2m ? 1) 上单调递增? (3)若 P( x0 , y0 ) 为 f ( x ) ?

ax ax 图象上任意一点,直线 l 与 f ( x ) ? 2 的图象切于点 x ?b x ?b
2

P ,求直线 l 的斜率 k 的取值范围.

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广州六中 2012-2013 学年度第二学期高三期中考试
数学(文科)-参考答案
一、选择题 二、填空题 11. 14π. 三、解答题 16.(1)? f ( x) ? a ? b = (cosx ? sin x) ? (cosx ? sin x) ? sin x ? 2 cos x = cos x ? sin x ? 2 sin x cos x
2 2

A D B A C

A D D A C

12. ?

7 . 25

13. (1) 3 ; (2) 19.2 ? x ? 200 .14. ? cos? ? 3 .

15. 3.

= cos 2 x ? sin 2 x = 2 (

2 2 cos2 x ? sin 2 x) 2 2

= 2(sin

?
4

cos 2 x ? cos

?
4

sin 2 x ) = 2 sin( 2 x ?

?
4

).

∴ f (x) 的最小正周期 T ? ? . (2) ∵ 0 ? x ?

? ? 5? ? , ∴ ? 2x ? ? . 4 4 4 2 ? ? ? ∴当 2 x ? ? ,即 x = 时, f (x) 有最大值 2 ; 4 2 8 ? 5? ? 当 2x ? ? ,即 x = 时, f (x) 有最小值-1. 4 4 2
2 2

17.(1)每辆客车营运的总利润为 y=-x +18x-36=-(x-9) +45, 故 x=9 时,y 取最大值 45. 即营运 9 年可使其营运总利润最大. (2)每辆客车营运年平均利润为

y ? x 2 ? 18 x ? 36 36 ? 18 ? ( x ? ) = x x x

? 18 ? 2 x ?

36 ? 18 ? 12 ? 6. x
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当且仅当 x ?

36 时等号成立.解得 x=6. x

即每辆客车营运 6 年,可使其营运年平均利润最大. 18.(1) an?1 ? 3an ? 3n , ∴

an ?1 an ? ? 1 ,于是 bn?1 ? bn ? 1 , 3n ?1 3n

∴ ?bn ? 为首相和公差均为 1 的等差数列. 由 b1 ? 1 , bn ? n 得, ∴ an ? n ? 3n . (2) Sn ? 1 ? 3 ? 2 ? 3 ? ? ? (n ? 1) ? 3
1 2 n?1

an ?n 3n

? n ? 3n ,

3Sn ? 1? 32 ? 2 ? 33 ? ?? (n ? 1) ? 3n ? n ? 3n?1 ,
两式相减,得 2Sn ? n ? 3n?1 ? (31 ? 32 ? ? ? 3n ) , 解出 Sn ? (

n 1 n ?1 3 ? )3 ? . 2 4 4

19.(1)因为主视图和左视图均为矩形、所以该三棱柱为直三棱柱, 在俯视图△A1B1C1 中,A1C1=3,A1B1=5, cos ?A1 ? 由余弦定理可得 B1C1 ? 4 , ∴ ?AC1B1 ? ?ACB ? 90? , 1 ∴ BC ? AC 又∵BC⊥CC1,CC1∩A1C1=C1,∴BC⊥平面 ACC1A1. ∵AC1 ? 平面 ACC1A1,∴BC⊥AC1. (2) 连 BC1 交 B1C 于 M,则 M 为 BC1 的中点,连 DM,则 DM∥AC1. ∵DM ? 平面 DCB1,AC1 ? 平面 DCB1,
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3 , 5

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∴AC1∥平面 CDB1. (3) 左视图中 BC 的长等于底面△ABC 中顶点 C 到边 AB 的距离 d,

d?

3 ? 4 12 ? , 5 5 12 ? 5 ? 12 . 5

∴左视图的面积 S ?

20. 解: (1)∵点 A 在圆 x 2 ? y 2 ? c 2 上,? ?AF F2为一直角三角形, 1

?| F1 A |? c, | F1 F2 |? 2c

?| F2 A |? | F1 F2 | 2 ? | AF1 | 2 ? 3c …………3 分

由椭圆的定义知:|AF1|+|AF2|=2a,

? c ? 3c ? 2a

?e ?

c 2 ? ? 3 ? 1 ………………………………5 分 a 1? 3

(2)∵函数 y ? 2 ? logm x的图象恒过点(1, 2) ∴ a ? 2, b ? 1, c ? 1, ……6 分

点 F1(-1,0) 2(1,0) ……………………………………………7 分 ,F , ①若 AB ? x轴, 则A(?1,

2 2 ), B(?1,? ), 2 2

∴ F2 A ? (?2,

???? ?

? ? ? 2 ???? 2 ???? ???? 1 7 ), F2 B ? (?2, ? ), F2 A ? F2 B ? 4 ? ? ………………8 分 2 2 2 2

②若 AB 与 x 轴不垂直,设直线 AB 的斜率为 k,则 AB 的方程为 y=k(x+1) 由?

? y ? k ( x ? 1)
2 2

消去y得(1 ? 2k 2 ) x 2 ? 4k 2 x ? 2(k 2 ? 1) ? 0 …………(*) ?x ? 2 y ? 2 ? 0

? ? ? 8k 2 ? 8 ? 0,?方程(*)有两个不同的实根.
设点 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,则 x1,x2 是方程(*)的两个根

x1 ? x2 ? ?

4k 2 2(k 2 ? 1) , x1 x2 ? …………………………………………10 分 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

F2 A ? ( x1 ? 1, y1 ), F2 B ? ( x2 ? 1, y2 ), F2 A ? F2 B ? ( x1 ? 1)(x2 ? 1) ? y1 y2 ? (1 ? k 2 ) x1 x2 ? (k 2 ? 1)(x1 ? x2 ) ? 1 ? k 2
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? (1 ? k 2 )

2(k 2 ? 1) 4k 2 7k 2 ? 1 7 9 …12 分 ? (k 2 ? 1)(? ) ?1? k 2 ? ? ? 2 2 2 2 2(1 ? 2k 2 ) 1 ? 2k 1 ? 2k 1 ? 2k

?1 ? 2k 2 ? 1,? 0 ?

1 9 9 ? 1,0 ? ? 2 2 1 ? 2k 2(1 ? 2k ) 2 7 9 7 ? 1 ? F2 A ? F2 B ? ? ? , 2 2 2(1 ? 2k ) 2
7 ………………………………………………14 分 2

由①②知 ? 1 ? F2 A ? F2 B ?

21. 因为 f / ( x) ?

a( x 2 ? b) ? ax(2 x) , ( x 2 ? b) 2
ax 在 x ? 1 处取得极值 2, x ?b
2

而函数 f ( x ) ?

? f / (1) ? 0 所以 ? , f (1) ? 2 ?
解得 ?

?a(1 ? b) ? 2a ? 0 ? 即? a , ?2 ?1 ? b ?

?a ? 4 , ?b ? 1
4x 1? x2
/

所以 f ( x ) ?

即为所求 .

4( x 2 ? 1) ? 8x 2 ? 4( x ? 1)(x ? 1) (2)由(1)知 f ( x) ? ? ( x 2 ? 1) 2 (1 ? x 2 ) 2
?1

?


?
1


f / ( x)
f (x)



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? m ? ?1 ? 可知, f (x) 的单调增区间是 [?1 , 1 ] ,所以, ?2 m ? 1 ? 1 ? ? 1 ? m ? 0 . ?m ? 2 m ? 1 ?
所以当 m ? (?1 , 1 ] 时,函数 f (x) 在区间 (m , 2m ? 1) 上单调递增. (3)由条件知,过 f (x) 的图形上一点 P 的切线 l 的斜率 k 为:

k ? f ( x0 ) ?
/

4(1 ? x0 )
2

(1 ? x0 )

2 2

? 4?

? 1 ? x0 ? 2
2

(1 ? x0 )

2 2

? 4[

2 (1 ? x0 )
2 2

?

1 1 ? x0
2

]

令t ?

1 1 ? x0
2

,则 t ? (0 , 1] ,此时 , k ? 8(t ?
2

1 1 1 t ) ? 8(t ? ) 2 ? , 2 4 2

根据二次函数 k ? 8(t ? ) ?
2

1 4

1 的图象性质知: 2
当 t ? 1 时, t max ? 4 .

当t ?

1 1 时, t min ? ? ; 2 4

所以,直线 l 的斜率 k 的取值范围是 [?

1 ,4] . 2

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