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赣马高级中学2011高三考点突破专题二十一 有理函数与无理函数最值单调性


赣马高级中学 2011 高三考点突破专题二十一 简单有理函数与无理函数(1) 044 简单的有理函数与无理函数是由一、二次幂函数的复合
[自我提醒] 1.我们在研究分式函数值域时,除了分离常数法、导数法、单调性法、直接法、逆求法等外,还有一 种重要的解法就是判别式法。判别式法的理论依据是:任何一个函数的定义域应是非空数集,故将原函 数看成关于 x 的方程应有实数解, 利

用方程思想、 等价转化思想将二次分式函数表达式变形成为关于自 变量的一元二次方程,从而将函数自变量变成方程的 “元” ,根据定义域求函数值域的问题就自然转化 成为方程解的问题。 注意:在用判别式法求函数的值域时,由于变形过程中易出现不可逆得步骤,从而改变了函数定义域和 值域,因此,如果原函数定义域不是全体实数,判别式法求出来的值域很可能比实际上的范围要大。 2.分式函数求值域:

y?

c1 c cx ? d 、 y? (a2 ? 0) 直 接 法 ; y ? (a ? 0) 、 2 a2 x ? b2 x ? c2 ax ? b ax ? b

y?

a1 x 2 ? b1 x ? c1 a x 2 ? b1 x ? c1 (a1 ? 0) 、 y ? 1 (a1 ? 0) 分 离 常 数 、 不 等 式 法 ( 可 借 助 整 体 换 元 b2 x b2 x ? c2

; t ? b2 x ? c2 ) y ?

b1 x cx 、y? 、 (a2 ? 0) 不等式法(分子分母除以 x ,且 x ? 0 ) 2 2 a2 x ? b2 x ? c2 ax ? b

y?

a1 x 2 ? b1 x ? c1 (a1 , a 2 不同时为 0) 可用分离常数、判别式法求(分母恒不为零) 。 a 2 x 2 ? b2 x ? c 2

y?

a sin x ? b 函数有界性(定义域为 R),斜率定义。 c cos x ? d
1 ? 1 的值域 x?2
3x ? 1 的值域 x?2 3 的值域 x ?4
2

[自我检测] 1.求函数 y ?

2.求函数 y ?

3.求函数 y ?

4.求函数 y ? 5.求函数 y ?

x2 ? x ? 2 的值域 x2 ?1

(不能用判别式法)

x2 ? 5 x2 ? 4

的值域

x2 ? x ?1 6.求函数 y ? 的值域 2x 2 ? 2x ? 3



7.求函数 y ?

1 ? sin x 的值域 2 ? cos x

8. (2009 江苏高考)求函数

12 y x 20 最大值 ? ? ? x ? 12 y ? 5 x ? 3 y ? 20

9. (08 重庆文 12)函数 f(x)=

sin x (0≤x≤2 ? )的值域是 5 ? 4 cos x

10.求下列函数的值域: (1) y ?

x2 ? x ? 2 (2) y x2 ? 1

?

2x2 ? x ? 1 1 1 ? sin x ( x ? ) (3) y ? 2x ?1 2 2 ? cos x

考点突破专题二十一 简单有理函数与无理函数(2) 045 简单的有理函数与无理函数是由一、二次幂函数的复合
[自我提醒] 1.我们在研究分式函数值域时,除了分离常数法、导数法、单调性法、直接法、逆求法等外,还有一 种重要的解法就是判别式法。判别式法的理论依据是:任何一个函数的定义域应是非空数集,故将原函 数看成关于 x 的方程应有实数解, 利用方程思想、 等价转化思想将二次分式函数表达式变形成为关于自 变量的一元二次方程,从而将函数自变量变成方程的 “元” ,根据定义域求函数值域的问题就自然转化 成为方程解的问题。 注意:在用判别式法求函数的值域时,由于变形过程中易出现不可逆得步骤,从而改变了函数定义域和 值域,因此,如果原函数定义域不是全体实数,判别式法求出来的值域很可能比实际上的范围要大。 2.无理函数求值域:

y ? ax2 ? bx ? c 直接法、配方法、二次函数图解法;
y ? ax ? b ? cx ? d 代数换元法,平方判别式法; y ? ax ? b ? 1 ? x2 三角换元法;
y ? ax ? b ? d ? cx y ? ax ? b ? cx ? d 、 y ? ax ? b ? d ? cx (a ? 0, c ? 0) 单调性法

y ? a1 x 2 ? b1 x ? c1 ? a2 x 2 ? b2 x ? c2 几何意义法
3. 平方法:

y ? ax ? b ? cx ? d 平方判别式法求值域; y ? ax ?b ? c ?ax a ( ? c ? 0) 平方求单调性 0,
[自我检测] 1.判断函数 y= 1 ? x ?
2

x2 ? 1

的奇偶性

2.函数 y ? 1 ? 2 x ?

2 x ? 1 的奇偶性

3.求函数 y ? 1 ? x ? 1 ? x 的值域

4.求函数 y ? 2 x ? 4 1 ? x 的值域

5.湖北理 4 文 8) 函数 f ( x) ?

1 ln( x2 ? 3x ? 2 ? ? x2 ? 3x ? 4) 的定义域为 x

6. y ? 1 ? x ? 1 ? x 的值域

7.求函数 y ? ? x2 ? 6 x ? 5 值域

8.求函数 y ? 2 x ? 4 1 ? x 的值域

9.求函数 y ? x ?

x ? 1 的值域



10.求函数 y ? 1 ? x ? 1 ? x 的值域

11. (2008 江苏高考) y ? x ? 2 x 2 ? 20 x ? 200 ( 0 ? x ? 10 )的值域

12.求下列函数的值域: (1) y ? 4 ? 3 ? 2x ? x 2 ; (2) y ? (4) y ? x ? 1 ? x2 (5) y ?

3x ; (3) y ? x ? 4 1 ? x ; x ?4
2

x2 ? 8 x2 ? 4

; (6) y ? 1 ? x ? 1 ? x

考点突破专题二十一 简单有理函数与无理函数(1)
[自我检测]

1 1 ? 0 ,? y ? ? 1 ? 1 。{ y | y ? 1 }. x?2 x?2 3x ? 1 3( x ? 2) ? 7 7 2.解(分离变量法) y ? , ? ? 3? x?2 x?2 x?2 7 7 3x ? 1 ∵ 的值域为 { y ? R | y ? 3} . ? 0 ,∴ 3 ? ? 3 ,∴函数 y ? x?2 x?2 x?2 2 2 2 3 . 解 析 : 直 接 法 ) x ? 4 ? ?4 , 即 0 ? x ? 4或0 ? x ? 4 ? ?4 。 根 据 不 等 式 性 质 , ( 3 3 3 3 3 的值域是 (0, ??) ? (??, ? ] 。 0? 2 或 2 ? - 。因此,函数 y ? 2 x ?4 x ?4 4 x ?4 4
1. (直接法) ?

4.解 原函数可化为 y =

( x ? 2)( x ? 1) ( x ? 2) 1 ( x ? ?1) ,即 y ? 1 ? ( x ? ?1) , = ( x ? 1)( x ? 1) ( x ? 1) x ?1

?

1 3 3 ? 0 ,? y ? 1 且 y ? 故原函数的值域为{ y | y ? 1 且 y ? }。 x ?1 2 2
5.解析: (单调性法) y ?

x2 ? 5 x2 ? 4

?

( x 2 ? 4)2 ? 1 x2 ? 4

? x2 ? 4 ?

1 x2 ? 4

,用 y ? x ?

1 的单调性 x

可得,值域为 [ ,??) 。 6.解 原式变形为 (2 y ?1) x 2 ? (2 y ?1) x ? (3y ?1) ? 0 (1)当 y ? (*)

5 2

1 时,方程(*)无解; 2 1 3 1 (2)当 y ? 时,∵ x ? R ,∴ ? ? (2 y ? 1) 2 ? 4(2 y ? 1)(3y ? 1) ? 0 ,解得 ? y? 。 10 2 2 3 1 由(1)(2)得,此函数的值域为 [ , ) 、 10 2
7.解析: (法一) (函数的有界性) :原函数可化为: sin x ? y cos x ? 1 ? 2 y , ∴ 1? y2 sin( x ? ?) ? 1? 2 y (其中 cos ? ? ∴ sin( x ? ? ) ? ∴0 ? y ?

1 1? y2

,sin ? ?

y 1? y2

) ,

1? 2 y 1? y
2

? [?1,1] ,∴ |1? 2 y |? 1? y2 ,∴ 3 y2 ? 4 y ? 0 ,

4 4 , ∴原函数的值域为 [0, ] . (法二) 数形结合法: 可看作求点 (2,1) 与圆 x2 ? y2 ? 1 3 3 4 上的点的连线的斜率的范围,容易求得原函数的值为 [0, ] 。 3
8.
12 20 y 4 12x 20 y = ? ? ? 2 36 100 9 x ? 15x ? 36 y ? 25 y ? 100 x ? 15 ? y ? 25 ? x y
2

2 9. (解:令 5 ? 4 cos x ? t (1 ? t ? 3) ,则 sin x ?

16 ? (t 2 ? 5)2 ,当 0 ? x ? ? 时, 16

sin x ?

16 ? (t 2 ? 5) 2 ?t 4 ? 10t 2 ? 9 sin x ?t 4 ? 10t 2 ? 9 ? ? , f ( x) ? 16 4 4t 5 ? 4cos x

?(t 2 ? ?

9 9 ) ? 10 ?2t 2 ? 2 ? 10 2 1 t t ? ? 当且仅当 t ? 3 时取等号。 4 4 2

同理可得当 ? ? x ? 2? 时, f ( x) ? ?

1 1 1 ,综上可知 f ( x ) 的值域为 [? , ] ,故选 C。 2 2 2
x2 ?1 ? x ?1 x ?1 1 ? 1? 2 ? 1? (x ? ? 1), 2 x ?1 x ?1 x ?1

10.(1) : (分离常数法)原函数可化为 y==

即 y=1+

1 1 (x ? ? 1), ? ? 0,原函数的值域为 {x | y ? 1} 。 x ?1 x ?1
2

2 x ? x ? 1 x(2 x ? 1) ? 1 1 1 1 ? ? x? ? x? ? ? , (注: 2x ?1 2x ?1 2x ?1 2 x?1 2 2 1 1 1 1 1 1 也可以设 t ? 2 x ? 1 )∵ x ? ,∴ x ? ? 0 ,∴ x ? ? 2 ? 2 ( x ? ) 2 ? 2 ,当且仅当 2 x?1 2 (x ? 1) 2 2 2 2 1 1 1? 2 1 1 x ? ? 2 时,即 x ? 时等号成立.∴ y ? 2 ? ,∴原函数的值域为 [ 2 ? , ??) . 1 2 x? 2 2 2 2
(2) (换元、分离常数法) y ? (3)解析: (法一) (函数的有界性) :原函数可化为: sin x ? y cos x ? 1 ? 2 y , ∴ 1? y2 sin( x ? ?) ? 1? 2 y (其中 cos ? ? ∴ sin( x ? ? ) ? ∴0 ? y ?

1 2

1 1? y
2

,sin ? ?

y 1? y2

) ,

1? 2 y 1? y
2

? [?1,1] ,∴ |1? 2 y |? 1? y2 ,∴ 3 y2 ? 4 y ? 0 ,

4 4 , ∴原函数的值域为 [0, ] . (法二) 数形结合法: 可看作求点 (2,1) 与圆 x2 ? y2 ? 1 3 3 4 上的点的连线的斜率的范围,容易求得原函数的值域为 [0, ] 。 3

考点突破专题二十一 简单有理函数与无理函数(2)
[自我检测]1.既奇又偶函数。2.既不是偶函数,也不是奇函数

1 2 x ? 1 定义域 { } ,函数既不是偶函数,也不是奇函数。 2 3.解: y ? 1 ? x ? 1 ? x 定义域为 [?1,1] ,且函数在定义域上是增函数
解析:函数 y ? 1 ? 2 x ? 所以当 x ? 1 时, ymax ?

2 ,当 x ? ?1 时, ymin ? ? 2 ,函数的值域为 [ ? 2, 2] 。
(t ? 0) y ? f (t ) ? 2 ? (1 ? t 2 ) ? 4t ? ?2t 2 ? 4t ? 2 ? ?2(t ?1) 2 ? 4

4. (代数换元法)设 t ? 1 ? x ∵t ? 0 ∴y ? 4

?x ? 0 ? 2 ? x ? 3x ? 2 ? 0 ? x ? [?4, 0) ? (0,1) 5.解:函数的定义域必须满足条件: ? 2 ? x ? 3x ? 4 ? 0 ? ? x 2 ? 3x ? 2 ? ? x 2 ? 3x ? 4 ? 0 ?
6.解析: y ? 1 ? x ? 1 ? x 定义域为 [?1,1] ,且函数在定义域上是增函数,所以当 x ? 1 时,

ymax ? 2 ,当 x ? ?1 时, ymin ? ? 2 ,函数的值域为 [ ? 2, 2] 。
7.解析:设 ? ? ?x2 ? 6x ? 5 ( ? ? 0 ) ,则原函数可化为 y ?

?.

又∵ ? ? ?x2 ? 6x ? 5 ? ?( x ? 3)2 ? 4 ? 4 ,∴ 0 ? ? ? 4 ,故 ? ? [0, 2] , ∴ y ? ? x2 ? 6 x ? 5 的值域为 [0, 2] . 8.(代数换元法)设 t ? 1 ? x (t ? 0) y ? f (t ) ? 2 ? (1 ? t 2 ) ? 4t ∴y ? 4
2
2

? ?2t 2 ? 4t ? 2 ? ?2(t ?1) 2 ? 4 ∵t ? 0

3 ? 1? ? 9. (换元法) 令 t ? x ? 1 , t ? 0, x ? t ? 1 , y ? t ? t ? 1 ? ? t ? ? ? , ? t ? 0, 解: 则 得 又 4 ? 2?
2

1 3 ? y ? t 2 ? t ? 1 ? ? 0 ? ? ? ? 1 ,故原函数的值域为 y ? ?1,?? ? ? ? ? 2? 4
(单调性)定义域为 ?1,?? ?,且函数在定义域上是增函数,所以当 x ? 1 时, y min ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ,函 数的值域为 ?1,?? ? 10. (平方法) y ? 1 ? x ? 1 ? x ,y ? 0 使 y 有意义, 解: 必须 1 ? x ? 0 且 1 ? x ? 0 , ? 1 ? x ? 1 , 即 ∵ y 2 ? 2 ? 2 1 ? x2 ?[2, 4] ,∴ t 的取值范围是 [ 2 , 2] 。 11 . 方 法 1 : y / ? 1?
2( x ? 10) x ? 20 x ? 200
2

2

, 令 y / ? 0 得 x ? 10 ?

10 3 3

, 此 时 易 得

AO ? BO ? (10 ? x)2 ? 100 ?

20 3 (km) 3

方法 2:由 y ? x ? 2 x 2 ? 20x ? 200 得 y ? x ? 2 x 2 ? 20x ? 200,平方并化简得
3x 2 ? 2( y ? 40) x ? 800 ? y 2 ? 0 ,应有 ? ? 4( y ? 40)2 ? 12(800 ? y 2 ) ? 0 ,即 y 2 ? 20 y ? 200 ? 0 ,所以

,当 y ? 10 ? 10 3 时 x ? 10 ? y ? 10 ? 10 3 或 y ? 10 ? 10 3 (舍去)
20 3 (km) . 3

10 3 , 3

此时易得 AO ? BO ? (10 ? x)2 ? 100 ?

方法 3:令 x ?10 ? t, t ? 2 t 2 ?100 ? u ,则 y ? u ?10 ,只需求 u 的最小值即可, u ? t ? 2 t 2 ? 100 ,平 方化简得 3t 2 ? 2ut ? 400 ? u2 ? 0 ,应有 ? ? 4u 2 ? 12(400 ? u 2 ) ? 0 , u 2 ? 300 ,显然 u ? 0 ,故 u ? 10 3 ,当
u ? 10 3 时 t ? ?
10 3 10 3 20 3 (km) ,即 x ? 10 ? ,此时易得 AO ? BO ? (10 ? x)2 ? 100 ? 3 3 3

12 ( 1 )( 配 方 法 、 二 次 函 数 图 像 法 ) y ? 4 ? ?( x ?1)2 ? 4, 0 ? ?( x ?1)2 ? 4 ? 4 ,

0 ? ?( x ?1)2 ? 4 ? 2 。所以,函数值域是 [2,4];
( 2 ) 不 等 式 法 ) 若 x ? 0, y ? ( :

3x 3 3 3 3 ? ? , 0 ? y ? ; 若 x ? 0, y ? 4 x ?4 x? 4 4 4 x? x x
2

??

3 , 4

3 3x 3 3 . 的 值 域 是 [? , ] 。 ( 判 别 式 法 ) : ? ? y ? 0 ; 若 x ? 0 ,y ? 0 所 以 , 函 数 y ? 2 4 4 4 x ?4 3x y? 2 ? yx2 ? 3x ? 4 y ? 0 。若 y ? 0, yx 2 ?3x ?4y ?0 有两个实数解,? ? 9 ?16 y2 ? 0 ,解得 x ?4 3 3 3x 3x 3 3 的值域是 [? , ] 。 ? ? y ? 且 y ? 0. 若 y ? 0, y ? 2 ? 0. 所以,函数 y ? 2 4 4 x ?4 4 4 x ?4 2 ( 3 )( 代 数 换 元 法 ): 设 t ? 1? x ? 0 , 则 x ? 1 ? t , ∴ 原 函 数 可 化 为 y ? 1? t 2 ? 4t ? ?(t ? 2)2 ? 5(t ? 0) ,∴ y ? 5 ,∴原函数值域为 (??,5] . 2 (4) (三角换元法) :∵ 1 ? x ? 0 ? ?1 ? x ? 1 ,∴设 x ? cos ? , ? ? [0, ? ] , ? ? ? 5? 则 y ? cos ? ? sin ? ? 2 sin(? ? ) ∵ ? ? [0, ? ] , ∴ ? ? ?[ , ] , 4 4 4 4 ? 2 ∴ sin(? ? ) ?[? ,1] , 4 2
∴ 2 sin(? ?

?

4

) ?[?1, 2] ,∴原函数的值域为 [ ?1, 2 ] .

(5) (不等式法) y ?

x2 ? 8 x ?4
2

?

( x 2 ? 4)2 ? 4 x ?4
2

? x2 ? 4 ?
x2 ? 8 x2 ? 4

4 x ?4
2

?4,

当且仅当 x ? 4 ?
2

4 x2 ? 4

时,取等号。函数 y ?

值域为 [4, ??) 。

(6) 平方法) y ? 1 ? x ? 1 ? x , y ? 0 使 y 有意义,必须 1 ? x ? 0 且 1 ? x ? 0 ,即 ? 1 ? x ? 1 ( ∵ y 2 ? 2 ? 2 1 ? x2 ?[2, 4] , ∴ t 的取值范围是 [ 2 , 2] 。


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