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参数法解题


参数法解题
一、 巧设参数,解‘连等式’问题

例 1、若

x y z 1 ,求 x ,y ,z(甘肃升中题) 。 ? ? , 且x ? y ? z ? 2 3 4 12

解:设

x y z k(k≠0), 那么 x=2k、y=3k、z=4k ? ? ? 2 3 4
1 ,得

:2k+3k-4k= 1 ,解得:k= 1 , 12 12 12

代入 x+y-z=

所以:x=

1 ,y= 1 ,z= 1 . 6 4 3

评注:引入参数,把三个未知数转化为关于‘参数’的一元方程问题。 二、巧设参数,解‘代数式的最值’问题 例 2、设 a、b 为实数,那么 a2+ab+b2-a-2b 的最小值是多少? (1998 年全国初中数学联赛) 解:设 a +ab+b -a-2b=k,整理得:b + (a-2)b+(a -a-k)= 0 把上述等式看成是关于 b 的方程,因为 b 为实数,△≥0, (a-2) -4a +4a+4k≥0, 4k≥3a -4 k≥
2 2 2 2 2 2 2

3 a2-1 4

∵a 为实数, 所以:当 a=0 时,k 有最小值为-1。 即 a2+ab+b2-a-2b 的最小值是-1。 评注:引入参数,把代数式问题转化为方程的问题是本题的独到之处。 三、巧设参数,求‘方程的整数解’问题 例 3、求 3x+5y=27 的正整数解。 解:显然此不定方程的一组正整数解为:x=4,y=3 设 3x+5y=27 的整数解的参数方程为: ?

? x ? 5k ? 4 (k 为参数,且为整数) y ? ?3k ? 3 ?

∵x>0,y>0 , ?

?5k ? 4 ? 0 4 ,解得: ? <k<1 5 ?? 3k ? 3 ? 0

∴k=o ,所以:此方程的正整数解为 1 组,为 x=4,y=3 评注: 引入参数, 把非定向的问题转化为定向问题, 构造含参数方程组是解题的关键。 四、巧设参数,解‘不等式’问题 例 4、若 x+y+z=1,求证:x2+y2+z2≥

1。 3

证明:设 x=
2

1 -k ,y= 1 -k ,z= 1 +(k +k ) 1 2 1 2 3 3 3
2 2

x +y +z =(

1 -k )2+( 1 -k )2+[ 1 +(k +k )]2 1 2 1 2 3 3 3

=

1 +k 2+k 2+(k +k )2≥ 1 1 2 1 2 3 3

当且仅当 k1= k2=0 时,等号成立。 评注:引入参数,构造出含有目标的数字 的作用。 五、巧设参数,解‘完全平方数’问题 例 5、设 N=23x+92y 为完全平方数且不超过 2392,则满足上述条件的一切正整数对 (x,y)共有多少对?(2002 年全国初中数学联合竞赛) 解:N=23(x+4y)为不超过 2392 的完全平方数。23 为素数(即质数) 所以 x+4y 必为 23 的倍数。 设 x+4y=23k (k 为参数,且是完全平方数)

1 ,参数在证明过程中起到了一种‘桥梁’ 3

N=23×23k≤2392,k≤

104 <5,所以:k=1 或 4 23

当 k=1 时,x+4y=23,x=23-4y,x 为正整数, 所以:y=1,2,3,4,5 ;x=19, 15, 11, 7, 3 当 k=4 时,x+4y=92,x=92-4y,x 为正整数, 所以:y=1,2,3, …,22 ;x=88,84,80, …,4 所以满足条件的一切正整数对(x,y)共有 5+22=27 对。 评注:抓住完全平方数的特征,引入参数,从而达到化繁为简,化难为易的目的。 六、巧设参数,解‘应用题’问题 例 6、已知一个五边形,其中每四边的和分别为:12、18、21、18、19,求五边形各

边的长? 解:设五边形的五边的和为 k,则根据题意得: (k-12)+(k-18)+(k-21)+(k-18)+(k-19)=k 解得:k=22 所以:五边形的各边的长为:10、4、1、4、2; 评注:单独设元直接列方程去解,复杂难解,引入一个整体参数,把五元方程变 成一元方程是解决此题的一条捷径。 参数法的应用范围广泛,只要把握题目的特点,巧设参数是找到解题的突破口和提高 解题速度的一把钥匙。

练习: 1、

x y z ,求代数式 3x ? 5 y ? 2 z 的值?(仿照例 1,答案:- 1 ) ? ? 9 y ? 7z 8 2 3 5
2

2、求代数式 x ? 2 x ? 3 的最大值和最小值?(仿照例 2,答案:1,-4)

2x2 ? 2x ? 1

3、求方程 3x+7y=323 的正整数解的组数是多少?(仿照例 3,答案 14 组) 4、如果对于不小于 8 的自然数 n,当 3n+1 是一个完全平方数时,n+1 都能表示成 m 个 完全平方数的和,那么 m 的最小值为多少? (仿照例 5,答案:3) 5、已知一个四边形,其中每三边的和分别为 19、23、25、29,求四边形各边的长?(仿 照例 6,答案:13、9、7、3)


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