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2.1.3 空间中直线与平面之间的位置关系 2.1.4 平面与平面之间的位置关系


2.1.3
2.1.4

空间中直线与平面之间的位置关系
平面与平面之间的位置关系

1.了解空间中直线与平面的位置关系;(重点) 2.了解空间中平面与平面的位置关系; (重点)

3.会用图形语言、符号语言表示平面与平面之间的位置关
系. (难点) 4.培养空间想象能力.

r /> 思 考
1.一支笔所在的直线与一个作业本所在的平面,可 能有几种位置关系?

2.如下图所示,在长方体ABCD-A?B?C?D?中, (1)A?B所在的直线与平面A?A B B?有 无数 个公共点; (2)A?B所在的直线与平面A?A D D?有 一 个公共点; A?B所在的直线与平面ABCD有 一 个公共点; A?B所在的直线与平面B?B C C?有 一 个公共点; A?B所在的直线与平面A?B?C?D?有 一 个公共点; (3)A?B所在的直线与平面C?CDD?有 零 个公共点;
D? A? A B? D B C?

C

一、直线与平面的位置关系
空间中直线与平面的位置关系有哪些?靠什么来 划分呢?

直线与平面的位置关系只有三种: ①直线在平面内——有无数个公共点;

按照公共 点的个数 分类

②直线与平面相交——有且只有一个公共点; ③直线与平面平行——没有公共点。

直线和平面相交或平行的情况统称为直线在平面外。

(1)直线在平面内 (2)直线与平面相交
(3)直线与平面平行 直线在平面外

判断直线与平面的位置关系关键在于—判断直线与

平面的交点个数。

a

a A α

a
α α

直线在平面α 内 直线与平面α 相交 有无数个交点 有且只有一个交点

直线与平面α 平行 无交点

a?α

a ∩ α= A

a∥α

下面画法是错误的:

a α a a α α

直线应画在面内

直线与平面的位置关系 位置 关系

a在α 内 有无数个公共 点 a??

a与α 相交 有且仅一个公 共点 a∩?=A

a与α 平行

公共点
符号表示 图形表 示

没有公共点
a∥?

A

例1

下列命题中正确的个数是(



①若直线l上有无数个点不在平面α 内,则l ∥α ②若直线l与平面α 平行,则l与平面α 内的任意一条直线 都平行

③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行,那么另一
条也与这个平面平行 ④若直线l与平面α 平行,则l与平面α 内的任意一条直线 都没有公共点. (A)0 (B)1 (C)2 (D)3

解:可以借助长方体模型来看上述问题是否正确。

问题①不正确,相交时也符合。
问题②不正确, 如右图中,A'B与 平面DCC'D'平行, 但它与CD不平行。

问题③不正确。
另一条直线有可能在平面内,如AB∥CD,AB与平面DCC'D' 平行,但直线CD ? 平面DCC'D'

问题④正确,所以选B.

已知直线a在平面α 外,则( D ) (A)a∥α (B)直线a与平面α 至少有一个公共点 (C)a?α =A

(D)直线a与平面α 至多有一个公共点。

思考?
围成长方体的六个面,两两之间

D′

C′

的位置关系有几种?

A′ D

B′ C

A

B

二、平面与平面之间的位置关系
1.两个平面平行—— 没有公共点.
2.两个平面相交—— 有一条公共直线.

只有两种 位置关系

?
?

?

a
? // ?
? ?? ? a

?

例2

下列命题正确的是( D )

A.两个平面有无数个公共点,则这两个平面重合 B.若一个平面内有两条直线平行于另一个平面,则这两个 平面平行 C.若一个平面内有无数条直线平行于另一个平面,则这两 个平面平行 D.若两个平面平行,则其中的一个平面与另一个平面内的 无数条直线平行

如果三个平面两两相交,那么它们的交线有多少条?画出
图形表示你的结论。 答:有可能1条交线,也有可能3条交线。

( 1)

( 2)

1.若直线a不平行平面α ,且 是( B )

a ??

则下列结论成立的

(A)α 内所有直线与a异面
(B)α 内不存在与a平行的直线 (C)α 内存在唯一的直线与a平行 (D)α 内的直线与a都相交

2.平面α //平面β ,且a ? α ,下列四个命题: ①a与β 内的所有直线都平行 ②a与β 内的无数条直线平行 ③a与β 内的任一直线都不垂直 ④a与β 无公共点

①③ 其中错误命题的序号为__________.

3.(2012·承德高一检测)下列命题中,正确的是( (A)若a∥b,b? ? α ,则a∥α (B)若a∥α ,b? ? α ,则a∥b (C)若a∥α ,b∥α ,则a∥b (D)若a∥b,b∥α ,a ? α ,则a∥α

)

【解析】选D.排除法,对于A,a也可能在α内;对于B,a 与b也可能异面;对于C,a与b可能异面,也可能相交.

4.(1)一个平面把空间分为几部分? 2
(2)二个平面把空间分为几部分? 3或4 (3)三个平面把空间分为几部分? 4或6或7或8 了解一下: n个平面最多可将空间分为(n3 + 5n + 6)/6个部分

本节课我们学了:

直线与平面的位置关系
平面与平面的位置关系

空间中线与面的位置关系

图形

文字语言(读法)

符号语言
a∥α

?

a a

直线与平面无公共点 直线与平面平行 直线与平面有一个公共点 直线与平面相交

?

A

a ?? ? A

?

a

直线上所有的点都在 平面内 直线在平面内

a ??

空间中面与面的位置关系

图形

文字语言(读法)

符号语言

?
?
β α

两个平面无公共点 两个平面平行

α ∥β

两个平面有一公共直线 两个平面相交

? ?? ?l

不能因为人生的道路坎坷,就使自己
的身躯变得弯曲;不能因为生活的历程漫

长,就使求索的脚步迟缓。


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