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北京市海淀区2013-2014学年高二下学期期中考试数学(理)试卷


海淀区高二年级第二学期期中练习

数学(理科)
参考答案及评分标准
一. 选择题:本大题共 8 小题,每小题 4 分,共 32 分. 题号 答案 (1) B (2) C (3) C (4) D (5) C (6) B (7) B ( 8) A

2014.04

(8)讲评提示:考察函数



f ( x) . ex
1 6

二.填空题:本大题共6小题,每小题4分,共24分. (9) (2, + (13) 1 ? (14)(

)
?

(10) 4?

(11)

(12) 2

1 1 ? ? 2 3

1 ? n ? 1(n ? N*) , 2k ?1 (注:每空2分) 2n ?1 ? 1

ab a2 a2 b2 a 2 + b2 , 0) (注:回答出 ( , 0) 给4分;答案为 ( , 0) 或 ( , 0) 或 ( , 0) 给 b0 b0 b0 b0 2b0

3分;其它答案酌情给1~2分;未作答,给0分) 三.解答题:本大题共4小题,共44分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (15) (本小题满分 10 分) 证明: (Ⅰ)连接 AC 交 BD 于点 O ,连接 OE . 在矩形 ABCD 中, AO = OC . 因为 AE = EP , 所以 OE ∥ PC . ?????????2 分
P

因为 PC ? 平面 BDE , OE ? 平面 BDE , 所以 PC ∥平面 BDE . ?????????5 分 (Ⅱ)在矩形 ABCD 中, BC ^ CD . 因为 PD ^ BC , CD

E D A B O C

PD = D , PD ? 平面

PDC , DC ? 平面 PDC ,
所以 BC ^ 平面 PDC . 因为 PC ? 平面 PDC , 所以 BC ^ PC . 即 ?PBC 是直角三角形.

?????????8 分

?????????10 分

(16) (本小题满分 11 分) 解: (Ⅰ)因为 f ( x ) = ax + 3 x + 2 ,
3

所以

f '( x) ? 3ax 2 ? 3 .

?????????2 分

因为 函数 f ( x ) 的一个极值点是 1, 所以 f '(1) ? 3a ? 3 ? 0 . 解得: a ? ?1 . 经检验, a ? ?1 满足题意. 所以 f (2) ? 0, f '(2) ? ?9 . 所以曲线 y ? f ( x) 在点 (2, f (2)) 处的切线方程是 y ? ?9( x ? 2) ,即 9 x ? y ? 18 ? 0 . ?????????6 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知: f '( x) ? ?3 x ? 3 .
2

?????????4 分

令 f '( x) ? 0 ,得 x1 ? ?1, x2 ? 1 . 当 x 在 [?2,3] 上变化时, f '( x), f ? x ? 的变化情况如下表
x

?????????7 分

?2

(?2, ?1)
-

?1
0
0

(?1,1)
+ ↗

1
0

(1,3)


3

f '( x)

f ( x)

4



4

- 16

?????????10 分 所以 函数 f ( x) 在 [?2,3] 上的最大值为 4,最小值为-16. ?????????11 分

(17) (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)因为 g ( x) ? xe 所以 g '( x) ? (1 ? x)e
a? x a? x

, x?R , ?????????2 分



令 g '( x) ? 0 ,得 x ? 1 . 当 x 变化时, g ( x) 和 g '( x) 的变化情况如下:

x
g '( x)

(??, 1)

1

(1, ? ?)

?


0
e a ?1

?


g ( x)

故 g ( x) 的单调递减区间为 (1, ? ?) ;单调递增区间为 (??, 1) . ?????????5 分 (Ⅱ)因为 h( x) ? e a ? x ? x , 所以 h '( x) ? 1 ? e
a? x

.

?????????6 分

令 h '( x) ? 0 ,得 x ? a . 当 x 变化时, h( x) 和 h '( x) 的变化情况如下:

x
h '( x) h( x )

(??, a)

a
0
1? a

( a, ? ? )

?


?


即 h( x) 的单调递增区间为 (a, ? ?) ;单调递减区间为 (??, a ) . ?????????8 分 所以 h( x) 的最小值为 h(a ) ? 1 ? a . ①当 1 ? a ? 0 ,即 a ? ?1 时,函数 h( x) 不存在零点. ②当 1 ? a ? 0 ,即 a ? ?1 时,函数 h( x) 有一个零点.
a

?????????10 分

③当 1 ? a ? 0 ,即 a ? ?1 时, h(0) ? e ? 0 , 下证: h(2a ) ? 0 . 令 m( x) ? e x ? 2 x ,则 m '( x) ? e x ? 2 . 解 m '( x) ? e x ? 2 ? 0 得 x ? ln 2 . 当 x ? ln 2 时, m '( x) ? 0 ,所以 函数 m( x) 在 ? ln 2, ?? ? 上是增函数. 取 x ? ? a ? 1 ? ln 2 ,得: m(? a ) ? e ? a ? 2a ? e ln 2 ? 2 ln 2 ? 2 ? 2 ln 2 ? 0 . 所以 h(2a ) ? e ? a ? 2a ? m( ? a ) ? 0 . 结合函数 h( x) 的单调性可知,此时函数 h( x) 有两个零点. 综上,当 a ? ?1 时,函数 h( x) 不存在零点;当 a ? ?1 时,函数 h( x) 有一个零点;当 a ? ?1 时, 函数 h( x) 有两个零点. (18) (本小题满分 11 分) (Ⅰ)解: (1)不是,因为线段 A1 B2 与线段 A1 A2 不垂直; (2)不是,因为线段 B2 B3 与线段 A2 A3 不垂直. 真命题.理由如下: ?????????2 分 (Ⅱ)命题“对任意 n ? N 且 n ? 2, 总存在一条折线 C:A1 ? A2 ? ?????????12 分

? An 有共轭折线”是

当 n 为奇数时,不妨令 n ? 2k ? 1, k ? 2,3, 4,

,取折线 C:A1 ? A2 ?

? A2 k ?1 .其中 , k ),

Ai (ai , bi )(i ? 1, 2, b2i ? 1(i ? 1, 2,

, 2k ? 1) ,满足 ai ? i ? 1(i ? 1, 2,

, 2k ? 1), b2i ?1 ? 0(i ? 1, 2,

, k ? 1) .则折线 C 的共轭折线为折线 C 关于 x 轴对称的折线.如图所示.
y

A2 A1 B1 B2 A3 B3

A4 A5 ??? An-2

An-1 An Bn Bn-1 x

B5 ??? Bn-2 B4

当 n 为偶数时,不妨令 n ? 2k , k ? 2,3, 4,

,取折线 C:A1 ? A2 ?

? A2 k .其中

Ai (ai , bi )(i ? 1, 2, ai ? i ? 1(i ? 1, 2,

, 2k ) ,满足 , 2k ? 1), a2 k ? 2k , b2i ?1 ? 0(i ? 1, 2, , k ), b2i ? 1(i ? 1, 2, , 2k ) 满足 , k ? 1), , k ) .折线 C

的共轭折线为折线 C ':B1 ? B2 ?

? B2 k .其中 Bi ( xi , yi )(i ? 1, 2,

xi ? i ? 1(i ? 1, 2,
y2i ? ?1(i ? 1, 2,

, 2k ? 3), x2 k ? 2 ? 2k ? 1, x2 k ?1 ? 2k ? 1, x2 k ? 2k , y2i ?1 ? 0(i ? 1, 2,
, k ? 2), y2 k ? 2 ? ?3, y2 k ?1 ? ?1, y2 k ? 1 .如图所示.
y

?????????7 分

A2 A1 B1 B2 A3 B3

A4 A5 ??? B5 ??? B4 An-5 Bn-5

An-4 An-3 Bn-3 Bn-4

An-2 An-1

An Bn x Bn-1

Bn-2

注:本题答案不唯一. (Ⅲ)证明:假设折线 B1 ? B2 ? B3 ? B4 是题设中折线 C 的一条共轭折线(其中 B1 ? A1 ,

B4 ? A4 ) ,设 Bt Bt ?1 ? ( xt , yt ) ( t ? 1, 2,3 ),显然 xt , yt 为整数. 则由 Bt Bt ?1 ? At At ?1 ,

?3 x1 ? y1 ? 0, ? ?3 x2 ? y2 ? 0, ? 得: ?3 x3 ? y3 ? 0, ? x ? x ? x ? 9, ? 1 2 3 ? ? y1 ? y2 ? y3 ? 1.

① ② ③ ④ ⑤

? y1 ? ?3 x1 , ? 由①②③式得 ? y2 ? 3 x2 , ? y ? ?3 x . 3 ? 3
这与⑤式矛盾,因此,折线 C 无共轭折线. ?????????11 分

注:对于其它正确解法,相应给分.


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