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2015年高考理数二轮复习讲练测 热点05 数列中的最值问题(讲)(解析版)]


考向一 等差数列中的最值问题 1.讲高考
(1)考纲要求 理解等差数列的定义,掌握等差数列的通项公式和前 n 项和公式、等差数列的性质,会 求等差数列的前 n 项和的最值问题. (2)命题规律 等差数列前 n 项和的最值问题是高考考查的热点之一,考查形式为选择或填空小题,也 可以是解答题的一个小题,是中档题. 等差数列前 n 项和的最值问题考查题型为求等差数列前 n 项

和的最值或求取最值时对应 的项数或已知取最值时的项数求公差 d 的取值范围. 例1 【2014 高考北京版理第 12 题】 若等差数列 {an } 满足 a7 ? a8 ? a9 ? 0, a7 ? a10 ? 0 , 则当 n ? 时, {an } 的前 n 项和最大.

例 2【2014 高考大纲理第 18 题】等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,已知 a1 ? 10 , a2 为整数, 且 Sn ? S4 . (I)求 {an } 的通项公式; (II)设 bn ?

1 ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn . an an ?1

2.讲基础
已知等差数列 {an } 的首项为 a1 ,公差为 d ,则 an ? a1 ? (n ? 1)d ? dn ? a1 ? d 是关于 n 的函 数问题, S n ?

n(a1 ? an ) d d d ? na1 ? n(n ? 1) = n 2 ? (a1 ? )n 是关于 n 的函数问题,可以利 2 2 2 2

用二次函数的图像与性质求解最值问题.

3.讲典例
【例 1】 【2015 届河南省实验中学高三上学期期中考试,理 5】设 {a n }( n ? N ? ) 是等差数列,

S n 是其前 n 项和,且 S 5 ? S 6 , S 6 ? S 7 ? S 8 ,则下列结论错误的是(
A. d ? 0 B. a 7 ? 0 C. S 9 ? S 5

)

D. S6 和 S7 均为 Sn 的最大值

【趁热打铁】 【河北省正定中学 2015 届高三上学期第三次月考,理 7】已知等差数列 ?an ? 的 前 n 项和为 S n , a4 ? a7 ? a10 ? 9, S14 ? S3 ? 77 ,则使 S n 取得最小值时 n 的值为 ( A.4 【答案】B B.5 C.6 D.7 )

【例 2】 【浙江省嘉兴市第一中学 2015 届高三上学期期中考试,理 7】已知等差数列 ?an ? 的前

n 项和为 S n 且满足 S 17 ? 0, S 18 ? 0 ,则

S S1 S 2 , ,?, 17 中最大的项为( a1 a 2 a17
C.



A.

S6 a6

B.

S7 a7

S8 a8

D.

S9 a9

【趁热打铁】 【重庆一中 2015 级高三上期半期考试数学试题卷(理科)】已知等差数列 {an } 的 首项为 23,公差为整数,且第 6 项为正数,从第 7 项起为负数。 (1)求此数列的公差 d; (2)当前 n 项和 S n 是正数 时,求 n 的最大值 ...

4.讲方法

求等差数列前 n 项和的最值问题的方法: ①二次函数法:将 S n 看成关于 n 的二次函数,运用配方法,借助函数的单调性及数形结合思 想,使问题得到解决,注意项数 n 是正整数这一条件. ②通项公式法:求使 an ≥0( an ≤0)成立的最大 n 值,即可求出 S n 的最大值(或最小值). ③不等式法: 借助 S n 取最大值时, 有?

? S n ? S n ?1 (n ? 2, n ? N * ) , 解此不等式组确定 n 的范围, S ? S n ?1 ? n

进而确定 n 的值和对应 S n 的值(即为 S n 的最值).

5.讲易错
【题目】 【2014 年重庆一中高 2015 级高三上期半期考试数学试题卷(理科)】 已知等差数列 ?an ? 的公差 d ? 0, 若 a4 ? a6 ? 24, a2 ? a8 ? 10, 则该数列的前 n 项和 S n 的最大值为 ( A. )

361 8

B.9

C. 45

D. 35

考向二 与数列有关的最值问题 1.讲高考
(1)考纲要求 会利用数列及相关知识处理数列中的最值问题、取值范围等问题. (2)命题规律 数列与函数、不等式的结合,是高考考查的重点和热点,重点考查利用数列的相关知识和函

数、不等式知识求数列的最值或已知不等式成立求参数取值范围或是证明不等式,为解答题 的一个小题,难度为中档偏上试题. 例 1【2014 高考湖北理第 18 题】已知等差数列 {an } 满足: a1 ? 2 ,且 a1 、 a2 、 a5 成等比数 列. (1)求数列 {an } 的通项公式. (2) 记 S n 为数列 {an } 的前 n 项和, 是否存在正整数 n , 使得 S n ? 60n ? 800 ? 若存在, 求n 的 最小值;若不存在,说明理由.

例 2【2014 高考上海理科第 23 题】已知数列 {an } 满足 (1)若 a2

1 an ? an ?1 ? 3an , n ? N *, a1 ? 1 . 3

? 2, a3 ? x, a4 ? 9 ,求 x 的取值范围; ? a1 ? a2 ?
1 ? an , S n ? S n ?1 ? 3S n , n ? N *, 求 3

(2)若 {an } 是公比为 q 等比数列, S n

q 的取值范围;

(3)若 a1 , a2 ,

, ak 成等差数列,且 a1 ? a2 ? , ak 的公差.

? ak ? 1000 ,求正整数 k 的最大值,以

及 k 取最大值时相应数列 a1 , a2 ,

2.讲基础 数列是定义域为正整数集或其子集{1,2,3,…,N}函数,故函数中求最 值的单调性法、基本不等式等方法在数列最值问题中仍然适用,不等 恒成立问题的参变分离方法、分类讨论等方法在解决数列恒成立问题 中仍然适合. 3.讲典例
【例 1】 【湖北省黄冈中学 2015 届高三上学期期中考试数学,理 6 】若数列 ?an ? 满足

1 p ? ? 0, an ?1 an

?1? n ? N * , p为非零常数 ,则称数列 ?an ? 为“梦想数列”。已知正项数列 ? ? 为“梦想数列”,且 ? bn ?
b1b2b3
A.2

b99 ? 299 ,则 b8 ? b92 的最小值是( )
B.4 C.6 D.8

【趁热打铁】 【内蒙古一机一中 2015 届高三上学期期中考试,理 11】设 {an } 是等比数列,公 比q ?

2 ,S n 为 {an } 的前 n 项和。记 Tn ?
) B.4

17 S n ? S 2 n , n ? N * ,设 Tn0 为数列 {Tn } 的最大项, an ?1

则 n0 =( A.3

C.5

D.6

【例 2】 【浙江省重点中学协作体 2015 届第一次适应性训练, 理 10】 记数列 {an } 的前 n 项和为 S n , 若不等式
2 an ? 2 Sn ? ma12 对任意等差数列 {an } 及任意正整数 n 都成立,则实数 m 的最大值为( ) n2

A.

1 2

B.

1 3

C.

1 4

D.

1 5

【趁热打铁】 【北京市海淀区 2015 届高三上学期期中练习,理 8】设等差数列 {an } 的前 n 项和 为 S n .在同一个坐标系中, an ? f (n) 及 S n ? g (n) 的部分图象如图所示,则( )

(A)当 n ? 4 时, S n 取得最大值(B)当 n ? 3 时, S n 取得最大值 (C)当 n ? 4 时, S n 取得最小值(D)当 n ? 3 时, S n 取得最小值

4.讲方法
(1)求数列 {a n } 的前 n 项和 S n 的最值,主要是两种思路:①研究数列 a n ? f (n) 的项的情况, 判断 S n 的最值;②直接研究 S n 的通项公式,即利用类型 2 的思路求 S n 的最值. (2) 求数列 {a n } 的最值,主要有两种方法:①从函数角度考虑,利用函数 y ? f ( x) 的性质, 求数列 a n ? f (n) 的最值;②利用数列离散的特点,考察 ?

?ak ? ak ?1 ?ak ? ak ?1 或? ,然后判断 ?ak ? ak ?1 ?ak ? ak ?1

数列 {a n } 的最值情况. (3)对数列不等式恒成立问题,主要有两种方法:①通过参变分离法转化为数列的最值问题求 解;②通过分类讨论,解决恒成立.

5.讲易错
【题目】 【河南洛阳一高 2015 届上期第二次月考,17】已知数列 {a n } 的通项公式

9 a n ? (n ? 1)( ) n , (n ? N ) ,求 {a n } 的最大值。 10


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