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29.第五章 第三节 等比数列及其前n项和


第五章 第三节 等比数列及其前 n 项和
一、选择题 1.如果等比数列{an}中,a3·4·5·6·7=4 2,那么 a5=( a a a a A.2 C.± 2 B. 2 D.± 2 )

2.设数列{an},{bn}分别为等差数列与等比数列,且 a1=b1=4,a4=b4=1,则以下结 论正确的是( A.a2>b2 C.a5>b5 ) B.a3<

b3 D.a6>b6 )

2a1+a2 3.设 a1,a2,a3,a4 成等比数列,其公比为 2,则 的值为( 2a3+a4 1 A. 4 1 C. 8 1 B. 2 D.1

4.已知等比数列{an}中,an>0,a10a11=e,则 lna1+lna2+…+lna20 的值为( A.12 C.8 B.10 D.e )

)

5.若等比数列{an}满足 anan+1=16n,则公比为( A.2 C.8 B.4 D.16

6.a1,a2,a3,a4 是各项不为零的等差数列且公差 d≠0,若将此数列删去某一项得到 a1 的数列(按原来的顺序)是等比数列,则 的值为( d A.-4 或 1 C.4 二、填空题 7.已知{an}是递增等比数列,a2=2,a4-a3=4,则此数列的公比 q=________. 8.已知数列{an}的前 n 项和 Sn=2n-3,则数列{an}的通项公式为________. 9.设{an}是公比为 q 的等比数列,|q|>1,令 bn=an+1(n=1,2,…),若数列{bn}有连续 四项在集合{-53,-23,19,37,82}中,则 6q=________. 三、解答题 10.设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn· 已知 a2=6,6a1+a3=30,求 an 和 Sn· B.1 D.4 或-1 )

1

1 1 11.已知等比数列{an}中,a1= ,公比 q= . 3 3 1-an (1)Sn 为{an}的前 n 项和,证明:Sn= ; 2 (2)设 bn=log3a1+log3a2+…+log3an,求数列{bn}的通项公式.

12.已知两个等比数列{an},{bn},满足 a1=a(a>0), b1-a1=1,b2-a2=2,b3-a3=3. (1)若 a=1,求数列{an}的通项公式; (2)若数列{an}唯一,求 a 的值.

详解答案
一、选择题
5

5 1.解析:依题意得 a5=2 2 ,a5= 2.

答案:B 2.解析:设等差数列的公差为 d,等比数列公比为 q,由 a1=b1=4,a4=b4=1, 3 得 d=-1,q= 答案:A 3.解析:由题意得 a2=2a1,a3=4a1,a4=8a1.
2

2 3 ,于是 a2=3>b2=2 2. 2



2a1+a2 2a1+2a1 1 = = . 2a3+a4 8a1+8a1 4

答案:A 4.解析:lna1+lna2+…+lna20=ln[(a1a20)· 2a19)…(a10a11)]=lne10=10. (a 答案:B 5.解析:由 anan+1=16n,得 an+1·n+2=16n 1, a an+1·n+2 16n 1 a 两式相除得, = n =16,∴q2=16. 16 an·n+1 a ∵anan+1=16n,可知公比为正数,∴q=4. 答案:B 6. 解析: 若删去 a1 或 a4, 知数列既为等差也为等比时, 公差 d=0, 由条件知不成立. 若 删去 a2,则(a1+2d)2=a1(a1+3d), a1 若删去 a3,则(a1+d)2=a1(a1+3d),解得 =-4 或 1. d 答案:D 二、填空题 7.解析:由题意得 2q2-2q=4,解得 q=2 或 q=-1.又{an}单调递增,得 q>1,∴q =2. 答案:2
?-1,n=1 ? - 8. 解析: n≥2 时,n=Sn-Sn-1=2n 1, n=1 时,1=S1=-1, 当 a 当 a 所以 an=? n-1 . ? ?2 ,n≥2 ? ?-1,n=1 答案:an=? n-1 ?2 ,n≥2 ?
+ +

9.解析:∵bn=an+1,∴an=bn-1, 而{bn}有连续四项在集合{-53,-23,19,37,82}中, ∴{an}有连续四项在集合{-54,-24,18,36,81}中. ∵{an}是公比为 q 的等比数列,|q|>1, ∴{an}中的连续四项为-24,36,-54,81. 36 3 ∵q=- =- ,∴6q=-9. 24 2 答案:-9 三、解答题
? ?a1q=6, 10.解:设{an}的公比为 q,由题设得? 2 ?6a1+a1q =30. ?

3

?a1=3, ?a1=2, ? ? 解得? 或? ? ? ?q=2, ?q=3.

当 a1=3,q=2 时,an=3×2n 1,Sn=3×(2n-1); 当 a1=2,q=3 时,an=2×3n 1,Sn=3n-1. 1 1 - 1 11.解:(1)证明:因为 an= ×( )n 1= n, 3 3 3 1 1 1 ?1- n? 1- n 3 3 3 Sn= = , 1 2 1- 3 1-an 所以 Sn= . 2 (2)因为 bn=log3a1+log3a2+…+log3an =-(1+2+…+n) n?n+1? =- . 2 n?n+1? 所以{bn}的通项公式为 bn=- . 2 12.解:(1)设数列{an}的公比为 q,则 b1=1+a=2,b2=2+aq=2+q,b3=3+aq2=3 +q2, 由 b1,b2,b3 成等比数列得(2+q)2=2(3+q2). 即 q2-4q+2=0,解得 q1=2+ 2,q2=2- 2. 所以数列{an}的通项公式为 an=(2+ 2)n an=(2- 2)n 1. (2)设数列{an}的公比为 q,则由(2+aq)2=(1+a)(3+aq2),得 aq2-4aq+3a-1=0(*), 由 a>0 得 Δ=4a2+4a>0,故方程(*)有两个不同的实根. 由数列{an}唯一,知方程(*)必有一根为 0,代入(*)得 1 a= . 3
- -1 -





4


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