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空间关系描述的9


第22卷第3期 1997年9月

武汉测绘科技大学学报 Jou rna l of W uhan T echn ica l U n iversity of Su rveying and M app ing

V o l 22 N o. 3 . Sep t.  1997

摘 要 首先对4 元组、 元组描述框架进行了剖析,

指明了从4 元组向9 元组扩展的意义, 同时也论述了9 元组 9 存在的缺点和不足及其产生的原因。 最后, 提出用空间实体的势力范围 (A V ) 代替原9 元组中的 “补” 作为空间
) 实体的外部, 并结合空间实体的边界 ( 5 ) 、 A 内部 (A °, 构成新的基于空间实体势力范围的空间关系描述的92交

模型 ( 简称 N I ) , 并对其特点进行了分析。 V 关键词 势力范围; 4元组; 9元组 分类号 P208; O 189

1 点集拓扑的基本知识

  收稿日期: 1997205230. 李成名, 男28岁, 博士生, 现从事 G IS 基础理论研究。  3 国家自然科学基金资助项目, 编号49471059。

定义1 如果一个集合 X 的子集族 A 满足以 下3个条件: ( 1) 空集和 X 属于 A ( ∈A , X ∈A ) ; ( 2) A 中任意两个元素的交仍为 A 中的元素 (A 1 and A 2 ∈A , A 1 ∩A 2 ∈A ) ; ( 3) A 中任意两个元素的并仍为 A 中的元素 (A 1 and A 2 ∈A , A 1 ∪A 2 ∈A ) , 则 (X , A ) 称为拓扑空间, 记为 X 。 中的元素称 A 为 X 中的开集, 它们在 X 中的余集称为闭集。 定义2 集合 Y 的闭包为所有包含 Y 的闭集 的交, 用 ? 表示。 Y 定义3 Y 的边界是 Y 的闭包和 Y 的余的闭 包之交集, 用 5Y 表示。 定义 4   拓扑空间 X 的子集 Y 的外部是一 个集合{x x ∈X , and x | Y }, 表示为 Y - , Y - = X - Y。 定义5  拓扑空间 X 的子集 Y 的内点为, 总 存在小正实数 Ε 以它为圆心、 , Ε为半径的圆域都 包含在 Y 内。 由所有内点构成的集合称作 Y 的内 部, 记作 Y °内部、 。 边界、 外部、 闭包是进一步讨论 拓扑空间关系的基础, 并且它们之间满足以下关 系: 1) 5Y ∩Y ° = 2) Y ° Y = ∩ ) 5Y ∩Y - = 3

11 ( 武汉测绘科技大学测绘遥感信息工程国家重点实验室, 武汉市珞喻路39号, 430070) 21 ( 国家基础地理信息中心, 北京市海淀区紫竹院百胜村1号, 100044)

空间关系描述的92交模型3
李成名1  陈 军2

4) 5Y ∪Y ° Y = 5) X = Y ° Y - ∪5Y ∪ 定义6  设 Y 是拓扑空间 X 的一个子集, 若 Y 可以分为两个子集 A 和 B , 且有: 1) A ≠ , B ≠ ; 2) A ∪B = Y ; ? ? 3) A ∩B = , and A ∩B = 。 如果 A 、 存在, 则 Y 是不连通的 ( d isconnected ) , B 否则 Y 是连通的 ( connected ) 。

2 9元组框架的优点及不足

2. 1  基于点集的 4 元组拓扑 空 间 关 系 描 述 框

架[ 1, 2 ] 基于点集拓扑学的、 较系统化的4元组框架完 备描述了两个简单空间实体 ( 简单点、 简单线、 简 单面) 之间的拓扑关系。 由于下文要对其分析, 故 在此给出4元组框架的数学定义。 若将简单空间实 体看作是边界点和内部点构成的集合, 则4元组框 架是由两个简单空间实体点集的边界与边界的交 集、 边界与内部的交集、 内部与边界的交集、 内部 与内部的交集构成的4 ×4 矩阵。 两个简单空间实 体之间的关系可以由4元组中4个元素的不同取值 来确定: 5 ∩5 A B 5 ∩B ° A ( 1) R (A , B ) = A° 5 ∩ B A° B° ∩   假设存在空间物体 A 和 B , 其边界分别为 、 , 5 、B , 内部分别为 A ° °那么 A 和 B 之间 4 元 A 5 B

2                   武 汉 测 绘 科 技 大 学 学 报               1997年 08

组拓扑空间关系描述框架见式 ( 1 ) 。 ( 1 ) 中的元 式 素取值要么是空, 要么是非空, 总共会产生16种情 形。 排除掉在现实世界中不具有物理意义的情 [1 ] 况 , 即可得出8 种面 面空间关系 ( 见图 1 ) 、 种 16 线 线可能情况、 种线 面可能情况、 种点 线关 13 3 ( 图2 ( a ) ) 、 种点 面关系 ( 见图2 ( c) ) 和两种点 系 3 ( 见图2 (b ) ) 。 点关系

是线与线之间的关系。 其中, B 为细线型实体、 A 为粗线型实体。 在情形 ( a ) 中, A 包含在 B 内部, 情形 ( b ) 中, A 的一个端点在 B 内部, 另一个端点 在 B 的外部。 而在情形 ( c ) 中, A 的两个端点都在 ( ( 然而, 对于情形 ( a ) 、 b ) 、 c) 其4元组空 B 的内部。    间关系描述框架的取值均为 , 也就  是说, A 、 之间的关系可以由4 元组的取值确定, B 但是有时4元组框架内部的元素取值尽管相同, 却 有可能属于不同的关系情况。

(a )      (b )      (c)

图1 简单面 简单面之间拓扑关系
F ig. 1 T he Topo logica l R ela tion B etw een A rea and

图4 4元组空间关系描述框架 line line 情况不能区分示例
F ig. 4  ith Sam e V a lue U nder 42in tersection M odel W

2. 2 9元组空间关系描述框架 1) 9元组拓扑空间关系描述框架

为了能够将简单线型空间实体和简单线型空 间实体、 简单线型空间实体和简单面型空间实体 的每一种描述形式, 使之对应唯一的物理解释。 空 间实体的 “补” 作为空间实体的外部被引入空间关
(a )      (b )      (c)

图2 点 面拓扑关系、 点拓扑关系、 线拓扑关系 点 点
F ig. 2 T he Topo logica l R ela tion B etw een Po in t and O ther k inds of O b jects

系描述框架, 它同空间实体的边界、 内部构成了简 单空间实体的基本组件[ 2, 3 ]。 假设空间实体 A 的 边界为 5 、 、 “补” A - , 空间实体 B 的 为 A 内部为 A ° 交集就构成了空间关系描述的9元组框架:
R (A , B ) =

式 ( 1) 对于线 线、 面两种情况, 也许同一 线 种4 元组取值会对应多种物理解释。 换言之, 基于 点集拓扑学的4 元组空间关系描述框架对简单线 型空间实体之间、 简单线型空间实体和简单面型 空间实体之间关系的描述不具备唯一性。 如图3,

(a )         ( b )

图3 4元组空间关系描述框架 a rea line 情况不能区分示例
F ig. 3 T he Exam p le w ith the Sam e V a lue U nder 42in tersection M odel

图中 A 为简单线型实体、 为简单面型实体。 空 B 间实体 A 、 在情形 ( a ) 中, A 的两个端点在 B 的 B 边界上, 而在情形 (b ) 中, A 的一个边界点在 B 的 边界上, 另一个边界点则在 B 的外部, 但这两种   ( 情形 ( a ) 、 b ) 的4 元组框架取值均为 ,     ( ( 因此区分不开。 再如图4, 图中情形 (a ) 、 b ) 、 c ) 都

边界为 5 、 、 “补” B - , 它们两两之间的 为 B 内部 B ° 分。 从某种意义上讲, 在这几类空间实体组合中, 并无改善。 然而, 对于面 线、 线空间实体组合, 线
A ° 5  A ° B ° A ° B ∩ B ∩   ∩ A
-

在式 ( 2) 中, 内部每一元素的取值都有空 ( ) 与不 ) 两种可能。 空 (根据排列组合原理, 9 个元素 项共有29 = 512种可能的取值, 也就是说两个简单 空间实体之间存在512 中关系可能, 当然, 绝大部 分空间关系可能没有意义。 同式 ( 1) 相比较, 式 ( 2 ) 在描述面 面、 点、 点 点 线、 面空间实体组合时, 并没有多大改进。 点 式 ( 2) 能够唯一区分的情况, 式 ( 1 ) 也能够唯一区 空间实体 “补” 的引进对空间实体之间关系的描述 空间实体的 “补” 的引入, 增强了空间关系描述的 唯一性。 在面 线空间实体组合中, 5 种式 ( 1 ) 不能 区分的情况可以在式 ( 2 ) 下区分开来。 在线 线空

5 ∩ 5  5 ∩ B ° A ∩ B A B A  5

-

-

∩ 5  A - ∩ B ° A - ∩ B B  

( 2)

间实体组合中, 10 种式 ( 1 ) 不能区分的情况在式 ( 2) 下则变得可区分。 作为4 元组空间关系描述框架的扩展, 9 元组 框架描述空间关系时, 考虑了空间实体所在的空 间。 因而, 4元组下不能区分的线与线、 线与面之间 混淆的情形, 在9元组中可以得到澄清。 2) 空间关系描述框架中引入 “补” 的意义 通过上述的细致分析, 引入 “补” 作为空间实 体的外部的作用和意义就很明显了。 ①能进一步区分少数基本空间关系, 主要能 解决线目标的共维 (Co 2d im en sion ) 问题。 当考察 同描述形式的交叉情形区分开。 ②对于点与线、 点与面、 点与点、 面与面等几 种空间实体组合, 9 元组框架所能够唯一、 完备描 述的关系, 4元组框架同样可以描述。 因此,“补” 的 引进对于这几种组合意义不太明确。 ③空间实体的边界、 内部、 “补” 的并集等于二 间实体之间的拓扑关系不起作用[ 6 ]。 ⑥引进空间实体的 “补”对描述空间实体之 , [6 ] 间的方向关系也不起作用 。 3) “补” 作为外部的缺点与不足 ①重叠太大

两个空间物体之间的关系时, 不仅要考虑空间物 体自身 ( 边界、 内部) , 也要考虑它所在的空间。 能 够将线型空间实体与面型空间实体4种包含关系、 线与线之间3种包含关系与在4元组框架下具有相

维空间, 这说明9 元组是一个秩亏矩阵。 从理论上 讲, 这也必然会不能区分一些空间物体间的拓扑 关系。 例如当两个空间物体分离 (d isjo in t ) 时, 其4 元组的取值均为空; 那么 9 元组中, 其它 5 个元素 ∩ ∩ 5 ∩B - , A ° B - , 5 ∩A - , B ° A - , A - ∩B - 均 A B 间实体之间关系分类过细。 就查询语言级和查询 处理级的意义而言, 没有必要[ 1, 2, 3, 6 ]。 ⑤引进空间实体的 “补”对描述带空洞的空 ,

为非空。 换言之, 对于两个分离的空间物体, 其9元 组框架的值是固定不变的, 而空间物体的分离关 系可能是多种形式[ 4, 5 ] , 由于9 元组框架的取值不 发生变化, 故在9元组框架中不能有效区分开。 ④在描述两个空间实体之间关系时, 引入空 间实体的 “补” 可以解决线实体的共维 (Co 2d im en 2 t ion ) 问题, 但因此也带来了计算的复杂性, 使空

第3期              李成名等: 空间关系描述的92交模型                   209

②空间实体定义方面的不足 9元组描述框架仅适用于极少部分目标, 难以 描述复杂的空间实体。 而空间物体的形态多种多 样, 既可以是简单点、 简单线、 简单面, 也可以是复 杂形状。 而基于点集拓扑的9元组空间关系描述框 架, 只能适用于3类简单几何模型。 ③不能描述空间邻近关系 如对于2 个空间实体之间被第三个空间物体 隔开 ( 图5 ( b ) ) 和没有隔开 ( 图5 ( a ) ) 两种情况, 空 间实体 A 、 之间的9 元组框架内部元素相同, 皆 B       为:         但情形 ( a ) 中是空间邻近关系, 而情形 ( b ) 中是隔 开关系[ 5 ]。

(a )         ( b )

图5 空间物体分离的两种情况

F ig. 5 Tw o Ca ses of Sp a tia l D isjo in t O b jects

在9元组框架中, 空间物体的外部定义为除去 空间实体自身的所有二维空间, 空间实体 A 的外 部与 B 的外部有大量重叠, 不论在何种情况下, 在9元组框架中必然有 A - ∩B - = 成立; 空间 实体 A 的外部几乎与所有的空间物体发生关系。

3  基于空间实体势力范围的空间关 系描述92交模型
  基于以上分析可以得出, 在4元组空间关系描 述框架基础上引入空间实体的 “补” 作为空间实体 的外部, 仅能描述拓扑关系, 通用性不强, 不能解
3. 1 用空间实体的势力范围代替 “补” 作为外部 ( 8 (X ) ) , 是指包含 定义7 空间实体的凸域

决空间邻近、 顺序关系的形式化描述和定义; 即使 在描述拓扑关系时, 也不能处理带空洞的面和环 的问题。 因此, 引入 “补” 作为空间实体的外部意义 并不是十分理想, 因而, 本文用空间实体的势力范 围 A V 代替空间实体的 “补”重新构造新的9元组。 ,

空间实体的最小连通 (Connected ) 区域内部。 定义 8  点的凸域 ( 8 ( P ) ) 等于自身, 即 8 (P ) = P 。 定义9  线的凸域 ( 8 (C ) ) 等于线的内部, 即 。 8 (C ) = C ° 定义10 面的凸域 ( 8 (A ) ) 等于面的内部, 即

。 8 (A ) = A ° 定义 11  环的凸域 ( 8 (L P ) ) 等于环所包围 区域的内部, 即 8 (L P ) = L P ° 。 定义12  空间实体的势力范围 (A V ) , 是指空

2                   武 汉 测 绘 科 技 大 学 学 报               1997年 10

间实体的 V o rono i 多边形与空间实体凸域的并 集, 即 A V = V o rono i (A ) ∪8 (A ) 。 这种定义方法同点集拓扑、 o rono i D iag ram V 中的相关论述是一致的。 图6 中虚线包围的区域是面型物体 A 、 、 , B D 线型物体 C 和点型物体 E 、 、 、 的势力范围, F G H 虚线是势力范围的边界。

图6 带有空间实体势力范围的武测校园图
F ig. 6 T he Cam p u s M ap w ith V o rono i D iagram

由空间实体 A 、 的边界、 内部、 势力范围两 B 两之间的9 个交集就构成了描述空间实体之间关 系的框架 N I : V
N I (A , B ) = V
A ° 5  A ° B ° A ° B ∩ B ∩   ∩ A
V

∩ 5  A V ∩ B ° A V ∩ B V B   ( 3) 式 ( 3 ) 中, 5 、B 分别为空间物体 A 、 的边界; A 5 B 、 分别为空间物体 A 、 的内部; A V 、 V 为空 A° ° B B B 间物体 A 、 的势力范围。 B 特别要指出的是, 这里描述的空间物体可以 是简单空间实体, 也可以是复杂空间实体。 3. 2 N I 的特点分析 V 1) 重叠的范围缩小、 容易操作 空间实体的 “补” 是指除去空间实体的所有 2 维空间区域。 在考察两个空间实体的关系时, 用空 间实体的外部是不可能的, 因为空间实体的外部 是一个无限区域。 在原9 元组中, 某一空间实体的外部与所有2 维平面中的空间实体发生关系。 N I 中, 空间 而 V V 实体 A 的势力范围 (A ) 仅与有限的空间实体发 生联系。 例如在图6中, B 的势力范围 (B V ) 仅与 F 、 V H 、 、 、 的势力范围 (X ) 发生联系, 与其它的 E C G 空间实体的势力范围 (A V ) 不发生联系。 2) 可以描述占空间关系中绝大部分的分离关 系 (D isjo in t ) 在现实世界中, 两个空间实体分离的情况占 绝 大 部 分, 原 9 元 组 将 其 都 归 为 一 类 分 离 (D isjo in t ) 关系, 显然描述太粗。 I 可以将其分 N V 为 V o rono i 邻近、 被第三个空间实体隔开 ( Sd is2 在空洞内部等3种情况。 在一般的应用分析 jo in t ) 、

5 ∩ 5  5 ∩ B ° A ∩ B V A B A  5
V

间实体的势力范围又被看作一个整体, 由此考察 空间实体之间的空间邻近关系。 从这层意义上讲, N I 空间关系描述框架又是交叉 ( In tersect ion 2 V 因而, N I 被看作两种方法的有机 ba sed ) 方法。 V 结合。 4) 保持了原9元组的优点 间。当 空 间 实 体 分 离 时, 边 界、内 部 失 效 了, V o rono i 开始起作用。 当重叠或交叉时, 空间实体的内部和边界起 作用, 空间实体的势力范围也起一定作用。 如图7 中, ①由 A 和 B 的内部和边界 5 、B 、 ° °可 A 5 A 、 , B 判断其是相接的; ②由 B V 包含在 A V 之内可判断 综合①、 , 可推断 B 落在 A 的空洞里 ② A 包围 B 。 且与 A 的内侧相接, N I 值为: V     N I (A , B ) =   V    
图7 A 、 的内部、 边界、 o rono i 区示例 B V
F ig. 7 A , B ’s In terio r, Bounda ry and V o rono i R egion

在 N I 中, 5 、B 、 ° °保持了原9 元组特 V A 5 A 、 , B 点, 取 A 、 的势力范围取代 A 、 的 , B B “补”可以解 决线 线、 面之间的共维 ( co 2d im en t ion ) 问题。 线 A 、 势力范围有利于判断分离关系 ( 包括相接) , B 同时 5 、B 、 ° ° V 、 V 的并不等于整个空 A 5 A 、 、 B B A   5) 处理的对象不再是简单目标 原9 元组处理的对象是简单点、 简单线、 简单 面, 如果放宽这一限制, 那么在描述两个空间实体 之间关系时, 就不能保持描述形式的唯一性。 而 也可以是环、 带空洞的面等复杂空间实体。
N I 处理的目标, 既可以是上述简单几何模型, V

操作模型中, 较多的情况可能仅涉及邻近的空间 实体, 将邻近关系分离出来构造邻近操作, 可以大 大缩小空间搜索范围, 提高查询效率, 减少计算 量。 3) 交叉与交互相结合 利用 N I 考察两个空间实体的相接 (Con 2 V nect ivity ) 和包含 ( Include ) 关系时, 空间实体被分 解为边界、 内部两个部件, 由其构成的4 元组可确 定二者的空间关系, 这符合了交互 ( In teract ion 而当空间实体分离时, 空 ba sed ) 方法的基本思路。

1 Egenhofer J , H erring J R. A M a them a tica l F ram ew o rk fo r the D efin ition of Topo logica l R ela tion sh ip s, 2  Egenhofer J. Po in t 2Set Topo logica l Sp a tia l R ela tion s, 19901803 813 ~ 19911161 174 ~ B a sed on

3   Sun Y. Chen J. Com p lete Topo logica l Sp a tia l R ela 2 tion s: the F ram ew o rk and the Ca se in 2D Sp ace.

( 上接第200页)

13 Go ld C M , Yang W , Sp a tia l D a ta M anagem en t Too ls

U s ing Vorono i Approach of D evelop ing Topolog ica l Function s in M ap Info
C hen J un  C u i B ing liang

第3期              李成名等: 空间关系描述的92交模型                   211









~ W uhan, 1993. 16 24
1989. 298 312 ~

4   Go ld M. Sp a tia l A djacency - a Genera l A pp roach, 5   Go ld M. P rob lem s w ith H andling Sp a tia l D a ta 2the

~ V o rono i A pp roach, 1991. 65 80

6 L i C , Chen J. D escrib ing Sp a tia l R ela tion sh ip B a sed on

V o rono i D iagram in D iscrete Sp ace. In: In terna tiona l

~ A rch ives of ISPR S. V ienna, 1996 (B 2) : 227 234

The N ine - in tersection M odel for D escr ib ing Spa tia l Rela tion
L i C hengm ing  C hen J un
1 2

1. (N ational L abo rato ry fo r Info rm ation Eng ineering in Su rveying,M app ing and R em o te Sen sing, W TU SM , 39 L uoyu Road,W uhan, Ch ina, 430070)

w ith ob ject’s influence range. T he new fram e fo r describ ing sp a t ia l rela t ion is in t roduced. A f2 ter tha t, the cha racters of new in tersect ion m odel a re g iven. Abstract N eighbo r rela t ion sh ip can be exp ressed by the V o rono i D iag ram ea sily. B a sed on velop ing topo log ica l funct ion s in M ap Info. Key words  influence range; fou r 2in tersect ion m odel; n ine 2in tersect ion m odel
the D ynam ic V o rono i D a ta M odel erence, 1996
(N ational Geom etric Info rm ation Cen ter, 1 Baisheng V illage, Zizhuyuan, Beijing, Ch ina, 100044)

Abstract  B ecau se the o rig ina l n ine 2in tersect ion m odel fo r describ ing sp a t ia l rela t ion can’t describe o rdering rela t ion and ad jacency , it is exp anded by rep lacing the ob ject’s com p lem en t Key words V o rono i D iag ram ; neighbo r rela t ion sh ip; topo log ica l;M ap Info
(VO RDLL 1. 1) 2 ser’s M anua l, 1995 U

th is a t t ribu te, the p ap er advances an app roach to con st ruct ing neighbo r rela t ion sh ip and de2

21 (N ational Geom atric Info rm ation Cen ter, 1 Baisheng V illage, Zizhuyuan, Beijing, Ch ina, 100044)

14  ap Info Co rpo ra tion. M ap Info P rofessiona l 4. 0 R ef2 M


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