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2012高考数学专题突破填空题的解法


高考数学填空题的解解法>>

高考题型概述

填空题是高考试卷中的三大题型之一,和
选择题一样,属于客观性试题.它只要求写出 结果而不需要写出解答过程.在整个高考试卷

中,填空题的难度一般为中等.不同省份的试
卷所占分值的比重有所不同.

1.填空题的类型 填空题主要考查学生

的基础知识、基本技能以 及分析问题和解决问题的能力,具有小巧灵活、

结构简单、概念性强、运算量不大、不需要写
出求解过程而只需要写出结论等特点.从填写 内容看,主要有两类:一类是定量填写,一类 是定性填写.

2.填空题的特征 填空题不要求写出计算或推理过程,只需要将 结论直接写出的“求解题”.填空题与选择题

也有质的区别:第一,表现为填空题没有备选
项,因此,解答时有不受诱误干扰之好处,但

也有缺乏提示之不足;第二,填空题的结构往
往是在一个正确的命题或断言中,抽出其中的 一些内容(既可以是条件,也可以是结论),留下 空位,让考生独立填上,考查方法比较灵活.

从历年高考成绩看,填空题得分率一直不很高, 因为填空题的结果必须是数值准确、形式规范、 表达式最简.因此,解填空题要求在“快速、 准确”上下功夫,由于填空题不需要写出具体

的推理、计算过程,因此要想“快速”解答填
空题,则千万不可“小题大做”,而要达到“ 准确”,则必须合理灵活地运用恰当的方法, 在“巧”字上下功夫.

解题方法例析

直接法
直接求解法——直接从题设条件出发,利用定 义、性质、定理、公式等,经过变形、推理、

计算、判断得到结论的,称之为直接求解
法.它是解填空题的常用的基本方法.使用直

接法解填空题,要善于透过现象抓本质,自觉
地、有意识地采取灵活、简捷的解法.

π 例1 已知两个单位向量 e1,e2 的夹角为 ,若向 3

-6 量 b1=e1-2e2, 2=3e1+4e2, b1·2=________. b 则 b 【解析】
b1=e1-2e2,b2=3e1+4e2, 2 2 则 b1·2 =(e1-2e2)· 1 +4e2)=3e 1-2e1·2 -8e 2. b (3e e π 又因为 e1,e2 为单位向量, 1,e2〉= , 〈e 3 1 所以 b1·2=3-2× -8=3-1-8=-6. b 2 【答案】 -6

例2

在等差数列{an}中,a1=-3,11a5=5a8-13,则数列{an}

29 - 的前 n 项 和 Sn 的最小值为________. 3
5 ∴d= . 9

解析:设公差为 d,则 11(-3+4d)=5(-3+7d)-13,

∴数列{an}为递增数列.
5 2 令 an≤0,∴-3+(n-1)· ≤0,∴n≤6 , 9 5 ∵n∈N*.

29 ∴前 6 项均为负值,∴Sn 的最小值为 S6=- . 3 29 答案:- 3

例3

设 a=(m+1)i-3j,b=i+(m-1)j,其中 i,j 为互相垂直

-2 的单位向量,又(a+b)⊥(a-b),则实数 m=________.
解析:a+b=(m+2)i+(m-4)j,a-b=mi-(m+2)j ∵(a+b)⊥(a-b) ∴(a+b)· (a-b)=0 ∴求得 m=-2. 答案:-2

变式训练1 Sn为等差数列{an}的前n项和,S2=

-1 S6,a4=1,则a5=________.
?a +a +d=6a +6×5d, ? 1 1 1 2 解析:由题意知? ?a1+3d=1, ?
?a1=7, ? 解得? ∴a5=1+(-2)=-1. ?d=-2, ?

答案:-1

特殊值代入法
当填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息 暗示答案是一个定值时,我们只需把题中的参 变量用特殊值(或特殊函数、特殊角、特殊数列、

图形特殊位置、特殊点、特殊方程、特殊模型
等)代替之,即可得到结论.

例1

已知△ABC 的三个内角 A、B、C 的对边分

?sin A-sin C??a+c? 别为 a、b、c,且满足 =sin A b

60° -sin B,则 C=__________.
【解析】 容易发现当△ABC 是一个等边三角形时, ?sin A-sin C??a+c? 满足 = sin A-sin B, b 而此时 C=60° ,故角 C 的大小为 60° .

【答案】

60°

例2

在△ABC 中,角 A、B、C、所对的边分别为 a、b、 1+cos Acos C

4 cos A+cos C c,如果 a、b、c 成等差数列,则 =________. 5
1 解析:取特殊值 a=b=c 则 cos A=cosB=cosC= 2 ,

cos A+cos C 4 所以 =. 1+cos Acos C 5

变式训练 2.设 a>b>1,则 logab,logba,logabb 的大小关系是________
解析:考虑到三个数的大小关系是确定的,不妨令 a=4, 1 1 b=2,则 logab= ,logba=2,logabb= 2 3 ∴logabb<logab<logba. 答案:logabb<logab<logba

图象分析法
对于一些含有几何背景的填空题,若能数中思
形,以形助数,则往往可以借助图形的直观性,

迅速作出判断,简捷地解决问题,得出正确的
结果. Venn图、三角函数线、函数的图象及方程 的曲线等,都是常用的图形.

(2011年高考湖南卷)已知圆C:x2+y2=12, 例1
直线l:4x+3y=25.

5 (1)圆C的圆心到直线l的距离为________;
【解析】 (1)圆心坐标为(0,0),圆心到直线 |4×0+3×0-25| 4x+3y=25 的距离 d= =5. 2 2 4 +3

例1 (2011年高考湖南卷)已

知圆C:x2+y2=12,直线l:

4x+3y=25.
(2)圆C上任意一点A到直线l的
1 距离小于2的概率________. 6

(2)如图,设与直线 4x+3y=25 距离为 2 且与该直 线平行的直线与圆交于 P、Q 两点.由(1)知,点 O 到直线 PQ 的距离为 3,因为圆的半径为 2 3,故 可得∠OPQ=60° .若点 A 到直线 l 的距离小于 2, 则 60° 1 点 A 只能在弧 PQ 上,故所求概率 P= = . 360° 6

例2

若关于 x 的方程 1-x2=k(x-2)有两个不等实根, 则实数 k 的取值范围是
3 - <k≤0 3 ________.

解析:令 y1= 1-x2,y2=k(x-2),

由图可知 kAB<k≤0
3 其中 AB 为半圆的切线,计算 kAB=- , 3 3 ∴- <k≤0. 3 3 答案:- <k≤0 3

?|x|-π ?· x<0, 变式训练 3 不等式 x∈[-π, 2π] 2 ? sin ?
的解集为__________.

解析:在同一坐标系中分别作出 π y=|x|- 与 y=sin x 的图象: 2 根据图象可得不等式的解集为:

?-π,-π ?∪?0,π ?∪(π,2π). 2? ? 2? ?

π π 答案:(-π,- )∪(0, )∪(π,2π) 2 2

构造法
在解题时有时需要根据题目的具体情况,构造出

一些新的数学形式、新的模式解题,并借助它认
识和解决问题.通常称之为构造模式解法,简称

构造法.构造的方向可以是函数、方程、不等式、
数列、几何图形等.

例1 f(x)是定义在R上的奇函数,它的最小正周期为T,则 f(-
T 2

0 )的值为________.

[解析]
解法1:取特例.如取函数f(x)=sinx. 2 π 则最小正周期T=2π,f(- )=sin(- π)=0
2
T T T 解法2:∵ f(x+T)=f(x),令x=- 2 则f(- 2 +T)=f(- 2 )

T T T 即f( )=f(- )=-f( ) 2 2 2
T ∴f(- 2 )=0

sin x 例2 已知函数 f(x)=sin xcos x+ +3, f(lg 若 cos x

?lg 1 ?的值等于__________. a)=4,则 f ? a?
sin x 1 解析:f(x)=sin xcos x+ +3= sin 2x+tan x 2 cos x 1 +3,若令 g(x)= sin 2x+tan x,则 g(x)是一个奇 2 函数.由 f(lg a)=4,得 g(lg a)+3=4,∴g(lg a)

?lg 1 ?=g(-lg a)=-g(lg a)=-1,故 =1.于是 g? a ? ?lg1 ?=g?lg 1 ?+3=-1+3=2. f? a ? ? a?

变式训练4.已知等差数列{an}的公差d≠0,a1、a3、a9成
a1 ? a3 ? a9 等比数列,则 的值为 a2 ? a 4 ? a10

.
2 3

[解析]解法1:由于a1、a3、a9成等比数列,则a

=a1a9 ,

即(a1+2d)2=a1(a1+8d), 又d≠0所以a1=d, a1 ? a3 ? a9 a1 ? (a1 ? 2d ) ? (a1 ? 8d ) 13d 13 ? ? ? 则 a 2 ? a 4 ? a10 (a1 ? d ) ? (a1 ? 3d ) ? (a1 ? 9d ) 16d 16 解法2:取数列1,2,3,4,5,6,7,8,9,10, a ?a ?a 1 ? 3 ? 9 13 ? 则 1 3 9 ? a 2 ? a 4 ? a10 2 ? 4 ? 10 16

题型五

等价转化法

通过“化复杂为简单、化陌生为熟悉”, 将问题等价地转化成便于解决的问题,从而

得出正确的结果.

例1 若数列{an}中,a1=1,an+ 1=3Sn(n≥1),则 Sn=________.
解析:方法一:∵an+ 1=3Sn(n≥1), ∴an=3Sn- 1(n≥2), ①-②得 an+ 1-an=3(Sn-Sn- 1)=3an(n≥2), ∴an+ 1=4an(n≥2),又∵a2=3S1=3a1=3, an+ 1 ∴ =4(n≥2), an ∴a2,a3,?,an 是首项为 3,公比为 4 的等比数列, ?n=1?, ?1 ? - ∴Sn= ? 3?1-4n 1? - 1+ =4n 1 ?n≥2?. ? 1-4 ? ∴当 n=1 时,4n 1=1,即 Sn=4n 1(n≥1).
- -

① ②

例1

若数列{an}中,a1=1,an+1=3Sn(n≥1),则 Sn=________.
方法二:∵an+ 1=3Sn(n≥1), ∴Sn+1-Sn=3Sn(n≥1),即 Sn+ 1=4Sn(n≥1), Sn+ 1 又 S1=a1=1,∴ =4(n≥1), Sn 即{Sn}是首项为 1,公比为 4 的等比数列. ∴Sn=4n 1(n≥1). 答案:4n 1(n≥1)
- -

例2 已知g(x)=|x-1|-|x-2|,则g(x)的值域为 [-1,1] ; ; 2 若关于x的不等式 g ( x) ? a ? a ? 1( x ? R) 的解集为空集, (??,?1) ? (0,??) 则实数a的取值范围是______________________. [解析] 1 当x≤1时,g(x)=|x-1|-|x-2|=-1 . 当1<x≤2时,g(x)=|x-1|-|x-2|=2x-3, 所以-1< g ( x) ≤1 当x>2时,g(x)=|x-1|-|x-2|=1 综合以上,知-1≤g(x) ≤1。 2 (此结果也可以由绝对值的几何意义直接得出) 2 因为 g ( x) ? a ? a ?1( x ? R) 的解集为空集
2 所以 [ g ( x) ]max = 1< a ? a ? 1

所以a的取值范围是 a>0或a<-1

变式训练 5.不等式
b=________.

3 x>ax+ 的解集为(4,b),则 a=________, 2

3 解析:设 x=t,则原不等式可转化为:at -t+ <0. 2
2

a>0,且 2 与 b(b>4)是方程 2at2-2t+3=0 的两根, 1 由此可得 a= ,b=36. 8 1 答案: 36 8

本部分内容讲解结束


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