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学高中数学第二章平面向量.从力做的功到向量的数量积练习北师大版必修-课件


§5

从力做的功到向量的数量积
A组 )

1.若向量 a,b 满足|a|=3,a·b=-5,那么 b 在 a 方向上的射影等于( A.15 C.答案:C 2.已知|m|=2,|n|=1,且(m+kn)⊥(m-3n),m⊥n,则 k 等于( A. C.B. D.由(m+kn)⊥(m-3n)得(m+kn)·(m-3n)=0, 即|

m| -3k|n| =0,∴3k==4,∴k=. 答案:A 3.在四边形 ABCD 中,,且=0,则四边形 ABCD 是( A.矩形 C.直角梯形 答案:B B.菱形 D.等腰梯形 )
2 2

B.D.-15

解析:b 在 a 方向上的射影为|b|cos θ ==-. )

解析:由 m⊥n 得 m·n=0,

解析:由知四边形 ABCD 是平行四边形,由=0 知 AC⊥BD,即对角线垂直,所以四边形 ABCD 是菱形. 4.(2016 北京海淀高三质检)若向量 a 与 b 不共线,a·b≠0,且 c=a-b,则向量 a 与 c 的夹角为( A.0 解析:∵c=a-b, B. C. D. )

∴a·c=a·a-·a·b=0, ∴a 与 c 的夹角为.
答案:D 5.

如图,已知点 O 是边长为 1 的等边三角形 ABC 的中心,则()·()等于( A. C. B.D.-

)

解析:∵点 O 是边长为 1 的等边三角形 ABC 的中心,

∴||=||=||=,∠AOB=∠BOC=∠AOC=,∴()·()=+3cos=-.
答案:D

1

6.在△ABC 中,AB=6,O 为△ABC 的外心,则等于( A. 解析: B.6 C.12

) D.18

如图,过点 O 作 OD⊥AB 于 D,易知 AD=AB=3,则=()·=3×6+0=18,故选 D. 答案:D 7.已知|a| =1,|b| =2,(a-b)·a=0,则 a 与 b 的夹角为
2 2 2

.

解析:设 a 与 b 的夹角为 θ ,由已知得 a =a·b,又|a|=1,|b|=,∴1·cos θ =1.

∴cos θ =.
又 θ ∈[0°,180°],

∴θ =45°.
答案:45° 8.在△ABC 中,已知||=||=4,且=8,则△ABC 的形状为 答案:等边三角形 9.若|a|=1,|b|=2,a 与 b 的夹角为 60°,则|a+3b|= 解析:∵|a+3b| =a +2a·3b+9b
2 2 2

.

解析:由=8,得 16×cos A=8,即 cos A=,∠A=60°,又 AB=AC,所以△ABC 是等边三角形.

.

=1+6×1×2×cos 60°+9×4=43, ∴|a+3b|=.
答案: 10. 导学号 03070101 已知|a|=4,|b|=5,|a+b|=,求值: (1)a·b; (2)(2a+b)·(a-2b); (3)|2a-3b|. 解:(1)∵|a+b| =(a+b) =a +2a·b+b =|a| +2a·b+|b| ,
2 2 2 2 2 2

∴a·b=×(|a+b|2-|a|2-|b|2)=×(21-42-52)=-10.
(2)(2a+b)·(a-2b)=2a -3a·b-2b =2|a| -3a·b-2|b| =2×4 -3×(-10)-2×5 =12. (3)|2a-3b|=. 11. 导学号 03070102 已知|a|=1,|b|=,设 a 与 b 的夹角为 θ . (1)若 θ =,求|a+b|; (2)若 a 与 a-b 垂直,求 θ . 解:(1)|a+b|=
2 2 2 2 2 2

=.
(2)由题意得,a·(a-b)=0,

2

∴a2=a·b=|a||b|cos θ , ∴cos θ =. ∵θ ∈[0,π ],∴θ =.
B组 1.若=0,则△ABC 为( A.直角三角形 C.锐角三角形 解析:∵=0,∴=0, ) B.钝角三角形 D.等腰直角三角形

∴·()=0,∴=0,∴, ∴∠A=90°,∴△ABC 为直角三角形.
答案:A 2.在△OAB 中,已知 OA=4,OB=2,点 P 是 AB 的垂直平分线 l 上的任意一点,则=( A.6 解析: B.-6 C.12 D.-12 )

如图,设 AB 的中点为 M,则=()·)·()=)=-6. 答案:B 3.下列四个命题:①若 a-b=0,则 a=b;②若 a·b=0,则 a=0 或 b=0;③若 λ ∈R 且 λ a=0,则 λ =0 或 a=0;④对任意两个单位向量 e1,e2,都有 e1·e2≤1.其中正确的命题是( A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④ )

解析:①是正确的;因为 a·b=|a||b|cos θ =0? |a|=0 或|b|=0 或 cos θ =0? a=0 或 b=0 或 θ =90°,故②是错误的;③是正确的;④中,e1·e2=|e1|·|e2|cos θ =cos θ ≤1,故④是正确的. 答案:C 4.设 a,b 是非零向量,x∈R,若函数 f(x)=(xa+b)·(a-xb)的图像是一条直线,则必有( A.a⊥b
2

)

B.a∥b
2 2

C.|a|=|b|

D.|a|≠|b|

解析:f(x)=-a·bx +(a -b )x+a·b.

∵f(x)的图像是一条直线,∴a·b=0,a⊥b.
答案:A 5. 导学号 03070103 在矩形 ABCD 中,AB=,BC=4,点 E 为 BC 的中点,点 F 在 CD 上,若,则的值是( A.-5解析: B.5+ C.4+ D.5)

如图所示,过点 F 作 FG∥AD 交 AB 于点 G,易知=||·||·cos<>=||·||=,故||==1,

3

所以=()·()==0-×(-1)+2×4+0=5+,故选 B. 答案:B 6.在 Rt△ABC 中,∠C=90°,AC=3,CB=4,设=b,=a,=c,则 a·b+b·c+c·a 的值为 解析:由勾股定理得 BA=5,又 cos B=,cos A=,故 a·b+b·c+c·a=0+3×5×+4×5×=-25. 答案:-25 7. 导学号 03070104(2015 辽宁五校上学期期中)平面上三个向量满足||=1,||=,||=1,=0,则的最大 值是 3. 答案:3 8.已知向量 a,b 的夹角为 30°,且|a|=,|b|=1,求向量 p=a+b 与 q=a-b 夹角的余弦值. 解:p·q=(a+b)·(a-b)=a -b =|a| -|b| =3-1=2.
2 2 2 2

.

.

解析:=()·()=-()·=1-||·||cos θ =1-2cos θ ,其中 θ 为向量的夹角,当 θ =π 时,取得最大值

∵|p|=|a+b|= =, |q|=|a-b|= ==1,
设 p 与 q 的夹角为 θ ,

∴cos θ =.
9.证明:平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和. 证明:设平行四边形为 ABCD,则=() =+2.① 由于, 所以,
2

=()2=-2.②
由①+②,得=2()=. 即平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和.

4


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