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2013年高考理科数学全国新课标卷2试题与答案word解析版


2013 年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类 (全国新课标卷 II) 第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的.
1.(2013 课标全国Ⅱ,理 1)已知集合 M={x|(x-1) <4,x∈R},N={-1,0,1,2,3},则 M∩N=( ). A.{0,1,2} B.{-

1,0,1,2} C.{-1,0,2,3} D.{0,1,2,3} 2.(2013 课标全国Ⅱ,理 2)设复数 z 满足(1-i)z=2i,则 z=( ). A.-1+i B.-1-I C.1+i D.1-i 3.(2013 课标全国Ⅱ,理 3)等比数列{an}的前 n 项和为 Sn.已知 S3=a2+10a1,a5=9,则 a1=( ).
2

1 A. 3
l

1 B. 3 ?

1 C. 9

1 D. 9 ?
α ,

4. (2013 课标全国Ⅱ, 理 4)已知 m, n 为异面直线, m⊥平面 α , n⊥平面 β .直线 l 满足 l⊥m, l⊥n, l β ,则( ). A.α ∥β 且 l∥α B.α ⊥β 且 l⊥β C.α 与 β 相交,且交线垂直于 l D.α 与 β 相交,且交线平行于 l 5 2 5. (2013 课标全国Ⅱ, 理 5)已知(1+ax)(1+x) 的展开式中 x 的系数为 5, 则 a=( ). A.-4 B.-3 C.-2 D.-1 6.(2013 课标全国Ⅱ,理 6)执行下面的程序框图,如果输入的 N=10,那么输出的 S =( ).

1 1 1 1+ ? ? ? 10 A. 2 3 1 1 1 1+ ? ? ? 2! 3! 10! B. 1 1 1 1+ ? ? ? 11 C. 2 3 1 1 1 1+ ? ? ? 2! 3! 11! D.
7. (2013 课标全国Ⅱ, 理 7)一个四面体的顶点在空间直角坐标系 O-xyz 中的坐标分别是(1,0,1), (1,1,0), (0,1,1), (0,0,0), 画该四面体三视图中的正视图时, 以 zOx 平面为投影面, 则得到的正视图可以为( ).

8.(2013 课标全国Ⅱ,理 8)设 a=log36,b=log510,c=log714,则( ). A.c>b>a B.b>c>a C.a>c>b D.a>b>c

? x ? 1, ? 9.(2013 课标全国Ⅱ,理 9)已知 a>0,x,y 满足约束条件 ? x ? y ? 3, 若 z=2x+y 的最小值为 1,则 ? y ? a? x ? 3?. ?
a=(
).

1 A. 4

1 B. 2

C.1
2013

D.2
全国新课标卷 2 理科数学 第1页

10.(2013 课标全国Ⅱ,理 10)已知函数 f(x)=x +ax +bx+c,下列结论中错误的是( ). A. ? x0∈R,f(x0)=0 B.函数 y=f(x)的图像是中心对称图形 C.若 x0 是 f(x)的极小值点,则 f(x)在区间(-∞,x0)单调递减 D.若 x0 是 f(x)的极值点,则 f′(x0)=0 2 11.(2013 课标全国Ⅱ,理 11)设抛物线 C:y =2px(p>0)的焦点为 F,点 M 在 C 上,|MF|=5,若以 MF 为 直径的圆过点(0,2),则 C 的方程为( ). A.y2=4x 或 y2=8x B.y2=2x 或 y2=8x C.y2=4x 或 y2=16x D.y2=2x 或 y2=16x 12.(2013 课标全国Ⅱ,理 12)已知点 A(-1,0),B(1,0),C(0,1),直线 y=ax+b(a>0)将△ABC 分割为 面积相等的两部分,则 b 的取值范围是( ).

3

2

A.(0,1)

? 2 1? 1 ? , ? ? ? 2 2? ? B. ?

? 2 1? 1 ? , ? ? ? 2 3? C. ?

?1 1 ? ? , ? D. ? 3 2 ?

第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分,第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考生都必须做答。第 22 题~第 24 题为选考题,考生根据要求做答。

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分.
13. (2013 课标全国Ⅱ, 理 13)已知正方形 ABCD 的边长为 2, E 为 CD 的中点, 则 AE ? BD =__________. 14.(2013 课标全国Ⅱ,理 14)从 n 个正整数 1,2,…,n 中任意取出两个不同的数,若取出的两数之 和等于 5 的概率为

1 ,则 n=__________. 14

15. (2013 课标全国Ⅱ, 理 15)设 θ 为第二象限角, 若 tan ? ? ?

? ?

π? 1 则 sin θ +cos θ =__________. ?? , 4? 2

16.(2013 课标全国Ⅱ,理 16)等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 S10=0,S15=25,则 nSn 的最小值 为__________.

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17.(2013 课标全国Ⅱ,理 17)(本小题满分 12 分)△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 a =bcos C+csin B. (1)求 B; (2)若 b=2,求△ABC 面积的最大值.

18.(2013 课标全国Ⅱ,理 18)(本小题满分 12 分)如图,直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,D,E 分别是 AB,BB1 的 中点,AA1=AC=CB=

2 AB . 2

(1)证明:BC1∥平面 A1CD; (2)求二面角 D-A1C-E 的正弦值.

2013

全国新课标卷 2 理科数学

第2页

19.(2013 课标全国Ⅱ,理 19)(本小题满分 12 分)经销商经销某种农产品,在一个销售季度内,每售出 1 t 该产品获利润 500 元,未售出的产品,每 1 t 亏损 300 元.根据历史资料,得到销售季度内市场需求量的 频率分布直方图, 如图所示. 经销商为下一个销售季度购进了 130 t 该农产品. 以 X(单位: t,100≤X≤150) 表示下一个销售季度内的市场需求量,T(单位:元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润. (1)将 T 表示为 X 的函数; (2)根据直方图估计利润 T 不少于 57 000 元的概率; (3)在直方图的需求量分组中,以各组的区间中点值代表该组的各个值,并以需求量落入该区间的频率作 为需求量取该区间中点值的概率(例如:若需求量 X∈[100,110),则取 X=105,且 X=105 的概率等于需 求量落入[100,110)的频率),求 T 的数学期望.

20.(2013 课标全国Ⅱ,理 20)(本小题满分 12 分)平面直角坐标系 xOy 中,过椭圆 M: >0)右焦点的直线 x ? y ? 3 ? 0 交 M 于 A,B 两点,P 为 AB 的中点,且 OP 的斜率为

x2 y2 ? =1 (a>b a 2 b2

1 . 2

(1)求 M 的方程; (2)C,D 为 M 上两点,若四边形 ACBD 的对角线 CD⊥AB,求四边形 ACBD 面积的最大值. x 21.(2013 课标全国Ⅱ,理 21)(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)=e -ln(x+m). (1)设 x=0 是 f(x)的极值点,求 m,并讨论 f(x)的单调性; (2)当 m≤2 时,证明 f(x)>0. 请考生在第 22、23、24 题中任选择一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号. 22.(2013 课标全国Ⅱ,理 22)(本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图, CD 为△ABC 外接圆的切线, AB 的延长线交直线 CD 于点 D, E, F 分别为弦 AB 与弦 AC 上的点, 且 BC·AE =DC·AF,B,E,F,C 四点共圆. (1)证明:CA 是△ABC 外接圆的直径; (2)若 DB=BE=EA,求过 B,E,F,C 四点的圆的面积与△ABC 外接圆面积的比值.

23.(2013 课标全国Ⅱ,理 23)(本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 已知动点 P,Q 都在曲线 C: ?

? x ? 2cos t , (t 为参数)上,对应参数分别为 t=α 与 t=2α (0<α <2π ), ? y ? 2sin t

M 为 PQ 的中点. (1)求 M 的轨迹的参数方程; (2)将 M 到坐标原点的距离 d 表示为 α 的函数,并判断 M 的轨迹是否过坐标原点.
24.(2013 课标全国Ⅱ,理 24)(本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 设 a,b,c 均为正数,且 a+b+c=1,证明: (1)ab+bc+ac≤

1 ; 3

(2)

a 2 b2 c2 ? ? ? 1. b c a
全国新课标卷 2 理科数学 第3页

2013

2013 年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类 (全国新课标卷 II) 第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的.
1. 答案:A 2 解析:解不等式(x-1) <4,得-1<x<3,即 M={x|-1<x<3}.而 N={-1,0,1,2,3},所以 M∩N= {0,1,2},故选 A. 2. 答案:A 解析: z =

?2 ? 2i 2i 2i?1 ? i ? = =-1+i. ? 2 1 ? i ?1 ? i ??1 ? i ?

3. 答案:C 解析:设数列{an}的公比为 q,若 q=1,则由 a5=9,得 a1=9,此时 S3=27,而 a2+10a1=99,不满足题 意,因此 q≠1.

a1 (1 ? q3 ) ∵q≠1 时,S3= =a1·q+10a1, 1? q 1 ? q3 2 ∴ =q+10,整理得 q =9. 1? q 1 4 ∵a5=a1·q =9,即 81a1=9,∴a1= . 9
4. 答案:D 解析:因为 m⊥α ,l⊥m,l α ,所以 l∥α .同理可得 l∥β . 又因为 m,n 为异面直线,所以 α 与 β 相交,且 l 平行于它们的交线.故选 D. 5. 答案:D
r r 2 2 解析:因为(1+x) 的二项展开式的通项为 C5 x (0≤r≤5,r∈Z),则含 x 的项为 C5 x +ax· C1 5 x =(10
5 2

+5a)x ,所以 10+5a=5,a=-1. 6. 答案:B 解析:由程序框图知,当 k=1,S=0,T=1 时,T=1,S=1;

2

1 1 , S =1+ ; 2 2 1 1 1 当 k=3 时, T ? , S ? 1+ ? ; 2?3 2 2?3 1 1 1 1 ? 当 k=4 时, T ? , S ? 1+ ? ;…; 2 ? 3? 4 2 2 ? 3 2 ? 3? 4 1 1 1 1 当 k=10 时, T ? , S ? 1+ ? ? ? ,k 增加 1 变为 11,满足 k>N,输出 S, 2 ? 3 ? 4 ? ?10 2! 3! 10!
当 k=2 时, T ? 所以 B 正确. 7. 答案:A 解析:如图所示,该四面体在空间直角坐标系 O-xyz 的图像为下图:
2013 全国新课标卷 2 理科数学 第4页

则它在平面 zOx 上的投影即正视图为 8. 答案:D 解析:根据公式变形, a ?

,故选 A.

lg 6 lg 2 lg10 lg 2 lg14 lg 2 ? 1? ? 1? ? 1? ,b ? ,c ? ,因为 lg 7>lg 5 lg 3 lg 3 lg 5 lg 5 lg 7 lg 7 lg 2 lg 2 lg 2 ? ? >lg 3,所以 ,即 c<b<a.故选 D. lg 7 lg 5 lg 3
9. 答案:B 解析:由题意作出 ?

? x ? 1, 所表示的区域如图阴影部分所示, ?x ? y ? 3

作直线 2x+y=1,因为直线 2x+y=1 与直线 x=1 的交点坐标为 (1,- 1),结合题意知直线 y= a(x -3)过点 (1,- 1),代入得

a?

1 1 ,所以 a ? . 2 2

10. 答案:C 解析:∵x0 是 f(x)的极小值点,则 y=f(x)的图像大致如下图所示,则在 (-∞,x0)上不单调,故 C 不正确. 11. 答案:C 解析:设点 M 的坐标为(x0,y0),由抛物线的定义,得|MF|=x0+ 则 x0=5-

p = 5, 2

p . 2

p? ?p ? ? , 0 ? ,所以以 MF 为直径的圆的方程为(x-x0) ? x ? ? +(y-y0)y=0. 2? ?2 ? ? 2 y 将 x=0,y=2 代入得 px0+8-4y0=0,即 0 -4y0+8=0,所以 y0=4. 2 p? ? 2 由 y0 =2px0,得 16 ? 2 p ? 5 ? ? ,解之得 p=2,或 p=8. 2? ?
又点 F 的坐标为 ? 所以 C 的方程为 y =4x 或 y =16x.故选 C.
2013 全国新课标卷 2 理科数学 第5页
2 2

12. 答案:B 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分,第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考生都必须做答。第 22 题~第 24 题为选考题,考生根据要求做答。 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13.答案:2 解析:以 AB 所在直线为 x 轴,AD 所在直线为 y 轴建立平面直角坐标系, 如图所示,则点 A 的坐标为(0,0),点 B 的坐标为(2,0),点 D 的坐标为 (0,2) ,点 E 的坐标为 (1,2) ,则 AE = (1,2) , BD = ( - 2,2) ,所以

AE ? BD ? 2 .
14.答案:8 解析:从 1,2,…,n 中任取两个不同的数共有 C2 n 种取法,两数之和为 5 的有(1,4),(2,3)2 种,所以

2 1 2 4 1 ? ,即 ? ? ,解得 n=8. 2 n? n ? 1? n? n ? 1? 14 Cn 14 2

15.答案: ?

1 1 π ? 1 ? tan ? 1 ? ,得 tan θ = ? ,即 sin θ = ? cos θ . ?? 3 3 4 ? 1 ? tan ? 2 10 2 2 2 将其代入 sin θ +cos θ =1,得 cos ? ? 1 . 9 3 10 10 10 因为 θ 为第二象限角,所以 cos θ = ? ,sin θ = ,sin θ +cos θ = ? . 10 10 5
解析:由 tan ? ? ?

10 5

? ?

16.答案:-49 解析:设数列{an}的首项为 a1,公差为 d,则 S10= 10a1+

15 ?14 d =15a1+105d=25.② 2 2 联立①②,得 a1=-3, d ? , 3 n(n ? 1) 2 1 2 10 ? ? n ? n. 所以 Sn= ?3n ? 2 3 3 3 1 3 10 2 20 n , f '(n) ? n 2 ? n . 令 f(n)=nSn,则 f (n) ? n ? 3 3 3 20 令 f′(n)=0,得 n=0 或 n ? . 3 20 20 20 当n ? 时,f′(n)>0, 0<n < 时,f′(n)<0,所以当 n ? 时,f(n)取最小值,而 n∈N+,则 f(6) 3 3 3
S15= 15a1 ?
=-48,f(7)=-49,所以当 n=7 时,f(n)取最小值-49.

10 ? 9 d =10a1+45d=0,① 2

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17. 解:(1)由已知及正弦定理得 sin A=sin Bcos C+sin Csin B.① 又 A=π -(B+C),故 sin A=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C.② 由①,②和 C∈(0,π )得 sin B=cos B,
2013 全国新课标卷 2 理科数学 第6页

又 B∈(0,π ),所以 B ? (2)△ABC 的面积 S ?

π . 4

1 2 ac sin B ? ac . 2 4 π 2 2 由已知及余弦定理得 4=a +c - 2ac cos . 4 4 2 2 又 a +c ≥2ac,故 ac ? ,当且仅当 a=c 时,等号成立. 2? 2 因此△ABC 面积的最大值为 2+1 .
18. 解:(1)连结 AC1 交 A1C 于点 F,则 F 为 AC1 中点. 又 D 是 AB 中点,连结 DF,则 BC1∥DF. 因为 DF?平面 A1CD,BC1 所以 BC1∥平面 A1CD. (2)由 AC=CB= 平面 A1CD,

2 AB 得,AC⊥BC. 2 以 C 为坐标原点, CA 的方向为 x 轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系 C-xyz.
设 CA=2,则 D(1,1,0),E(0,2,1),A1(2,0,2), CD =(1,1,0), CE =(0,2,1), CA1 =(2,0,2). 设 n=(x1,y1,z1)是平面 A1CD 的法向量, 则?

? ?n ? CD ? 0, ? ?n ? CA1 ? 0,

即?

? x1 ? y1 ? 0, ?2 x1 ? 2 z1 ? 0.

可取 n=(1,-1,-1). 同理,设 m 是平面 A1CE 的法向量, 则?

? ?m ? CE ? 0, ? ?m ? CA1 ? 0,

可取 m=(2,1,-2).

从而 cos〈n,m〉= 故 sin〈n,m〉=

n· m 3 , ? | n || m | 3

6 . 3 6 . 3

即二面角 D-A1C-E 的正弦值为

19. 解:(1)当 X∈[100,130)时,T=500X-300(130-X)=800X-39 000, 当 X∈[130,150]时,T=500×130=65 000. 所以 T ? ?

?800 X ? 39000,100 ? X ? 130, ?65000,130 ? X ? 150.

(2)由(1)知利润 T 不少于 57 000 元当且仅当 120≤X≤150. 由直方图知需求量 X∈[120,150]的频率为 0.7,所以下一个销售季度内的利润 T 不少于 57 000 元的概率 的估计值为 0.7. (3)依题意可得 T 的分布列为 T 45 000 53 000 61 000 65 000 P 0.1 0.2 0.3 0.4 所以 ET=45 000×0.1+53 000×0.2+61 000×0.3+65 000×0.4=59 400. 20.
2013 全国新课标卷 2 理科数学 第7页

解:(1)设 A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0), 则

x12 y12 x2 2 y2 2 y ?y ? =1 ? 2 =1, 2 1 = ? 1 , , 2 2 2 a b a b x2 ? x1

b2 ? x2 ? x1 ? y ?y ? ? 2 1 =1 . 2 a ? y2 ? y1 ? x2 ? x1 y 1 因为 x1+x2=2x0,y1+y2=2y0, 0 ? , x0 2
由此可得 所以 a =2b . 又由题意知,M 的右焦点为( 3 ,0),故 a -b =3. 2 2 因此 a =6,b =3.
2 2 2 2

所以 M 的方程为

x2 y2 ? =1 . 6 3

? x ? y ? 3 ? 0, ? (2)由 ? x 2 y 2 ? 1, ? ? 3 ?6 ? 4 3 , ?x ? ? ? x ? 0, ? 3 解得 ? 或? ? y ? 3. ?y ? ? 3 , ? ? 3 ? 4 6 因此|AB|= . 3
由题意可设直线 CD 的方程为

y= x ? n ? ?

? 5 3 ? ? n ? 3 ? ? ?, 3 ? ?

设 C(x3,y3),D(x4,y4).

? y ? x ? n, ? 2 2 由 ? x2 y 2 得 3x +4nx+2n -6=0. ?1 ? ? 3 ?6
于是 x3,4=

?2n ? 2?9 ? n2 ? . 3

因为直线 CD 的斜率为 1,

4 9 ? n2 . 3 1 8 6 9 ? n2 . 由已知,四边形 ACBD 的面积 S ? | CD | ? | AB |? 2 9 8 6 当 n=0 时,S 取得最大值,最大值为 . 3 8 6 所以四边形 ACBD 面积的最大值为 . 3
所以|CD|= 2 | x4 ? x3 |? 21. 解:(1)f′(x)= e ?
x

1 . x?m
2013 全国新课标卷 2 理科数学 第8页

由 x=0 是 f(x)的极值点得 f′(0)=0,所以 m=1.

于是 f(x)=e -ln(x+1),定义域为(-1,+∞),f′(x)= e ?
x

x

1 . x ?1

函数 f′(x)= e ?
x

1 在(-1,+∞)单调递增,且 f′(0)=0. x ?1

因此当 x∈(-1,0)时,f′(x)<0; 当 x∈(0,+∞)时,f′(x)>0. 所以 f(x)在(-1,0)单调递减,在(0,+∞)单调递增. (2)当 m≤2,x∈(-m,+∞)时,ln(x+m)≤ln(x+2),故只需证明当 m=2 时,f(x)>0. 当 m=2 时,函数 f′(x)= e ?
x

1 在(-2,+∞)单调递增. x?2

又 f′(-1)<0,f′(0)>0, 故 f′(x)=0 在(-2,+∞)有唯一实根 x0,且 x0∈(-1,0). 当 x∈(-2,x0)时,f′(x)<0; 当 x∈(x0,+∞)时,f′(x)>0,从而当 x=x0 时,f(x)取得最小值. 由 f′(x0)=0 得 e 0 = 故 f(x)≥f(x0)=
x

1 ,ln(x0+2)=-x0, x0 ? 2

? x ? 1?2 1 +x0= 0 >0. x0 ? 2 x0 ? 2

综上,当 m≤2 时,f(x)>0. 请考生在第 22、23、24 题中任选择一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号. 22. 解:(1)因为 CD 为△ABC 外接圆的切线, 所以∠DCB=∠A,由题设知

BC DC ? , FA EA

故△CDB∽△AEF,所以∠DBC=∠EFA. 因为 B,E,F,C 四点共圆, 所以∠CFE=∠DBC, 故∠EFA=∠CFE=90°. 所以∠CBA=90°,因此 CA 是△ABC 外接圆的直径. 2 (2)连结 CE,因为∠CBE=90°,所以过 B,E,F,C 四点的圆的直径为 CE,由 DB=BE,有 CE=DC,又 BC 2 2 2 2 2 =DB·BA=2DB ,所以 CA =4DB +BC =6DB .

而 DC =DB·DA=3DB ,故过 B,E,F,C 四点的圆的面积与△ABC 外接圆面积的比值为 23. 解:(1)依题意有 P(2cos α ,2sin α ),Q(2cos 2α ,2sin 2α ), 因此 M(cos α +cos 2α ,sin α +sin 2α ).

2

2

1 . 2

M 的轨迹的参数方程为 ?

? x ? cos ? ? cos 2? , (α 为参数,0<α <2π ). ? y ? sin ? ? sin 2?

(2)M 点到坐标原点的距离

d ? x 2 ? y 2 ? 2 ? 2 cos ? (0<α <2π ). 当 α =π 时,d=0,故 M 的轨迹过坐标原点.
24.
2013 全国新课标卷 2 理科数学 第9页

解:(1)由 a +b ≥2ab,b +c ≥2bc,c +a ≥2ca, 2 2 2 得 a +b +c ≥ab+bc+ca. 2 2 2 2 由题设得(a+b+c) =1,即 a +b +c +2ab+2bc+2ca=1. 所以 3(ab+bc+ca)≤1,即 ab+bc+ca≤ (2)因为

2

2

2

2

2

2

1 . 3

a2 b2 c2 ? b ? 2a , ? c ? 2b , ? a ? 2c , b c a 2 2 2 a b c ? ? ? (a ? b ? c) ≥2(a+b+c), 故 b c a 2 a b2 c 2 ? ? ≥a+b+c. 即 b c a a 2 b2 c 2 ? ? ≥1. 所以 b c a

2013

全国新课标卷 2 理科数学

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