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数学:2.3《对数函数》课件三(苏教版必修1)


问:什么是指数函数? 它的图象和性质是什么?

复习引入
我们研究指数函数时,曾讨论过细胞分裂问题,某种细胞分裂时,由 1个分裂成2个,2个分裂成4个……1个这样的细胞分裂成x次后,得到细胞 y=2x,x∈N 表示。 个数y是分裂次数x的函数,这个函数可以用指数函数 ___________ 反过来,1个细胞经过多少次分裂,大约可以等于1万个、10万个…… 细胞?已知细胞个数y,如何求分裂次数x?得到怎样一个新的函数?

1

2

4

……

y=2x

y x=?

x ? log 2 y ? y ? log 2 x

对数函数的定义:

一般地,函数y=logax(a>0且a≠1)叫做对数 函数,其中x是自变量,(在真数位置)函数定 义域是(0,+∞) 注意:a>0且a≠1,x?(0,+∞)

思考1:当a ? 0且a ? 1时,比较函数y ? a x与函数y ? log a x, 它们的定义域和值域有什么关系?
(函数y ? log a x的定义域、值域分别是函数y ? a x 的值域和定义域。 )

对数函数的图像和性质
1、指数函数与对数函数两者图像之间的关系
尝试:在同一坐标下画出函数y ? log 2 x与函数y ? 2 x 的图像

思考2:一般地,当a ? 0且a ?1时,函数y ? loga x与函数y ? a x 的图像有什么关系 ?

Y

Y=2x

5
4 3 2 ●● 1 ● ● ● ●

Y=X



Y=log2x

(一般地,当a ? 0且a ?1时,函数y ? loga x与函数y ? a x 的图像关于直线 y ? x对称)

● O -1 1 ● -1 ●

2

3

4

5

6

7 X

二.对数函数的图象
y=2x y=log2
x

利用上题得出的性质你能画出

1 x y ?( ) 2

y ? log 1
2

x

y

y=2x

1 y ? ( )x 2

y

y
(Ⅰ)

y=log2x
o

x

o

x
y ? log 1
2 x

o

x
(Ⅱ )

图(1)

图(2)

图(3)

三.对数函数的性质

y
y=log2x
(Ⅰ)

o

x
(Ⅱ )

y ? log 1
2

x

图象特征
(1)这些图像都在y轴的右边
(2)函数图像都经过(1,0)点

函数性质
(1)定义域是(0,+∞) (2)1的对数是零

(3)当底数a>1时, y=logax是增函数 (3)自左向右看,图像(Ⅰ)逐渐上升; x是减函数 当底数 0<a<1 时, y=log a 图像(Ⅱ)逐渐下降

a>1

0<a<1
y

图 象

y

x=1 y=logax (a>1) (1,0) x

(1,0) 0 0 y=logax x (0<a<1)

性 质

定义域 : ( 0 ,+∞) 值域: R 过定点 ( 1 , 0 ) 在 ( 0 ,+∞)上 是 增 函数 在 ( 0 ,+∞)上 是减 函数

例1:求下列函数的定义域: (1)y=log0.2(4-x)

(2)y=loga

(3)y=log2(x-1)+log2(x+1)

x ?1

a

loga x

练 习:
x2

? x?

2

下列

讲解范例 例: 比较下列各组数中两个值的大小: log 0.3 1.8, log 0.3 2.7 (1) log 2 3.4, log 2 8.5 (2) 解(1)∵函数y=log2x在(0,+∞)上为 减函数 又∵3.4<8.5 ∴log23.4>log28.5
o

y
y=logax
(Ⅰ )

x
(Ⅱ )

解(2)∵函数y=log0.3x在(0,+∞)上 为减函数 又∵1.8<2.7 ∴log0.31.8>log0.32.7

y ? log x
a

讲解范例 (3) loga 5.4, loga 3.2
解:当 0 ? a ? 1时, 在( 0,+ ∞)上是 减函数, 于是log a 5.4 ? loga 3.2 当a ? 1时, 在( 0,+ ∞)上是 增函数, 于是 loga 5.4 ? loga 3.2
小结1:两个同底数的对数比较大小的一般步骤: ①确定所要考查的对数函数; ②根据对数底数判断对数函数增减性
o

y
y=logax
(Ⅰ )

x
(Ⅱ )

y ? log x
a

③比较真数大小,然后利用对数函数的增减性判断两对数值 的大小 ④若底数与1的大小关系未明确指定时,要分情况对底数进行 讨论来比较大小.

讲解范例

(4) log 6 7, log 7 6
? log 6 7 ? log 7 6

(5) log3 1.7, log 2 0.8

解: (4) ? log 6 7 ? log 6 6 ? 1, log 7 6 ? log 7 7 ? 1 (5) ? log 3 1.7 ? log 3 1 ? 0, log 2 0.8 ? log 2 1 ? 0 ? log 3 1.7 ? log 2 0.8
小结2:底数不相同时
若底数不相同,可在两个对数中插入一个 已知 数(如1或0等),间接比较大小.
o

y
y=logax
(Ⅰ )

x
(Ⅱ )

y ? log x
a

小结:对数函数的图象和性质
a>1
y x=1 图 像 y=logax(a>1) o (1,0) y x=1 (1,0)

0<a<1

x

o

x y=logax(0<a<1)

1.定义域(0,+∞)

2.值域( -∞,+ ∞ )

3必经过点(1,0),即当x=1时,y=loga1=0 性 质

(4)在(0, ??)上是增函数

(4)在(0,+?)上是减函数

小结:两个对数比较大小
(一)同底数比较大小时 1、当底数确定时,则可由函数的单 调性直接进行判断。 2、当底数不确定时,应对底数进行分 类讨论 (二)若底数、真数都不相同, 则常借 助1、0等中间量进行比较

思考题:
(1)解不等式

log 1 ( x ? 1) ? 1
2

(2)在同一个直角坐标系下画出
y ? log 1 x
3

y ? log 1 x
2

y ? log2 x

y ? log3 x

图象,并观察其变化情况.


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