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2014年人教B版数学(理)一轮复习精品训练 第1章 集合与常用逻辑用语3 Word版含解析]


[命题报告· 教师用书独具] 考查知识点及角度 基础 含逻辑联结词命题的真假判断 全称(特称)命题的否定及真假判断 与逻辑联结词全(特)称命题有关的系数问题 一、选择题 1.(2013 年江南十校联考)命题 p:若 a· b>0,则 a 与 b 的夹角为锐角;命题 q:若函数 f(x)在(-∞,0]及(0,+∞)上都是减函数,则 f(x)在(-∞,+∞)上是 减函数.下列说

法中正确的是( A.“p∨q”是真命题 C.綈 p 为假命题 ) B.“p∨q”是假命题 D.綈 q 为假命题 1 2、6 7 题号及难度 中档 9、11 3、4、10 5、8 12 稍难

解析:当 a· b>0 时,a 与 b 的夹角为锐角或零度角,所以命题 p 是假命题; ?-x+1,x≤0, 命题 q 是假命题,例如 f(x)=? 所以“p∨q”是假命题,选 B. ?-x+2,x>0, 答案:B 2.已知 a 和 b 的夹角为 120° ,|a|=1,|b|=3,有下列四个命题: 3 p1:|a-b|= 13;p2:|a+b|= 10;p3:a· b=-2;p4:b>a. 则其中的真命题是( A.p1,p4 C.p2,p3 ) B.p1,p3 D.p2,p4

解析:根据向量的知识,逐一验证各个命题的真假.对于 p1,|a-b|2=|a|2 ? 1? +|b|2-2|a|· |b|cos〈a,b〉=1+9 -2×1×3×?-2?=13,故 |a-b|= 13;对于 ? ? 3 p2,|a+b|= 7;对于 p3,a· b=-2;对于 p4,向量不能比较大小.故选 B 项.

答案:B 3.(2013 年大同模拟)已知函数 f(x)=x2+bx(b∈R),则下列结论正确的是 ( ) A.?b∈R,f(x)在(0,+∞)上是增函数 B.?b∈R,f(x)在(0,+∞)上是减函数 C.?b∈R,f(x)为奇函数 D.?b∈R,f(x)为偶函数 解析:注意到 b=0 时,f(x)=x2 是偶函数.故选 D. 答案:D 4.下列命题中的真命题是( 3 A.?x∈R,使得 sin xcos x=5 B.?x∈(-∞,0),2x>1 C.?x∈R,x2≥x-1 D.?x∈(0,π),sin x>cos x 3 6 解析:由 sin xcos x=5,得 sin 2x=5>1,故 A 错误;结合指数函数和三角函 ? 1? 3 数的图象,可知 B,D 错误;因为 x2-x+1=?x-2?2+4>0 恒成立,所以 C 正确. ? ? 答案:C 5.(2013 年南昌联考)已知命题 p:“?x∈[0,1],a≥ex”,命题 q:“?x ∈R,x2+4x+a=0”,若命题“p∧q”是真命题,则实数 a 的取值范围是( A.(4,+∞) C.[e,4] B.[1,4] D.(-∞,1] ) )

解析:“p∧q”是真命题,则 p 与 q 都是真命题;p 真则?x∈[0,1],a≥ex, 需 a≥e;q 真则 x2+4x+a=0 有解,需 Δ=16-4a≥0,所以 a≤4;p∧q 为真, 则 e≤a≤4. 答案:C 二、填空题 6 . (2013 年 连 云 港 模 拟 ) 命 题 p : ? x ∈ R , x2 + 1≥2x , 则 綈 p : ____________________.

解析:命题的否定为:?x∈R,x2+1<2x. 答案:?x∈R,x2+1<2x 7.若命题“?x∈R,使得 x2+(1-a)x+1<0”是真命题,则实数 a 的取值 范围是________. 解析:由题意可知,Δ=(1-a)2-4>0, 解得 a<-1 或 a>3. 答案:(-∞,-1)∪(3,+∞) 1 2 8.已知命题 p:“?x∈[1,2],2x2-ln x-a≥0”与命题 q:“?x0∈R,x0 + 2ax0-8-6a=0”都是真命题,则实数 a 的取值范围是________. ?1 ? 解析:若 p 真,则?x∈[1,2],?2x2-ln x?min≥a, ? ? 1 解得,a≤2;若 q 真,则(2a)2-4×(-8-6a)=4(a+2)· (a+4)≥0,∴a≤- 4 或 a≥-2. 1? ? ∴实数 a 的取值范围为(-∞,-4]∪?-2,2?. ? ? 1? ? 答案:(-∞,-4]∪?-2,2? ? ? 9.(2013 年郑州模拟)已知命题 p:不等式 x <0 的解集为{x|0<x<1};命 x-1

题 q:在△ ABC 中 ,“A>B”是“sin A>sin B”成立的必要不充分条件.有 下列四个结论:①p 真 q 假;②“p∧q”为真;③“p∨q”为真;④p 假 q 真, 其中正确结论的序号是__________.(请把正确结论的序号都填上) 解析:解不等式知,命题 p 是真命题,在△ ABC 中,“A>B”是“sin A> sin B”的充要条件,所以命题 q 是假命题,∴①正确,②错误,③正确,④错误. 答案:①③ 三、解答题 10.写出下列命题的否定,并判断真假: (1)存在一个三角形是正三角形;
2 (2)至少存在一个实数 x0 使 x0 -2x0-3=0 成立;

(3)正数的对数不全是正数.

解析:(1)任意的三角形都不是正三角形,假命题; (2)对任意实数 x 都有 x2-2x-3≠0,假命题; (3)正数的对数都是正数,假命题. 11.写出由下列各组命题构成的“p∨q”,“p∧q”,“綈 p”形式的新命 题,并判断其真假. (1)p:2 是 4 的约数,q:2 是 6 的约数; (2)p:矩形的对角线相等,q:矩形的对角线互相平分; (3)p:方程 x2+x-1=0 的两个实根的符号相同,q:方程 x2+x-1=0 的两 实根的绝对值相等. 解析:(1)p∨q:2 是 4 的约数或 2 是 6 的约数,真命题; p∧q:2 是 4 的约数且 2 也是 6 的约数,真命题; 綈 p:2 不是 4 的约数,假命题. (2)p∨q:矩形的对角线相等或互相平分,真命题; p∧q:矩形的对角线相等且互相平分,真命题; 綈 p:矩形的对角线不相等,假命题. (3)p∨q:方程 x2+x-1=0 的两个实数根符号相同或绝对值相等,假命题; p∧q:方程 x2+x-1=0 的两个实数根符号相同且绝对值相等,假命题; 綈 p:方程 x2+x-1=0 的两个实数根符号不同,真命题. 12.(能力提升)已知命题 p:方程 2x2+ax-a2=0 在[-1,1]上有解;命题 q: 只有一个实数 x0 满足不等式 x2 0+2ax0+2a≤0,若命题“p∨q”是假命题,求实 数 a 的取值范围. 解析:由 2x2+ax-a2=0 得(2x-a)(x+a)=0, a ∴x=2或 x=-a, a ∴当命题 p 为真命题时|2|≤1 或|-a|≤1,∴|a|≤2. 又“只有一个实数 x0 满足 x2 0+2ax0+2a≤0”, 即抛物线 y=x2+2ax+2a 与 x 轴只有一个交点, ∴Δ=4a2-8a=0,∴a=0 或 a=2. ∴当命题 q 为真命题时,a=0 或 a=2. ∴命题“p∨q”为真命题时,|a|≤2.

∵命题“p∨q”为假命题,∴a>2 或 a<-2. 即 a 的取值范围为(-∞,-2)∪(2,+∞). [因材施教· 学生备选练习] 1.(2013 年太原联考)已知命题 p:?x∈R,x2+1<2x;命题 q:若 mx2-mx -1<0 恒成立,则-4<m≤0,那么( A.“綈 p”是假命题 C.“p∧q”为真命题 ) B.“綈 q”是真命题 D.“p∨q”为真命题

解析: 对于命题 p, x2+1-2x=(x-1)2≥0, 即对任意的 x∈R, 都有 x2+1≥2x, 因此命题 p 是假命题.对于命题 q,若 mx2-mx-1<0 恒成立,则当 m=0 时, ?m<0 mx2-mx-1<0 恒成立; 当 m≠0 时, 由 mx2-mx-1<0 恒成立得? , 2 ?Δ=m +4m<0 即-4<m<0.因此若 mx2-mx-1<0 恒成立,则-4<m≤0,故命题 q 是真命题.因 此,“綈 p”是真命题,“綈 q”是假命题,“p∧q”是假命题,“p∨q”是真 命题,选 D. 答案:D 2.(2013 年济南调研)已知命题 p:关于 x 的方程 x2-ax+4=0 有实根;命 题 q:关于 x 的函数 y=2x2+ax+4 在[3,+∞)上是增函数.若 p∨q 是真命题, p∧q 是假命题,则实数 a 的取值范围是( A.(-12,-4]∪[4,+∞) C.(-∞,-12)∪(-4,4) ) B. [-12, -4]∪[4, +∞) D.[-12,+∞)

a 解析: 命题 p 等价于 Δ=a2-16≥0, 即 a≤-4 或 a≥4; 命题 q 等价于-4≤3, 即 a≥-12.由 p∨q 是真命题,p∧q 是假命题知,命题 p 和 q 一真一假.若 p 真 q 假,则 a<-12;若 p 假 q 真,则-4<a<4.故 a 的取值范围是(-∞,-12)∪(- 4,4). 答案:C 3.已知命题 p:在△ABC 中,“C>B”是“sin C>sin B”的充分不必要条件;命 题 q:“a>b”是“ac2>bc2”的充分不必要条件,则下列选项中正确的是( A.p 真 q 假 C.“p∨q”为假 B.p 假 q 真 D.“p∧q”为真 )

解析: 在△ABC 中, 设角 C 与角 B 所对应的边分别为 c, b, 由 C>B, 知 c>b, c b 由正弦定理sin C=sin B可得 sin C>sin B,当 sin C>sin B 时,易证 C>B,故“C>B” 是“sin C>sin B”的充要条件. 当 c=0 时, 由 a>b 得 ac2=bc2, 由 ac2>bc2 易证 a>b, 故“a>b”是“ac2>bc2”的必要不充分条件,即命题 p 是假命题,命题 q 也是假命题, 所以“p∨q”为假.故选 C. 答案:C


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