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【与名师对话】2015高考数学一轮复习 2.2 函数的单调性与最值课时作业 理(含解析)新人教A版


【与名师对话】 2015 高考数学一轮复习 2.2 函数的单调性与最值课 时作业 理(含解析)新人教 A 版
一、选择题 1.若函数 f(x)=4x -mx+5 在[-2,+∞)上递增,在(-∞,-2]上递减,则 f(1) =( ) A.-7 B.1 C.17 D.25
2

-m m 解析:依题意,知函数图象的对称轴为 x=- = =-2

,即 m=-16,从而 f(x)= 8 8 4x +16x+5, f(1)=4+16+5=25. 答案:D 2. (2014·广东佛山月考)若函数 y=ax 与 y=- 在(0, +∞)上都是减函数, 则 y=ax +bx 在(0,+∞)上是( )
2

b x

2

A.增函数 B.减函数 C.先增后减 D.先减后增 解析:∵y=ax 与 y=- 在(0,+∞)上都是减函数,∴a<0,b<0,∴y=ax +bx 的对 称轴方程 x=- <0,∴y=ax +bx 在(0,+∞)上为减函数. 2a 答案:B 3.“函数 f(x)在[a,b]上为单调函数”是“函数 f(x)在[a,b]上有最大值和最小值” 的( ) A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

b x

2

b

2

解析:若函数 f(x)在[a,b]上为单调递增(减)函数,则在[a,b]上一定存在最小(大) 值 f(a),最大(小)值 f(b).所以充分性满足;反之,不一定成立,如二次函数 f(x)=x - 2x+3 在[0,2]存在最大值和最小值,但该函数在[0,2]不具有单调性,所以必要性不满足, 即“函数 f(x)在[a,b]上单调”是“函数 f(x)在[a,b]上有最大值和最小值”的充分不必 要条件. 答案:A 4.若 f(x)=-x +2ax 与 g(x)= ( ) A.(-1,0)∪(0,1) C.(0,1) B.(-1,0)∪(0,1] D.(0,1]
2 2

a 在区间[1,2]上都是减函数,则 a 的取值范围是 x+1

解析:当 a=1 时,验证适合题意,而 a<0 时,g(x)在[1,2]上为增函数,不适合题意,
1

故选 D. 答案:D 5. (2013·潍坊模拟)已知函数 f(x)的图象向左平移 1 个单位后关于 y 轴对称, 当 x2>x1>1

? 1? 时,[f(x2)-f(x1)]·(x2-x1)<0 恒成立,设 a=f?- ?,b=f(2),c=f(3),则 a,b,c 的 ? 2?
大小关系为( ) A.c>a>b B.c>b>a C.a>c>b D.b>a>c 解析: 由已知条件可得 x2>x1>1 时 f(x)为减函数, 又 f(x)向左移一个单位后关于 y 轴对

? 1? ?5? 称,∴f(x)关于 x=1 对称,故 f?- ?=f? ? ? 2? ?2?
5 ?5? ∵2< <3,∴f(2)>f? ?>f(3),因此 b>a>c,选 D. 2 ?2? 答案:D 6.定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x+y)=f(x)+f(y),当 x<0 时, f(x)>0,则函数

f(x)在[a,b]上有(
A.最小值 f(a) C.最小值 f(b)

) B.最大值 f(b) D.最大值 f?

?a+b? ? ? 2 ?

解析:不妨令 f(x)=-2x,可知 f(x)为减函数,选 C. 答案:C 二、填空题 7.函数 y=-(x-3)|x|的递增区间是________. 解析:

y=-(x-3)|x|

2

?-x +3x ? =? 2 ?x -3x ?

2

x x



? 3? 作出该函数的图象,观察图象知递增区间为?0, ?. ? 2? ? 3? 答案:?0, ? ? 2?
8.函数 y= 3x+6- 8-x的值域为________. 解析:定义域为[-2,8],又 f(x)为增函数, ∴y∈[- 10, 30]. 答案:[- 10, 30] 9.(2013·东城模拟)函数 f(x)的定义域为 A,若 x1,x2∈A 且 f(x1)=f(x2)时总有 x1 =x2,则称 f(x)为单函数.例如:函数 f(x)=2x+1(x∈R)是单函数. 给出下列命题: ①函数 f(x)=x (x∈R)是单函数; ②指数函数 f(x)=2 (x∈R)是单函数; ③若 f(x)为单函数,x1,x2∈A 且 x1≠x2,则 f(x1)≠f(x2); ④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数. 其中真命题是________(写出所有真命题的编号). 解析:对于①x1=x2时不一定有 x1=x2, ∴①不正确,由定义可知②③④正确. 答案:②③④ 三、解答题 10.已知函数 f(x)=a- 1 . |x|
2 2 2

x

(1)求证:函数 y=f(x)在(0,+∞)上是增函数; (2)若 f(x)<2x 在(1,+∞)上恒成立,求实数 a 的取值范围. 1 解:(1)证明:当 x∈(0,+∞)时, f(x)=a- ,

x

设 0<x1<x2,则 x1x2>0,x2-x1>0.

f(x1)-f(x2)=?a- ?-?a- ? ? x1? ? x2?
1 1 x1-x2 = - = <0.

?

1? ?

1?

x2 x1

x1x2

∴f(x1)<f(x2),即 f(x)在(0,+∞)上是增函数. 1 1 (2)由题意 a- <2x 在(1,+∞)上恒成立,设 h(x)=2x+ ,则 a<h(x)在(1,+∞)上

x

x

3

恒成立. 可证 h(x)在(1,+∞)上单调递增. 故 a≤h(1),即 a≤3, ∴a 的取值范围为(-∞,3]. 11.(2013·上海模拟)已知函数 f(x)是定义在(0,+∞)上的减函数,且满足 f(xy)=

f(x)+f(y),f? ?=1. 3
(1)求 f(1); (2)若 f(x)+f(2-x)<2,求 x 的取值范围. 解析:(1)令 x=y=1,则 f(1)=f(1)+f(1),∴f(1)=0.

?1? ? ?

?1? ?1? ?1? ?1? (2)∵2=1+1=f? ?+f? ?=f? ?,即 f[x(2-x)]<f? ?, ?3? ?3? ?9? ?9?
由 f(x)是定义在(0,+∞)上的减函数,得

x>0 ? ?2-x>0 ? ? ?x -x

1 9

2 2? ? 2 2 ,∴x 的取值范围为?1- ,1+ ?. 3 3 ? ?

12.(2014·安徽池州一中高三月考)已知函数 f(x)的定义域为[0,1],且同时满足以下 三个条件:①f(1)=1;②对任意的 x∈[0,1],都有 f(x)≥0;③当 x≥0,y≥0,x+y≤1 时总有 f(x+y)≥f(x)+f(y). (1)试求 f(0)的值; (2)求 f(x)的最大值;

?1 ? (3)证明:当 x∈? ,1?时,恒有 2x≥f(x). ?2 ?
解:(1)令 x∈[0,1],y=0,则有 f(x)=f(x+0)≥f(x)+f(0),所以有 f(0)≤0, 又根据条件②可知 f(0)≥0,故 f(0)=0.(也可令 x=y=0) (2)设 0≤x1<x2≤1,则有 f(x2)=f(x2-x1+x1)≥f(x2-x1)+f(x1)≥f(x1),即 f(x)为增 函数,所以 f(x)≤f(1)=1,故 f(x)max=1.

?1 ? (3)证明:当 x∈? ,1?,有 2x≥1,又由(2)可知 f(x)≤1,所以有 2x≥f(x)对任意的 ?2 ? ? ? x∈? ,1?恒成立.
1 ?2

?

[热点预测] 13.(1)设函数 f(x)定义在实数集上,f(2-x)=f(x),且当 x≥1 时, f(x)=ln x, 则有( )

4

?1? ?1? A.f? ?<f(2)<f? ? ?3? ?2? ?1? ?1? B.f? ?<f(2)<f? ? 2 ? ? ?3? ?1? ?1? C.f? ?<f? ?<f(2) ?2? ?3? ?1? ?1? D.f(2)<f? ?<f? ? ?2? ?3?
1? ? ?? ?2?x,x≤0, (2)(2013·北京昌平期末 ) 已知函数 f(x) = ?? ? ? ?1-3x,x>0, ________;若 f(2a -3)>f(5a),则实数 a 的取值范围是________. 解析:(1)由 f(2-x)=f(x)可知, f(x)的图象关于直线 x=1 对称,当 x≥1 时, f(x)
2

则 f [f



]=

?1 ? ?1 ? =ln x,可知当 x≥1 时 f(x)为增函数,所以当 x<1 时 f(x)为减函数,因为? -1?<? -1? ? 2 ? ?3 ? ?1? ?1? <|2-1|,所以 f? ?<f? ?<f(2). ?2? ?3? ?1?-1 (2)因 f(-1)=? ? =2, 所以 f[f ?2?


]=f(2)=1-6=-5; 由分段函数图象可知,
1 2

f(x)在 R 上递减,故 f(2a2-3)>f(5a)可得 2a2-3<5a,解不等式得- <a<3.

? 1 ? 答案:(1)C (2)-5 ?- ,3? 2 ? ?

5


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