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必修5解三角形数列不等式


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特别说明:
《新课程高中数学训练题组》是由李传牛老师根据最新课
程标准, 参考独家内部资料, 结合自己颇具特色的教学实践和卓有成 效的综合辅导经验精心编辑而成; 本套资料分必修系列和选修系列及 部分选修 4 系列。欢迎使用本资料! 本套资料所诉求的数学理念是: (1) 解题活动是高中数学教与学 的核心环节, (2) 精选的优秀试题兼有巩固所学知识和检测知识点缺 漏的两项重大功能。 本套资料按照必修系列和选修系列及部分选修 4 系列的章节编 写,每章分三个等级:[基础训练 A 组], [综合训练 B 组], [提高训练 C 组] 建议分别适用于同步练习,单元自我检查和高考综合复习。 本套资料配有详细的参考答案,特别值得一提的是:单项选择题 和填空题配有详细的解题过程, 解答题则按照高考答题的要求给出完 整而优美的解题过程。 本套资料对于基础较好的同学是一套非常好的自我测试题组:可 以在 90 分钟内做完一组题,然后比照答案,对完答案后,发现本可 以做对而做错的题目, 要思考是什么原因: 是公式定理记错?计算错 误?还是方法上的错误?对于个别不会做的题目, 要引起重视, 这是 一个强烈的信号: 你在这道题所涉及的知识点上有欠缺, 或是这类题 你没有掌握特定的方法。
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本套资料对于基础不是很好的同学是一个好帮手, 结合详细的参 考答案, 把一道题的解题过程的每一步的理由捉摸清楚, 常思考这道 题是考什么方面的知识点, 可能要用到什么数学方法, 或者可能涉及 什么数学思想,这样举一反三,慢慢就具备一定的数学思维方法了。

目录:数学 5(必修)
数学 5(必修)第一章:解三角形 [基础训练 A 组] 数学 5(必修)第一章:解三角形 [综合训练 B 组] 数学 5(必修)第一章:解三角形 [提高训练 C 组] 数学 5(必修)第二章:数列 数学 5(必修)第二章:数列 数学 5(必修)第二章:数列 数学 5(必修)第三章:不等式 数学 5(必修)第三章:不等式 数学 5(必修)第三章:不等式 [基础训练 A 组] [综合训练 B 组] [提高训练 C 组] [基础训练 A 组] [综合训练 B 组] [提高训练 C 组]

而 不 愠 , 不 亦 君 子 乎 ?

来 , 不 亦 乐 乎 ? 人 不 知

亦 说 乎 ? 有 朋 自 远 方

子 曰 : 学 而 时 习 之 , 不

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根据最新课程标准,参考独家内部资料, 精心编辑而成; 本套资料分必修系列和选修 系列及部分选修 4 系列。欢迎使用本资料!

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(数学 5 必修)第一章:解三角形 [基础训练 A 组]
一、选择题
1.在△ABC 中,若 C ? 90 , a ? 6 , B ? 30 ,则 c ? b 等于(
0 0



A. 1

B. ? 1

C. 2 3

D. ? 2 3 )

2.若 A 为△ABC 的内角,则下列函数中一定取正值的是( A. sin A B. cos A C. tan A D.
1 tan A

3.在△ABC 中,角 A , B 均为锐角,且 cos A ? sin B , 则△ABC 的形状是( ) A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形
0 4.等腰三角形一腰上的高是 3 ,这条高与底边的夹角为 60 ,

则底边长为( A. 2 B.
3 2

) C. 3 D. 2 3 )

5.在△ A B C 中,若 b ? 2 a sin B ,则 A 等于( A. 30 或 60
0 0 0

B. 45 或 60
0 0

0

0

C. 120 或 60

D. 30 或 150

0

6.边长为 5, 7 , 8 的三角形的最大角与最小角的和是( A. 90
0



B. 120
0

0

C. 135

D. 150

0

二、填空题
1.在 Rt △ABC 中, C ? 9 0 ,则 sin A sin B 的最大值是_______________。
0

2.在△ABC 中,若 a

2

? b

2

? bc ? c , 则 A ? _________。
2 0 0

3.在△ABC 中,若 b ? 2 , B ? 30 , C ? 135 , 则 a ? _________。 4.在△ABC 中,若 s in A ∶ s in B ∶ sin C ? 7 ∶ 8 ∶ 1 3 ,则 C ? _____________。 5.在△ABC 中, AB ?
6 ? 2 , C ? 3 0 ,则 A C ? B C 的最大值是________。
0

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三、解答题
1. 在△ABC 中,若 a cos A ? b cos B ? c cos C , 则△ABC 的形状是什么?

2.在△ABC 中,求证:

a b

?

b a

? c(

cos B b

?

cos A a

)

3.在锐角△ABC 中,求证: sin A ? sin B ? sin C ? cos A ? cos B ? cos C 。

4.在△ABC 中,设 a ? c ? 2 b , A ? C ?

?
3

, 求 sin B 的值。

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(数学 5 必修)第一章:解三角形 [综合训练 B 组] 一、选择题
1.在△ABC 中, A : B : C ? 1 : 2 : 3 , 则 a : b : c 等于( )
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A. 1 : 2 : 3 C. 1 : 3 : 2

B. 3 : 2 : 1 D. 2 : 3 : 1 )

2.在△ABC 中,若角 B 为钝角,则 sin B ? sin A 的值( A.大于零 B.小于零 C.等于零 D.不能确定 3.在△ABC 中,若 A ? 2 B ,则 a 等于( ) A. 2 b sin A B. 2 b cos A C. 2 b sin B D. 2 b cos B 4.在△ABC 中,若 lg sin A ? lg cos B ? lg sin C ? lg 2 , 则△ABC 的形状是( ) A.直角三角形 B.等边三角形 C.不能确定 D.等腰三角形 5.在△ABC 中,若 ( a ? b ? c )( b ? c ? a ) ? 3 bc , 则A ? ( A. 90
0

) B. 60
0

C. 135

0

D. 150

0

6.在△ABC 中,若 a ? 7 , b ? 8 , cos C ? 则最大角的余弦是( A. ? C. ?
1 5

13 14





B. ? D. ?

1 6
1 8 A? B 2 ? a?b a?b

1 7

7.在△ABC 中,若 ta n A.直角三角形 C.等腰直角三角形

,则△ABC 的形状是(



B.等腰三角形 D.等腰三角形或直角三角形

二、填空题
1.若在△ABC 中, ? A ? 6 0 , b ? 1, S ? A B C ?
0

3, 则

a ?b?c sin A ? sin B ? sin C

=_______。

2.若 A , B 是锐角三角形的两内角,则 tan A tan B _____ 1 (填>或<) 。 3.在△ABC 中,若 sin A ? 2 cos B cos C , 则 tan B ? tan C ? _________。 4.在△ABC 中,若 a ? 9 , b ? 10 , c ? 12 , 则△ABC 的形状是_________。

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5.在△ABC 中,若 a ?

3,b ?

2,c ?

6 ? 2

2

则 A ? _________。

6.在锐角△ABC 中,若 a ? 2, b ? 3 ,则边长 c 的取值范围是_________。 三、解答题 1. 在△ABC 中, A ? 1 2 0 , c ? b , a ?
0

2 1, S ? A B C ?

3 ,求 b , c 。

2. 在锐角△ABC 中,求证: tan A ? tan B ? tan C ? 1 。

3. 在△ABC 中,求证: sin A ? sin B ? sin C ? 4 cos

A 2

cos

B 2

cos

C 2



4. 在△ABC 中,若 A ? B ? 120 ,则求证:
0

a b?c

?

b a ?c

?1。

5.在△ABC 中,若 a c o s

2

C 2

? c cos

2

A 2

?

3b 2

,则求证: a ? c ? 2 b

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(数学 5 必修)第一章:解三角形 [提高训练 C 组] 一、选择题
1. A 为△ABC 的内角,则 sin A ? cos A 的取值范围是( A. ( 2 , 2 ) B. ( ? 2 , 2 )
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C. ( ? 1, 2 ]

D. [ ? 2 , 2 ]
0

2.在△ABC 中,若 C ? 90 , 则三边的比 A. 2 cos C. 2 sin
A? B 2

a ?b c

等于(



B. 2 cos D. 2 sin

A? B 2

A? B 2

A? B 2

3.在△ABC 中,若 a ? 7 , b ? 3 , c ? 8 ,则其面积等于( A. 1 2 C. 2 8 B.
21 2



D. 6 3

4.在△ABC 中, ? C ? 9 0 , 0 ? A ? 45 ,则下列各式中正确的是(
0

0

0



A. sin C. sin

A ? co s A A ? co s B

B. sin B D. sin B

? co s A ? co s B

5.在△ABC 中,若 ( a ? c )( a ? c ) ? b ( b ? c ) ,则 ? A ? ( A. 90
0



B. 60
0

0

C. 120

D. 150

0

6.在△ABC 中,若

tan A tan B

?

a b

2 2

,则△ABC 的形状是(



A.直角三角形 B.等腰或直角三角形 C.不能确定 D.等腰三角形

二、填空题
1.在△ABC 中,若 sin A ? sin B , 则 A 一定大于 B ,对吗?填_________(对或错) 2.在△ABC 中,若 cos
2

A ? cos

2

B ? cos

2

C ? 1, 则△ABC 的形状是______________。

3.在△ABC 中,∠C 是钝角,设 x ? sin C , y ? sin A ? sin B , z ? cos A ? cos B , 则 x , y , z 的大小关系是___________________________。 4.在△ABC 中,若 a ? c ? 2 b ,则 cos A ? cos C ? cos A cos C ?
1 3
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sin A sin C ? ______。

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5.在△ABC 中,若 2 lg tan B ? lg tan A ? lg tan C , 则 B 的取值范围是_______________。 6.在△ABC 中,若 b ? ac ,则 cos( A ? C ) ? cos B ? cos 2 B 的值是_________。
2

三、解答题
1.在△ABC 中,若 ( a ? b ) sin( A ? B ) ? ( a ? b ) sin( A ? B ) ,请判断三角形的形状。
2 2 2 2

2. 如果△ABC 内接于半径为 R 的圆,且 2 R (sin 求△ABC 的面积的最大值。

2

A ? sin

2

C ) ? ( 2 a ? b ) sin B ,

3. 已知△ABC 的三边 a ? b ? c 且 a ? c ? 2 b , A ? C ?

?
2

,求 a : b : c

4.在△ABC 中,若 ( a ? b ? c )( a ? b ? c ) ? 3 a c ,且 tan A ? tan C ? 3 ? 高为 4 3 ,求角 A , B , C 的大小与边 a , b , c 的长

3 , A B 边上的

也 不 之 。 知 乎 为 ! 不 知 知 之 , 为 是 知 知 之 ,

子 曰 : 由 ! 诲 女 知

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数学 5(必修)第二章:数列 [基础训练 A 组]
一、选择题 1.在数列 1,1, 2 , 3 , 5 ,8 , x , 21 , 34 , 55 中, x 等于( A. 1 1 C. 1 3 B. 1 2 D. 1 4 )

2.等差数列 { a n }中 , a 1 ? a 4 ? a 7 ? 39 , a 3 ? a 6 ? a 9 ? 27 , 则数列 { a n }前 9 项 的和 S 9 等于( A. 6 6 C. 1 4 4 ) B. 9 9 D. 2 9 7 )

3.等比数列 ?a n ? 中, a 2 ? 9 , a 5 ? 243 , 则 ?a n ? 的前 4 项和为( A. 8 1 C. 1 6 8 B. 1 2 0 D. 1 9 2 )

4. 2 ? 1 与 2 ? 1 ,两数的等比中项是( A. 1 B. ? 1 C. ? 1 D.
1 2

5.已知一等比数列的前三项依次为 x , 2 x ? 2 , 3 x ? 3 , 那么 ? 13 A. 2
1 2

是此数列的第( B. 4 C. 6

)项 D. 8

6.在公比为整数的等比数列 ?a n ? 中,如果 a 1 ? a 4 ? 18 , a 2 ? a 3 ? 12 , 那么该数列 的前 8 项之和为( ) A. 5 1 3 B. 5 1 2 C. 5 1 0 D.
225 8

二、填空题
1.等差数列 ?a n ? 中, a 2 ? 9 , a 5 ? 33 , 则 ?a n ? 的公差为______________。 2.数列{ a n }是等差数列, a 4 ? 7 ,则 s 7 ? _________ 3.两个等差数列 ?a n ?, ?b n ?,
a 1 ? a 2 ? ... ? a n b 1 ? b 2 ? ... ? b n ? 7n ? 2 n?3 ,则 a5 b5

=___________.

4.在等比数列 ?a n ? 中, 若 a 3 ? 3 , a 9 ? 75 , 则 a 10 =___________.
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5.在等比数列 ?a n ? 中, 若 a 1 , a 10 是方程 3 x ? 2 x ? 6 ? 0 的两根,则 a 4 ? a 7 =___________.
2

6.计算 lo g 3

3 3 ... 3 ? ___________. ?? ?? ?? ?
n

三、解答题 1. 成等差数列的四个数的和为 2 6 ,第二数与第三数之积为 4 0 ,求这四个数。

2. 在等差数列 ?a n ? 中, a 5 ? 0 . 3 , a 12 ? 3 . 1, 求 a 18 ? a 19 ? a 20 ? a 21 ? a 22 的值。

3. 求和: ( a ? 1) ? ( a ? 2 ) ? ... ? ( a ? n ), ( a ? 0 )
2 n

4. 设等比数列 ?a n ? 前 n 项和为 S n ,若 S 3 ? S 6 ? 2 S 9 ,求数列的公比 q

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数学 5(必修)第二章:数列 [综合训练 B 组]
一、选择题 1.已知等差数列 ?a n ? 的公差为 2 ,若 a 1 , a 3 , a 4 成等比数列, 则 a 2 ? ( A. ? 4 B. ? 6 C. ? 8 D. ? 1 0
a5 a3 ? 5 9 ,则 S9 S5 ?(



2.设 S n 是等差数列 ?a n ? 的前 n 项和,若



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A. 1

B. ? 1
x

C. 2
x

D.

1 2

3.若 lg 2 , lg( 2 ? 1), lg( 2 ? 3 ) 成等差数列,则 x 的值等于( A. 1 B. 0 或 3 2 C. 3 2 D. log
5



2

4.已知三角形的三边构成等比数列,它们的公比为 q , 则 q 的取值范围是( ) A. (0 ,
1? 2 1? 2 5 5 )

B. (

1? 2

5

,1]

C. [1,

)

D. (

?1? 2

5 1? , 2

5

)

5.在 ? A B C 中, tan A 是以 ? 4 为第三项, 4 为第七项的等差数列的公差,
tan B 是以

1 3

为第三项, 9 为第六项的等比数列的公比,则这个三角形是( B.锐角三角形 D.以上都不对



A.钝角三角形 C.等腰直角三角形

6.在等差数列 ?a n ? 中,设 S 1 ? a 1 ? a 2 ? ... ? a n , S 2 ? a n ? 1 ? a n ? 2 ? ... ? a 2 n ,
S 3 ? a 2 n ? 1 ? a 2 n ? 2 ? ... ? a 3 n ,则 S 1 , S 2 , S 3 , 关系为(



A.等差数列 C.等差数列或等比数列

B.等比数列 D.都不对

7.等比数列 ? a n ? 的各项均为正数,且 a 5 a 6 ? a 4 a 7 ? 1 8 , 则 lo g 3 a1 ? lo g 3 a 2 ? ... ? lo g 3 a1 0 ? ( A. 1 2 B. 1 0 C. 1 ? lo g 3 5 ) D. 2 ? lo g 3 5

二、填空题
1.等差数列 ?a n ? 中, a 2 ? 5 , a 6 ? 33 , 则 a 3 ? a 5 ? _________。 2.数列 7 , 7 7 , 7 7 7 , 7 7 7 7 …的一个通项公式是______________________。 3.在正项等比数列 ?a n ? 中, a 1 a 5 ? 2 a 3 a 5 ? a 3 a 7 ? 2 5 ,则 a 3 ? a 5 ? 4.等差数列中,若 S m ? S n ( m ? n ), 则 S m ? n =_______。 5.已知数列 ? a n ? 是等差数列,若 a 4 ? a 7 ? a 1 0 ? 1 7 ,
a 4 ? a 5 ? a 6 ? ? ? a 1 2 ? a 1 3 ? a 1 4 ? 7 7 且 a k ? 1 3 ,则 k ? _________。
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_______。

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6.等比数列 ?a n ? 前 n 项的和为 2 ? 1 ,则数列 ? a n
n

2

? 前 n 项的和为______________。

三、解答题 1.三个数成等差数列,其比为 3 : 4 : 5 ,如果最小数加上 1 ,则三数成等比数列, 那么原三数为什么?

2.求和: 1 ? 2 x ? 3 x ? ... ? nx
2

n ?1

3.已知数列 ? a n ? 的通项公式 a n ? ? 2 n ? 11 ,如果 b n ? a n ( n ? N ) , 求数列 ?b n ? 的前 n 项和。

4.在等比数列 ?a n ? 中, a 1 a 3 ? 36 , a 2 ? a 4 ? 60 , S n ? 400 , 求 n 的范围。

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数学 5(必修)第二章:数列 [提高训练 C 组] 一、选择题
1.数列 ?a n ? 的通项公式 a n ?
1 n ? n ?1



则该数列的前( )项之和等于 9 。 A. 9 8 B. 9 9 C. 9 6 D. 9 7
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2.在等差数列 ?a n ? 中,若 S 4 ? 1, S 8 ? 4 , 则 a 17 ? a 18 ? a 19 ? a 20 的值为( A. 9 C. 1 6 B. 1 2 D. 1 7 )

3.在等比数列 ?a n ? 中,若 a 2 ? 6 ,且 a 5 ? 2 a 4 ? a 3 ? 12 ? 0 则 a n 为( A. 6 C. 6 ? 2
n?2

) B. 6 ? ( ? 1)
n?2

D. 6 或 6 ? ( ? 1)

n?2

或6 ? 2

n?2

4.在等差数列 ?a n ? 中, a 1 ? a 2 ? ... ? a 50 ? 200 , a 51 ? a 52 ? ... ? a 100 ? 2700 , 则 a 1 为( A. ? 2 2 .5 C. ? 2 0 .5 ) B. ? 2 1 .5 D. ? 2 0
2

5.已知等差数列 { a n }的前 n 项和为 S n , 若 m ? 1, 且 a m ? 1 ? a m ? 1 ? a m ? 0 , S 2 m ?1 ? 38 , 则 m 等于( A. 3 8 C. 1 0 ) B. 2 0 D. 9
Sn Tn ? 2n 3n ? 1

6.等差数列 { a n } , { b n } 的前 n 项和分别为 S n , T n ,若
2 3

,则

an bn

=(



A.

B.

2n ? 1 3n ? 1

C.

2n ? 1 3n ? 1

D.

2n ? 1 3n ? 4

二、填空题
1.已知数列 ?a n ? 中, a 1 ? ? 1 , a n ? 1 ? a n ? a n ? 1 ? a n ,则数列通项 a n ? ___________。 2.已知数列的 S n ? n ? n ? 1 ,则 a 8 ? a 9 ? a 10 ? a 11 ? a 12 =_____________。
2

3.三个不同的实数 a , b , c 成等差数列,且 a , c , b 成等比数列,则 a : b : c ? _________。 4.在等差数列 ?a n ? 中,公差 d ?
1 2

,前 1 0 0 项的和 S 100 ? 45 ,

则 a 1 ? a 3 ? a 5 ? ... ? a 99 =_____________。 5.若等差数列 ?a n ? 中, a 3 ? a 7 ? a1 0 ? 8, a1 1 ? a 4 ? 4, 则 S 1 3 ? _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .

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6.一个等比数列各项均为正数,且它的任何一项都等于它的后面两项的和, 则公比 q 为_______________。 三、解答题 1. 已知数列 ?a n ? 的前 n 项和 S n ? 3 ? 2 ,求 a n
n

2. 一个有穷等比数列的首项为 1 ,项数为偶数,如果其奇数项的和为 8 5 ,偶数项的和为 1 7 0 ,求此数列的公比和项数。

3. 数 列 lg 1000 , lg( 1000 ? cos 60 ), lg( 1000 ? cos
0

2

60 ),... lg( 1000 ? cos
0

n ?1

60 ), … 的 前 多
0

少项和为最大?

4. 已知数列 ?a n ? 的前 n 项和 S n ? 1 ? 5 ? 9 ? 13 ? ... ? ( ? 1) 求 S 15 ? S 22 ? S 31 的值。

n ?1

( 4 n ? 3) ,

不 好 不 子 如 之 如 曰 乐 者 好 : 之 之 知 者 者 之 。 , 者

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数学 5(必修)第三章:不等式 [基础训练 A 组] 一、选择题
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2 1.若 ? 2 x ? 5 x ? 2 ? 0 ,则 4 x ? 4 x ? 1 ? 2 x ? 2 等于(

2



A. 4 x ? 5

B. ? 3

C. 3

D. 5 ? 4 x ) B. ( x ? 1) ? 0 与 x ? 1 ? 0
2

2.下列各对不等式中同解的是( A. 2 x ? 7 与 2 x ?
x ? 7? x

C. x ? 3 ? 1 与 x ? 3 ? 1

D. ( x ? 1) ? x 与
3 3

1 x ?1

?

1 x

3.若 2
1 8

x ?1

2

1 x?2 ,则函数 y ? 2 x ? ( ) 4

的值域是(



A. [ , 2 )

B. [ , 2 ] C. ( ? ? , ] D. [ 2, ? ? )
8 8

1

1

4.设 a ? 1 ? b ? ? 1 ,则下列不等式中恒成立的是 ( A.
1 a ? 1 b
2

)
2

B.

1 a

?

1 b
2

C. a ? b

D. a ? 2 b
2

5.如果实数 x , y 满足 x ? y ? 1 ,则 (1 ? xy )(1 ? xy ) 有 ( A.最小值 C.最小值
1 2 3 4

)
3 4

和最大值 1 而无最大值
2 2

B.最大值 1 和最小值

D.最大值 1 而无最小值

6.二次方程 x ? ( a ? 1) x ? a ? 2 ? 0 ,有一个根比 1 大,另一个根比 ? 1 小, 则 a 的取值范围是 ( ) A. ? 3 ? a ? 1 B. ? 2 ? a ? 0

C. ? 1 ? a ? 0

D. 0 ? a ? 2

二、填空题
1.若方程 x ? 2 ( m ? 1) x ? 3 m ? 4 m n ? 4 n ? 2 ? 0 有实根,
2 2 2

则实数 m ? _______;且实数 n ? _______。 2.一个两位数的个位数字比十位数字大 2 ,若这个两位数小于 3 0 , 则这个两位数为________________。 3.设函数 f ( x ) ? lg (
3 4 ? x ? x ) ,则 f ( x ) 的单调递减区间是
2



4.当 x ? ______时,函数 y ? x ( 2 ? x ) 有最_______值,且最值是_________。
2 2

5.若 f ( n ) ?

n ? 1 ? n, g (n) ? n ?
2

n ? 1,? (n ) ?
2

1 2n

( n ? N ) ,用不等号从小到大
*

连结起来为____________。 三、解答题 1.解不等式 (1) lo g ( 2 x ? 3 ) ( x ? 3) ? 0 (2) ? 4 ? ?
2

1 2

x

2

? x?

3 2

? ?2

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2.不等式
mx

x
2

2

? 8 x ? 20

? 2 ( m ? 1) x ? 9 m ? 4

? 0 的解集为 R ,求实数 m 的取值范围。

? y ? x, ? 3. (1)求 z ? 2 x ? y 的最大值,使式中的 x 、 y 满足约束条件 ? x ? y ? 1, ? y ? ?1. ?

(2)求 z ? 2 x ? y 的最大值,使式中的 x 、 y 满足约束条件

x

2

?

y

2

?1

25

16

4.已知 a ? 2 ,求证: log

? a ?1 ?

a ? log

a

?a

? 1?

新课程高中数学训练题组
数学 5(必修)第三章:不等式 [综合训练 B 组] 一、选择题
1.一元二次不等式 a x ? b x ? 2 ? 0 的解集是 ( ?
2

1 1 , ) ,则 a ? b 的值是( 2 3

)。

A. 1 0

B. ? 1 0
? ? 1

C. 1 4

D. ? 1 4 )

2.设集合 A ? ? x |

1? ? ? ? 2 ? , B ? ? x | x ? ? , 则 A ? B 等于 ( x 3? ? ? ?1 ? , ?? ? ?2 ?

A. ? , ?
?3 2?

?1 1?

B. ?

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? C. ? ? ? , ?

?

1? ?1 ? ? ??? , ?? 3? ?3 ?

? D. ? ? ? , ?

?

1? ?1 ? ? ??? , ?? 3? ?2 ?

3.关于 x 的不等式 ( k ? 2 k ?
2

5 2

) ? (k ? 2k ?
x 2

5 2

)

1? x

的解集是 (

)

A. x ?

1 2

B. x ?

1 2

C. x ? 2 D. x ? 2 4.下列各函数中,最小值为 2 的是 ( A. y ? x ?
2

)
1 s in x

1 x

B. y ? s in x ?
2 x
2

, x ? (0 ,

?
2

)

C. y ?

x ?3 x ?2
2

D. y ? x ?

?1

6.已知函数 y ? a x ? b x ? c ( a ? 0 ) 的图象经过点 ( ? 1, 3) 和 (1,1) 两点, 若 0 ? c ? 1 ,则 a 的取值范围是 ( A. (1, 3) C. ? 2 , 3 ? B. (1, 2 ) D. ?1, 3 ? )

二、填空题
1.设实数 x , y 满足 x 2 ? 2 x y ? 1 ? 0 ,则 x ? y 的取值范围是___________。 2.若 A ? ? x | x ? a ? b ? a b ? 3, a , b ? R
1 1
?

? ,全集 I

? R ,则 C I A ? ___________。

3.若 a ? 1 ? lo g 1 x ? a 的解集是 [ , ] ,则 a 的值为___________。
2

4 2

4.当 0 ? x ?

?
2
?

时,函数 f ( x ) ?

1 ? c o s 2 x ? 8 sin x
2

的最小值是________。

sin 2 x 1 x 9 y

5.设 x , y ? R



?

? 1 ,则 x ? y 的最小值为________.

? x2 ? 2x ? 3 ? x2 ? 2x ? 3 ? 6.不等式组 ? 的解集为__________________。 2 ?x ? x ? 2 ? 0 ?

三、解答题 1.已知集合 A ? ? x | 2
? ? ? ?
x ?2 x?3
2

?1? ?? ? ?2?

3 ( x ?1 )

? ? ? ? 2 ? , B ? ? x | lo g 1 (9 ? x ) ? lo g 1 ( 6 ? 2 x ) ? , ? 3 3 ? ? ?

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又 A ? B ? ? x | x ? a x ? b ? 0 ? ,求 a ? b 等于多少?
2

2.函数 y ?

x

2

?5
2

的最小值为多少?

x

? 4

3.已知函数 y ?

mx ? 4 3x ? n
2

x ?1
2

的最大值为 7 ,最小值为 ? 1 ,求此函数式。

4.设 0 ? a ? 1, 解不等式: lo g a ? a

2x

? 2a ? 2 ? ? 0
x

新课程高中数学训练题组
数学 5(必修)第三章:不等式 [提高训练 C 组] 一、选择题
1.若方程 x ? ( m ? 2 ) x ? m ? 5 ? 0 只有正根,则 m 的取值范围是(
2

).

A. m ? ? 4 或 m ? 4 C. ? 5 ? m ? ? 4
2

B. ? 5 ? m ? ? 4 D. ? 5 ? m ? ? 2 )

2.若 f ( x ) ? lg ? x ? 2 ax ? 1 ? a ? 在区间 ( ?? ,1] 上递减,则 a 范围为( A. [1, 2 ) C. ?1, ? ? ? B. [1, 2 ] D. [ 2, ? ? )

3.不等式 lg x ? lg x 的解集是 (
2 2

)

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A. ( C. (

1 100 1 100

,1) ,1) ? (1 0 0, ? ? )
2

B. (1 0 0, ? ? ) D. (0 ,1) ? (1 0 0, ? ? )
1

4.若不等式 x ? lo g a x ? 0 在 ( 0 , ) 内恒成立,则 a 的取值范围是 (
2

)

A.

1 16

? a ?1 1 16
2

B.

1 16

? a ?1 1 16

C. 0 ? a ?

D. 0 ? a ?

5.若不等式 0 ? x ? a x ? a ? 1 有唯一解,则 a 的取值为( A. 0 C. 4 6.不等式组 ?
1 2 5 2

)

B. 2 D. 6
?y ? x ?1 ? ? y ? ?3 x ? 1 ?

的区域面积是(

)

A. C.

B.

3 2

D. 1

二、填空题
1.不等式 lo g 2 ( 2 ? 1) ? lo g 2 ( 2
x x ?1

? 2 ) ? 2 的解集是_______________。

2.已知 a ? 0, b ? 0, a ? b ? 1 ,则 a ? 3.若 0 ? y ? x ?
?
2

1 2

?

b?

1 2

的范围是____________。

, 且 tan x ? 3 tan y , 则 x ? y 的最大值为________. 1 x ) ? 1 在 x =________时,有最小值__________。
2

4.设 x ? 0 ,则函数 y ? ( x ?
x x

5.不等式 4 ? x ?
2

? 0 的解集是________________。

三、解答题 1.若函数 f ( x ) ? lo g a ( x ? 求实数 a 的取值范围。
a x ? 4 )( a ? 0 , 且 a ? 1) 的值域为 R ,

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2.已知△ABC 的三边长是 a , b , c ,且 m 为正数,
求证:
a a?m ? b b?m ? c c?m



3.解不等式: log

2

(x ?

1 x

? 6) ? 3

4.已知求函数 f ( x ) ? ( e ? a ) ? ( e
x 2

?x

? a ) (0 ? a ? 2 ) 的最小值。
2

5. 设函数 f ( x ) ?

ax ? b x
2

?1

的值域为 ?? 1, 4 ? ,求 a , b 的值。

新课程高中数学训练题组参考答案
(数学 5 必修)第一章 [基础训练 A 组]
一、选择题
1.C 2.A 3.C
b a
0 ? A ? ? , sin A ? 0

? ta n 3 0 , b ? a ta n 3 0 ? 2 3 , c ? 2 b ? 4
0 0

4,c ? b ? 2 3

c o s A ? s in (

?
2

? A ) ? s in B ,

?
2

? A , B 都是锐角,则

?
2

? A ? B, A ? B ?

?
2

,C ?

?
2

4.D 作出图形 5.D
b ? 2 a sin B , sin B ? 2 sin A sin B , sin A ?
5 ?8 ?7
2 2 2

1 2

, A ? 3 0 或1 5 0
0

0

6.B 设中间角为 ? ,则 c o s ? ?

2?5?8

?

1 2

, ? ? 6 0 ,1 8 0 ? 6 0 ? 1 2 0 为所求
0 0 0 0

二、填空题
1.
1 2 sin A sin B ? sin A c o s A ? 1 2 sin 2 A ? 1 2

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2. 120

0

c o sA ?

b ?c ?a
2 2

2

? ?

1 2

A ? ,

1 2 0

0

2bc
a s in A b s in B

3. 6 ?

2

A ? 15 ,
0

?

,a ?

b s in A s in B

? 4 s in A ? 4 s in 1 5 ? 4 ?
0

6 ?2 4

4. 120

0

C a ∶ b ∶ c ? s i nA ∶ s i nB ∶ s i n ? 7 ∶ 8 ∶ 1 3 ,

令 a ? 7 k , b ? 8k , c ? 13k
AC sin B BC sin A AB sin C

cos C ?

a ?b ?c
2 2

2

? ?

1 2

, C ? 120

0

2ab

5. 4

?

?

,

AC ? BC sin B ? sin A

?

AB sin C

, A C? B C A? B 2 cos A?B 2

? 2( 6 ? ? 4 cos

2 )(s in A ? s in B ) ? 4 ( 6 ? ? 4 , ( A C ? B C ) m ax ? 4

2 ) s in

A?B 2

三、解答题
1. 解: a co s A ? b co s B ? c co s C , sin A co s A ? sin B co s B ? sin C co s C
sin 2 A ? sin 2 B ? sin 2 C , 2 sin ( A ? B ) co s( A ? B ) ? 2 sin C co s C co s( A ? B ) ? ? co s( A ? B ), 2 co s A co s B ? 0

co s A ? 0 或 co s B ? 0 ,得 A ?

?
2

或B ?

?
2

所以△ABC 是直角三角形。 2. 证明:将 cos B ?
a
2

? c

2

?b

2

, cos A ?

b

2

? c

2

? a

2

代入右边

2 ac a ?c ?b
2 2 2

2 bc b ?c ?a
2 2 2

得右边 ? c (

?

)?

2 a ? 2b
2

2

2abc a ?b
2 2

2abc b a

2ab

?

?

a b

?

? 左边,

ab



a b

?

b a

? c(

c o sB b

?

c o sA a

)

3.证明:∵△ABC 是锐角三角形,∴ A ? B ? ∴ s i nA ?
s i n ( B ,即 s i nA ? ? ) 2

?
2

,即

?
2

? A ?

?
2

?B ? 0
c o s; s i n ? C C cos A

?

c o s;同理 s i nB ? B

∴ sin A ? sin B ? sin C ? cos A ? cos B ? cos C

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4.解:∵ a ? c ? 2 b , ∴ sin A ? sin C ? 2 sin B ,即 2 s in
B 2 1 2 B 2 A?C 2 B 2 3 4 3 4
B 2

A?C 2

cos

A?C 2

? 4 s in

B 2

cos

B 2



∴ s in

?

cos

?

,而 0 ?

?

?
2

, ∴ cos

B 2

?

13 4



∴ s in B ? 2 s in

cos

? 2?

?

13 4

?

39 8

参考答案(数学 5 必修)第一章 [综合训练 B 组]
一、选择题
1.C 2.A 3.D 4.D
A ?

?
6

,B ?

?
3

,C ?

?
2

, a : b : c ? sin A : sin B : sin C ?

1 2

:

3 2

:

2 2

? 1:

3 :2

A ? B ? ? , A ? ? ? B ,且 A , ? ? B 都是锐角, sin A ? sin ( ? ? B ) ? sin B sin A ? sin 2 B ? 2 sin B co s B , a ? 2 b co s B

lg

sin A c o s B sin C

? lg 2 ,

sin A c o s B sin C

? 2 , sin A ? 2 c o s B sin C

sin ( B ? C ) ? 2 co s B sin C , sin B co s C ? co s B sin C ? 0, sin ( B ? C ) ? 0, B ? C ,等腰三角形

5.B

( a ? b ? c )( b ? c ? a ) ? 3 b c , ( b ? c ) ? a ? 3 b c ,
2 2

b ? c ? a ? 3b c , c oA ? s
2 2 2

b ?c ?a
2 2

2

?

1 2

A ,?

6 0

0

2bc

6.C

B c ? a ? b ? a c o s C? 9 , c? , B 为最大角, c o s ? ? 2 b 3
2 2 2

1 7

7.D

ta n

A? B 2

?

a?b a?b

?

s in A ? s in B s in A ? s in B

2 cos ? 2 s in

A? B 2 A? B 2

s in cos

A?B 2 , A?B 2

ta n

A? B 2

ta n ? ta n

A? B A? B A? B 2 , ta n ? 0 ,或 ta n ?1 A? B 2 2 2

所以 A ? B 或 A ? B ?

?
2

二、填空题

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1.

2 39 3

S ?ABC ?

1 2

b c s i nA ?

1 2

c?

3 2

?

3 ,? c

a ,? 4
2

a ? , 1 3

1 3

a ? b? c s i nA ? s iB? n

? sCn i

a

1 3 ? ? sin 3 A 2

2

3 9 3

2. ?

A? B ?

?
2

,A ?

?
2

? B ,即 t a nA ?

sin ( ? B 2 tan ? B ? ) ( ? 2 co s( ? B 2

?

?

) )

?

co s B s i nB

?

1 t aBn t aCn ?

, t a nA ?
s i nB co s B ?

1 t a nB

, t aAn

t B?n a

1

3.

2

t a nB ?
? s i nB

sin C co s C
Ci n s ? B?i nC s ( 1 2 s i nA ? ) s An i A2 s i n

c oCs? co s B

c B? o s c oCs

4. 锐角三角形

C C 为最大角, c o s ?

0 , 为锐角 C

5. 60

0

co s A ?

b ?c ?a
2 2

2

2? ?

8? 4 4 6 ? 2

3 ?3 ? 2 2?

3 ?1 2 ? ( 3 ? 1)

?

1 2

2bc

2 2?
2 2

6. ( 5 , 1 3 )

? a ? b ? c ?1 3 ? c ? 2 ? 2 2 2 2 ? a ? c ? b , ? 4 ? c ? 9 , 5 ? c ? 1 3, ? 2 2 2 ? 2 ?c ? b ? a ?c ? 9 ? 4
2 2

5 ? c?

13

三、解答题
1.解: S ? A B C ?
2 2

1 2

b c s in A ?
2

3 , bc ? 4,

a ? b ? c ? b c o s A, b 2 ?

c ,而 c ? b ? 5

所以 b ? 1, c ? 4 2. 证明:∵△ABC 是锐角三角形,∴ A ? B ? ∴ s i nA ?
s i n ( B ,即 s i nA ? ? ) 2

?
2

,即

?
2

? A ?

?
2

?B ? 0
c o s; s i n ? C C cos A

?

c o s;同理 s i nB ? B

∴ s in A s in B s in C ? c o s A c o s B c o s C , ∴ tan A ? tan B ? tan C ? 1

s in A s in B s in C cos A cos B cos C

?1

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3. 证明:∵ s in A ? s in B ? s in C ? 2 s in
A? B ? 2 sin 2 A? B ? 2 sin 2 A? B co s ? 2 A? B (co s ? 2

A? B 2
A ? 2 sin 2 A ? co s 2

cos
B B

A?B 2

? s in ( A ? B )

A ? B co s 2 )

C ? 2 co s ? 2 A ? 4 co s 2

A 2 co s 2 B co s 2

B co s 2 C co s 2 A 2 cos B 2
2

∴ sin A ? sin B ? sin C ? 4 cos
a b?c
2 2

cos

C 2
?1,

4.证明:要证

?

b a ?c
2

? 1 ,只要证

a ? ac ? b ? bc
2

ab ? bc ? ac ? c

2

即 a ? b ? c ? ab 而∵ A ? B ? 1 2 0 , ∴ C ? 6 0
0
0

cos C ?

a ?b ?c
2 2

2

, a ? b ? c ? 2 ab cos 60 ? ab
2 2 2 0

2ab

∴原式成立。 5.证明:∵ a c o s
2

C 2

? c cos

2

A 2

?

3b 2
?1 2 co s A ? 3Bin s 2
Cs i n A? o s c B3 s i n

∴ s i nA ?

1? c oC s 2
s iA n

?

s i n? C
c C? os

即 s i nA ? ∴ s i nA ? 即 s i nA ?

sin C?

s iC ? n
s iC ? n

s iAn?( C ? )

3Bs i n

2 sB,∴ a ? c ? 2 b in

参考答案(数学 5 必修)第一章 [提高训练 C 组] 一、选择题
1.C
s i nA ? c oA ? s 2 s An ( i ? 4

?

),
5? 4

而0 ? A ? ? ,
a? b c ? sin A ?

?
4

? A?

?
4

?

? ?

2 2

? s in ( A ?

?
4

)?1

2.B

s i nB ? s i nA ?

s iBn A ? B 2 co s 2

sin C A? B co s ? 2

A? B ? 2 sin 2

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3.D 4.D

cos A ?

1 2

, A ? 6 0 , S ? ABC ?
0
0

1 2

b c s in A ? 6 3
0 0

A ? B ? 9 0 则 sin A ? co s B , sin B ? co s A , 0 ? A ? 4 5 ,
s i nA ? c o s, 4 5 ? B ? 9 0 , sin B ? co s B A
0 0

5.C

a ? c ? b ? b, c b ?
2 2 2 2

c?
2

a ? ?, c o s b c
2

1 A ? , ? 2
co s? A

A? 2 0 1
0

6.B

s i nA c o sA

?

c oB s s iB n

2

?

2

s iA n , s iB n

co s B ? cAo s

A in s , s iA n Bs i n

sin B

B o s c

sin A? 2

s i n 2 A ?2 B ,

或2 B

A 2 ?

B? 2 ?

二、填空题
1. 对
s i n A ? s i nB , 则

a 2R

?

b 2R

? a ? b? A ? B ?1 co s 2 B ?
2

2. 直角三角形

1 2

( 1? c o sA2 ? 1 2

)

2

c o ?B ( ? A s

)

1,

(c o s 2 A ? c o s 2 B ) ? c o s ( A ? B ) ? 0 ,
2

co s( A ? B ) co s( A ? B ) ? co s ( A ? B ) ? 0
co s A co s B co s C ? 0

3. x ? y ? z

A? B ?

?
2

,A?

?
2

? B , s iA ? n

cB s o

B s?i n ,
y x, ? y ?

A y o s c? z
z

,

c ? a ? b s i n C ? s i nA ? ,

s i B x? n ,

4. 1

s i nA ? cos 1

s iC ? n ? 2 cos

2 sB n i A?C 2
2

A? C , 2 sin 2 , cos A 2 1 3 s in A 2
2

A? C c o? s 2 C 2 ? 3 s in A 2 s in C 2

A ? 2

C 4 sin

A ? 2

C co s

A?C 2

cos

则 s in A s in C ? 4 s in
3

C 2 sin A sin C
2

cos A ? cos C ? cos A cos C ?

? ? (1 ? c o s A )(1 ? c o s C ) ? 1 ? 4 s in ? ? 2 s in
2

A 2

s in

2

C 2

A 2

? 2 s in

2

C 2

? 4 s in

2

A 2

s in

2

C 2

?1 ?1 ta n A ? ta n C ta n A ta n C ? 1

5. [

?
3

,

?
2

)

ta n B ? ta n A ta n C , ta n B ? ? ta n ( A ? C ) ?
2

t a nB ? ?

t a nA ? t aCn t aA ? C ? ) n ( 2 tanB? 1

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tan B ? tan B ? tan A ? tan C ? 2
3

tan A tan C ? 2 tan B
3 ? B ?

ta n B ? 3 ta n B , ta n B ? 0 ? ta n B ?
3

?
3

6. 1

b ? a c , sin B ? sin A sin C , c o s ( ? C ) ? c o sB ? c o s2 B A
2 2

? co s A co s C ? sin A sin C ? co s B ? 1 ? 2 sin B
2

? co s A co s C ? sin A sin C ? co s B ? 1 ? 2 sin A sin C ? co s A co s C ? sin A sin C ? co s B ? 1

? co s( A ? C ) ? co s B ? 1 ? 1

三、解答题
1. 解:
a ?b
2 2 2

a ?b
2

s in ( A ? B ) a s in A c o s B s in A ? , 2 ? ? 2 s in ( A ? B ) b c o s A s in B s in B
2 2

co s B c o sA

?

s iAn s iBn

, s i nA ? 2

s iB 2A ? 2 B 或 22 ? n , A

B ? ?2

∴等腰或直角三角形 2. 解: 2 R sin A ? sin A ? 2 R sin C ? sin C ? ( 2 a ? b ) sin B ,
a sin A ? c sin C ? ( 2 a ? b ) sin B , a ? c ?
2 2

2ab ? b ,
2

a ?b ?c ?
2 2 2

2 ab, cos C ?

a ?b ?c
2 2

2

?

2 2

, C ? 45

0

2ab

c s in C

? 2 R , c ? 2 R s in C ?

2R,a ? b ? 2R
2 2

2

?

2ab,

2R ?
2

2ab ? a ? b ? 2ab, ab ?
2 2

2R 2?
2

2

2
2 ?1 2

S ?

1 2

a b s in C ?

2 4

ab ?

2 4
2

?

2R 2?

2
2 4

, S max ?

R

2

另法: S ?

1 2

a b s in C ?

ab ?

? 2 R s in A ? 2 R s in B

4

?

2 4

? 2 R s in A ? 2 R s in B ?

2 R s in A s in B

2

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?

2R ?
2

1 2

? [c o s ( A ? B ) ? c o s ( A ? B )]

? ?

2R ?
2

1 2

? [co s( A ? B ) ? 2 2

2 2

]

2R 2

2

? (1 ?

)

? S m ax ?

2 ?1 2

R

2

此时 A ? B 取得等号
A?C 2 A?C 2
? 14 4 , sin B ? 2 sin

3. 解: sin A ? sin C ? 2 sin B , 2 sin
B 2 1 2 A?C 2 2 4

cos

? 4 sin

A?C 2
B 2

cos

A?C 2

sin

?

cos

?

, cos

B 2

cos

B 2

?

7 4

A?C ?

?
2

, A ? C ? ? ? B, A ?
3? 4 3? 4

3? 4

?

B 2

,C ?
3? 4

?
4

?

B 2
7 ?1 4 7 ?1 4

s in A ? s in (

? B ) ? s in

cos B ? cos

s in B ?

sin C ? sin (

?
4

? B ) ? sin

?
4

cos B ? cos

?
4

sin B ?

a : b : c ? sin A : sin B : sin C ? ( 7 ?
2 2

7 ) : 7 : (7 ?
2

7)
1 2 , B ? 60
0

4. 解: ( a ? b ? c )( a ? b ? c ) ? 3 a c , a ? c ? b ? a c , c o s B ?
t a nA ? 1? t a n A t aCn t Cn a ?3 ? 1 3

t a n A ? C ?) (

?,

?3

, AanC tan t

t a nA
? ta n A ? 2 ? ? 得? ? ta n C ? 1 ?

t aCn ?
3

?2

3 ,联合 t a nA ?

t a n? C
0

?3

3
0

? ta n A ? 1 ? 或 ? ? ta n C ? 2 ? ?

? A ? 75 ? A ? 45 ? ? 或 ? ,即 ? 0 0 3 ?C ? 45 ?C ? 75 ? ?

0 0 当 A ? 7 5 , C ? 4 5 时, b ?

4 3 s in A 4 3 sin A

? 4 (3 2 ?

6 ), c ? 8 ( 3 ? 1), a ? 8

0 0 当 A ? 4 5 , C ? 7 5 时, b ?

? 4 6 , c ? 4 ( 3 ? 1), a ? 8

∴当 A ? 7 5 , B ? 6 0 , C ? 4 5 时, a ? 8, b ? 4 (3 2 ?
0 0 0 0 0 0

6 ), c ? 8( 3 ? 1),

当 A ? 4 5 , B ? 6 0 , C ? 7 5 时, a ? 8, b ? 4 6 , c ? 4 ( 3 ? 1) 。
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新课程高中数学训练题组参考答案
参考答案(数学 5 必修)第二章 [基础训练 A 组]
一、选择题 1.C a n ? a n ? 1 ? a n ? 2 2.B
a 1 ? a 4 ? a 7 ? 3 9, a 3 ? a 6 ? a 9 ? 2 7 , 3 a 4 ? 3 9, 3 a 6 ? 2 7 , a 4 ? 1 3, a 6 ? 9

S9 ?
a5 a2

9 2

( a 1 ? a 9) ?

9

9 ( a 4 ? a 6) ? ( 1 3? 9 )? 2 2
a2 q ? 3, S 4 ? 3(1 ? 3 )
4

9 9

3.B

? 2 7 ? q , q ? 3, a 1 ?
3

1? 3

? 120

4.C 5.B

x ? (
2

2 ? 1 ) ( ?2
(x? 2
?
2

?1 ) x ? ? 1,

1
? 1x ? ? 4

x ( 3 x ? 3 )?
q ? 3x ? 3 2x ? 2
3

2 )x , ? ? 或 1x ? ? 4 , ? ? 而 x
( 3? 1 n ) n ? , 2
3 2

3 1 ,? 1 3 ? ? ? 4 2 2
2

4

6.C

a 1 (1 ? q ) ? 1 8, a 1 ( q ? q ) ? 1 2 ,

1? q q?q
8

?

3 2

,q ?

1 2

或 q ? 2,

而 q ? Z , q ? 2 , a1 ? 2 , S 8 ? 二、填空题 1. 8
a5 ? a2 5?2
a5 b5

2 (1 ? 2 ) 1? 2

? 2 ? 2 ? 510
9

?

33 ? 9 5?2

? d ?8
9

2. 4 9
( a1 ? a 9 ) ( b1 ? b 9 )

S7 ?

7 2

( a 1 ? a 7) ? 7 a 4 ? 4 9

3.

65 12

?

2 a5 2 b5

?

a1 ? a 9 b1 ? b 9

? 2 9 2

?

S9 S
" 9

?

7?9? 2 9?3

?

65 12

4. ? 75 3 3 5. ? 2

q ? 2 5, q ? ?
6

3

5 , a1 0 ? a 9 ? q ? ? 7 5 5
3

a 4 a 7 ? a1 a1 ? ? 2 0

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6. 1 ?

1 2
n

1

1 4

1 2
n

lo g 3

3 3 ... 3 ? lo g 3 (3 ? 3 ? ? ? 3 ?? ?? ?? ?
2 n

) ? lo g 3 (3

1 ? 2 4

1 ? ... ? 2

1
n

)

1 n [1 ? ( ) ] 1 1 1 1 2 ? ? 2 ? ... ? n ? 2 ? 1? n 1 2 2 2 2 1? 2

1

三、解答题 1. 解:设四数为 a ? 3 d , a ? d , a ? d , a ? 3 d ,则 4 a ? 2 6, a ? d ? 4 0
2 2

即a ? 当d ?

13 2 3 2

,d ?

3 2

或 ?

3 2



时,四数为 2 , 5, 8,1 1
3 2

当d ? ?

时,四数为 1 1, 8, 5, 2

2. 解: a 1 8 ? a 1 9 ? a 2 0 ? a 2 1 ? a 2 2 ? 5 a 2 0 , a 1 2 ? a 5 ? 7 d ? 2 .8, d ? 0 .4
a 2 0 ? a 1 2 ? 8 d ? 3 .1 ? 3 .2 ? 6 .3

∴ a 1 8 ? a 1 9 ? a 2 0 ? a 2 1 ? a 2 2 ? 5 a 2 0 ? 6 .3 ? 5 ? 3 1 .5 3. 解:原式= ( a ? a ? ... ? a ) ? (1 ? 2 ? ... ? n )
2 n

? ( a ? a ? . .?. a
2

n

?)

n(n ? 1 ) 2

? a (1 ? a ) n ( n ? 1) ? ( a ? 1) ? ? 1? a 2 ? ? 2 ? n ? n ( a ? 1) ?2 ? 2
n

4. 解:显然 q ? 1 ,若 q ? 1 则 S 3 ? S 6 ? 9 a 1 , 而 2 S 9 ? 1 8 a1 , 与 S 3 ? S 6 ? 2 S 9 矛盾 由 S3 ? S6 ? 2S9 ?
9 6 3

a 1 (1 ? q )
3

1? q
3 2 3

?

a 1 (1 ? q )
6

1? q
3

?

2 a 1 (1 ? q )
9

1? q
1 2 , 或 q ? 1,
3

2 q ? q ? q ? 0, 2(q ) ? q ? 1 ? 0, 得 q ? ?
3

而 q ? 1 ,∴ q ? ?

4 2

参考答案(数学 5 必修)第二章 [综合训练 B 组]
一、选择题
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1.B

a 1 a 4 ? a 3 , ( a 2 ? 2 )( a 2 ? 4 ) ? ( a 2 ? 2 ) , 2 a 2 ? ? 1 2, a 2 ? ? 6
2 2

2.A

S9 S5

?

9 a5 5a3

?

9 5

?

5 9

?1

3.D

lg 2 ? lg ( 2 ? 3) ? 2 lg ( 2 ? 1), 2 ( 2 ? 3) ? ( 2 ? 1)
x x x x

2

( 2 )?
x 2

4 ?

x

2?

5?

0 , 2? x 5 , ?
x

2

log

5
2

4.D

? a ? a q? a q ?q ? q ? 1 ? 0 ? ? 2 2 , 设三边为 a , a q, a q 则 ? a ? a q ? a ,即 ? q 2 ? q ? 1 ? 0 q ? ? 2 2 a ? a q? a q ? ?q ? q ? 1 ? 0
2

?1 ? 5 1 ? 5 ? q ? ? 2 ? 2 ? 得?q ? R ? ?q ? ?1 ? 5 ,或 q ? ?1 ? ? 2 2 ?

,即
5

?1 ? 2

5

? q ?

1 ? 2

5

5.B

a 3 ? ? 4, a 7 ? 4, d ? 2, tan A ? 2, b 3 ?

1 3

, b 6 ? 9 , q ? 3, ta n B ? 3

tan C ? ? tan ( A ? B ) ? 1 , A , B , C 都是锐角

6.A 7.B

S 1 ? S n , S 2 ? S 2 n ? S n , S 3 ? S 3 n ? S 2 n , S n , S 2 n ? S n , S 3 n ? S 2 n , 成等差数列

lo g 3 a 1 ? lo g 3 a 2 ? ... ? lo g 3 a 1 0 ? lo g 3 ( a 1 a 2 ...a 1 0 ) ? lo g 3 ( a 4 a 5 ) ? lo g 3 (3 ) ? 1 0
5 10

二、填空题 1. 3 8 2. a n ? 3. 5 4. 0 5. 1 8
7 9

a 3 ? a 5 ? a 2? a ? 3 8 6
(10
n

? 1)

9 , 9 9 , 9 9 9 , 9 9 9 9 . . . 1 0? ?
1 2

1 , 1? 0
3

1 ,? 0 1
4

7 ?1 , 1 0 ? 9

1, 7

9

( a 3 ) ? 2a 3 a 5 ? ( a 5 ) ?
2 2

(a 3 ? a 5 ) ?
2

2 5a,3 ? a 5 ?

5

Sn ? a n ?
2

b 该二次函数经过 ( m ? n , 0 ,即 S m ? n ? 0 n )
1 7 7 ,a 1 1 9? a 79 , 7 ? 1 8
1? 4
n

3 a 7 ? 1 7 a, 7 ? 1 3? 7? k( ?

2 d ?7 , a k ? a , ? k ? 9 3

d(

9 )

2 9 ) k ? ? , 3
n ?1

6.

4 ?1
n

3

S n ? 2 ? 1, S n ? 1 ? 2
n

? 1, a n ? 2

n? 1

, an ? 4
2

n?

, a 1 ? 1, q ? 4 , S n ?
1 2

1? 4

三、解答题
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1. 解:设原三数为 3 t , 4 t , 5 t , ( t ? 0 ) ,不妨设 t ? 0 , 则 (3 t ? 1)5 t ? 1 6 t , t ? 5
2

3 t ? 1 5 , t4?

2 0t , ? 5
2

25, 2 ∴原三数为 1 5 , 2 0 , 。5
n ?1

2. 解:记 S n ? 1 ? 2 x ? 3 x ? ... ? n x
2

, 当 x ? 1 时, S n ? 1 ? 2 ? 3 ? ... ? n ?
3 n ?1

1 2

n ( n ? 1)

当 x ? 1 时, xS n ? x ? 2 x ? 3 x ? ... ? ( n ? 1) x
(1 ? x ) S n ? 1 ? x ? x ? x ? ... ? x
2 3 n ?1

? nx ,
n
n

? nx , S n ?
n

1? x

1? x

? nx

n

?1 ? x n n ? nx ( x ? 1) ? ? 1? x ∴原式= ? ? n ( n ? 1) ( x ? 1) ? 2 ?

3. 解: b n ? a n ? ?

?1 1 ? 2 n , n ? 5 ? 2 n ? 1 1, n ? 6

,当 n ? 5 时, S n ?
n?5 2

n 2

(9 ? 1 1 ? 2 n ) ? 1 0 n ? n

2

当 n ? 6 时, S n ? S 5 ? S n ? 5 ? 2 5 ? ∴Sn ? ?
? ?? n ?n ?
2

(1 ? 2 n ? 1 1) ? n ? 1 0 n ? 5 0
2

2

? 10 n , ( n ? 5 )

2

? 10 n ? 50 , ( n ? 6 )
2 2

4. 解: a1 a 3 ? a 2 ? 3 6, a 2 (1 ? q ) ? 6 0, a 2 ? 0, a 2 ? 6,1 ? q ? 1 0, q ? ? 3, 当 q ? 3 时, a 1 ? 2 , S n ?
2 (1 ? 3 )
n

1? 3

? 4 0 0 , 3 ? 4 0 1, n ? 6 , n ? N ;
n

当 q ? ? 3 时, a 1 ? ? 2 , S n ? ∴ n ? 8 , 且 n 为偶数

? 2[1 ? ( ? 3) ]
n

1 ? ( ? 3)

? 4 0 0 , ( ? 3) ? 8 0 1, n ? 8, n 为偶数;
n

参考答案(数学 5 必修)第二章 [提高训练 C 组]
一、选择题 1.B
an ? 1 n ? n ?1 ? n ?1 ? n , Sn ? 2 ? 1? 3? 2 ? ... ? n ?1 ? n

Sn ?

n ? 1 ? 1 ? 9,

n ? 1 ? 1 0, n ? 9 9

2.A

S 4 ? 1, S 8 ? S 4 ? 3, 而 S 4 , S 8 ? S 4 , S 1 2 ? S 8 , S 1 6 ? S 1 2 , S 2 0 ? S 1 6 , 成等差数列

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即 1, 3, 5, 7 , 9 , a 1 7 ? a1 8 ? a1 9 ? a 2 0 ? S 2 0 ? S 1 6 ? 9 3.D
a 5 ? 2 a 4 ? a 3 ? 2 a 2 ? 0, a 5 ? a 3 ? 2 a 4 ? 2 a 2 , a 3 ( q ? 1) ? 2 a 2 ( q ? 1)
2 2

a 3 ? 2 a 2 或 q ? 1 ? 0, q ? 2,1或 ? 1 ,当 q ? 1 时, a n ? 6 ;
2

当 q ? ? 1 时, a 1 ? ? 6, a n ? ? 6 ? ( ? 1) 当 q ? 2 时, a 1 ? 3, a n ? 3 ? 2 4.C
n ?1

n ?1

? 6 ? ( ? 1)

n?2



? 6?2
50 2

n?2



2 7 0 0 ? 2 0 0 ? 5 0 d ? 5 0 , d ? 1, S 5 0 ?

( a1 ? a 5 0 ) ? 2 0 0 ,

a 1 ? a 5 0 ? 8, 2 a 1 ? 4 9 d ? 8, 2 a 1 ? ? 4 1, a 1 ? ? 2 0 .5

5.C

a m ? a m ? a m ? 0, a m ( a m ? 2 ) ? 0, a m ? 2,
2

S 2 m ?1 ?

2m ? 1 2

( a 1 ? a 2 m ? 1 ) ? ( 2 m ? 1) a 2 m ? 3 8, 2 m ? 1 ? 1 9
( a1 ? a 2 n ?1 ) ( b1 ? b 2 n ? 1 )

2n ? 1

6.B

an bn

?

2an 2 bn

?

2 2n ? 1 2

?

S 2 n ?1 T 2 n ?1

?

2 ( 2 n ? 1) 3( 2 n ? 1) ? 1

?

2n ? 1 3n ? 1

二、填空题 1. ?
1 n

1 an

?

1 a n? 1

?1,

1 a?n 1

?

1 1 ? ? 1, ? an a 1
1

? 1 ? , ?

?1 1 为首项,以 ? 1 为 ? 是以 a a1 ?n
1 n

公差的等差数列,

an

? ? 1 ? ( n ? 1) ? ( ? 1) ? ? n , a n ? ?

2.

100

a 8 ? a 9 ? a 1 0 ? a 1 1 ? a 1 2 ? S 1 2 ? S 7 ? 1 2 ? 1 2 ? 1 ? (7 ? 7 ? 1) ? 1 0 0
2 2

3. 4 : 1 : ( ? 2 )

a ? c ? 2b , c ? 2b ? a , a b ? c ? (2b ? a ) , a ? 5a b ? 4b ? 0
2 2 2 2

a ? b, a ? 4 b, c? ? 2 b

4. 1 0

S1

0 0

?

100 2
"

(a ? a 1 5 0 2

1 0 0

) ? 4 5, a ? a1 )?

? 100.9 , a ? a 0 1 0

1

? a 9 9a ?

? d ? 100.4 , 1 0

S ?

( a1 ? a

9 9

5 0 ? 0 .? 4 2

5. 1 5 6 a 3 ? a 7 ? a 1 0 ? a 1 1 ? a 4 ? 1 2 , a 3 ? a 1 1 ? a 1 0 ? a 4 , a 7 ? 1 2 , S 1 3 ?
5 ?1 2

13 2

( a1 ? a1 3 ) ? 1 3 a 7
5

6.

设 a n ? a n ?1 ? a n ? 2 ? q a n ? q a n , q ? q ? 1 ? 0 , q ? 0 , q ?
2 2

?1 ? 2

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三、解答题 1. 解: S n ? 3 ? 2 , S n ? 1 ? 3 ? 2
n n ?1

, a n ? S n ? S n ?1 ? 2

n ?1

(n ? 2)

而 a1 ? S 1 ? 5 ,∴ a n ? ?

? 5 , ( n ? 1) ?2
n ?1

, (n ? 2)

2. 解:设此数列的公比为 q , ( q ? 1) ,项数为 2 n ,
1 ? (q )
2 n

则 S奇 ?

1? q

2

? 8 5, S 偶 ?

a 2 (1 ? q 1? q
2

2n

)

? 170,

S偶 S奇

?

a2 a1

? q ? 2,

1? 2

2n

1? 4

? 8 5, 2

2n

? 2 5 6 , 2 n ? 8,

∴ q ? 2 , 项数为 8 3. 解: a n ? 3 ? ( n ? 1) lg 2, ? a n ? 是以 3 为首项,以 ? lg 2 为公差的等差数列,
Sn ? n 2
6 ? lg 2 2 lg 2

[3 ? 3 ? ( n ? 1) lg 2 ] ? ?

lg 2 2
*

n ?
2

6 ? lg 2 2

n,

对称轴 n ?

? 1 0 .4 7 , n ? N ,1 0 ,1 1 比较起来 1 0 更靠近对称轴

∴前 1 0 项和为最大。
?an ? 0 ? a n ?1 ? 0

另法:由 ?

,得 9 .9 ? n ? 1 0 .9

4.

?n ? ( ? 4 ), n 为 偶 数 ?2 ? ? 2 n , n为 偶 数 ? 解: S n ? ? , Sn ? ? , n ?1 ? 2 n ? 1, n 为 奇 数 ? ? ( ? 4 ) ? 4 n ? 3, n 为 奇 数 ? 2 ?
S 1 5 ? 2 9 ,S ? ? 4 4 S, ? 6 1,

2 2

3 1

S15 ? S 22 ? S 31 ? ? 7 6

新课程高中数学训练题组参考答案
参考答案(数学 5 必修)第三章 [基础训练 A 组]
一、选择题 1.C
? 2 x ? 5 x ? 2 ? 0 , ( 2 x ? 1)( x ? 2 ) ? 0 ,
2

1 2

? x? 2,

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4x ? 4x ?1 ? 2 x ? 2 ? 2x ?1 ? 2 x ? 2 ? 2x ?1? 4 ? 2x ? 3
2

2.B 对于 A. 2 x ? 7 , x ?

7 2

,与 2x ?

x ? 7?

x,0 ? x ?

7 2

对于 C. x ? 3 ? 1, x ? 3 ? 1或 x ? 3 ? ? 1 与 x ? 3 ? 1

对于 D. ( x ? 1) ? x 与
3 3

1 x ?1

?

1


当 ? 1 ? x ? 0 时,

1 x ?1

?

1 x

不成立

x

3.B 4.C

2

x ?1

2

1 1 x?2 4?2 x ? 2 , x 2 ? 1 ? 4 ? 2 x , x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 , ? 3 ? x ? 1, ? y ? 2 ? ( ) 8 4 1 a
2

对于 A,B,倒数法则: a ? b , a b ? 0 ?
2

?

1 b

,要求 a , b 同号,
2

1 ? b ? ? 1 ? b ? 1, 而 a ? 1 ,对于 a ? 2 b 的反例: a ? 1 .1, a ? 1 .2 1, b ? 0 .8, 2 b ? 1 .6

5.B

设 x ? c o s ? , y ? sin ? ,1 ? x y ? 1 ?
2 2

1 4

sin 2 ?
2

6.C 令 f ( x ) ? x ? ( a ? 1) x ? a ? 2 ,则 f (1) ? 0 且 f ( ? 1) ? 0
2 2

即?

?a ? a ? 0 ?
2

?a ? a ? 3 ? 0 ?
2

, ? 1? a ? 0

二、填空题 1. 1, ?
1 2
2 m ? 4 m n ? 4 n ? 2 m ? 1 ? 0 ,即 ( m ? 2 n ) ? ( m ? 1) ? 0
2 2

? ? 4 (m ? 1 ) ? 4 m3 (
2 2

? m4n ? n4 ?
2 2

2? )
2

0

而 ( m ? 2 n ) ? ( m ? 1) ? 0 ,即 ( m ? 2 n ) ? ( m ? 1) ? 0 ? m ? 1, 且 n ? ?
2 2
2 2

1 2

2. 1 3 或 2 4

设十位数为 a ,则个位数为 a ? 2 ,
10 a ? a ? 2 ? 30, a ? 28 11 ,a ? N
*

? a ? 1或 , 2 ,即 1 3 或 2 4 1 2 1 2
2

3. ? ?
?

?

1 1? , ? 2 2?

3 4

? x ? x ? 0, ?
2

3 2

? x ?

1 2

,递减则 x ? ?

, ∴?

? x ?

1 2

4. ? 1, 大 ,1

y ? x ( 2 ? x ) ? ?x
2 2

4

?2 x
1

2

? ?x (

2

? ) ,当 x ? 1 时, y m 1 ?1
2

a x

?1

5. f ( n ) ? ? ( n ) ? g ( n ) 三、解答题 1. 解: (1) ?
?x ? 3 ? 1
2

f (n )?
2

g n( ?) ,
2

1 n ?1 ? n

? , n (? )

1 n ?n
2

n ?1 ? n

?0 ? x ? 3 ? 1 或 ? 得 x ? 2或 ?2x ? 3 ? 1 ?0 ? 2 x ? 3 ? 1
2

3 ? x? 2,

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? x ? ( 3 , 2 ) ? ( 2, ? ? )

3 ?1 2 x ? x? ? 4 2 ?2 ? 1 2 3 ? ?x ? 2x ?1 ? 0 2 (2) 2 ? x ? x ? ? 4, ? ,? 2 2 2 ? ? 1 x2 ? x ? 3 ? 2 ?x ? 2x ? 5 ? 0 ?2 ? 2
?x ? 2 ? 1 x ? ? 或 2? 1 ? , ? ? 6 ? 1? x ? 6? 1 ? ?

? x ? (?
2

6 ? 1, ?

2 ? 1) ? ( 2 ? 1,
2

6 ? 1)

2. 解:? x ? 8 x ? 2 0 ? 0 恒 成 立 ,? m x ? 2 ( m ? 1) x ? 9 m ? 4 ? 0 须 恒 成 立 当 m ? 0 时, 2 x ? 4 ? 0 并不恒成立; 当 m ? 0 时,则 ?
?m ? 0 ? ? ? 4 ( m ? 1) ? 4 m (9 m ? 4 ) ? 0
2

?m ? 0 ? 得? 1 1 ?m ? ,或 m ? ? ? 4 2

1 ?m ? ? 2

3.解: (1)作出可行域
' 2 ' 2

Zmax? 3 ; (2)令 x ? 5 x , y ? 4 y ,
' ' ' ' ' '

则 ( x ) ? ( y ) ? 1, z ? 1 0 x ? 4 y ,当直线 z ? 1 0 x ? 4 y 和圆 ( x ) ? ( y ) ? 1
' 2 ' 2

相切时 z ?

1 1 6 , Z m ax ?

116
lg a lg ( a ? 1) lg ( a ? 1) lg a
2 2 2

4.证明:? lo g ? a ? 1 ? a ? lo g a ? a ? 1 ? ?

?

?

lg a ? lg ( a ? 1) lg ( a ? 1)
2

lg a lg ( a ? 1)
2

? lg ( a ? 1) ? lg a 2 ? lg ( a ? 1) ? lg ( a ? 1) ? 2 ? ? ) ? lg a 而 lg ( a ? 1) lg ( a ? 1) ? ? ? ? ( ? 2 2 2 ? ? ? ?

即 lg 2 a ? lg ( a ? 1) lg ( a ? 1) ?
? lg a ? lg ( a ? 1) lg ( a ? 1)
2

0, 而 a ? 2 ? lg ( a ? 1) lg a ? 0

lg a lg ( a ? 1)

? 0

,即 lo g ? a ? 1 ? a ? lo g a ? a ? 1 ? ?

0

? lo g ? a ? 1 ? a ? lo g a ? a ? 1 ?

参考答案(数学 5 必修)第三章 [综合训练 B 组]
一、选择题
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1.D 方程 a x ? b x ? 2 ? 0 的两个根为 ?
2

1 2



1 3



?

1 2

?

1 3

? ?

b a

,?

1 2

?

1 3 1 2

?

2 a

, a ? ? 12, b ? ? 2, a ? b ? ? 14

2.B 3.B 4.D

1 x

? 2,
2

2x ?1 x

? 0, x ?

,或 x ? 0

? k ? 2k ?

5 2

? ( k ? 1) ?
2

3 2

? 1,? x ? 1 ? x , x ?

1 2 1 s in x

对于 A:不能保证 x ? 0 ,对于 B:不能保证 s in x ? 对于 C:不能保证 x ? 2 ?
2



1 x ?2
2



对于 D: y ? x ?

1 x

?

1 x

?1? 3 1 ?1 ? 2
3

5.D 设 x ? co s ? , y ? sin ? , 3 x ? 4 y ? 3 co s ? ? 4 sin ? ? 5 sin (? ? ? ) ? 5
?a ? b ? c ? 3 , a ? c ? 2 , c ? 2 ? a , 0 ? 2 ? a ? 1,1 ? a ? 2 ? ?a ? b ? c ? 1

6.B

二、填空题 1. ? ? ? , ? 1? ? ?1, ?? ? 2. ? ? ? , 6 ?
a ? b ? a b ? 3 ? 2 a b , ( a b ) ? 2 a b ? 3 ? 0,
2

x ? 2 x y?
2

y ?
2

y ? 1
2

? , ( x ? y) 1
2

?1,x? y ?1 或

x? y ? ? 1

a b ? 3, a b ? 9, a b ? 3 ? 6

A ?

? x|

x ? a ? b ? a b3 , ?

,a ? b

?

? ? R? ? 6 , ??, C

I

A ? ? ?? , 6 ?

3. 2

1 a 1 a ?1 1 a ?1 1 a ? 1 ? lo g 1 x ? a , ( ) ? x ? ( ) , ( ) ? ,a ? 2 2 2 2 2 2

4. 4

f ( x )?

1 ? c o s x2 ? sin x 2

8 s ix n ?

2

2 co s x?
2

2 sxn i 9 x y y x

8 sin x ? 4 tan ? x cx o s

2

1 ? 2 xt a n

4?

4

5. 16

1 9 x ? y ? (x ? y ) ( ? ? ) x y
2

1?0

?

?

? 0 1

2 9 ?

1 6

6. (1, 3) 三、解答题

? x ? 2 x ? 3? 0 ? ? ??1 ? x ? 3 ? ? ? 2 ( ?( x ? 2 ) x ? ? ? x ? x ?2 ? 0 ?

? ? ?? 1 x ? 3 ? ? , 1? x ? 3 1) ? 0? x ? ? 1 0 ?

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1. 解: 2

x ?2 x?3

2

?1? ?? ? ?2?

3 ( x ?1 )

? 2

3?3 x

, x ? x ? 6 ? 0 , ? 3 ? x ? 2 , A ? ? ? 3, 2 ?
2

?9 ? x ? 0 ? , ? 1 ? x ? 3, B ? ( ? 1, 3) , A ? B ? ( ? 1, 2 ) ?6 ? 2 x ? 0 ? 2 ?9 ? x ? 6 ? 2 x
2

方程 x ? a x ? b ? 0 的两个根为 ? 1 和 2 ,则 a ? ? 1, b ? ? 2
2

? a ? b ? ?3

2. 解: y ?

x ?5
2

?

x ?4 ?
2

1 x ?4
2

,令 x ? 4 ? t , ( t ? 2 )
2

x ?4
2

y ? t?

1 t

在 t ? ? 2, ? ? ? 上为增函数
1 2 ? 5 2
2

? 当 t ? 2 时, y m in ? 2 ?
2 2

3. 解: y ( x ? 1) ? m x ? 4 3 x ? n , ( y ? m ) x ? 4 3 x ? y ? n ? 0 显然 y ? m 可以成立,当 y ? m 时,方程 ( y ? m ) x ? 4 3 x ? y ? n ? 0
2

必然有实数根,? ? ? 4 8 ? 4 ( y ? m )( y ? n ) ? 0, 即 y ? ( m ? n ) y ? m n ? 1 2 ? 0, 而 ? 1 ? y ? 7
2

? ? 1和 7 是方程 y ? ( m ? n ) y ? m n ? 1 2 ? 0 的两个实数根
2

则?

?m ? n ? 6 ?m n ? 12 ? ?7
2

, m ? 1, n ? 5

? y ?

x ? 4 3x ? 5 x ?1
2
2x

4. 解:? 0 ? a ? 1,? a
(a ? 3 ) a ? (
x x

? 2 a ? 2 ? 1, a
x

2x

? 2a ? 3 ? 0
x

1? )

a, ? 0
x

x3 , ?

a

log

3

?x? log a

3

参考答案(数学 5 必修)第三章[提高训练 C 组]
一、选择题

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1.B

? ? ? (m ? 2) ? 4(m ? 5) ? 0 ? , ?5 ? m ? ?4 ? x1 ? x 2 ? ? ( m ? 2 ) ? 0 ?x x ? m ? 5 ? 0 ? 1 2
2

2.A

令 u ? x ? 2 a x ? 1 ? a , ? ? ? ,1 ? 是的递减区间,得 a ? 1
2

而 u ? 0 须恒成立,∴ u m in ? 2 ? a ? 0 ,即 a ? 2 ,∴ 1 ? a ? 2 ;

3.D 4.A

2 lg x ? lg x , lg x ? 2 或 lg x ? 0, x ? 1 0 0, 或 0 ? x ? 1
2

x ? lo g a x 在 x ? (0 ,
2

1 2

) 恒成立,得 0 ? a ? 1 , 1 2 ? 1 4 ? 1 16 ? a ?1。 (另可画图做)

则 lo g a x ? x
2

2 m ax

?

1 4

, (lo g a x ) m in ? lo g a
2

5.B 当 x ? a x ? a ? 0 仅有一实数根, ? ? a ? 4 a ? 0, a ? 0 或 a ? 4 ,代入检验,不成立 或 x ? a x ? a ? 1 仅有一实数根, ? ? a ? 4 a ? 4 ? 0, a ? 2 ,代入检验,成立!
2

2

6.D 画出可行域 二、填空题
5

1. (lo g 2 4 , lo g 2 )

3

log (2 ? 2
x

1 ) l o g [ ? ( 2 ? 1 ) ]2 ? 2 2
x

2 , ? o g? ( ? l 2
x

2

1) [1 ?
x

log (2 ?

1)]

2

log 2
1 4

2

(2 ?
x
x

1) ?
5 4

l o g ?( 2 ? 1 ? ) 2
x

2?

0, ?

2

2

x

l o?g (?2

1)

1

? 2 ? 1 ? 2,

? 2 ? 3, lo g 2
x

5 4

? x ? lo g 2 3

2. ?
?

?

2 ? 2

6

? ,2? 令 y ? ?

a?

1 2

?

b?

1 2
2 ? 2

,则 y ? 2 ? 2 a b ?
2

3 4

,而 0 ? a b ?

1 4

2?

3 ? y ? 4,
2

6

? y ? 2

3.

?
6

t a n x( ? y ?)

t a nx ? 1? t a n x

t ayn

? tan y

2 ya n t ? 2 ? 1 3 ya n t

2 1 ta n y ? 3 ta n y

? 2 3

?

2

3 3

而0 ? y ? x ? 4. ? 1, 3 5. ?
x? 1 x

?
2

, 0? x ? y ?

?
2

, t a n x( ? y ?)
1 x
2

3 3

? x? y ?

?
6

? 2或 x ?

1 x

? ?2 ? (x ?

) ? 4 ? y ? (x ?
2

1 x

) ?1? 3
2

?

3 , 0 ? ?0 , 2 ?

?

当 x ? 0 时 4 ? x ? 1 ? 0 ,得 0 ? x ? 2 ;

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2 当 x ? 0 时 4 ? x ? 1 ? 0 ,得 ? 3 ? x ? 0 ;? x ? ? ? 3 , 0 ? ? ? 0 , 2 ? ?

三、解答题 1. 解:令 u ? x ?
a x ? 4 ,则 u 须取遍所有的正实数,即 u m in ? 0 ,

而 u m in ? 2 a ? 4 ? 2 a ? 4 ? 0 ? 0 ? a ? 4 且 a ? 1
? a ? (0 ,1) ? ? 1, 4 ?

2. 证明:设 f ( x ) ?

x x?m

( m ? 0 ) ,易知 (0, ? ? ) 是 f ( x ) 的递增区间

? a ? b ? c ,? f ( a ? b ) ? f ( c ) ,即

a?b a?b?m b ?

?

c c?m


?

a a?m a a?m

? ?

b b?m b b?m

? ?

a a?b?m c c?m

?

a?b a?b?m

a?b?m

3.

1 ? x? ? 2 ? 1 1 ? x 解: 0 ? x ? ? 6 ? 8, ? , 当 x ? 0 时, x ? ? 2 ,? x ? ? 2 ? x ? 1 ; x x x ? x ? 1 ? ?6 ? x ? 1

当 x ? 0 时, ? 6 ? x ?
? x ? ( ?3 ? 2

1 x

? ? 2? ? 2 ,

? 2

?3x ?

2? 2

3

2 , ? 3 ? 2 ?2? )?
? 2 a (e ? e
x ?x

1
2 x ?x

4.解: f ( x ) ? e 令e ? e
x

2x

?e

?2 x

) ? 2 a ? (e ? e
2

) ? 2 a (e ? e
2 x 2

?x

) ? 2a ? 2
2

?x

? t ( t ? 2 ), y ? f ( x ) ,则 y ? t ? 2 a t ? 2 a ? 2

对称轴 t ? a (0 ? a ? 2 ) ,而 t ? 2

? 2, ? ? ? 是 y 的递增区间,当 t
? f ( x ) m in ? 2 ( a ? 1) 。
2

? 2 时, y m in ? 2 ( a ? 1)

2

5.解:令 y ?

ax ? b x ?1
2

, yx ? y ? ax ? b, yx ? ax ? y ? b ? 0,
2 2
2

显然 y ? 0 可以成立,当 y ? 0 时, ? ? a
2

? y ( y ? b) ? 0 , 4y 4
2 2

? 4b y ? a ? 0
2

而 ? 1 ? y ? 4 ,? ? 1和 4 是方程 4 y ? 4 b y ? a ? 0 的两个实数根
a
2

所以 ? 1 ? 4 ? b , ? 1 ? 4 ? ?

? a ? ? 4, b ? 3 。

4
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