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【天津市2013届高三数学总复习之综合专题:数列通项公式的求法——构造辅助数列(学生版)


数列通项公式的求法之构造构造辅助数列 1、递推公式满足 an?1 ①当 g ( n ) 为常数 思路:利用待定系数法,将 a n ?1

? c ? an ? g ?n? 型

? can ? d 化为 an?1 ? x ? c?an ? x ? 的形式,从而构造新数列

?a n ? x?是以 a1 ? x 为首项,以

c 为公比的等比数列。 (待定系数法,构造等比数列)
例 1:数列

?a n ? 满足 an?1 ? 2an ? 1,a1 ? 2 ,求数列 ?a n ?的通项公式。

②当 g ( n ) 为类一次函数 思路:利用待定系数法,构造数列 {a n 例 2:已知数列

? kn ? b} ,使其为等比数列;

?a n ?满足 an?1 ? 2an ? (2n ? 1) ,且 a1 ? 2 ,求数列 ?a n ?的通项公式。

③当 g ( n ) 为类指数函数 思路:观察 g ( n ) 的形式,如果 g ( n ) 的底数与 a n 的系数 c 相同时,则把 an?1 同时除以 c
n ?1

? c ? an ? g ?n? 两边

,从而构造出一个等差数列;如果 g ( n ) 的底数与 a n 的系数 c 不相同时,可以利用待

定系数法构造一个等比数列,其具体构造方法有两种,详见例 4 题。

例 3:已知数列

?a n ?满足 an?1 ? 2an ? 3? 2n , a1 ? 2 ,求数列 ?a n ?的通项公式。

例 4:已知数列

?a n ?满足 a1 ? 1 , an?1 ? 3an ? 2 n ( n ? N ? ) ,求数列 ?a n ? 的通项公式。

例 5:在数列

?a n ? 中, a1 ? ?1, an?1 ? 2an ? 4 ? 3n?1 , 求数列 ?a n ?的通项公式。

补充练习:

1、已知数列 {a n } 满足 a1

? 1 , an?1 ? 2an ? 1 ,求数列 {a n } 的通项公式。

2、已知数列

?a n ?中, a1 ? 1 , an?1 ? 1 an ? ( 1 )n?1 ,求数列 ?a n ?的通项公式。
2 2

3、已知 a1

? 1 ,当 n ? 2 时,

an ?

1 an?1 ? 2n ? 1 2 ,求数列 ?a n ? 的通项公式。

4、已知数列

?a n ?满足 an?1 ? 2an ? 3? 5n,a1 ? 6 ,求数列 ?a n ?的通项公式。

5、已知数列

?a n ?满足 an?1 ? 2an ? 3n2 ? 4n ? 5,a1 ? 1,求数列 ?a n ?的通项公式。

6、已知数列

?a n ?满足 an?1 ? 3an ? 2 ? 3n ?1,a1 ? 3,求数列 ?a n ?的通项公式。

注:若 an?1

中不含常数 ? 3an ? 2 ? 3n ? 1 , a1 ? 3 1 时,则直接构造等差数列即可,但含常数 1 时则需累加。

7、已知数列

?a n ?满足 an?1 ? 3an ? 5? 2n ? 4,a1 ? 1,求数列 ?a n ?的通项公式。

8、在数列

?an ? 中, a1 ? 2 , an?1 ? ?an ? ?n?1 ? (2 ? ?) ? 2n , n ? N * ,其中 ? ? 0 。求数列 ?an ? 的

通项公式。

2、递推公式满足 a n ?1

?

an an ban 、 a n ?1 ? 、 a n ?1 ? pa n ?1 pa n ? q can ? d

等型或其交叉相乘的整式形式

思路:①递推公式满足 a n ?1

?

?1? an 型,取倒数,构造数列 ? ? ,使其为等差数列。 pa n ?1 ? an ?
型,构造数列 ?

②递推公式满足 a n ?1

?

an ban 型或 a n ?1 ? pa n ? q can ? d

?1 ? ? ? ? ,使其为等比数列。 ? an ?


例 6:已知数列

?a n ?中 a1 ? 1 , an?1 ?
C、

an ,由这个数列的第 n 项为( 2a n ? 1
D、

A、 2n ? 1

B、 2n ? 1

1 2n ? 1

1 2n ? 1

例 7:已知数列

?a n ? 满足 a1 ? 1, a n?1 ?

?1? an ,求证: ? ? 是等差数列,并求 ?a n ? 的通项公式。 3a n ? 1 ? an ?

例 8:在数列

?a n ? 中,已知 a1 ? 2, a n?1 ?

2a n ,求数列 ?a n ? 的通项公式。 an ? 1

补充练习:

1、已知数列

?a n ?中,其中 a1 ? 1,且当 n ? 2 时, a n

?

a n ?1 ,求数列 ?a n ? 的通项公式。 2a n ?1 ? 1

2、已知数列 a n ?1

?

an 2 an ? 1
n

, a1 ? 1 ,求数列 ?a n ? 的通项公式。

3、数列

?a n ?中,

a n ?1

2 n ?1 ? a n ? n ?1 2 ? an



a1 ? 2 ,求数列 ?a

n

? 的通项公式。

3、间隔性数列的通项公式


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