当前位置:首页 >> 数学 >>

2015-2016学年湖北省襄阳市高二(下)期末数学试卷(理科)(解析版)


2015-2016 学年湖北省襄阳市高二(下)期末数学试卷(理科)
一、选择题(本题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1.已知复数 z= (i 为虚数单位) ,则|z|=( )

A.

B.1

C.

D.2 )

/>
2.已知 =(﹣2,1,3) , =(﹣1,2,1) ,若 ⊥( ﹣λ ) ,则实数 λ 的值为( A.﹣2 B. C. D.2 )

3.抛物线 x2=2y 的焦点到其准线的距离是( A.1 B.2 C.3 D.4

4.已知命题 p:? x∈R,使得 x2﹣x+2<0;命题 q:? x∈[1,2],使得 x2≥1.以下命题 为真命题的是( ) A.¬p∧¬q B.p∨¬q C.¬p∧q D.p∧q 5.设命题 p:方程 + =1 表示双曲线;命题 q: ) + =1 表示焦点在 x 轴上

的椭圆,若 p∧q 是真命题,则( A.m> 6.若 A.﹣ B.m<﹣2

C.1<m<2 D. <m<1 )

(x2+mx)dx=0,则实数 m 的值为( B.﹣2 C.﹣1 D.﹣

7.已知 F1、F2 为椭圆 C: 则 cos∠F1PF2=( A. B.﹣ ) C.﹣

+y2=1 的左、右焦点,点 P 在椭圆 C 上,且|PF1|﹣|PF2|=2,

D.

8.下面使用了类比推理正确的是( ) A.若 a、b∈R,则 a﹣b=0? 0? a=b,推出:若 a,b∈C,则 a﹣b=0? a=b B.若 a、b∈R,则 a2+b2=0? a=b=0,推出:若 a、b∈C,则 a2+b2=0? a=b=0 C.若 a、b∈R,则 a﹣b>0? a>b,推出:若 a、b∈C,则 a﹣b>0? a>b D.若 x∈R,则|x|<1? ﹣1<x<1,推出:若 z∈C,则|x|<1? ﹣1<x<1 9.若 a、b∈R,则“a2+b2≥4“是“a+b≥4”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 10.已知△ABC 的周长为 10,且 A(﹣2,0) ,B(2,0) ,则 C 点的轨迹方程是( A. + =1(y≠0) B. + =1(y≠0)



第 1 页(共 18 页)

C.

+

=1(y≠0)

D.

+

=1(y≠0)

11.如图,F1、F2 是双曲线

=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过 F1 的直线 l 与双 )

曲线的左右两支分别交于点 A、B.若△ABF2 为等边三角形,则双曲线的离心率为(

A.4

B.

C.

D.

12.直线 y=a 分别与函数 y=4x+4 和 y=3x+lnx 的图象相交于 M、N 两点,则|MN|的最小值 为( ) A.5 B.1 C. D.

二、填空题(本小题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.某单位为了了解办公楼用电量 y(度)与气温 x(℃)之间的关系,随机统计了四个工 作日的用电量与当天平均气温,并制作了对照表: 16 11 8 气温 ﹣3 用电量 25 33 38 64

由表中数据得到线性回归方程 为 . ﹣

=﹣2x+a,当气温为﹣5℃时,预测用电量约

14.已知双曲线

=1(a>0,b>0)的一条渐近线与直线 y=x+2 平行,且它的焦点

与椭圆

+

=1 的焦点重合,则双曲线的方程为



15.如图是函数 y=f(x)的导函数 y=f′(x)的图象,给出下列命题: ①﹣3 是函数 y=f(x)的极值点; ②﹣1 是函数 y=f(x)的最小值点; ③y=f(x)在 x=0 处切线的斜率小于零; ④y=f(x)在区间(﹣3,1)上单调递增. 则正确命题的序号是 .

第 2 页(共 18 页)

16.定义在实数集 R 上的函数 f(x)满足:f(2)=1,且对于任意的 x∈R,都有 f′(x)< ,则不等式 f(log2x)> 的解集为 .

三、解答题(本大题共 6 小题,70 分) 17.已知 a 为实数,f(x)=x3+ ax2﹣6x+4. (1)当 a=﹣3 时,求 f(x)在[﹣2,3]上的最大值和最小值; (2)若 f(x)在[﹣1,1]上单调递减,求 a 的取值范围. 18.心理学家分析发现视觉和空间能力与性别有关,某数学兴趣小组为了验证这个结论,从 兴趣小组中按分层抽样的方法抽取 30 名男生和 20 名女生, 给所有同学几何题和代数题各一 题,让各位同学自由选择一道题进行解答.选题情况如表: (单位:人) 几何题 代数题 总计 22 8 30 男同学 8 12 20 女同学 30 20 50 总计 (1)能否据此判断有 97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关? (2) 现从选择做几何题的 8 名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行全程研究, 记甲、 乙两女生被抽到的人数为 X,求 X 的分布列及数学期望 E(X) . 附表及公式 P(k2≥k) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 K2= . ,AA1=1.

19.在长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,E 是 A1C1 与 B1D1 的交点,AB=BC= (1)求证:AE∥平面 C1BD; (2)求证:CE⊥平面 C1BD; (3)求二面角 A﹣BC1﹣D 的大小.

第 3 页(共 18 页)

20.已知抛物线 E:y2=2px(p>0)的焦点为 F,抛物线上存在一点 P 到气焦点的距离为 , 且点 P 在圆 x2+y2= 上. (1)求抛物线 E 的方程; (2)过点 T(m,0)作两条互相垂直的直线分别交抛物线 E 于 A、B、C、D 四点,且 M、 N 分别为线段 AB、CD 的中点,求△TMN 的面积最小值.

21.已知函数 f(x)=alnx+

(a∈R)在 x=﹣2 处的切线与直线 4x﹣3y=0 垂直.

(1)求函数 f(x)的单调区间; (2)如存在 x∈(1,+∞) ,使 f(x)< (m∈Z)成立,求 m 的最小值.

22.已知数列{an}、{bn}满足 a1=﹣1,b1=1,an+1= (an,bn) ,且点 P1、P2 在直线 l 上. (1)求直线 l 的方程;

,bn+1=an+1bn,点 Pn 的坐标为

(2)用数学归纳法证明:对任意 n∈N*,点 Pn(an,bn)在直线 l 上.

第 4 页(共 18 页)

2015-2016 学年湖北省襄阳市高二 (下) 期末数学试卷 (理 科)
参考答案与试题解析

一、选择题(本题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1.已知复数 z= (i 为虚数单位) ,则|z|=( )

A.

B.1

C.

D.2

【考点】复数求模. 【分析】化简复数 z,求出|z|即可. 【解答】解:∵复数 z= = = = ﹣ i,

∴|z|= 故选:B.

=1.

2.已知 =(﹣2,1,3) , =(﹣1,2,1) ,若 ⊥( ﹣λ ) ,则实数 λ 的值为( A.﹣2 B. C. D.2



【考点】向量的数量积判断向量的共线与垂直. 【分析】求出向量 【解答】解:因为 所以 由 所以 , , ,利用 , , ,向量的数量积为 0,求出 λ 的值即可. ,

得﹣2(λ﹣2)+1﹣2λ+9﹣3λ=0? λ=2, 故选 D. 3.抛物线 x2=2y 的焦点到其准线的距离是( A.1 B.2 C.3 D.4 【考点】抛物线的简单性质.
第 5 页(共 18 页)



【分析】利用抛物线的简单性质求解即可. 【解答】解:抛物线 x2=2y 的焦点到其准线的距离是:p=1. 故选:A. 4.已知命题 p:? x∈R,使得 x2﹣x+2<0;命题 q:? x∈[1,2],使得 x2≥1.以下命题 为真命题的是( ) A.¬p∧¬q B.p∨¬q C.¬p∧q D.p∧q 【考点】复合命题的真假. 【分析】根据条件求出命题 p,q 的真假,然后结合复合命题真假关系进行判断即可. 【解答】解:∵判别式△=1﹣4×2=1﹣7=﹣6<0, ∴? x∈R,使得 x2﹣x+2>0; 即命题 p:? x∈R,使得 x2﹣x+2<0 为假命题, 当 x∈[1,2]时,x2≥1 恒成立,即命题 q 是真命题, 则¬p∧q 是真命题,其余为假命题, 故选 C.

5.设命题 p:方程

+

=1 表示双曲线;命题 q: )

+

=1 表示焦点在 x 轴上

的椭圆,若 p∧q 是真命题,则( A.m> B.m<﹣2

C.1<m<2 D. <m<1

【考点】复合命题的真假. 【分析】 根据双曲线和椭圆的方程建立不等式关系分别求出对应的等价条件, 结合复合命题 的真假关系进行求解即可. 【解答】解:若方程 + =1 表示双曲线,则(1﹣m) (m+2)<0,

即(m﹣1) (m+2)>0,得 m>1 或 m<﹣2, 若 + =1 表示焦点在 x 轴上的椭圆,



,即

,即 <m<2,

若 p∧q 是真命题,则 p,q 都是真命题, 则 故选:C (x2+mx)dx=0,则实数 m 的值为( ,得 1<m<2,

6.若



第 6 页(共 18 页)

A.﹣

B.﹣2 C.﹣1 D.﹣

【考点】定积分. 【分析】求出被积函数的原函数,然后分别代入积分上限和积分下限作差,由积分值为 0 求得 m 的值. 【解答】解:∵ ∴m=﹣ . 故选:D. +y2=1 的左、右焦点,点 P 在椭圆 C 上,且|PF1|﹣|PF2|=2, = ,

7.已知 F1、F2 为椭圆 C: 则 cos∠F1PF2=( A. B.﹣ ) C.﹣

D.

【考点】椭圆的简单性质. 【分析】由 P 在椭圆上,可得|PF1|+|PF2|=4,与已知条件联立可求得|PF1|与|PF2|,再利 用余弦定理即可求得答案. 【解答】解:椭圆的两焦点是 F1(0,﹣ ) ,F2(0, ) , ∵|PF1|﹣|PF2|=2,|PF1|+|PF2|=4, ∴|PF1|=3,|PF2|=1. △F1PF2 中,由余弦定理可得|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2﹣2|PF1|?|PF2|cos∠F1PF2, 即 12=9+1﹣2×3×1×cos∠F1PF2, ∴cos∠F1PF2=﹣ , 故选:B. 8.下面使用了类比推理正确的是( ) A.若 a、b∈R,则 a﹣b=0? 0? a=b,推出:若 a,b∈C,则 a﹣b=0? a=b B.若 a、b∈R,则 a2+b2=0? a=b=0,推出:若 a、b∈C,则 a2+b2=0? a=b=0 C.若 a、b∈R,则 a﹣b>0? a>b,推出:若 a、b∈C,则 a﹣b>0? a>b D.若 x∈R,则|x|<1? ﹣1<x<1,推出:若 z∈C,则|x|<1? ﹣1<x<1 【考点】类比推理. 【分析】在数集的扩展过程中,有些性质是可以传递的,但有些性质不能传递,因此,要判 断类比的结果是否正确, 关键是要在新的数集里进行论证, 当然要想证明一个结论是错误的, 也可直接举一个反例,要想得到本题的正确答案,可对四个结论逐一进行分析,不难解答. 【解答】解:对于 A,在复数集 C 中,若两个复数满足 a﹣b=0,则它们的实部和虚部均相 等,则 a,b 相等,故正确; 对于 B,a=i,b=1,满足 a2+b2=0,故不正确; 对于 C,当 a=1+i,b=i 时,a﹣b=1>0,但 a,b 是两个虚数,不能比较大小,故不正确; 对于 D,“若 x∈R,则|x|<1? ﹣1<x<1”类比推出“若 x∈C,|z|<1 表示复数模小于 1, 不能? ﹣1<z<1,故不正确. 故选:A.
第 7 页(共 18 页)

9.若 a、b∈R,则“a2+b2≥4“是“a+b≥4”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件



【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断. 【分析】作出不等式对应的区域,结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可. 【解答】解:a2+b2≥4 表示在圆 a2+b2=4 的外部区域, a+b≥4 表示在直线 a+b=4 右上方, 由图象知,a+b≥4 表示的区域都在圆 a2+b2=4 的外部, 但圆 a2+b2=4 的外部不一定都在直线 a+b=4 的右上方, 比如 a=0,b=3 时,满足 a2+b2≥4 但 a+b≥4 不成立, 即“a2+b2≥4“是“a+b≥4”的必要不充分条件条件, 故选:B

10.已知△ABC 的周长为 10,且 A(﹣2,0) ,B(2,0) ,则 C 点的轨迹方程是( A. + =1(y≠0) B. + =1(y≠0)



C.

+

=1(y≠0)

D.

+

=1(y≠0)

【考点】轨迹方程. 【分析】由△ABC 的周长及 AB 的长,得|CA|+|CB|,由椭圆的定义可判断轨迹的形状, 即可得其方程. 【解答】解:由题意知,|CA|+|CB|=10﹣|AB|=6>|AB|, 故动点 C 在椭圆上,2a=6,焦距 2c=4,从而 b2=a2﹣c2=5, 当 C 与 A,B 共线时,A,B,C 三点不能围成三角形,故轨迹 E 不含 x 轴上的两点, ∴C 的轨迹方程为 故选:B. =1(y≠0) .

第 8 页(共 18 页)

11.如图,F1、F2 是双曲线

=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过 F1 的直线 l 与双 )

曲线的左右两支分别交于点 A、B.若△ABF2 为等边三角形,则双曲线的离心率为(

A.4

B.

C.

D.

【考点】双曲线的简单性质. 【分析】由双曲线的定义,可得 F1A﹣F2A=F1A﹣AB=F1B=2a,BF2﹣BF1=2a,BF2=4a, F1F2=2c,再在△F1BF2 中应用余弦定理得,a,c 的关系,由离心率公式,计算即可得到所 求. 【解答】解:因为△ABF2 为等边三角形,不妨设 AB=BF2=AF2=m, A 为双曲线上一点,F1A﹣F2A=F1A﹣AB=F1B=2a, B 为双曲线上一点,则 BF2﹣BF1=2a,BF2=4a,F1F2=2c, 由 ,则 ,

在△F1BF2 中应用余弦定理得:4c2=4a2+16a2﹣2?2a?4a?cos120°, 得 c2=7a2,则 故选:B. 12.直线 y=a 分别与函数 y=4x+4 和 y=3x+lnx 的图象相交于 M、N 两点,则|MN|的最小值 为( ) A.5 B.1 C. D. .

【考点】两点间距离公式的应用. 【分析】设 M(x1,a) ,N(x2,a) ,则 4x1+4=3x2+lnx2,表示出 x1,求出|MN|,利用导数 求出|MN|的最小值. 【解答】解:设 M(x1,a) ,N(x2,a) , 则 4x1+4=3x2+lnx2, ∴x1= (3x2+lnx2﹣4) , ∴|MN|=x2﹣x1= (x2﹣lnx2)+1, 令 y= (x﹣lnx)+1, 则 y′= (1﹣ ) , 函数在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,
第 9 页(共 18 页)

∴x=1 时,函数的最小值为 . 故选:C. 二、填空题(本小题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.某单位为了了解办公楼用电量 y(度)与气温 x(℃)之间的关系,随机统计了四个工 作日的用电量与当天平均气温,并制作了对照表: 16 11 8 气温 ﹣3 用电量 25 33 38 64

由表中数据得到线性回归方程

=﹣2x+a,当气温为﹣5℃时,预测用电量约为 66° .

【考点】线性回归方程. 【分析】先计算样本中心点,再求出线性回归方程,进而利用方程进行预测. 【解答】解:由题意, = =8, = =40,

将(8,40)代入线性回归方程

=﹣2x+a,可得 a=56,

∴x=﹣5 时,y=﹣2×(﹣5)+56=66. 故答案为:66°.

14.已知双曲线



=1(a>0,b>0)的一条渐近线与直线 y=x+2 平行,且它的焦点

与椭圆

+

=1 的焦点重合,则双曲线的方程为

=1 .

【考点】双曲线的简单性质. 【分析】求出椭圆的焦点坐标,可得双曲线的焦点坐标,结合双曲线 ﹣ =1(a>0,b

>0)的一条渐近线与直线 y=x+2 平行,求出 a,b,即可得出双曲线的方程. 【解答】解:∵椭圆 + =1 的焦点为(±2 ,0) ,

∴双曲线的焦点坐标为(±2 ,0) , 2 2 2 故双曲线中的 c=2 ,且满足 c =a +b ,故 a2+b2=8 ∵双曲线 ∴a=b, ∴a=b=2, ∴双曲线的方程为 =1. ﹣ =1(a>0,b>0)的一条渐近线与直线 y=x+2 平行,

第 10 页(共 18 页)

故答案为:

=1.

15.如图是函数 y=f(x)的导函数 y=f′(x)的图象,给出下列命题: ①﹣3 是函数 y=f(x)的极值点; ②﹣1 是函数 y=f(x)的最小值点; ③y=f(x)在 x=0 处切线的斜率小于零; ④y=f(x)在区间(﹣3,1)上单调递增. 则正确命题的序号是 ①④ .

【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数研究函数的单调性;函数在某点取得 极值的条件. 【分析】根据导函数图象可判定导函数的符号,从而确定函数的单调性,得到极值点,以及 根据导数的几何意义可知在某点处的导数即为在该点处的切线斜率. 【解答】解:根据导函数图象可知当 x∈(﹣∞,﹣3)时,f'(x)<0,在 x∈(﹣3,1) 时,f'(x)≤0 ∴函数 y=f(x)在(﹣∞,﹣3)上单调递减,在(﹣3,1)上单调递增,故④正确 则﹣3 是函数 y=f(x)的极小值点,故①正确 ∵在(﹣3,1)上单调递增∴﹣1 不是函数 y=f(x)的最小值点,故②不正确; ∵函数 y=f(x)在 x=0 处的导数大于 0∴切线的斜率大于零,故③不正确 故答案为:①④ 16.定义在实数集 R 上的函数 f(x)满足:f(2)=1,且对于任意的 x∈R,都有 f′(x)< ,则不等式 f(log2x)> 的解集为 (0,2) .

【考点】利用导数研究函数的单调性. 【分析】设 g(x)=f(x)﹣ x,由 f′(x)< ,得到 g′(x)小于 0,得到 g(x)为减函 数,将所求不等式变形后,利用 g(x)为减函数求出 x 的范围,即为所求不等式的解集 【解答】解:设 g(x)=f(x)﹣ x, ∵f′(x)< , ∴g′(x)=f′(x)﹣ <0, ∴g(x)为减函数,又 f(2)=1,

第 11 页(共 18 页)

∴f(log2x)>

= log2x+ ,

即 g(log2x)=f(log2x)﹣ log2x> =g(2)=f(2)﹣ =g(log22) , ∴log2x<log22,又 y=log2x 为底数是 2 的增函数, ∴0<x<2, 则不等式 f(log2x)> 故答案为: (0,2) . 三、解答题(本大题共 6 小题,70 分) 17.已知 a 为实数,f(x)=x3+ ax2﹣6x+4. (1)当 a=﹣3 时,求 f(x)在[﹣2,3]上的最大值和最小值; (2)若 f(x)在[﹣1,1]上单调递减,求 a 的取值范围. 【考点】利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性. 【分析】 (1)求出函数的导数,求出函数的极值点,计算极值和端点坐标,从而求出函数的 最值; (2)求出函数的导数,结合二次函数的性质得到关于 a 的不等式组,解出即可. 【解答】解: (1)当 a=﹣3 时,f(x)=x3+ ax2﹣6x+4, f′(x)=3x2﹣3x﹣6, 由 3x2﹣3x﹣6=0 得:x=﹣1 或 x=2 是函数 f (x)的极值点 ∴f (﹣2)=2,f(﹣1)= ,f (2)=﹣6,f(3)=﹣ , ,最小值是﹣6. 的解集为(0,2) .

∴f (x)在[﹣2,3]上的最大值是

(2)f′(x)=3x2+ax﹣6, 若 f (x)在[﹣1,1]上单调递减,则 3x2+ax﹣6≤0 在[﹣1,1]上恒成立, ∴ ,即 ,解得:﹣3≤a≤3,

∴a 的取值范围是[﹣3,3]. 18.心理学家分析发现视觉和空间能力与性别有关,某数学兴趣小组为了验证这个结论,从 兴趣小组中按分层抽样的方法抽取 30 名男生和 20 名女生, 给所有同学几何题和代数题各一 题,让各位同学自由选择一道题进行解答.选题情况如表: (单位:人) 几何题 代数题 总计 22 8 30 男同学 8 12 20 女同学 30 20 50 总计 (1)能否据此判断有 97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关?
第 12 页(共 18 页)

(2) 现从选择做几何题的 8 名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行全程研究, 记甲、 乙两女生被抽到的人数为 X,求 X 的分布列及数学期望 E(X) . 附表及公式 P(k2≥k) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 K2= .

【考点】独立性检验的应用. 【分析】 (1)计算 K2,对照附表做结论; (2) 使用组合数公式和古典概型的概率计算公式分别计算 X 取不同值时的概率, 得到 X 的 分布列,求出数学期望. 【解答】解: (1)k2= ≈5.556>5.024.

∴有 97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关. (2)选择做几何题的 8 名女生中任意抽取两人有 C82=28 种方法,其中甲、乙两人都没抽到 有 C62=15 种方法,恰有一人被抽到有 C21C61=12 种方法,两人都被抽到有 C22=1 种方法 X 的可能取值为 0,1,2. P(X=0)= ,P(X=1)= = ,P(X=2)= .

X 的分布列为: X P ∴E(X)=0× +1× +2× = . 0 1 2

19.在长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,E 是 A1C1 与 B1D1 的交点,AB=BC= (1)求证:AE∥平面 C1BD; (2)求证:CE⊥平面 C1BD; (3)求二面角 A﹣BC1﹣D 的大小.

,AA1=1.

【考点】二面角的平面角及求法;直线与平面平行的判定;直线与平面垂直的判定. 【分析】 (1)设 AC 与 BD 相交于 O 点,连 C1O,推导出 AEC1O 是平行四边形,从而 AE ∥OC1,由此能证明 AE∥平面 C1BD.

第 13 页(共 18 页)

(2)法一:推导出 CE⊥OC1,BD⊥AC,BD⊥AA1,从而 BD⊥CE,由此能证明 CE⊥平 面 C1BD. 法二:以 AB,AD,AA1 所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴建立直角坐标系,利用向量法能证明 CE⊥平面 C1BD. (3)求出平面 BC1D 的法向量和平面 ABC1 的法向量,利用向量法能求出二面角 A﹣BC1 ﹣D 的大小. 【解答】证明: (1)设 AC 与 BD 相交于 O 点,连 C1O, ∵AC∥A1C1,AO=EC1 ∴AEC1O 是平行四边形,AE∥OC1 又 OC1 在平面 C1BD 内,∴AE∥平面 C1BD. (2)证法一:在长方形 ABCD 中,E 是 A1C1 与 B1D1 的交点,AB=BC= ,AA1=1. ∴AC=2,OC=1,故 OCC1E 是正方形 ∴CE⊥OC1 ∵ABCD 是正方形,∴BD⊥AC 又 BD⊥AA1,AC、AA1 在平面 ACC1A1 内 ∴BD⊥平面 ACC1A1,故 BD⊥CE ∵OC1、BD 在平面 C1BD 内 ∴CE⊥平面 C1BD. 证法二:以 AB,AD,AA1 所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴建立直角坐标系, 则 B( 1) =(﹣ ∵ ,﹣ , 1) , , =(﹣ ,0 ) , =(0, ,1) , ,0,0) ,C( , ,0) ,D(0, ,0) ,C1( , ,1) ,E( , ,

∴CE⊥BD,CE⊥BC1, ∵BC∩BC1,∴CE⊥平面 C1BD. ∴CE⊥BD,CE⊥BC1 BC1、BD 在平面 C1BD 内,∴CE⊥平面 C1BD. 解: (3)由(2)知, 是平面 BC1D 的法向量, 设平面 ABC1 的法向量为 =(x,y,z) , 则 ,取 z= ,得

=(

,0,0) ,



∴cos< ,

>=

=



又二面角 A﹣BC1﹣D 为锐角, ∴二面角 A﹣BC1﹣D 的大小为 .

第 14 页(共 18 页)

20.已知抛物线 E:y2=2px(p>0)的焦点为 F,抛物线上存在一点 P 到气焦点的距离为 , 且点 P 在圆 x2+y2= 上. (1)求抛物线 E 的方程; (2)过点 T(m,0)作两条互相垂直的直线分别交抛物线 E 于 A、B、C、D 四点,且 M、 N 分别为线段 AB、CD 的中点,求△TMN 的面积最小值.

【考点】抛物线的简单性质. 【分析】 (1)利用抛物线上存在一点 P 到其焦点的距离为 ,且点 P 在圆 x2+y2= 上,求出 p,可求抛物线 E 的方程; (2)设直线 AB 的方程为 y=k(x﹣m) ,直线 CD 的方程为 y=﹣ (x﹣m) ,分别于抛物线 方程联立,可得 M,N 的坐标,求出|TM|,|TN|,可得△TMN 的面积,利用基本不等式, 求出△TMN 的面积的最小值. 【解答】解: (1)设 P(x0,y0) ,则 x0+ = ,∴x0= ﹣ ∵点 P 在圆 x2+y2= 上,∴(3﹣p)2+4p(3﹣p)=9,解得:p=2 ∴抛物线的方程为 y2=4x.
第 15 页(共 18 页)

(2)根据题意,直线 AB、CD 斜率存在且不为零, 设 AB 的斜率为 k(不妨设 k>0) ,则 CD 的斜率为﹣ , 直线 AB 的方程为 y=k(x﹣m) ,直线 CD 的方程为 y=﹣ (x﹣m) 由 y=k(x﹣m) ,代入抛物线方程 得:k2x2﹣2(k2m+2)x+k2m2=0 设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,则 x1+x2= ∴y1+y2= , ∴M(m+ , )

同理,N(m+2k2,﹣2k) ∴|TM|= ,|TN|=2k

S△ TMN= ?

?2k

=2(k+ )≥4

当且仅当 k=1 时,等号成立 ∴△TMN 面积最小值为 4.

21.已知函数 f(x)=alnx+

(a∈R)在 x=﹣2 处的切线与直线 4x﹣3y=0 垂直.

(1)求函数 f(x)的单调区间; (2)如存在 x∈(1,+∞) ,使 f(x)< (m∈Z)成立,求 m 的最小值.

【考点】利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性. 【分析】 (1)求出函数的导数,根据 f′(2)的值,求出 a,从而求出函数的单调区间; m> (2) 问题等价于当 x∈ (1, +∞) 时, (x>1) ,根据函数的单调性判断即可. 【解答】解: (1)f(x)的定义域是(0,+∞) , f′(x)= , = 成立, 设g (x) ,

∵f′(2)=

=﹣ ,解得:a=﹣1,

∴f′(x)=

≤0,

∴f(x)在(0,+∞)递增; (2)∵x∈(1,+∞) ,
第 16 页(共 18 页)

∴f(x)<

?m>

, 成立,

即当 x∈(1,+∞)时,m> 设 g(x)= , (x>1) ,

则 g′(x)=



设 h(x)=lnx﹣x, (x>1) ,则 h′(x)= ﹣1<0, ∴h(x)在(1,+∞)递减, 又 h(1)<0,∴h(x)<0,即 g′(x)<0, ∴g(x)在(1,+∞)递减, 而 x→1 时,g(x)→+∞, ∴不存在实数 m 的值,满足题意.

22.已知数列{an}、{bn}满足 a1=﹣1,b1=1,an+1=

,bn+1=an+1bn,点 Pn 的坐标为

(an,bn) ,且点 P1、P2 在直线 l 上. (1)求直线 l 的方程; (2)用数学归纳法证明:对任意 n∈N*,点 Pn(an,bn)在直线 l 上. 【考点】数学归纳法;归纳推理. 【分析】 (1)由 a1=1,b1=﹣1 可得 P1 的坐标为(1,﹣1) ,只要求出点 P2 的坐标即可求出 过点 P1,P2 的直线 l 的方程; (2)利用数学归纳法进行证明. 【解答】 (1)解:当 n=2 时,a2= ∴P1(﹣1,1) ,P2( , ) , 故过 P1、P2 两点的直线 l 的方程为 y﹣1=﹣ (x+1) ,即 x+2y﹣1=0; (2)证:①显然 P1 在直线 l 上 ②假设 Pk 在直线 l 上,则 ak+2bk﹣1=0,即 ak=1﹣2bk, 则 n=k+1 时 ak+1+2bk+1﹣1= ×bk﹣1= ﹣1= ﹣1=0, = ,b2=a2b1<0,

∴Pk+1 在直线 l 上, 由①②知,对任意 n∈N*,点 Pn 直线 l 上.

第 17 页(共 18 页)

2016 年 8 月 30 日

第 18 页(共 18 页)


相关文章:
...年河南省周口市高二(下)期末数学试卷(理科)解析版
2015-2016学年河南省周口市高二(下)期末数学试卷(理科)解析版_数学_高中教育_教育专区。2015-2016 学年河南省周口市高二(下)期末数学试卷(理科)一、选择题(每...
湖北省襄阳市2015-2016学年高一(上)期末数学试卷(解析版)
湖北省襄阳市2015-2016学年高一(上)期末数学试卷(解析版)_高一数学_数学_高中教育_教育专区。2015-2016 学年湖北省襄阳市高一(上)期末数学试卷一、选择题:本大...
...部分重点中学高二(下)期末数学试卷(理科)(解析版)
2015-2016学年湖北省部分重点中学高二(下)期末数学试卷(理科)(解析版)_数学_高中教育_教育专区。2015-2016 学年湖北省部分重点中学高二 (下) 期末数学试卷 (...
...2016学年高二(上)期末数学试卷(理科)(解析版)
湖北省荆门市2015-2016学年高二(上)期末数学试卷(理科)(解析版)_高二数学_数学_高中教育_教育专区。2015-2016 学年湖北省荆门市高二(上)期末数学试卷(理科)一...
...2016学年高二(上)期末数学试卷(理科)(解析版)
湖北省部分重点中学2015-2016学年高二()期末数学试卷(理科)(解析版)_高二数学_数学_高中教育_教育专区。2015-2016 学年湖北省部分重点中学高二(上)期末 数学...
...2016学年高二(下)期末数学试卷(理科)(解析版)
湖北省孝感市五校教学联盟2015-2016学年高二(下)期末数学试卷(理科)(解析版)_数学_高中教育_教育专区。2015-2016 学年湖北省孝感市五校教学联盟高二(下)期末...
...2016学年高二(上)期末数学试卷(理科)(解析版)
湖北省黄冈市2015-2016学年高二(上)期末数学试卷(理科)(解析版)_数学_高中教育_教育专区。2015-2016 学年湖北省黄冈市高二(上)期末数学试卷(理科)一、选择题 ...
...2015学年高二下学期期末数学试卷(理科) Word版含解...
湖北省襄阳市老河口市高级中学2014-2015学年高二下学期期末数学试卷(理科) Word版含解析_数学_高中教育_教育专区。湖北省襄阳市老河口市高级中学 2014-2015 学年...
2015-2016学年高二(上)期末数学试卷(理科)(解析版)
2015-2016学年高二()期末数学试卷(理科)(解析版)_数学_高中教育_教育专区。高二(上)期末数学试卷一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,...
...河南省焦作市高二(下)期末数学试卷(理科)(解析版)
2015-2016学年河南省焦作市高二(下)期末数学试卷(理科)(解析版)_高二数学_数学_高中教育_教育专区。2015-2016 学年河南省焦作市高二(下)期末数学试卷(理科)一...
更多相关标签:
湖北省襄阳市 | 湖北省襄阳市邮编 | 湖北省襄阳市襄州区 | 湖北省襄阳市樊城区 | 湖北省襄阳 | 湖北省襄阳市南漳县 | 湖北省襄阳市车管所 | 湖北省襄阳市人才中心 |