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等差数列的概念及性质


等差数列及性质 一、等差数列概念 如果一个数列从第二项起, 每一项与前一项的差都等于同一个常数, 那么这个数列叫做等差 数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差一般用 d 表示 即数列 ?an ? 为等差数列,则 an ? an?1 ? d (n ? 1) 练习: 1. 已知等差数列 ?an ? 的公差为 d ,数列 ?bn ? 中,bn ? 3an ? 4 ,试判断 ?bn ?

是否为等差数 列?说明理由

2. 已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 4, a n ? 4 ? 差数列.

4 an?1

(n ? 1) ,记 bn ?

1 ,求证数列 ?bn ? 是等 an ? 2

二、等差数列通项公式 推导: an ? an?1 ? d (n ? 1) 法一: 法二:

a 2 ? a1 ? d a3 ? a 2 ? d a 4 ? a3 ? d ... a n ? a n ?1 ? d
累加可得,

a 2 ? a1 ? d a3 ? a 2 ? d ? a1 ? 2d a 4 ? a3 ? d ? a1 ? 3d a n ? a n ?1 ? d ? a1 ? (n ? 1)d

an ? a1 ? (n ? 1)d ,
即: an ? a1 ? (n ? 1)d

an , a1 , n, d 四个参数,知 3 求 1

练习: (1) 求等差数列 8,5,2,…的通项公式和第 20 项 (2) -401 是不是等差数列-5,-9,-13,…的项?如果是,是第几项?

1. 已知等差数列 ?an ? 中, a1 ? 2, d ? 3 ,求 an 2. 已知等差数列 ?an ? 中, a5 ? ?1, a8 ? 2 ,求 a1 , d , an 3. 已知 a1 ? a6 ? 12, a4 ? 7 ,求 a1 , d , a9

三、等差数列的性质(1) (1)等差数列其他通项公式: an ? am ? (n ? m)d

d?

an ? am n?m

an ? pn ? q( p, q为常数)

首项为p ? q, 公差为p
a?b 2

(2)若 a, A, b 成等差数列,那么 A 叫做 a , b 的等差中项,即 A ?

(3)等差数列 ?an ? ,若 m ? n ? p ? q ,则 am ? an ? a p ? aq ,特别的, 若 2m ? p ? q ,则 2am ? a p ? aq 例:已知数列 ?an ? 为等差数列, a1 ? 1, a3 ? 5 ,则 a10 ? ( ) A.19 练习: B.21 C.37 D.41

1. 等差数列 ?an ? 中, a7 ? 4, a19 ? 2a9 . 求 ?an ? 的通项公式

2. 已知等差数列 ?an ? 中, a3 a7 ? ?16, a4 ? a6 ? 0 ,求 ?an ?

3. 已知等差数列 ?an ? 的首项 a1 ? 2, 公差 d ? 3, 则数列 ?an ? 的通项公式( ) A. an ? 3n ? 1 B. an ? 2n ? 1 C. an ? 2n ? 3 D. an ? 3n ? 2

4.等差数列的前三项依次是 x ? 1, x ? 1,2 x ? 3 ,则其通项公式为( ) A. an ? 2n ? 5 B. an ? 2n ? 3 C. an ? 2n ? 1 D. an ? 2n ? 1

5.若 2, a, b, c,9 成等差数列,则 c-a=________ 6.已知 a ?

1 3? 2

,b ?

1 3? 2

,则 a , b 的等差中项为是_________

7.已知 ?an ? 为等差数列, a2 ? a8 ? 12, 则 a5 等于( A.4 B. 5 C. 6
2 2

) D. 7
2

8.在 ?ABC 中,角 A,B,C 成等差数列,sin A, sin B, sin C 也成等差数列,是判断这个三 角形的形状.

四、等差数列的性质(2) 构造新数列的性质 已知等差数列 ?an ? , ?bn ? 的首项分别为 a1 , b1 ,公差分别为 d1 , d 2 ,

(1) 数列 ? an ? bn

?是等差数列,首项为 a1 ? b1 ,公差为 d 1?d 2

(2) 数列 ?kan ?是等差数列,首项为 ka1 ,公差为 kd1 练习: 1. 下列说法正确的是( ) A. 若 ?an ? 是等差数列,则 ? | an |? 也是等差数列
2 B. 若 ?an ? 是等差数列,则 an 也是等差数列

? ?

C. 若存在正整数 n,使 2an?1 ? an ? an?2 ,则数列 ?an ? 一定是等差数列 D. 若 ?an ? 是等差数列,则 2an?1 ? an ? an?2 ,对一切 n ? N ? 成立 2. 已知数列 ?an ? 是等差数列,且 a1 ? a2 ? a3 ? 12, a8 ? 16 (1) 求数列 ?an ? 的通项公式 (2) 若从数列 ?an ? 中,依次取出第 2 项,第 4 项,第 6 项,…第 2n 项,按原来顺序组 成一个新数列 ?bn ? 的通项公式

课堂检测: 1. 在等差数列 ?an ? 中, a3 ? 7, a5 ? a2 ? 6 ,则 a6 ? ______ 2. 在数列 ?an ? 中, a1 ? 1, an?1 ? an ? 2(n ? 1) ,则数列的通项公式 an =__________ 3. 等差数列 ?an ? 中, a10 ? 30, a20 ? 50, 则 a 40 ? ( ) A. 40 B. 70 C. 80 D. 90 4.设 ?an ? 为等差数列,若 a2 ? a3 ? a4 ? a5 ? a6 ? a7 ? a8 ? 420,则 a1 ? a9 =_________ 5.设数列 ?an ? , ?bn ? 都是等差数列,若 a1 ? b1 ? 7, a3 ? b3 ? 21,则 a5 ? b5 =________ 6.在等差数列 ?an ? 中,若 a1 ? 84, a2 ? 80 ,则使 an ? 0, an?1 ? 0 的 n 为( ) A. 21 B. 22 C. 23 D. 24

7.在等差数列 ?an ? 中, a1 ? 2,2an?1 ? 2an ? 1 ,则 a101 =( ) A. 49 B. 50 C. 51 D. 52 8.如果数列 ?an ? 是等差数列,则( ) A. a1 ? a8 ? a4 ? a5 B. a1 ? a8 ? a4 ? a5 C. a1 ? a8 ? a4 ? a5 D. a1a8 ? a4 a5

9.已知三个数成等差数列并且数列是递增的,它们的和为 18,平方和为 116,求这三个数

10. 已 知 数 列

?an ?

中 , a1 ?

3 1 , an ? 2 ? (n ? 2, n ? N ? ), 数 列 ?bn ? 满 足 5 a n?1

bn ?

1 (n ? N * ) an ? 1

(1)求证: ?an ? 为等差数列 (2)求数列 ?an ? 的最大项和最小项

11.已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1, 且满足递推公式 an?1 ? 2an ? 2 n ( n ? N )
*

(1)求证:数列 ?

? an ? 为等差数列 n ? ?2 ?

(2)求数列 ?an ? 的通项公式


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