当前位置:首页 >> 数学 >>

2.2.1 双曲线及其标准方程 教案(人教A版选修1-1)


2.2 双曲线

2.2.1 双曲线及其标准方程

(教师用书独具)

●三维目标 1.知识与技能 (1)理解双曲线的定义并能独立推导标准方程. (2)会利用双曲线的定义标准方程解决简单的问题. 2.过程与方法 通过定义及标准方程的挖掘与探究, 使学生进一步体验类比、 数形结合等思想方法的运 用,提高学生的观察与探究能力

. 3.情感、态度与价值观 通过教师指导下的学生交流探索活动, 激发学生的学习兴趣, 培养学生用联系的观点认 识问题.

●重点、难点 重点:理解和掌握双曲线的定义及其标准方程. 难点:双曲线标准方程的推导. 由于双曲线的定义和标准方程与椭圆很类似, 学生已经有了一些学习椭圆的经验, 所以 本节课用“启发探究”式的教学方式,重点突出以下两点:①以类比思维作为教学的主线; ②以自主探究作为学生的学习方式,并结合多媒体辅助教学,进而实现重点、难点的突破.

(教师用书独具)

●教学建议 在教法上,宜采用探究性教学法和启发式教学法. 让学生根据教学目标的要求和题目中的已知条件, 自觉主动地创造性地去分析问题、 讨 论问题、解决问题. 以启发、引导为主,采用设疑的形式,逐步让学生进行探究性的学习.通过创设情境, 充分调动学生已有的学习经验, 让学生经历“观察——猜想——证明——应用”的过程, 发 现新的知识,把学生的潜意识状态的好奇心变为自觉求知的创新意识.又通过实际操作,使 刚产生的数学知识得到完善,提高学生动手动脑的能力和增强研究探索的综合素质. ●教学流程 给出拉链试验,引出问题:移动笔尖画出的曲线满足什么条件? 引导学生结合试验分析,得出曲线满足的条件,给出双曲线定义并探究特殊情形. 通过引导学生类比椭圆标准方程得出的方法,推导双曲线的标准方程. 通过例1及其变式训练,使学生理解双曲线的标准方程,对比与椭圆方程的异同. 通过例2及其变式训练,使学生掌握用待定系数法求双曲线的标准方程. ? ? ? ? ?

对比椭圆与双曲线定义的异同,完成例3及其变式训练,从而掌握双曲线定义的应用问题. ? 归纳整理,进行课堂小结,整体认识本节课所学知识. ?

完成当堂双基达标,巩固所学知识并进行反馈矫正.

(对应学生用书第 29 页)

课标解读

1.了解双曲线的定义及焦距的概念.(重点) 2.了解双曲线的几何图形、标准方程.(难点)

双曲线的定义 【问题导思】 取一条拉链,拉开它的一部分,在拉开的两边上各选择一点,分别固定在点 F1、F2 处,

把笔尖放于点 M,拉开闭拢拉链,笔尖经过的点可画出一条曲线,思考曲线满足什么条件?

【提示】

如图,曲线上的点满足条件:|MF1|-|MF2|=常数;如果改变一下位置,使

|MF2|-|MF1|=常数,可得到另一条曲线. 把平面内与两个定点 F1,F2 的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫 做双曲线,这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距. 【问题导思】 双曲线定义中强调平面内动点到两定点的距离差的绝对值为常数, 若没有绝对值, 则动 点的轨迹是什么? 【提示】 双曲线的一支. 双曲线的标准方程 【问题导思】 1.能否用推导椭圆标准方程的方法推出双曲线的方程?怎样推导? 【提示】 能.(1)建系:以直线 F1F2 为 x 轴,F1F2 的中点为原点建立平面直角坐标系. (2)设点:设 M(x,y)是双曲线上任一点,且双曲线的焦点坐标为 F1(-c,0),F2(c,0). (3)列式:由|MF1|-|MF2|=± 2a, 可得 ?x+c?2+y2- ?x-c?2+y2=± 2a.

(4)化简:移项,平方后可得 (c2-a2)x2-a2y2=a2(c2-a2). 令 c2-a2=b2,得双曲线的标准方程为 x2 y2 - =1(a>0,b>0). a2 b2 2.双曲线的标准形式有两种,如何区别焦点所在的坐标轴? 【提示】 双曲线标准方程中 x2 与 y2 的系数的符号决定了焦点所在的坐标轴:当 x2 系 数为正时,焦点在 x 轴上;当 y2 的系数为正时,焦点在 y 轴上,而与分母的大小无关. 双曲线的标准方程

焦点在 x 轴上 标准 方程 焦点 x2 y2 - =1(a>0,b>0) a2 b2 F1(-c,0),F2(c,0)

焦点在 y 轴上 y2 x2 - =1(a>0,b>0) a2 b2 F1(0,-c),F2(0,c)

焦距

|F1F2|=2c,c2=a2+b2

(对应学生用书第 29 页)

双曲线标准方程的理解 x2 y2 + =1 表示的曲线为 C, 给出下列四 4-k k-1

(2013· 泰安高二检测)方程 个命题: ①曲线 C 不可能是圆; ②若 1<k<4,则曲线 C 为椭圆; ③若曲线 C 为双曲线,则 k<1 或 k>4;

5 ④若曲线 C 表示焦点在 x 轴上的椭圆,则 1<k< . 2 其中正确命题的序号是________. x2 y2 【思路探究】 方程 + =1 表示什么曲线?此时 k 的取值范围是多少? 4-k k-1 5 【自主解答】 当 4-k=k-1>0 时,即 k= 时,曲线 C 是圆,∴命题①是假命题.对 2 5 于②,当 1<k<4 且 k≠ 时,曲线 C 是椭圆,则②是假命题. 2 根据双曲线和椭圆定义及其标准方程,③④是真命题. 【答案】 ③④

1.双曲线焦点在 x 轴上?标准方程中 x2 项的系数为正;双曲线焦点在 y 轴上?标准方 程中 y2 项的系数为正. x2 y2 2. 在曲线方程 + =1 中, 若 m=n>0, 则曲线表示一个圆; 若 m>0, n>0, 且 m≠n, m n 则曲线表示一个椭圆;若 mn<0,则曲线表示双曲线.

x2 y2 若 k∈R,则“k>3”是“方程 - =1 表示双曲线”的( k-3 k+3 A.充分不必要条件 C.充要条件 条件

) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要

x2 y2 【解析】 方程 - =1 表示双曲线的充要条件是(k-3)(k+3)>0,即 k<-3 或 k-3 k+3 k>3;当 k>3 时,一定有(k-3)(k+3)>0,但反之不成立.∴k>3 是方程表示双曲线的充 分不必要条件. 【答案】 A

求双曲线的标准方程 9 已知双曲线上两点 P1、P2 的坐标分别为(3,-4 2)、( ,5),求双曲 4 线的标准方程. 【思路探究】 (1)当双曲线的焦点位置不确定时,应怎样求双曲线的方程?

(2)已知双曲线上两点的坐标,可将双曲线的方程设为怎样的形式,以便于计算? 【自主解答】 法一 若双曲线的焦点在 x 轴上, x2 y2 设其方程为 2- 2=1(a>0,b>0). a b

?a - b =1, 根据题意得? 81 25 ?16a - b =1,
2 2 2 2

9

32

该方程组无解; 若双曲线的焦点在 y 轴上, y2 x2 设其方程为 2- 2=1(a>0,b>0). a b

? a -b =1, 根据题意得? 25 81 ? a -16b =1,
2 2 2 2

32

9

解得 a2=16,b2=9. 故所求双曲线的标准方程为 y2 x2 - =1. 16 9

法二 设所求双曲线的方程为 mx2+ny2=1(mn<0).

9m+32n=1, ? ? 根据题意得?81 ? ?16m+25n=1, 1 1 解得 m=- ,n= . 9 16 故所求双曲线的标准方程为 y2 x2 - =1. 16 9

1.求双曲线标准方程一般有两种方法:一是定义法,二是待定系数法. 2.用待定系数法求双曲线标准方程的步骤: (1)定位:确定双曲线的焦点位置,如果题目没有建立坐标系,一般把焦点放在 x 轴上; (2)设方程:根据焦点的位置设相应的双曲线标准方程(当焦点在两个坐标轴上都有可能 时,一般设为 Ax2+By2=1(AB<0)); (3)定值:根据题目的条件确定相关的系数的方程,解出系数,代入所设方程.

求适合下列条件的双曲线的标准方程. (1)a= 5,c=3,焦点在 y 轴上; 3 4 (2)双曲线过 P1(-2, 5)和 P2( 7,4)两点. 2 3

【解】 (1)由 a= 5,c=3 得 b2=c2-a2=4. y2 x2 ∴所求双曲线的标准方程为 - =1. 5 4 (2)因为双曲线的焦点位置不确定,所以设双曲线方程为 mx2+ny2=1(mn<0),因为 P1、 P2 在双曲线上,所以有

?4m+ 4 =1, ?16 ? 9 ×7m+16n=1,

45n

?m=-16, 解得? 1 ?n=9.
x2 y2 y2 x2 + =1,即 - =1. 16 9 9 16

1

所以所求双曲线的方程为-

双曲线定义的应用 x2 y2 如图 2-2-1 所示,已知双曲线 - =1,F1,F2 是其两个焦点,点 4 9 M 在双曲线上.

图 2-2-1 (1)若∠F1MF2=90° ,求△F1MF2 的面积; (2)若∠F1MF2=120° ,△F1MF2 的面积是多少?若∠F1MF2=60° ,△F1MF2 的面积又是 多少? 【思路探究】 (1)求三角形的面积该联想到哪些方法?

(2)如何运用双曲线的定义解决问题? 【自主解答】 (1)由双曲线方程知,

a=2,b=3,c= 13,设|MF1|=r1,|MF2|=r2(r1>r2). 由双曲线定义知,有 r1-r2=2a=4,两边平方得
2 r2 r2=16, 1+r2-2r1·

即|F1F2|2-4S△F1MF2=16, 也即 52-16=4S△F1MF2, 求得 S△F1MF2=9. (2)若∠F1MF2=120° , 在△MF1F2 中,由余弦定理得,
2 |F1F2|2=r2 , 1+r2-2r1r2cos 120°

|F1F2|2=(r1-r2)2+3r1r2=(2c)2,r1r2=12, 1 求得 S△F1MF2= r1r2sin 120° =3 3. 2 同理可求得若∠F1MF2=60° ,S△F1MF2=9 3.

双曲线的定义是用双曲线上任意一点到两焦点的距离来描述的.定义中||PF1|-|PF2||= 2a<|F1F2|,包含|PF1|-|PF2|=2a 和|PF1|-|PF2|=-2a,即要看到点离定点的距离的“远” 与“近”. 涉及双曲线上点到焦点的距离问题, 或符合双曲线定义的轨迹问题可用双曲线的 定义求解.常见题目类型为: (1)双曲线的焦点三角形问题; (2)判断点的轨迹或求轨迹方程.

已知圆 C1:(x+3)2+y2=1 和圆 C2:(x-3)2+y2=9,动圆 M 同时与圆 C1 及圆 C2 相外 切,求动圆圆心 M 的轨迹方程.

【解】 如图所示,设动圆 M 与圆 C1 及圆 C2 分别外切于点 A 和 B,根据两圆外切的条件,得 |MC1|-|AC1|=|MA|, |MC2|-|BC2|=|MB|. ∵|MA|=|MB|, ∴|MC1|-|AC1|=|MC2|-|BC2|, ∴|MC2|-|MC1|=|BC2|-|AC1|=3-1=2. 这表明动点 M 与两定点 C2,C1 的距离的差是常数 2. 根据双曲线的定义,动点 M 的轨迹为双曲线的左支, 则 2a=2,a=1,c=3, ∴b2=c2-a2=8. y2 因此所求动点 M 的轨迹方程为 x2- =1(x<0). 8

(对应学生用书第 31 页)

记不清 a、b、c 的关系致误 双曲线 8kx2-ky2=8 的一个焦点为(0,3),则 k= 7 C. 9 7 D.- 9

A.1

B.-1

x2 y2 8 【错解】 将双曲线化为标准方程为 - =1,∵焦点在 y 轴上,且 c=3,∴a2=- , 1 8 k k k 1 8 1 7 7 b2=- ,∴- -(- )=- =32,∴k=- . k k k k 9 【答案】 D 【错因分析】 双曲线中 a、b、c 的关系不是 a2-b2=c2. 【防范措施】 要区别椭圆与双曲线中 a、b、c 的关系.在椭圆中 a2-b2=c2,在双曲 线中 a2+b2=c2,二者一定不要混淆. x2 y2 【正解】 将双曲线化为标准方程为 - =1, 1 8 k k 8 1 ∵焦点在 y 轴上,且 c=3,∴a2=- ,b2=- . k k 8 1 ∴- - =9,∴k=-1. k k 【答案】 B

1.理解双曲线的定义应特别注意以下两点: (1)距离的差要加绝对值,否则表示双曲线的一支. (2)距离差的绝对值必须小于焦距,否则不是双曲线. 2.求双曲线的标准方程包括“定位”和“定量”两个过程.“定位”指确定焦点在哪 个坐标轴上,“定量”是指确定 a2,b2 的大小.

(对应学生用书第 31 页)

1.到两定点 F1(-3,0)、F2(3,0)的距离之差的绝对值等于 6 的点 M 的轨迹是( A.椭圆 C.双曲线 【解析】 由题意|F1F2|=||MF1|-|MF2||=6. ∴ 点 M 的轨迹是两条射线. 【答案】 D x2 y2 2.双曲线 + =1 的焦距为( 25-k 9-k A.16 B.8 C.4 ) D.2 34 B.线段 D.两条射线

)

【解析】 ∵25-k>9-k 且 25-k>0,9-k<0, 即 a2=25-k,b2=k-9, ∴c2=16,c=4. 焦距为 2c=8. 【答案】 B 3.双曲线方程为 x2-2y2=1,则它的右焦点坐标为( A.? C.? 2 ? 2 ? ,0? ) B.? 5 ? 2 ? ,0?

6 ? ? 2 ,0?

D.( 3,0)

y2 【解析】 将双曲线方程化为标准形式 x2- =1, 1 2 1 所以 a2=1,b2= , 2 ∴ c= a2+b2= 6 , 2 6 ? . ? 2 ,0?

∴ 右焦点坐标为? 【答案】 C

4.双曲线的一个焦点为(0,-6),且经过点(-5,6),求此双曲线的标准方程. 【解】 由题意知 c=6,且焦点在 y 轴上,另一焦点为(0,6),所以由双曲线的定义有: 2a=| ?-5-0?2+?6+6?2- ?-5-0?2+?6-6?2|=8, ∴a=4,∴b2=62-42=20, y2 x2 ∴双曲线的标准方程为 - =1. 16 20

一、选择题 1.(2013· 台州高二检测)设动点 P 到 A(-5,0)的距离与它到 B(5,0)距离的差等于 6,则 P 点的轨迹方程是( x y A. - =1 9 16 y2 x2 B. - =1 9 16 x2 y2 C. - =1(x≤-3) 9 16 x2 y2 D. - =1(x≥3) 9 16 【解析】 由题意动点 P 的轨迹是以 A、B 为焦点的双曲线的右支,且 a=3,b=4, 故应选 D. 【答案】 D x2 y2 x2 y2 2.椭圆 + 2=1 与双曲线 - =1 有相同的焦点,则 a 的值是( 4 a a 2 1 A. 2 1 C.1 或 2 B.1 或-2 D.1 )
2 2

)

【解析】 由于 a>0,0<a2<4 且 4-a2=a+2,∴a=1. 【答案】 D x2 y2 3.(2013· 泰安高二检测)已知双曲线方程为 2- 2=1,点 A、B 在双曲线的右支上,线 a b 段 AB 经过右焦点 F2,|AB|=m,F1 为左焦点,则△ABF1 的周长为( A.2a+2m C.a+m ) B.4a+2m D.2a+4m

【解析】 根据双曲线的定义:|AF1|-|AF2|=2a,|BF1|-|BF2|=2a,而三角形的周长为 |AF1|+|BF1|+|AB|=(|AF1|-|AF2|)+(|BF1|-|BF2|)+2|AB|=4a+2m. 【答案】 B 4.已知平面内有一线段 AB,其长度为 4,动点 P 满足|PA|-|PB|=3,O 为 AB 中点, 则|PO|的最小值是( 3 A.1 B. 2 C.2 【解析】 ∵|PA|-|PB|=3<|AB|=4, ∴点 P 在以 A、B 为焦点的双曲线的一支上, 其中 2a=3,2c=4, 3 ∴|PO|min=a= . 2 【答案】 B 5.(2013· 临沂高二检测)已知双曲线的两个焦点 F1(- 10,0),F2( 10,0),M 是此双 → → → → 曲线上的一点,且MF1· MF2=0,|MF1|· |MF2|=2,则该双曲线的方程是( x2 A. -y2=1 9 x2 y2 x2 y2 C. - =1 D. - =1 3 7 7 3 【解析】 由双曲线定义||MF1|-|MF2||=2a,两边平方得:|MF1|2+|MF2|2-2|MF1||MF2| → → = 4a2 ,因为 MF1 · MF2 = 0 ,故△ MF1F2 为直角三角形,有 |MF1|2 + |MF2|2 = (2c)2 = 40 ,而 x2 |MF1|· |MF2|=2,∴40-2×2=4a2,∴a2=9,∴b2=1,所以双曲线的方程为 -y2=1. 9 【答案】 A 二、填空题 y2 x2 6.设 m 为常数,若点 F(0,5)是双曲线 - =1 的一个焦点,则 m=________. m 9 【解析】 由题意 c=5,且 m+9=25,∴m=16. ) D.4 )

y2 B.x2- =1 9

【答案】 16 x2 y2 7. (2013· 莱芜高二检测)若方程 - =1 表示双曲线, 则 k 的取值范围是________. k+2 5-k 【解析】 方程表示双曲线需满足(5-k)(k+2)>0,解得:-2<k<5,即 k 的取值范 围为(-2,5). 【答案】 (-2,5) x2 y2 8. 已知 F 是双曲线 - =1 的左焦点, A(1,4), P 是双曲线右支上的动点, 则|PF|+|PA| 4 12 的最小值为______. 【解析】 设右焦点为 F′,由题意知 F′(4,0),根据双曲线的定义,|PF|-|PF′|=4, ∴|PF|+|PA|=4+|PF′|+|PA|,∴要使|PF|+|PA|最小,只需|PF′|+|PA|最小即可,即需满足 P、F′、A 三点共线,最小值为 4+|F′A|=4+ 9+16=9. 【答案】 9 三、解答题 x2 y2 9.求与椭圆 + =1 有相同焦点,并且经过点(2,- 3)的双曲线的标准方程. 9 4 x2 y2 【解】 由 + =1 知焦点 F1(- 5,0),F2( 5,0). 9 4 x2 y2 依题意,设双曲线方程为 2- 2=1(a>0,b>0). a b ∴a2+b2=5,① x2 y2 又点(2,- 3)在双曲线 2- 2=1 上, a b 4 3 ∴ 2- 2=1.② a b 联立①②得 a2=2,b2=3, x2 y2 因此所求双曲线的方程为 - =1. 2 3 10.(2013· 杭州高二检测)已知 A(-7,0),B(7,0),C(2,-12),椭圆过 A、B 两点且以 C 为其一个焦点,求椭圆另一个焦点的轨迹方程. 【解】 设椭圆的另一个焦点为 P(x,y), 则由题意知|AC|+|AP|=|BC|+|BP|, ∴|BP|-|AP|=|AC|-|BC| =2<|AB|=14, 所以点 P 的轨迹是以 A、B 为焦点,实轴长为 2 的双曲线的左支,且 c=7,a=1, ∴b2=c2-a2=48. y2 ∴所求的轨迹方程为 x2- =1. 48

11.A、B、C 是我方三个炮兵阵地,A 在 B 的正东,相距 6 km,C 在 B 的北偏西 30° 方向上,相距 4 km,P 为敌炮阵地,某时刻 A 发现敌炮阵地的某种信号,由于 B、C 两地比 A 距 P 地远,因此 4 秒后,B、C 才同时发现这一信号(该信号的传播速度为每秒 1 km).A 若炮击 P 地,求炮击的方位角. 【解】 以 AB 的中点为原点,BA 所在的直线为 x 轴建立直角坐标系,则 A(3,0),B(- 3,0),C(-5,2 3). ∵|PB|-|PA|=4,∴点 P 在以 A、B 为焦点的双曲线的右支上,该双曲线右支的方程是 x2 y2 - =1(x≥2).① 4 5 又∵|PB|=|PC|,∴点 P 在线段 BC 的垂直平分线上,该直线的方程为 x- 3y+7=0. ② 32 将②代入①得 11x2-56x-256=0,得 x=8 或 x=- (舍).于是可得 P(8,5 3). 11 设 α 为 PA 所在直线的倾斜角,

又 kPA=tan α= 3,∴α=60° ,故点 P 在点 A 的北偏东 30° 方向上,即 A 炮击 P 地的方位 角是北偏东 30° .

(教师用书独具)

3 已知 B(-5,0),C(5,0)是△ABC 的两个顶点,且 sin B-sin C= sin A,求顶点 A 的轨迹 5 方程. 3 【解】 ∵sin B-sin C= sin A, 5 3 3 ∴由正弦定理得|AC|-|AB|= |BC|= ×10=6. 5 5 又∵|AC|>|AB|,6<|BC|, ∴点 A 的轨迹是以 B,C 为焦点的双曲线的左支(且除去左顶点), 由 2a=6,2c=10,得 a=3,c=5,b2=c2-a2=16,

x2 y2 ∴顶点 A 的轨迹方程为 - =1(x<-3). 9 16

已知定点 A(3,0)和定圆 C:(x+3)2+y2=16,动圆和圆 C 相外切,并且过点 A,求动圆 圆心 P 的轨迹方程. 【解】 设动圆半径为 r,圆心为 P(x,y),定圆 C 的圆心为 C(-3,0),半径为 4, 由平面几何知识有|PC|=r+4,|PA|=r, ∴|PC|-|PA|=4, ∴动点 P 的轨迹为双曲线右支. c=3,a=2,b2=c2-a2=5, x2 y2 ∴圆心 P 的轨迹方程为 - =1(x>0). 4 5


相关文章:
2.2.1 双曲线及其标准方程 教案(人教A版选修1-1)
2.2.1 双曲线及其标准方程 教案(人教A版选修1-1)_数学_高中教育_教育专区。2.2 双曲线 2.2.1 双曲线及其标准方程 (教师用书独具) ●三维目标 1.知识与...
人教A版选修1-1教案:2.2.1双曲线的及其标准方程(含答案)
人教A版选修1-1教案:2.2.1双曲线的及其标准方程(含答案)_数学_高中教育_教育专区。§2.2.1 双曲线的及其标准方程 【学情分析】 : 学生已经学过椭圆,了解...
高二数学人教版选修1-1教案:2.2双曲线及其标准方程教案设计
高二数学人教版选修1-1教案:2.2双曲线及其标准方程教案设计_数学_高中教育_教育专区。2.2.1 一.教学目标: 双曲线及其标准方程 (1)理解双曲线的定义,掌握双...
2.3.1双曲线及其标准方程_教案(人教A版选修2-1)
2.3.1双曲线及其标准方程_教案(人教A版选修2-1)_数学_高中教育_教育专区。2.3.1 双曲线及其标准方程●三维目标 1.知识与技能 理解双曲线的概念,掌握双曲线...
《2.2.1双曲线及其标准方程》导学案 新人教A版选修1-1
选修1-1教案2.2.1双曲线... 暂无评价 4页 免费 双曲线及其标准方程导学.....​学​案​ ​新​人​教​A​版​选​修​1​-​1...
2.2.1 双曲线及其标准方程 学案(人教A版选修1-1)
2.2.1 双曲线及其标准方程 学案(人教A版选修1-1)_数学_高中教育_教育专区。...双曲线的标准方程 【问题导思】 1.能否用推导椭圆标准方程的方法推出双曲线的...
2.2.1双曲线及其标准方程教案
2.2.1 双曲线及其标准方程教案 、教学目标 1.知识与技能目标 理解双曲线的概念,掌握双曲线的定义、会用双曲线的定义 解决实际问题; 2.过程与方法目标 理解...
2.2.1《双曲线及其标准方程》教案(新人教版B选修1-1)
2.2.1双曲线及其标准方程教案(人教版B选修1-1) 双曲线及其标准方程双曲线及其标准方程隐藏>> 知识改变命运, 知识改变命运,学习成就未来 双曲线及其标准方...
高中数学人教版A选修2-1教学设计:2.3.1双曲线及其标准方程》教案1
高中数学人教版A选修2-1教学设计:2.3.1双曲线及其标准方程教案1_数学_高中教育_教育专区。高中数学人教版A选修2-1教学设计 2.2.1 双曲线的标准方程【教学...
更多相关标签:
人教版化学选修4教案 | 人教版化学选修3教案 | 人教版化学选修四教案 | 人教版选修六教案 | 人教版化学选修1教案 | 双曲线的标准方程教案 | 双曲线的参数方程教案 | 人教版简易方程教案 |