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2012版步步高高考数学考前三个月抢分训练26:三角函数


训练 26
5 π 1 ,α∈(0, ),tan β= . 5 2 3

三角函数

(推荐时间:75 分钟) 1.已知 sin α=

(1)求 tan α 的值;(2)求 tan (α+2β)的值. c sin ?B-C? 2.在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,且 1- = ,求

2a sin ?B+C? cos B 的值. 2

3.若函数 f(x)=sin2ax-sin axcos ax(a>0)的图象与直线 y=m(m 为常数)相切,并且切点 π 的横坐标依次成公差为 的等差数列.(1)求 m 的值;(2)若点 A(x0,y0)是 y=f(x)图象的对称中 2 3π 心,且 x0∈[0, ],求点 A 的坐标. 4

4. 已 知 △ABC 的 三 个 内 角 A 、 B 、 C 所 对 的 边 分 别 为 a 、 b 、 c.m = (1,1) , n =

? 3-sin Bsin C,cos Bcos C?,且 m⊥n. ?2 ?
(1)求 A 的大小;(2)若 a=1,b= 3c.求 S△ABC. φ 5.设函数 f(x)=2sin xcos2 +cos xsin φ-sin x(0<φ<π),在 x=π 处取最小值.(1)求 φ 的 2 值;(2)在△ABC 中,a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边,已知 a=1,b= 2,f(A)= 角 C. 3 ,求 2

6.(2010· 福建)某港口 O 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上,在小艇出 发时,轮船位于港口 O 北偏西 30° 且与该港口相距 20 海里的 A 处,并正以 30 海里/时的航行 速度沿正东方向匀速行驶.假设该小艇沿直线方向以 v 海里/时的航行速度匀速行驶,经过 t 时与轮船相遇. (1)若希望相遇时小艇的航行距离最小,则小艇航行速度的大小应为多少? (2)假设小艇的最高航行速度只能达到 30 海里/时,试设计航行方案(即确定航行方向和航 行速度的大小),使得小艇能以最短时间与轮船相遇,并说明理由.

答案

1.解 (1)∵sin α=

5 π ,α∈(0, ), 5 2 1 2 5 1- = . 5 5

∴cos α= 1-sin2α= 5 5 sin α 1 ∴tan α= = = . cos α 2 5 2 5

1 2tan β (2)∵tan β= ,∴tan 2β= = 3 1-tan2β

1 2× 3 3 = . 1 4 1-? ?2 3

1 3 + 2 4 tan α+tan 2β ∴tan (α+2β)= = =2. 1 3 1-tan αtan 2β 1- × 2 4 2.解 由已知得 2a-c sin ?B-C? = , 2a sin A ∴ 2sin A-sin C sin ?B-C? = , 2sin A sin A

∴2sin A-sin C=2sin (B-C), ∴2sin (B+C)-sin C=2sin (B-C), 2sin Bcos C+2cos Bsin C-sin C, =2sin Bcos C-2cos Bsin C, ∴4cos Bsin C=sin C, 1 又 sin C≠0,∴cos B= . 4 B 为锐角. ∴cos B = 2 1+cos B 10 = 2 4

1 1 3.解 (1)f(x)= (1-cos 2ax)- sin 2ax 2 2 1 1 =- (sin 2ax+cos 2ax)+ 2 2 =- 2 π 1 sin (2ax+ )+ 2 4 2

∵y=f(x)的图象与 y=m 相切. ∴m 为 f(x)的最大值或最小值. 1+ 2 1- 2 即 m= 或 m= . 2 2

π (2)又因为切点横坐标依次成公差为 的等差数列, 2 π 所以 f(x)最小正周期为 . 2 又 T= 2π π = ,a>0, |2a| 2

所以 a=2. 即 f(x)=- π 1 2 ? sin?4x+4? ?+2 2

π π 4x+ ?=0,则 4x0+ =kπ(k∈Z) 令 sin ? 4 ? ? 4 kπ π x0= - . 4 16 kπ π 3 由 0≤ - ≤ π 及 k∈Z. 4 16 4 得 k=1,2,3, 3 1? ? 7 1? ?11 1? 因此对称中心点 A 的坐标为? ?16π,2?、?16π,2?、?16π,2?. 4.解 因为 m⊥n,所以 所以 cos (B+C)=- 3 -sin Bsin C+cos Bcos C=0, 2

3 3 ,即 cos A= , 2 2

因为 A 为△ABC 的内角,所以 0<A<π, π 所以 A= . 6 (2)若 a=1,b= 3c.由余弦定理得 b2+c2-a2=2bccos A,所以得 c2=1, 1 3 3 所以 S△ABC= bc· sin A= c2= . 2 4 4 5.解 (1)∵f(x)=2sin xcos2 φ +cos xsin φ-sin x 2

1+cos φ =2sin x· +cos xsin φ-sin x 2 =sin x+sin xcos φ+cos xsin φ-sin x =sin xcos φ+cos xsin φ=sin (x+φ) 又∵f(x)在 x=π 处取最小值. ∴sin (π+φ)=-1. π 又∵0<φ<π,∴φ= . 2

π (2)由(1)知 f(x)=sin (x+ )=cos x. 2 ∵f(A)= 3 3 ,∴cos A= . 2 2

π 又∵A 是三角形的内角,∴A= . 6 又∵a=1,b= 2,∴由正弦定理得 bsin A sin B= = a 2× 1 2 2 = . 1 2

π 3π 又∵a<b,∴B= 或 B= , 4 4 π 7π 当 B= 时,C= ; 4 12 3π π 当 B= 时,C= . 4 12 π 7π ∴C= 或 . 12 12 6.解 方法一 (1)如图(1),设相遇时小艇航行的距离为 S 海里,则 S= 900t2+400-2×30t×20×cos?90° -30° ? = 900t2-600t+400

图(1) = 1 900?t- ?2+300. 3

1 故当 t= 时,Smin=10 3, 3 10 3 此时 v= =30 3. 1 3 即小艇以 30 3 海里/时的速度航行,相遇时小艇的航行距离最小. (2)设小艇与轮船在 B 处相遇,则 v2t2=400+900t2-2×20×30t×cos(90° -30° ), 600 400 故 v2=900- + 2 . t t 600 400 ∵0<v≤30,∴900- + 2 ≤900, t t

2 3 2 即 2- ≤0,解得 t≥ . t t 3 2 又 t= 时,v=30. 3 2 故 v=30 时,t 取得最小值,且最小值为 . 3 此时,在△OAB 中,有 OA=OB=AB=20,故可设计航行方案如下:航行方向为北偏东 30° ,航行速度为 30 海里/时,小艇能以最短时间与轮船相遇.

图(2) 方法二 (1)若相遇时小艇的航行距离最小,又轮船沿正东方向匀速行驶,则小艇航行方

向为正北方向.设小艇与轮船在 C 处相遇(如图(2). 在 Rt△OAC 中,OC=20cos 30° =10 3,AC=20sin 30° =10. 又 AC=30t,OC=vt. 10 1 10 3 此时,轮船航行时间 t= = ,v= =30 3. 30 3 1 3 即小艇以 30 3 海里/时的速度航行,相遇时小艇的航行距离最小.

图(3) (2)猜想 v=30 时,小艇能以最短时间与轮船在 D 处相遇,此时 AD=DO=30t. 又∠OAD=60° , ∴AD=DO=OA=20, 2 解得 t= . 3 据此可设计航行方案如下: 航行方向为北偏东 30° ,航行速度的大小为 30 海里/时.这样,小艇能以最短时间与轮船 相遇. 证明如下: 如图(3),由(1)得 OC=10 3,AC=10,故 OC>AC,且对于线段 AC 上的任意点 P,有 OP≥OC>AC.而小艇的最高航行速度只能达到 30 海里/时, 故小艇与轮船不可能在 A, C 之间(包 含 C)的任意位置相遇.

设∠COD=θ(0° <θ<90° ),则在 Rt△COD 中, 10 3 CD=10 3tan θ,OD= . cos θ 由于从出发到相遇,轮船与小艇所需要的时间分别为 t= ∴ 10+10 3tan θ 10 3 和 t= , 30 vcos θ

10+10 3tan θ 10 3 = . 30 vcos θ

15 3 由此可得,v= . sin?θ+30° ? 又 v≤30,故 sin(θ+30° )≥ 从而,30° ≤θ<90° . 由于 θ=30° 时,tan θ 取得最小值,且最小值为 3 . 3 3 . 2

10+10 3tan θ 2 于是,当 θ=30° 时,t= 取得最小值,且最小值为 . 30 3

图(4) 方法三 (1)同方法一或方法二. (2)设小艇与轮船在 B 处相遇.依据题意得:v2t2=400+900t2-2· 20· 30t· cos(90° -30° ), (v2-900)t2+600t-400=0. ①若 0<v<30,则由 Δ=360 000+1 600(v2-900) =1 600(v2-675)≥0, 得 v≥15 3. -300± 20 v2-675 从而,t= ,v∈[15 3,30). 2 v -900 -300-20 v2-675 当 t= 时, v2-900 令 x= v2-675,则 x∈[0,15), t= -300-20x -20 4 = ≥ , x2-225 x-15 3

当且仅当 x=0,即 v=15 3时等号成立.

-300+20 v2-675 2 4 当 t= 时,同理可得 <t≤ . 3 3 v2-900 2 综上得,当 v∈[15 3,30)时,t> . 3 2 ②若 v=30,则 t= . 3 2 综合①②可知,当 v=30 时,t 取最小值,且最小值等于 . 3 此时,在△OAB 中,OA=OB=AB=20,故可设计航行方案如下: 航行方向为北偏东 30° ,航行速度为 30 海里/时,小艇能以最短时间与轮船相遇.


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