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2016年江西省宜春市高考数学二模试卷(理科)(解析版)


2016 年江西省宜春市高考数学二模试卷(理科)
一、选择题 1.已知全集 U=R 集合 A={x|log2(x﹣1)},B={y|y=2x},则(CUA)∩B=( A. (﹣∞,0) B. (0,1] C. (﹣∞,1) D. (1,2) 2.复数 Z= A.2 (a∈R)在复平面内对应的点在虚轴上,则 a=( D.﹣1 ) )


<

br />B.﹣2 C.1

3.已知 a1= A. B.﹣

,数列{ an+3}是公比为 的等比数列,则 a8=( C. D.﹣

4.已知命题 p:cosα≠0 是 α≠2kπ(k∈Z)的充分必要条件, 命题 q:设随机变量 ζ~N(0,1) ,若 P(ξ≥ )=m,则 P(﹣ <ξ<0)= ﹣m, 下列命题是假命题的为( ) A.p∧q B.p∨q C.¬p∧q D.¬p∨q

5.已知变量 x,y 满足

,则 2x+y 的最大值为(



A.4

B.7

C.10

D.12 ) (ω>0)的图象与函数 g(x)=cos(2x+φ) (|φ|< ) )

6.已知函数 f(x)=2sin(ωx+

的图象的对称中心完全相同,则 φ=( A. B.﹣ C. D.﹣

7.当双曲线 C 不是等轴双曲线我们把以双曲线 C 的实轴、虚轴的端点作为顶点的椭圆称为 双曲线 C 的“伴生椭圆”,则离心率为 的双曲线的“伴生椭圆”离心率为( ) A. B. C. D. )

8.执行如图所示的程序框图,若输出的 S 的值为 ,则实数 k 的取值范围为(

A.[16,64] B.[16,32) C.[32,64) D. (32,64) 9.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )
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A.6 B.8 C.10 D.12 10. 某校文化艺术节要安排六个节目, 其中高一年级准备 3 个节目, 高二年级准备 2 个节目, 高三年级准备 1 个节目,则同一年级的节目不相邻的安排种数为( ) A.72 B.84 C.120 D.144 11. PB、 PC, 已知点 P 在直径为 的球面上, 过点 P 作球的两两垂直的三条弦 PA、 若 PA=PB, 则 PA+PB+PC 的最大值为( ) A. B. +1 C. +2 D.3 12. f x) b]上存在 x1, x( 定义: 如果函数 ( 在[a, 满足 2 a<x1<x2<b) ,

,则称函数 f(x)是[a,b]上的“双中值函数”.已知函数 f(x) =x3﹣x2+a 是[0,a]上的“双中值函数”,则实数 a 的取值范围是( A. B. ( ) C. ( ,1) D. ( ,1) )

二、填空题 13.已知向量| |=1,| |=2,若| ﹣ |=

,则向量 , 的夹角为



14.设圆 C 的圆心是抛物线 y= x2 的焦点,且与直线 x+y+3=0 相切,则圆 C 的方程 是 . )6 展开式的中间项,若 f(x)≤mx 在区间[ . ,n∈N*,且 a1=2, , ]上恒成立,

15.设 f(x)是(x2+ 则实数 m 的取值范围是

16.若数列{an}与{bn}满足 bn+1an+bnan+1=(﹣1)n+1,bn= 设数列{an}的前 n 项和为 Sn,则 S61= .

三、解答题 17. a, b, c 分别是角 A, B, C 的对边, =3sin2A+2sinBsinC. △ABC 中, 已知 3 (sin2B+sin2C) (1)若 sinB= cosC,求 tanC 的值; (2)若 a=2,△ABC 的面积 S= ,且 b>c,求 b,c 的值.

18.某市交管部门随机抽取了 89 位司机调查有无酒驾习惯,汇总数据的如表: 男性 女性 合计 无酒驾习惯 31
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有酒驾习惯 合计

8 89 ,

已知在这 89 人随机抽取 1 人,抽到无酒驾习惯的概率为

(1)将如表中空白部分数据补充完整; (2)若从有酒驾习惯的人中按性别用分层抽样的方法抽取 8 人参加某项活动,现从这 8 人 中随机抽取 2 人,记抽到女性的人数为 X,求 X 得分布列和数学期望. 19.如图,四棱锥 S﹣ABCD 中,AB∥CD,BC⊥CD,侧面 SAB 为等边三角形.AB=BC=2, CD=SD=1. (1)证明:SD⊥平面 SAB (2)求 AB 与平面 SBC 所成角的正弦值.

20.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C:

+

=1(a>b>0)的离心率 e= ,

左顶点(﹣4,0) ,过点 A 作斜率为 k(k≠0)的直线 l 交椭圆 C 于 D,交 y 轴于 E. (1)求椭圆的方程; (2)已知点 P 为 AD 的中点,是否存在定点 Q,对于任意的 k(k≠0) ,都有 OP⊥EQ?若 存在,求出点 Q 的坐标;若不存在说明理由.

21.已知函数 f(x)=xlnx,g(x)=﹣x2+ax﹣3(a∈R) . (1)若对? x∈(0,+∞) ,恒有不等式 f(x)≥ g(x) ,求 a 得取值范围; (2)证明:对? x∈(0,+∞) ,有 lnx> ﹣ .

[选修 4-1:几何证明选讲] 22.如图,圆 O 是△ABC 的外接圆,∠BAC 的平分线交 BC 于点 F,D 是 AF 的延长线与 ⊙O 的交点,AC 的延线与⊙O 的切线 DE 交于点 E. (1)求证: (2)若 BD=3 = ,EC=2,CA=6,求 BF 的值.

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[选修 4-4:坐标系与参数方程选讲]

23.在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为

(t 为参数) ,在以原点 O

为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,圆 C 的方程为 ρ=2 sinθ. (Ⅰ)写出直线 l 的普通方程和圆 C 的直角坐标方程; (Ⅱ)若点 P 的直角坐标为(1,0) ,圆 C 与直线 l 交于 A、B 两点,求|PA|+|PB|的值. [选修 4-5:不等式选讲] 24.已知函数 f(x)=|x﹣1|, (1)解关于 x 的不等式 f(x)+x2﹣1>0 (2)若 g(x)=﹣|x+3|+m,f(x)<g(x)的解集非空,求实数 m 的取值范围.

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2016 年江西省宜春市高考数学二模试卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择题 1.已知全集 U=R 集合 A={x|log2(x﹣1)},B={y|y=2x},则(CUA)∩B=( A. (﹣∞,0) B. (0,1] C. (﹣∞,1) D. (1,2)



【考点】交、并、补集的混合运算. 【分析】求出 A 中 x 的范围确定出 A,求出 B 中 y 的范围确定出 B,找出 A 补集与 B 的并 集即可. 【解答】解:由 A 中 log2(x﹣1) ,得到 x﹣1>0,即 x>1, ∴A=(1,+∞) , ∵全集 U=R, ∴?UA=(﹣∞,1], 由 B 中 y=2x,得到 y>0,即 B=(0,+∞) , 则(?UA)∩B=(0,1]. 故选:B.

2.复数 Z= A.2

(a∈R)在复平面内对应的点在虚轴上,则 a=( D.﹣1



B.﹣2 C.1

【考点】复数代数形式的乘除运算. 【分析】利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出. 【解答】解:Z= = 在虚轴上, ∴ =0, ≠0,解得 a=﹣2. = 在复平面内对应的点

则 a=﹣2. 故选:B.

3.已知 a1= A. B.﹣

,数列{ an+3}是公比为 的等比数列,则 a8=( C. D.﹣



【考点】等比数列的通项公式. 【分析】利用等比数列的通项公式即可得出. 【解答】解:a1= =2,

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数列{ an+3}是公比为 的等比数列,首项为 ∴ an+3= 则 a8+3=4× 故选:D. . ,解得 a8= .

+3=4.

4.已知命题 p:cosα≠0 是 α≠2kπ(k∈Z)的充分必要条件, 命题 q:设随机变量 ζ~N(0,1) ,若 P(ξ≥ )=m,则 P(﹣ <ξ<0)= ﹣m, 下列命题是假命题的为( ) A.p∧q B.p∨q C.¬p∧q D.¬p∨q 【考点】命题的真假判断与应用. 【分析】 根据充分条件和必要条件的定义以及正态分布的概率关系分别判断两个命题的真假 结合复合命题之间的关系进行判断即可. 【解答】解:若 cosα≠0 则 α≠kπ+ ,则 α≠2kπ 不成立,反之若 α=kπ+ 满足 α≠2kπ,

但 cosα=0,故 cosα≠0 是 α≠2kπ(k∈Z)的既不充分也不必要条件,故 p 是假命题, 若随机变量 ζ~N(0,1) ,则函数关于 x=0 对称, 若 P(ξ≥ )=m,则 P(ξ≥ )=P(ξ≤﹣ )=m, 则 P(﹣ <ξ<0)= [1﹣P(ξ≥ )﹣P(ξ≤﹣ )= (1﹣2m)= ﹣m,故 q 是真命

题, 则 p∧q 是假命题,p∨q,¬p∧q,¬p∨q 都是真命题, 故选:A.

5.已知变量 x,y 满足

,则 2x+y 的最大值为(



A.4

B.7

C.10

D.12

【考点】简单线性规划. 【分析】作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,求最大值即可. 【解答】解:作出不等式组对应的平面区域如图: (阴影部分) . 由 z=2x+y 得 y=﹣2x+z, 平移直线 y=﹣2x+z, 由图象可知当直线 y=﹣2x+z 经过点 A 时,直线 y=﹣2x+z 的截距最大, 此时 z 最大. 由 ,解得 ,即 A(4,2) ,

代入目标函数 z=2x+y 得 z=2×4+2=10.
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即目标函数 z=2x+y 的最大值为 10. 故选:C.

6.已知函数 f(x)=2sin(ωx+

) (ω>0)的图象与函数 g(x)=cos(2x+φ) (|φ|< )



的图象的对称中心完全相同,则 φ=( A. B.﹣ C. D.﹣

【考点】函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 【分析】f(x)与 g(x)的对称中心相同,则函数的周期相同,求出 ω=2,然后根据分别 求出两个函数的对称中心,建立方程关系进行求解即可. 【解答】解:若 f(x)与 g(x)的对称中心相同,则函数的周期相同即 即 f(x)=2sin(2x+ 由 2x+ =kπ,即 x= ) ﹣ ,即 f(x)的对称中心为( ﹣ ,0) , ﹣ )+φ)=cos(kπ﹣ +φ)=±cos(φ﹣ )=0, ﹣ ,0) ,则 ω=2,

即 g(x)的对称中心为( 则 g( 即 φ﹣ 则 φ=kπ+ ﹣ =kπ+

)=cos(2×( ,

,k∈Z =﹣ ,

当 k=﹣1,φ=﹣π+ 故选:D.

7.当双曲线 C 不是等轴双曲线我们把以双曲线 C 的实轴、虚轴的端点作为顶点的椭圆称为 双曲线 C 的“伴生椭圆”,则离心率为 的双曲线的“伴生椭圆”离心率为( ) A. B. C. D.

【考点】双曲线的简单性质.
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【分析】不妨设双曲线的标准方程为



=1(a>0,b>0) ,则其“伴生椭圆”的方程为

+ 求值.

=1.由

= ,运用 a,b,c 的关系,可得 b=2a,再由离心率公式计算即可得到所

【解答】解:不妨设双曲线的标准方程为



=1(a>0,b>0) ,

则其“伴生椭圆”的方程为

+

=1.



= ,

可得 即有 b=2a,

=5,

其“伴生椭圆”的离心率 e= 故选:D.

=

=



8.执行如图所示的程序框图,若输出的 S 的值为 ,则实数 k 的取值范围为(



A.[16,64] B.[16,32)

C.[32,64)

D. (32,64)

【考点】程序框图. 【分析】模拟执行程序框图,依次写出每次循环得到的 S,a 的值,当 a=32 时由题意此时不 满足条件 32≤k,退出循环,输出 S 的值为 ,从而可解得 k 的取值范围. 【解答】解:模拟执行程序,可得 a=2,S= 执行循环体,S= log24=1,a=4

由题意,此时满足条件 4≤k,执行循环体,S=1×log48,a=8
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由题意,此时满足条件 8≤k,执行循环体,S=1×log48×log816,a=16 由题意,此时满足条件 16≤k,执行循环体,S=1×log48×log816×log1632= a=32 由题意,此时不满足条件 32≤k,退出循环,输出 S 的值为 . 则实数 k 的取值范围为:[16,32) . 故选:B. 9.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( ) = ,

A.6

B.8

C.10

D.12

【考点】由三视图求面积、体积. 【分析】由三视图得到几何体为三棱柱去掉一个三棱锥,分别计算体积即可. 【解答】解:由三视图得到几何体如图体积为 故选 C. =10;

10. 某校文化艺术节要安排六个节目, 其中高一年级准备 3 个节目, 高二年级准备 2 个节目, 高三年级准备 1 个节目,则同一年级的节目不相邻的安排种数为( ) A.72 B.84 C.120 D.144 【考点】计数原理的应用. 【分析】根据题意,分 2 步进行分析:①、先将高一年级准备 3 个节目全排列,②、因为 高一年级准备 3 个节目不能相邻, 则分 2 种情况讨论中间 2 个空位安排情况, 由分步计数原 理计算每一步的情况数目,进而由分类计数原理计算可得答案. 【解答】解:分 2 步进行分析: 1、先将高一年级准备 3 个节目全排列,有 A33=6 种情况,排好后,有 4 个空位, 2、因为高一年级准备 3 个节目不能相邻,则中间 2 个空位必须安排 2 个节目, 分 2 种情况讨论: ①将中间 2 个空位安排 1 个高二年级准备 1 个节目节目和高三年级准备 1 个节目,有 C21A22=4 种情况, 排好后,最后高二年级准备 1 个节目放在 2 端,有 2 种情况,
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此时同类节目不相邻的排法种数是 6×4×2=48 种; ②将中间 2 个空位安排 2 个高二年级准备 2 个节目,有 A22=2 种情况, 排好后,有 6 个空位,高三年级准备 1 个节目有 6 个空位可选,即有 6 种情况, 此时同类节目不相邻的排法种数是 6×2×6=72 种; 则同类节目不相邻的排法种数是 48+72=120, 故选:C. 11. PB、 PC, 已知点 P 在直径为 的球面上, 过点 P 作球的两两垂直的三条弦 PA、 若 PA=PB, 则 PA+PB+PC 的最大值为( ) A. B. 1 C 2 D.3 + . + 【考点】球的体积和表面积. 【分析】由已知,PA,PB,PC 两两垂直,点 P 在直径为
2 2

的球面上,球直径等于以 PA,

PB,PC 为棱的长方体的对角线,得到 2PB +PC =2,再结合三角换元法,由三角函数的性 质得到 PA+PB+PC 的最大值. 【解答】解:∵PA,PB,PC 两两垂直,点 P 在直径为 的球面上, ∴以 PA,PB,PC 为棱的长方体的对角线即为球的一条直径. ∴2=PA2+PB2+PC2,又 PA=PB,∴2PB2+PC2=2, 设 PB=cosα,PC= sinα, 则 PA+PB+PC=2PB+PC=2cosα+ sinα= sin(α+φ)≤ . 则 PA+PB+PC 的最大值为 , 故选:A.

12. f x) b]上存在 x1, x( 定义: 如果函数 ( 在[a, 满足 2 a<x1<x2<b)



,则称函数 f(x)是[a,b]上的“双中值函数”.已知函数 f(x) =x3﹣x2+a 是[0,a]上的“双中值函数”,则实数 a 的取值范围是( A. B. ( ) C. ( ,1) D. ( ,1) )

【考点】导数的几何意义. =f( = ′ x1) ′ x2) 【分析】 根据题目给出的定义可得 f( =a2﹣a, 即方程 3x2﹣2x=a2

﹣a 在区间(0,a)有两个解,利用二次函数的性质可知实数 a 的取值范围. 【解答】解:由题意可知,∵f(x)=x3﹣x2+a,f′(x)=3x2﹣2x 在区间[0,a]存在 x1,x2(a<x1<x2<b) , 满足 f′(x1)=f′(x2)= =a2﹣a,

∵f(x)=x3﹣x2+a, ∴f′(x)=3x2﹣2x, ∴方程 3x2﹣2x=a2﹣a 在区间(0,a)有两个不相等的解. 令 g(x)=3x2﹣2x﹣a2+a, (0<x<a)

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解得;



∴实数 a 的取值范围是( ,1) 故选:C 二、填空题 13.已知向量| |=1,| |=2,若| ﹣ |= ,则向量 , 的夹角为 .

【考点】平面向量数量积的运算. =1,再根据向量的夹角公式计算即可. 【分析】由题意先求出 【解答】解:向量| |=1,| |=2,| ﹣ |= , =1+4﹣2 =3, ∴| ﹣ |2=| |2+| |2﹣2 =1, ∴ ∴cos< , >= = = ,

∵向量 , 的夹角的范围为(0,π) , ∴向量 , 的夹角为 故答案为: . ,

14.设圆 C 的圆心是抛物线 y= x2 的焦点,且与直线 x+y+3=0 相切,则圆 C 的方程是 x2+ (y﹣1)2=8 . 【考点】抛物线的简单性质. 【分析】求出抛物线的焦点即圆心坐标,利用切线的性质计算点 C 到切线的距离即为半径, 从而得出圆的方程. 【解答】解:抛物线的标准方程为:x2=4y, ∴抛物线的焦点为 F(0,1) .即圆 C 的圆心为 C(0,1) . ∵圆 C 与直线 x+y+3=0 相切,∴圆 C 的半径为点 C 到直线 x+y+3=0 的距离 d= ∴圆 C 的方程为 x2+(y﹣1)2=8. 故答案为:x2+(y﹣1)2=8. 15.设 f(x)是(x2+ )6 展开式的中间项,若 f(x)≤mx 在区间[ =2 .



]上恒成立,

则实数 m 的取值范围是 [5,+∞) . 【考点】二项式定理.
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【分析】由题意可得 f(x)= ?x3,再由条件可得 m≥ x2 在区间[ 求得 x2 在区间[ , ]上的最大值,可得 m 的范围. ? x6 ? = ?x3.



]上恒成立,

【解答】解:由题意可得 f(x)= 由 f(x)≤mx 在区间[ 由于 x2 在区间[ , ,

]上恒成立,可得 m≥ x2 在区间[



]上恒成立,

]上的最大值为 5,故 m≥5,

即 m 的范围为[5,+∞) , 故答案为:[5,+∞) .

16.若数列{an}与{bn}满足 bn+1an+bnan+1=(﹣1)n+1,bn= 设数列{an}的前 n 项和为 Sn,则 S61= 527 . 【考点】数列的求和. 【分析】bn+1an+bnan+1=(﹣1)n+1,bn=

,n∈N*,且 a1=2,

,n∈N*,a1=2,可得:a2=﹣1.n=2k

﹣1(k∈N*)时,2a2k+a2k﹣1=0.n=2k(k∈N*)时,2a2k+a2k+1=2. 可得 a2k+1﹣a2k=2,a2k+2﹣a2k=﹣1,因此数列{an}的奇数项与偶数项分别成等差数列,公差 分别为 2,﹣1.即可得出. 【解答】解:∵bn+1an+bnan+1=(﹣1)n+1,bn= ,n∈N*,a1=2,

∴b1=2,b2=1,b2a1+b1a2=0,a2=﹣1. n=2k﹣1(k∈N*)时,2a2k+a2k﹣1=0. n=2k(k∈N*)时,2a2k+a2k+1=2. ∴a2k+1﹣a2k=2,a2k+2﹣a2k=﹣1, ∴数列{an}的奇数项与偶数项分别成等差数列,公差分别为 2,﹣1. ∴S61=(a1+a3+…+a61)+(a2+a4+…+a60) = =527. 故答案为:527. 三、解答题 17. a, b, c 分别是角 A, B, C 的对边, =3sin2A+2sinBsinC. △ABC 中, 已知 3 (sin2B+sin2C) (1)若 sinB= cosC,求 tanC 的值; (2)若 a=2,△ABC 的面积 S= 【考点】余弦定理;正弦定理.
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+(﹣1)×30+

(﹣1)

,且 b>c,求 b,c 的值.

【分析】 已知等式利用正弦定理化简, 再利用余弦定理求出 cosA 的值, 进而求出 sinA 的值, (1)已知等式左边 sinB 换为 sin(A+C) ,利用两角和与差的正弦函数公式化简,求出 tanC 的值即可; (2)由 cosA 的值,利用余弦定理列出关于 b 与 c 的方程,再利用三角形面积公式列出关于 b 与 c 的方程,联立求出 b 与 c 的值即可. 【解答】解:△ABC 中,∵3(sin2B+sin2C)=3sin2A+2sinBsinC, ∴3(b2+c2)=3a2+2bc,即 cosA= = ,

∴sinA=

=

, cosC+ sinC= cosC,整理得:

(1)由 sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC= sinC= cosC, 则 tanC= ;

(2)∵cosA= ,∴由余弦定理得:4=b2+c2﹣ bc①, 由三角形面积公式及已知面积 S= 联立①②,且 b>c,解得:b= ,得到 bc? ,c= . = ②,

18.某市交管部门随机抽取了 89 位司机调查有无酒驾习惯,汇总数据的如表: 男性 女性 合计 无酒驾习惯 31 8 有酒驾习惯 89 合计 已知在这 89 人随机抽取 1 人,抽到无酒驾习惯的概率为 ,

(1)将如表中空白部分数据补充完整; (2)若从有酒驾习惯的人中按性别用分层抽样的方法抽取 8 人参加某项活动,现从这 8 人 中随机抽取 2 人,记抽到女性的人数为 X,求 X 得分布列和数学期望. 【考点】离散型随机变量的期望与方差;离散型随机变量及其分布列. 【分析】 (1)由已知得 89 位司机中有 57 人无酒驾习惯,从而求出女性司机中有 26 人无酒 驾习惯, 进而求出女性司机共有 34 人, 男性司机有 55 人, 其中有酒驾习惯的人数为 24 人. 由 此能将表中空白部分数据补充完整. (2)因为从有酒驾的人中按性别用分层抽样的方法抽取 8 人,所以男性抽出 6 人,女性抽 出 2 人,X 可取的值为 0,1,2,分别求出相应的概率,由此能求出 X 的分布列和 E(X) . 【解答】解: (1)∵在这 89 人随机抽取 1 人,抽到无酒驾习惯的概率为 ∴89 位司机中有 57 人无酒驾习惯, ∴女性司机中有:57﹣31=26 人无酒驾习惯, ∴女性司机共有:26+8=34 人, ∴男性司机有:89﹣34=55 人,其中有酒驾习惯的人数为:55﹣31=24 人.
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表中空白部分数据补充完整,得: 男性 女性 合计 26 57 无酒驾习惯 31 8 32 有酒驾习惯 24 55 34 89 合计 … (2)因为从有酒驾的人中按性别用分层抽样的方法抽取 8 人, 所以男性抽出 8× =6 人,女性抽出 8﹣6=2 人, …

所以 X 可取的值为 0,1,2; X 服从超几何分布, P(x=0)= = ,

P(x=1)=

= ,

P(x=0)=

=

,…

所以 X 的分布列为 X 0 1 P … E(X)=2× = …

2

19.如图,四棱锥 S﹣ABCD 中,AB∥CD,BC⊥CD,侧面 SAB 为等边三角形.AB=BC=2, CD=SD=1. (1)证明:SD⊥平面 SAB (2)求 AB 与平面 SBC 所成角的正弦值.

【考点】直线与平面所成的角;直线与平面垂直的判定. 【分析】 (1)取 AB 中点 E,连结 DE,证明 SD⊥平面 SAB,只需证明 SD⊥SE,AB⊥SD; (2)求出 F 到平面 SBC 的距离,由于 ED∥BC,所以 ED∥平面 SBC,可得 E 到平面 SBC 的距离,从而可求 AB 与平面 SBC 所成角的正弦值. 【解答】 (1)证明:取 AB 中点 E,连结 DE,则四边形 BCDE 为矩形,DE=CB=2.
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连结 SE,则 又 SD=1,故 ED2=SE2+SD2 所以∠DSE 为直角, 所以 SD⊥SE, 由 AB⊥DE,AB⊥SE,DE∩SE=E,得 AB⊥平面 SDE,所以 AB⊥SD. 因为 AB∩SE=E, 所以 SD⊥平面 SAB…6 分 (2)解:由 AB⊥平面 SDE 知,平面 ABCD⊥平面 SDE. 作 SF⊥DE,垂足为 F,则 SF⊥平面 ABCD, 作 FG⊥BC,垂足为 G,则 FG=DC=1. 连结 SG,则 SG⊥BC 又 FG⊥BC,SG∩FG=G, 故 BC⊥平面 SFG,平面 SBC⊥平面 SFG, 作 FH⊥SG,H 为垂足,则 FH⊥平面 SBC, 即 F 到平面 SBC 的距离为 . .

由于 ED∥BC,所以 ED∥平面 SBC,E 到平面 SBC 的距离 d 也为 设 AB 与平面 SBC 所成的角为 α,则 …12 分.

20.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C:

+

=1(a>b>0)的离心率 e= ,

左顶点(﹣4,0) ,过点 A 作斜率为 k(k≠0)的直线 l 交椭圆 C 于 D,交 y 轴于 E. (1)求椭圆的方程; (2)已知点 P 为 AD 的中点,是否存在定点 Q,对于任意的 k(k≠0) ,都有 OP⊥EQ?若 存在,求出点 Q 的坐标;若不存在说明理由.

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【考点】椭圆的简单性质. 【分析】 (1)由椭圆的离心率 e= ,左顶点(﹣4,0) ,求出 a,b,由此能求出椭圆方程. (2)直线的方程为 y=k(x+4) ,与椭圆联立,得(x+4)[(4k2+3)x+16k2﹣12]=0,由此 利用韦达定理、中点坐标公式、直线方程、直线垂直、椭圆性质,结合已知条件能求出定点 Q 的坐标. 【解答】解: (1)∵左顶点为 A(﹣4,0) ,∴a=4, 又∵e= ,∴c=2,

又∵b2=a2﹣c2=16﹣4=12,… ∴椭圆方程为: =1.…

(2)直线的方程为 y=k(x+4) ,



,消元得



化简得(x+4)[(4k2+3)x+16k2﹣12]=0, ∴ ,…

∴D(



) ,又∵点 P 为 AD 的中点,∴P(



) ,

则 kOP=﹣

(k≠0) ,…

直线 l 的方程为 y=k(x+4) ,令 x=0,得 E(0,4k) , 假设存在定点 Q(m,n) (m≠0)使得 OP⊥EQ,则 kOP?kEQ=﹣1, 即﹣ ,

∴(4m+12)k﹣3n=0 恒成立 ∴ ,即 ,

因此定点 Q 的坐标为(﹣3,0)… 21.已知函数 f(x)=xlnx,g(x)=﹣x2+ax﹣3(a∈R) .
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(1)若对? x∈(0,+∞) ,恒有不等式 f(x)≥ g(x) ,求 a 得取值范围; (2)证明:对? x∈(0,+∞) ,有 lnx> ﹣ .

【考点】利用导数研究函数的单调性;利用导数求闭区间上函数的最值. 【分析】 (1)问题转化为证 a≤2lnx+x+ , (x>0) ,令 h(x)=2lnx+x+ , (x>0)则 a≤h (x)min,根据函数的单调性证明即可; (2)问题转化为证明 f(x)?(lnx)> ﹣ ,由 f′(x)=lnx+1,确定函数的单调性,得 ﹣ (x>0) ,根据函数的单调性证明

到当 x>0 时 f(x)≥f( )=﹣ ,令 ω(x)= 即可. 【解答】 (1)当 x>0 时,要证 f(x)≥ g(x) , 只需证:xlnx≥ (﹣x2+ax﹣3) , 只需证 a≤2lnx+x+ , (x>0) , 令 h(x)=2lnx+x+ , (x>0)则 a≤h(x)min, 由 h′(x)=

,知函数 h(x)在区间(0,1)上单调递减,在区间(1,+∞)

上单调递增, ∴h(x)min=h(1)=4, 故的取值范围是(﹣∞,4]; (2)证明:要证 lnx> ﹣ ,只要证 f(x)?(lnx)> ﹣ ,

由 f′(x)=lnx+1,知 f(x)在区间(0, )上单调递减,在区间( ,+∞)上单调递增. 于是,当 x>0 时 f(x)≥f( )=﹣ ,①…

令 ω(x)=

﹣ (x>0) ,则 ω′(x)=



∴在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减, 于是,ω(x)≤ω(1)=﹣ =②… 显然,不等式①,②中的等号不能同时成立. 故当 x>0 时,f(x)>g(x) 即 lnx> ﹣ .

[选修 4-1:几何证明选讲]
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22.如图,圆 O 是△ABC 的外接圆,∠BAC 的平分线交 BC 于点 F,D 是 AF 的延长线与 ⊙O 的交点,AC 的延线与⊙O 的切线 DE 交于点 E. (1)求证: (2)若 BD=3 = ,EC=2,CA=6,求 BF 的值.

【考点】相似三角形的判定;与圆有关的比例线段. 【分析】 (1)连接 CD,证明△ABD∽△DCE,即可证明: =

(2)若 BD=3 ,EC=2,CA=6,求出 DE,证明△DCE∽△BFD,即可求 BF 的值. 【解答】 (1)证明:连接 CD,则 ∵AD 平分∠BAC, = , ∴∠BAD=∠EAD, ∵DE 是圆 O 的切线, ∴∠CDE=∠EAD=∠BAD. ∵∠DCE 是四边形 ABCD 的外角, ∴∠DCE=∠ABD, ∴△ABD∽△DCE, ∴ = .

(2)解:∵ = ,BD=3 , ∴BD=CD=3 ,∠CBD=∠BCD, ∵DE 是圆 O 的切线,EC=2,CA=6, ∴∠CDE=∠CBD,DE2=EC?EA=16, ∴DE=4, ∴∠CDE=∠BCD, ∴DE∥BC, ∴∠E=∠ACB=∠ADB, ∴△DCE∽△BFD, ∴ ∴BF= , = .

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[选修 4-4:坐标系与参数方程选讲]

23.在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为

(t 为参数) ,在以原点 O

为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,圆 C 的方程为 ρ=2 sinθ. (Ⅰ)写出直线 l 的普通方程和圆 C 的直角坐标方程; (Ⅱ)若点 P 的直角坐标为(1,0) ,圆 C 与直线 l 交于 A、B 两点,求|PA|+|PB|的值. 【考点】简单曲线的极坐标方程;参数方程化成普通方程. 【分析】 (Ⅰ)把直线 l 的参数方程消去参数 t 可得,它的直角坐标方程;把圆 C 的极坐标 方程依据互化公式转化为直角坐标方程. (Ⅱ)把直线 l 方程与圆 C 的方程联立方程组,求得 A、B 两点的坐标,可得|PA|+|PB|的 值.

【解答】解: (Ⅰ)∵直线 l 的参数方程为

(t 为参数) ,消去参数 t 可得 3x+

y

﹣3=0. 圆 C 的方程为 ρ=2 sinθ,即 ρ2=2 ρsinθ,即 x2+y2=2 y,即 x2+ =3.

(Ⅱ)由

求得

,或



故可得 A(



﹣ ) 、B(﹣



+ ) .

∵点 P(1,0) ,∴ |PA|+|PB|= (2+ )=4. + =(2﹣ )+

[选修 4-5:不等式选讲] 24.已知函数 f(x)=|x﹣1|, (1)解关于 x 的不等式 f(x)+x2﹣1>0
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(2)若 g(x)=﹣|x+3|+m,f(x)<g(x)的解集非空,求实数 m 的取值范围. 【考点】绝对值不等式的解法. 【分析】 (1)由不等式 f(x)+x2﹣1>0 可化为:|x﹣1|>1﹣x2,即:1﹣x2<0 或 或 ,解出即可;

(2)g(x)=﹣|x+3|+m,f(x)<g(x)的解集非空?|x﹣1|+|x+3|<m 的解集非空?(|x ﹣1|+|x+3|)min<m,利用绝对值不等式的性质即可得出. 【解答】解: (1)由不等式 f(x)+x2﹣1>0 可化为:|x﹣1|>1﹣x2 即:1﹣x2<0 或 或 ,

解得 x>1 或 x<﹣1,或?,或 x>1 或 x<0. ∴原不等式的解集为{x|x>1 或 x<0}, 综上原不等式的解为{x|x>1 或 x<0}. (2)∵g(x)=﹣|x+3|+m,f(x)<g(x) , ∴|x﹣1|+|x+3|<m. 因此 g(x)=﹣|x+3|+m,f(x)<g(x)的解集非空?|x﹣1|+|x+3|<m 的解集非空. 令 h(x)=|x﹣1|+|x+3|, 即 h(x)=(|x﹣1|+|x+3|)min<m, 由|x﹣1|+|x+3|≥|x﹣1﹣x﹣3|=4, ∴h(x)min=4, ∴m>4.

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2016 年 8 月 1 日

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