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创新设计】(北师大版)2015届高考数学一轮精品第3篇 第4讲 函数y=Asin(ωx+φ)的图像


第4讲 函数y=Asin(ω x+φ )的图像
[最新考纲]

1.了解函数y=Asin(ωx+φ)的物理意义;能画出 y =Asin(ωx
+φ)的图像,了解参数A,ω,φ对函数图像变化的影响. 2 .了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型,会 用三角函数解决一些简单实际问题.

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1.“五点法”作函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的简图
“五点法”作图的五点是在一个周期内的最高点、最低点 及与x轴相交的三个交点,作图时的一般步骤为: (1)定点:如下表所示. x
φ -ω _____

π 2- φ ω ______
π 2 ______

π-φ ω ______

3π 2 -φ ω ______
3π 2 ______

______

2π-φ ω

ωx+φ y=Asin(ωx+ φ)

0 ___ 0

___ π
0
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2π ____ 0
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A

-A
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(2)作图:在坐标系中描出这五个关键点,用平滑的曲线顺次
连接得到y=Asin(ωx+φ)在一个周期内的图像. (3)扩展:将所得图像,按周期向两侧扩展可得y=Asin(ωx+ φ)在R上的图像.

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2. 函数y =sin x 的图像经变换得到 y = Asin(ωx + φ) 的图像的 两种途径

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3.函数 y=Asin(ωx+φ)的物理意义 当函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0),x∈[0,+∞)表示一个振 2π 1 动时,A 叫作振幅,T=_____ ω 叫作周期,f=T叫作频率,ωx +φ 叫作相位,φ 叫作初相.

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辨析感悟
1.对图像变换的认识 (1)利用图像变换作图时“先平移,后伸缩”与“先伸缩,后 平移”中向左或向右平移的长度一样. (× )

? π? π (2)将 y=sin 2x 的图像向右平移3个单位, 得到 y=sin?2x-3?的 ? ?

图像.

( ×)

(3)(2013· 湖北卷改编)将函数 y= 3cos x+sin x(x∈R)的图像 向左平移 m(m>0)个单位长度后,所得到的图像关于 y 轴对 π 称, 则 m 的最小值是 . 6
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(√ )
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2.对函数 f(x)=Asin(ωx+φ)性质的认识 (4)函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A≠0)的最大值为 A,最小值为-A. (× ) (5)函数 f(x)=Asin(ωx+φ)的图像的两个相邻对称轴间的距离 为一个周期. (× )

(6)(2014· 高新一中模拟改编)若函数 y=cos ωx(ω∈N+)的一个
?π ? 对称中心是?6,0?,则 ? ?

ω 的最小值为 3.

(√ )

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[感悟·提升] 1.图像变换两种途径的区别 由 y=sin x 的图像,利用图像变换作函数 y=Asin(ωx+φ)(A >0,ω>0)(x∈R)的图像,要特别注意:当周期变换和相位 变换的先后顺序不同时,原图像沿 x 轴的伸缩量的区别.先 平移变换再周期变换(伸缩变换),平移的量是|φ|个单位;而 |φ| 先周期变换(伸缩变换)再平移变换,平移的量是 ω 个单位, 如(1)、(2).

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2. 两个防范 一是平移前后两个函数的名称是否一致, 若不一 致,应先利用诱导公式化为同名函数; 二是解决三角函数性质时,要化为 y=Asin(ωx+φ)的形式, 但最大值、最小值与 A 的符号有关,如(4);而 y=Asin(ωx +φ)的图像的两个相邻对称轴间的距离是半个周期,如(5).

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考点一 函数y=Asin(ωx+φ)的图像画法与变换
? π? y=2sin?2x+3?. ? ?

【例 1】 已知函数

(1)求它的振幅、周期、初相; (2)用“五点法”作出它在一个周期内的图像; (3)说明
? π? y=2sin?2x+3?的图像可由 ? ?

y=sin x 的图像经过怎样

的变换而得到.

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解 π = . 3

? π? (1)y=2sin?2x+3?的振幅 ? ?

2π A=2,周期 T= 2 =π,初相 φ

? π? π (2)令 X=2x+ ,则 y=2sin?2x+3?=2sin X. 3 ? ?

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列表,并描点画出图像: x X y=sin X
? π? y=2sin?2x+3? ? ?

π -6 0 0 0

π 12 π 2 1 2

π 3 π 0 0

7π 12 3π 2 -1 -2

5π 6 2π 0 0

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π (3)法一 把 y=sin x 的图像上所有的点向左平移3个单位, 得到
? π? y=sin?x+3?的图像;再把 ? ? ? π? y=sin?x+3?的图像上的点的 ? ?

? π? 1 横坐标缩短到原来的2倍(纵坐标不变),得到 y=sin?2x+3?的 ? ?

图像;最后把

? π? y=sin?2x+3?的图像上所有点的纵坐标伸长到 ? ? ? π? y=2sin?2x+3?的图像. ? ?

原来的 2 倍(横坐标不变),即可得到

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1 法二 将 y=sin x 的图像上所有点的横坐标 x 缩短到原来的2 倍(纵坐标不变),得到 y=sin 2x 的图像;再将 y=sin 2x 的图
? ? π? π? π 像向左平移 个单位, 得到 y=sin 2?x+6?=sin?2x+3?的图像; 6 ? ? ? ?

再将

? π? y=sin?2x+3?的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的 ? ? ? π? y=2sin?2x+3?的图像. ? ?

2

倍(横坐标不变),得到

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规律方法 函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图像的两种 作法是五点作图法和图像变换法. (1)五点法:用“五点法”作 y=Asin(ωx+φ)的简图,主要是 π 3 通过变量代换,设 z=ωx+φ,由 z 取 0,2,π,2π,2π 来求 出相应的 x,通过列表,计算得出五点坐标,描点后得出图 像. (2)三角函数图像进行平移变换时注意提取 x 的系数,进行周 期变换时,需要将 x 的系数变为原来的 ω 倍,要特别注意相 位变换、周期变换的顺序,顺序不同,其变换量也不同.
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【训练 1】 (1)(2013· 江西师大附中模拟)将函数

? π? y=sin?6x+4?的 ? ?

π 图像上各点向右平移8个单位,则得到新函数的解析式为 (
? π? A.y=sin?6x-2? ? ? ? 5π? C.y=sin?6x+ 8 ? ? ? ? π? B.y=sin?6x+4? ? ? ? π? D.y=sin?6x+8? ? ?

).

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(2)(2014· 上 饶 模 拟 ) 设 函 数
? ? π φ)?ω>0,-2<φ<0?的最小正周期为 ? ?

f(x) = cos(ωx +
?π ? f?4?= ? ?

π,且

3 . 2

①求 ω 和 φ 的值; ②在给定坐标系中作出函数 f(x)在[0,π]上的图像.

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(1)解析

? π? 向右平移 y=sin?6x+4?――――→ y= π ? ? 个单位

8

sin

? ? ? π π? π? π? 6?x+24-8?=sin 6?x-12?=sin?6x-2?. ? ? ? ? ? ?

答案 A
(2)解 又 2π ①∵T= =π,ω=2, ω 3 3 ,∴sin φ=- , 2 2

?π ? ? ? π f?4?=cos?2×4+φ?= ? ? ? ?

π π 又- <φ<0,∴φ=- . 2 3

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②由①得

? π? f(x)=cos?2x-3?,列表: ? ?

π 2x-3 x f(x)

π -3 0 1 2

0 π 6 1

π 2 5 12π 0

π 2 3π -1

3 2π 11 12π 0

5 3π π 1 2

图像如图.

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考点二 由图像求函数y=Asin(ωx+φ)的解析式

【例 2】 函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)的部分图 像如图所示,则函数 f(x)的解析式为________.

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解析 由图可知 A= 2, T 7π π π 法一 4=12-3=4, 所以 T=π, 故 ω=2, 因此 f(x)= 2sin(2x +φ),
?π ? 又?3,0?对应五点法作图中的第三个点,因此 ? ? ? π? π 所以 φ=3,故 f(x)= 2sin?2x+3?. ? ?

π 2×3+φ=π,

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法二

?π ? ?7π 以?3,0?为第二个“零点”,?12,- ? ? ?

? 2?为最小值点, ?

? π ?ω· 3+φ=π, 列方程组? 7π 3π ? ω· +φ= 2 , ? 12 故 f(x)=
? π? 2sin?2x+3?. ? ?

ω=2, ? ? 解得? π φ=3, ? ?

答案 f(x)=

? π? 2sin?2x+3? ? ?

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规律方法 已知 f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的部分图像 求其解析式时,A 比较容易看图得出,困难的是求待定系数 ω 和 φ,常用如下两种方法: 2π (1)由 ω= T 即可求出 ω;确定 φ 时,若能求出离原点最近的 右侧图像上升(或下降)的“零点”横坐标 x0,则令 ωx0+φ= 0(或 ωx0+φ=π),即可求出 φ. (2)代入点的坐标,利用一些已知点(最高点、最低点或“零 点”)坐标代入解析式,再结合图形解出 ω 和 φ,若对 A,ω 的符号或对 φ 的范围有要求,则可用诱导公式变换使其符合 要求.
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π π 【训练 2】 (2013· 四川卷)函数 f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0, - <φ< ) 2 2 的部分图像如图所示, 则 ω, φ 的值分别是 π A.2,-3 π B.2,-6 π C.4,- 6 π D.4,3 ( ).

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解析 由图像知 f(x)的周期

?11π 5π? T=2? 12 -12?=π,又 ? ?

2π T= , ω

π π ω>0,∴ω=2.由于 f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,- <φ< )的一个 2 2
?5π ? 最高点为?12,2?, 故有 ? ?

5π π 2×12+φ=2kπ+2(k∈Z), 即 φ=2kπ

π π π π -3,又-2<φ<2,∴φ=-3,选 A.
答案 A

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考点三 函数y=Asin(ωx+φ)的性质应用

【例 3】 (2012· 湖南卷改编)已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(x∈R, π π ω,A>0,0<φ< )的最大值为 2,最小正周期为 π,直线 x= 是 2 6 其图像的一条对称轴. (1)求函数 f(x)的解析式; (2)求函数
? π? ? π? g(x)=f?x-12?-f?x+12?的单调递增区间. ? ? ? ?

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2π 解 (1)由题意,得 A=2,ω= π =2,
? ? π π 当 x=6时,2sin?2×6+φ?=± 2, ? ?



?π ? sin?3+φ?=± 1, ? ?

π π 所以3+φ=kπ+2, π π π 解得 φ=kπ+ ,又 0<φ< ,所以 φ= . 6 2 6 故
? π? f(x)=2sin?2x+6?. ? ?

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? ? ? ? π ? π? π ? π? ? ? ? ? (2)g(x)=2sin?2 x-12?+6?-2sin?2?x+12?+6? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

=2sin =2sin

? π? 2x-2sin?2x+3? ? ? ?1 2x-2? ?2sin ? ? 3 ? 2x+ 2 cos 2x? ?

=sin 2x- 3cos

? π? 2x=2sin?2x-3?. ? ?

π π π 由 2kπ- ≤2x- ≤2kπ+ ,k∈Z, 2 3 2 π 5π 得 kπ-12≤x≤kπ+12,k∈Z. 所以函数
? π 5π? g(x)的单调递增区间是?kπ-12,kπ+12 ?,k∈Z. ? ?
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规律方法 函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的性质 (1)奇偶性:φ=kπ 时,函数 y=Asin(ωx+φ)为奇函数;φ=kπ π +2(k∈Z)时,函数 y=Asin(ωx+φ)为偶函数. (2)周期性:y=Asin(ωx+φ)存在周期性,其最小正周期为 T 2π =ω.

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(3)单调性: 根据 y=sin t 和 t=ωx+φ(ω>0)的单调性来研究, π π π 由- 2 + 2kπ≤ωx + φ≤ 2 + 2kπ(k ∈ Z) 得单调增区间;由 2 + 3π 2kπ≤ωx+φ≤ +2kπ(k∈Z)得单调减区间. 2 (4)对称性:利用 y=sin x 的对称中心为(kπ,0)(k∈Z)求解, 令 ωx+φ=kπ(k∈Z),求得 x、ω. π 利用 y=sin x 的对称轴为 x=kπ+2(k∈Z)求解, 令 ωx+φ=kπ π +2(k∈Z)得其对称轴.
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【训练 3】已知函数 f(x)= 3sin(ωx+φ)-cos(ωx+φ)(0<φ<π, ω>0)为偶函数,且函数 y=f(x)图像的两相邻对称轴间的距 π 离为 . 2 (1)求
?π? f?8?的值; ? ? ? π? y=f(x)+f?x+4?的最大值及对应的 ? ?

(2)求函数

x 的值.

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? =2? ? ?

(1)f(x)= 3sin(ωx+φ)-cos(ωx+φ)
? ? π? 3 1 ? sin?ωx+φ?- cos?ωx+φ??=2sin?ωx+φ-6?. 2 2 ? ? ?

π π 因为 f(x)为偶函数,则 φ- = +kπ(k∈Z), 6 2 2π 所以 φ= +kπ(k∈Z),又因为 0<φ<π, 3
? π? 2π 所以 φ= 3 ,所以 f(x)=2sin?ωx+2?=2cos ωx. ? ?

2π π 由题意得 =2·,所以 ω=2.故 f(x)=2cos 2x. ω 2 因此
?π ? f?8?=2cos ? ?

π 4= 2.
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(2)y=2cos 2x+2cos =2cos

? π? 2?x+4? ? ?

? π? 2x+2cos?2x+2? ? ?

=2cos 2x-2sin 2x =2
?π ? 2sin?4-2x?. ? ?

π π 令 -2x=2kπ+ (k∈Z),y 有最大值 2 2, 4 2 π 所以当 x=-kπ-8(k∈Z)时,y 有最大值 2 2.

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1 . 在进行三角函数图像变换时,提倡 “ 先平移,后伸 缩 ” ,但 “ 先伸缩,后平移 ” 也经常出现在题目中,所以也

必须熟练掌握,无论是哪种变形,切记每一个变换总是对字
母 x 而 言 , 即 图 像 变换 要 看 “ 变 量 ” 起多 大 变 化 , 而 不 是 “角”变化多少. 2 .由图像确定函数解析式:由函数 y = Asin(ωx + φ) 的图 像确定A,ω,φ的题型,常常以“五点法”中的五个点作为突

破口,要从图像的升降情况找准第一个 “ 零点 ” 和第二个
“零点”的位置.要善于抓住特殊量和特殊点.
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3.对称问题:函数y=Asin(ωx+φ)的图像与x轴的每一个 交点均为其对称中心,经过该图像上坐标为 (x ,±A) 的点与 x 轴垂直的每一条直线均为其图像的对称轴,这样的最近两点 间横坐标的差的绝对值是半个周期 (或两个相邻平衡点间的距

离).

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易错辨析4——三角函数图像平移变换时因自变量系数致误 π π 【典例】 (2013· 福建卷)将函数 f(x)=sin(2x+θ)(- <θ< )的图 2 2

像向右平移 φ(φ>0)个单位长度后得到函数 g(x)的图像,若 3 f(x),g(x)的图像都经过点 P(0, 2 ),则 φ 的值可以是( 5 A. π 3 π C.2 5 B. π 6 π D.6 ).

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[解析]

依题意 g(x)=sin[2(x-φ)+θ]=sin(2x+θ-2φ),
? P? ? 0, ?

因为 f(x),g(x)的图像都经过点 ? ?sin θ= 3, 2 ? 所以? 3 ? sin?θ-2φ?= , ? 2 ?

3? ? , 2? ?

π π π π π π 因为-2<θ<2,所以 θ=3,则3-2φ=2kπ+3或3-2φ=2kπ 2π π + 3 (k∈Z),即 φ=-kπ 或 φ=-kπ-6(k∈Z). π 5π 在 φ=-kπ-6(k∈Z)中,取 k=-1,即得 φ= 6 .
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[答案] B
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[易错警示] 函数 f(x)=sin(2x+θ)的图像向右平移 φ 个单位 误写成 g(x)=sin(2x+θ+φ). [防范措施] 对于三角函数图像的平移变换问题,其平移变

换规则是“左加、右减”,并且在变换过程中只变换其中的 自变量 x, 如果 x 的系数不是 1, 就要把这个系数提取后再确 定变换的单位和方向.另外,当两个函数的名称不同时,首 先要将函数名称统一,其次要把 ωx+φ 变换成
? φ? ω?x+ω?,最 ? ?

φ 后确定平移的单位并根据ω的符号确定平移的方向.

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【自主体验】 π (2014· 吉安模拟)将函数 y=sin 2x+cos 2x 的图像向左平移4 个单位长度, 所得图像对应的函数解析式可以是 A.y=cos 2x+sin 2x C.y=sin 2x-cos 2x B.y=cos 2x-sin 2x D.y=sin xcos x ( ).

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解析

y = sin 2x + cos 2x =

? π? 向左平移 2sin ?2x+4? ――――→ y= π ? ? 个单位

2

4

? ? π? π? ? ? sin?2 x+4?+4? ? ? ? ? ?

= =

? π π? 2sin?2x+4+2? ? ? ? π? 2cos?2x+4? ? ?

=cos 2x-sin 2x.

答案 B

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