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第二章 随机变量


第 二 章 随 机 变 量 及 其 分 布

第一节 第二节
第三节 第四节 第五节 第六节 第七节 第八节

随机变量的概念 离散型随机变量
连续型随机变量 随机变量的分布函数 一维随机变量函数的分布 二维随机变量及其分布 随机变量的独立性 多维随机变量函数的分布

PLAY

第一节

随机变量的概念

引例1 掷一颗均匀的骰子,样本空间?由6个样本点? i 组 成(i=1,2, …,6).由于等可能性,易知P (?i ) ? 1 / 6 .观察骰子 出现的点数,记为X ,则 X 可能的取值为i=1,2, …,6. 当样 X 本点?1出现时,X ? 1 ;当样本点 ? 2 出现时,X ? 2 等等;因此, 可看成是定义在样本空间?上的函数,其定义域为样本空间, 值域为实数域 R ,即 X ? X (?i ) ; 此外,当X 取值域 R 上的任一 可能值 x 时,事件 { X ? x} 都有确定的概率P( X ? 1) ? P(?1 ) ? 1 / 6 , P( X ? 2) ? P(?2 ) ? 1/ 6 等等;一般地,有P( X ? i) ? P(?i ) ? 1/ 6 . 从集合的角度来看,? i是原像,而X ? X (?i ) 是映象,通常称? i 为自变量, X ? X (?i ) 称为因变量,由于原像以一定的概率随机 出现,故映象也以一定的概率出现,即 X 是随机取值的因变量.

?1 ?3 ?4 ? ?2

R
0 单值对应 1 2 3 4 5 6

?5 ?6
?i

x

一般地有

X ? X (?i )

引例2 掷两颗均匀的骰子, 样本空间?由36个样本点 ?i j 组成

(1 (1 (1 (1 (1 (2 (2 (2 ?(1,1),,2),,3),,4),,5),,6), ,1), ,2), ,3) ? ?(2,4), ,5), ,6), ,1), ,2), ,3), ,4), ,5), ,6) ? (2 (2 (3 (3 (3 (3 (3 (3 ? ? ? ?? ? (4 (4 (4 (4 (4 (5 (5 (5 ?(4,1), ,2), ,3), ,4), ,5), ,6), ,1), ,2), ,3) ? ?(5,4), ,5), ,6), ,1), ,2), ,3), ,4), ,5), ,6)? (5 (5 (6 (6 (6 (6 (6 (6 ? ?
其中i,j分别表示第一颗、第二颗骰子出现的点数 (i ? 1,?,6; j ? 1,?,6) 由于等可能性, P(?i j ) ? 1/ 36 ;现在观察两颗骰子的点数之和,设为X

则 X 可能的取值为:2,3, …,12.如当样本点?11 发生时,有 X ? 2 ; 当样本点 ? 或 ? 发生时,有X ? 3 ;当点?41, ?14 , ?23 , ?32
发生时,有 X ? 5 等等;因此 X 可看成是定义在样本空间?上映 射到实数域 R 的函数,即 X ? X (? ).集合?相当于定义域, R ij 相当于值域.此外,由于样本点 ?ij (原像)以一定的概率随机出 现,故 X 取值域 R上的任一可能值 x 时,事件{ X ? x} 有确定的 概率,如 P{ X ? 2} ? P{ X ? ?11} ? 1/ 36 ;即 X 是随机出现的变量.
12

21

? 21 ?41 , ?14 , ?23 , ?12 ?32 ,?, ?55 ?65 ?56 ?66 ?

?11

R
2 多值对应 3 …
11 12

x

随机变量的概念
定义. 设? ={ }是试验的样本空间,如果量X是定义在?上的一个单 ? 值实值函数即对于每一个 ??? , 有一实数X=X( )与之对应则称X为 ? 随机变量。随机变量常用X、Y、Z 或 ?、?、?等表示。

?

?
X ? X (? )

x

随机变量的特点:
1. X的全部可能取值是互斥且完备的(如何理解?) 2. X的部分可能取值描述随机事

顾名思义 随机变量就是“其值随机会而定”的变量,正如

随机事件是“其发生与否随机会而定”的事件.机会 表现为试验结果,一个随机试验有许多可能的结 果,到底出现哪一个要看机会,即有一定的概 率.最简单的例子如掷骰子,掷出的点数X是一个随机变 量,它可以取1,…,6等6个值.到底是哪一个,要等掷了骰子 以后才知道.因此又可以说,随机变量就是试验结果的函数.从 这一点看,它与通常的函数概念又没有什么不同.把握这个概念 的关键之点在于试验前后之分:在试验前我们不能预知它将取何 值,这要凭机会,“随机”的意思就在这里,一旦试验后,取值 就 确定了.比如你在星期一买了一张奖券,到星期五开奖.在开奖 之前,你这张奖券中奖的金额X是一个随机变量,其值要到星期 五的“抽奖试验”做过以后才能知道.

随机变量的例子
你在某厂大批产品中随机地抽出100个,其中所含废品数X; 一月内某交通路口的事故数X;用天平秤量某物体的重量的误 差X;随意在市场上买来一台电视机,其使用寿命X等等,都 是随机变量.若把随机变量X取所有可能值的概率计算出来,列 成一个表格,则很容易算出任何一个由X取值落在某一区域表

示的事件,如掷骰子,至少掷出1点的概率。
关于随机变量(及向量)的研究,是概率论的中心内 容.这是因为,对于一个随机试验,我们所关心的往往是与所

研究的特定问题有关的某个或某些量,而这些量就是随机变
量.当然,有时我们所关心的是某个或某些特定的随机事件.

再如,在特定一群人中,年收入十万元以上的高收入者,

以及年收入在8000元以下的低收入者,各自的比率如何,这看
上去像是两个孤立的事件.可是,若我们引进一个随机变量X: X=随机抽出一个人观察其年收入情况

则X是我们关心的随机变量.上述两个事件可分别表为X>10
万和X<0.8万.这就看出:随机事件这个概念实际上是包容 在随机变量这个更广的概念之内.也可以说:随机事件是从 静态的观点来研究随机现象,而随机变量则是一种动态的观 点,一如数学中的常量与变量的区分那样.变量概念是高等 数学有别于初等数学的基础概念.同样,概率论能从计算一 些孤立事件的概念发展为一个更高的理论体系,其基本概念 就是随机变量.

随机变量的分类
离散型随机变量 ? ? 连续型 随机变量 ?非离散型? ? ? ?奇异型(混合型) ? 思考题.引入适当的随机变量描述下列事件:
1. 将3个球随机地放入三个格子中,事件A={有1个空格}, B={有2个空格},C={全有球}。 2. 进行5次试验,事件D={试验成功一次},F={试验至少 成功一次},G={至多成功3次}
【解答】 【解答】

1 解 设X=出现的空格子数,则X=0,1,2 【返回】 于是 {X=0}=C={全有球}, {X=1}=A={有1个空格子}, {X=2}=B={有2个空格子}
2 解 设X=试验成功的次数,则X=0,1,2,3,4,5. 于是 {X=1}=D={试验成功1次}, {X≥1}=F={试验至少成功1次},

{X≤3}=G={试验至多成功3次}

第二节

离散型随机变量

一. 定义与性质 二. 经典例题 三. 常见分布

一. 定义与性质

1(P39)定义 若随机变量 X 取值 x1 , x2 ,?, xn ,? 且取这些值的概率依次为 p1 , p2 ,?, pn ,? ,则称 X 为离散型随机变量,而称

P{ X ? xi } ? p( xi ) ? pi (i ? 1,2,?, n,?)

为 X 的分布律或概率分布。可表为

x1 X P{ X ? xi } p1

x2 p2

注 求分布律时,先要确定随机变量取哪些值,再计算 项意 它以多大的概率取这些值,关键在于找出所有的原 事 像,即要非常清楚随机试验的所有各种可能的结果.

? xi ? x ? ? pi ? p n ?
n

2. 分布律的性质

(1) pi ? 0, i ? 1,2,?;

( 2) ? pi=1.
i ?1

二. 经典例题 例1 设袋中有5只球,其中有2只白3只黑。现从中

任取3只球(不放回),求抽得的白球数X的概率。 解 随机变量X的可能取值为0,1, 2; 于是得,
k 3 C2 C3 ? k P{ X=k} = . k ? 0,1, 2. 3 C5

解 随机变量 X的各种可能取值为 : X ? 0,1,2,3; Ai — 第 i 个部件需要调整 (i ? 1,2,3), 由题设条件有 P ( A1 ) ? 0.1, P ( A2 ) ? 0.2 , P ( A3 ) ? 0.3.由A1 , A2 , A3独立 , 得 P{X ? 0} ? P( A A2 A3 ) ? P( A ) P( A2 ) P( A3 ) 1 1 ? 0.9 ? 0.8 ? 0.7 ? 0.504 P{X ? 1} ? P( A1 A2 A3 ? A1 A2 A3 ? A1 A2 A3 )

例2.一台设备由三大部件构成,在设备运转的过程中各部件需 要调整的概率分别为0.1、0.2和0.3;假定各部件的工作 状态是相互独立的,用X表示同时需要调整的部件数, 求X的分布律.

? 0.1? 0.8 ? 0.7 ? 0.9 ? 0.2 ? 0.7 ? 0.9 ? 0.8 ? 0.3 ? 0.398

? P( A A2 A3 ) ? P( A A2 A3 ) ? P( A A2 A3 ) 1 1 1 ? P( A )P( A2 )P( A3 ) ? P( A )P( A2 )P( A3 ) ? P( A )P( A2 )P( A3 ) 1 1 1

P{X ? 2} ? P( A A2 A3 ? A A2 A3 ? A A2 A3 ) ? 0.092 1 1 1 P{X ? 3} ? P( A1 A2 A3 ) ? P( A1) P( A2 ) P( A3 ) ? 0.1? 0.2 ? 0.3 ? 0.006

例3 某产品中恰有8件合格品2件次品,每次从中 任取一件进行检查,直到查到正品为止.分别按 有放回和不放回抽样,求所需抽取数的分布律.
解 (1) 不放回抽样 设所需抽取数为随机变量X,则X的可能取值为1,2,3;于是有

P{ X ? 1} ? P{第一次取到正品 }
1 1 ? C8 / C10 ? 8 / 10 ? 4 / 5

P{ X ? 2} ? P{第一次取到次品 , 第二次取到正品 } 2 8 8 ? 1 1? ? ? C10C9 10 9 45 P{ X ? 3} ? P{第一和第二次取到次品 , 第三次取到正品 }
1 1 C1 C8 2 1 8 1 ? 1 ? 1? 1 ? ? ? ? . C10 C9 C8 10 9 8 45 1 C2
1 1 C2C8

(2) 有放回抽样 因每次抽取的样品放回,故所需抽取次数X的 可能取值为一切正整数,而且每次取样过程都 是独立的,故每次取到次品的概率为2/10=1/5; 每次取到正品的概率为8/10=4/5.于是有
P( X ? k ) ? P{前k ? 1次都取到次品 , 第k次才取到正品 } 1 1 1 4 4 1 k ?1 ? ? ??? ? ? ( ) ? ( ) (k ? 1,2,?, ) 5 5 5 5 5 5

例4

一袋装有5只球,编号为1,2,3,4,5.在袋中同时

取3只球,以X表示取出的3只球中的最大号码, 求X 的概率分布. 解 随机变量X的可能取值为3,4,5,而且有

P{ X ? 3} ?
P{ X ? 5} ?

3 C3 3 C5

? 0.1,
? 0.6

P{ X ? 4} ?

1 2 C1 C3 3 C5

? 0.3

1 2 C1 C4 3 C5

也可由完备性

求得 P{ X ? 5} ? 1 ? P{ X ? 3} ? P{ X ? 4} ? 0.6

例5 设有随机变量X的分布律 P{ X ? k} ? 2 (k ? 1,2,?, N ) N 试确定常数b.(N为已知常数) 解 由分布律的性质, 有 N N b bN ? P{ X ? k} ? 1,即 ? 2 ? 1 ? 2 ? 1 ? b ? N N k ?1 k ?1 N
1 例6 设有概率 P{ X ? k} ? ( k ? 1, 2,?, ), k ( k ? 1)

b

问它是否为某一随机变量X 的分布律?
解 因为 P{ X ? k} ? 0, 且 ? ? 1 1 1 1 1 ? ? ? ??? ?? ? P{ X ? k} ? ? n(n ? 1) k ?1 k ?1 k ( k ? 1) 1 ? 2 2 ? 3 3 ? 4 1 1 1 1 1 1 1 1 ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? ) ?? ?1? ? 1(n ? ?). 2 2 3 3 4 n n ?1 n ?1

习作题
1 (p73) 对某一目标进行射击,直到击中为止,若每次射击的命中
率为p,求射击次数的分布律(概率分布).
【解答】

2 (p73) 某射手有5发子弹,连续射击直到击中或子弹用尽为止, 若每次射击的命中率为0.9,求耗用的子弹数X的概率分布.【解答】

P{X ? k} ? 6 pk (k ? 1,2,?, ) 3 设有随机变量X的分布律
试确定常数p.
【解答】

a?k 4 (p73) 设随机变量X的概率函数 P{ X ? k} ? , k ? 0,1,2,?; ? ? 0 k! 提示
试确定常数 a.
k ?0

?

?

?k

k!

?1?

?
1!

?

?2
2!

???

?n
n!

? ? ? e? .
PLAY

指数函数 e x的展示式.

1 解 令射击次数为随机变量 X , 则 X ? 1,2,?, n, ?; P{ X ? k} ? P{前面 k ? 1次没有击中而第 k次击中目标 } ? (1 ? p) k ?1 p (k ? 1, 2 ,?, n ,?) .
【返回】

2 解 所耗用的子弹数 X为随机变量 , 且 X ? 1, , , , ; 2345

P{X ? 1} ? P{第一发击中} ? 0.9 ,
P{X ? 2} ? P{第一发没中而第二发击 中} ? 0.1? 0.9 ? 0.09 同理, 得 P{X ? 3} ? 0.1? 0.1? 0.9 ? 0.009
也可用完备 性求解

P{X ? 4} ? 0.1? 0.1? 0.1? 0.9 ? 0.0009
P{X ? 5} ? (0.1)4 ? 0.9 ? (0.1)5 ? 0.0001

3 解 由分布律的性质, 得 6p 1 ? 1, ? p ? ? pk ? 1, 即 ? 6 p ? 1, ? (1 ? p ) 7 k ?1 k ?1
k

【返回】

【返回】

三. 常见的离散型分布 (一)伯努利(Bernoulli)概型与二项分布
1. (0-1)分布(p43)

若以X表示进行一次试验事件A发生的次数,则称
X服从(0-1)分布(两点分布)

P{X ? k} ? p (1 ? p)
k

1?k

, k ? 0,1 或

X

1

pk p
直 观 解 说

0 1? p

(1)抛硬币试验:抛一枚硬币,用X表示观察的正面次数,则 X的可能取值为0,1,且p=0.5 。 (2) 产品的抽样:在产品的一次抽样中,用X表示观察到的次 品数,则X的可能取值为0,1。

2.二项分布 定义 设将试验独立重复进行n次,每次试验中,事件A发
生的概率均为p,则称这n次试验为n重伯努利试验。 (P42)若以X表示n重贝努里试验中事件A发生的次 数,则称X服从参数为n,p的二项分布。

P{X
直观 解说

记作X~B(n,p),其分布律为: k k n?k ? k} ? Cn p (1 ? p) , (k ? 0,1,..., n)

二项分布实质上是n重伯努利试验的概率分 布,在第一章(p28)已对它进行了详细的研究, 其中有三大要素:n、p、k。

3. 常见题型
例1.某射手对目标独立射击5次,每次命中目标
的概率为p,以X表示命中目标的次数,求X的分布律.

解 随机变量X的各种可能取值为 X ? 0,1,2,?,5. :
0 P{X ? 0} ? C5 p0 (1 ? p)5 ? (1 ? p)5

P{ X

1 1 ? 1} ? C5 p (1 ?

p) ? 5 p(1 ? p)
4

4

k P{ X ? k} ? C5 p k (1 ? p )5? k

其中k ? 0,1, 2, 3 , 4 , 5

例2.从甲地飞往乙地,有两种飞机可供选择,一种是有两个发动 机,另一种是有四个发动机.设每个发动机出故障的概率等于p, 且各发动机是否出故障是相互独立的,无论哪种飞机都必须至 少有半数或半数以上的发动机在正常工作才能保证飞机从甲地 安全到乙地.为了安全,你将选择哪一种飞机从甲地飞往乙地?

解 设随机变量 X表示正常工作的发动机 数, 则对于有两个发动机的 飞机来说 , 安全飞行的概率为 P2 ( X ? 1) ? 1 ? P{ X ? 0} ? 1 ? P 2 对于有四个发动机的飞 机来说 , 安全飞行的概率为 P4 ( X ? 2) ? 1 ? P{ X ? 0} ? P{ X ? 1}
0 1 ? 1 ? C4 (1? p)0 P4 ? C4 (1? p)P3 ? 1 ? 4 p3 ? 3 p4

当P2{X ? 1} ? P4{X ? 2}, 即 1 ? p2 ? 1 ? 4 p3 ? 3 p4 ? p ? 1 / 3, 此时选择有四个发动机 的飞机 ; 反之, 当p ? 1 / 3时, 选择有两个发动机的飞 机.

例3

设随机变量 X ~ B(2, p),Y ~ B(3, p). 5 若已知 P{ X ? 1} ? , 求 P{Y ? 1}. 9

分析 因Y ~ B(3, p), 而 P{Y ? 1} ? 1 ? P{ X ? 0}
0 ? 1 ? C3 p 0 (1 ? p)3 ? 1 ? (1 ? p)3.故必须先求出 p. 解 因 X ~ B(2, p) , 故由 1 ? P{ X ? 0} ? P{ X ? 1}及P{ X ? 1} ? 5 / 9 ?

0 1? C2 p0 (1? p)2 ? 5 / 9, 即 1? (1? p)2 ? 5 / 9, 解得 p ? 1/ 3. 又因为 Y ~ B(3, p) , 从而 P{Y ? 1} ? 1 ? P{Y ? 0}

0 ? 1 ? C3 p0 (1 ? p)3

? 1 ? (1 ? p) ? 1 ? (1 ?1/ 3) ? 19 / 27.
3 3

例4 某车间有同类设备20台,由一人负责维修工作.若每台设 备发生故障的概率为0.01且各台设备工作是相互独立的,求 有设备发生故障而不能及时维修的概率;如果3人共同负责维 修80,那么有设备发生故障而不能及时维修的概率是多少?

解 (1) 设同一时刻发生故障的 设备数为 X ,则X ~ B(20, 0.01). 当设备发生故障数大于 维修工人数时 , 设备不能及时维修 .

所求概率为 P{ X ? 2} ? 1 ? P{ X ? 0} ? P{ X ? 1}
0 0 20 ? 1 ? C20 (0.01) (1 ? 0.01)

(2)由3人共同负责 80台设备的维修时 , X ~ B(80, 0.01) 所求的概率为 P{ X ? 4} ? 1 ? P{ X ? 0} ? P{ X ? 1} ? P{ X ? 2} ? P{ X ? 3}
0 1 ? 1 ? C80 (0.01) 0 (0.99)80 ? C80 (0.01)1 (0.99) 79 2 3 ? C80 (0.01) 2 (0.99) 78 ? C80 (0.01)3 (0.99) 77 ? 0.0091 .

1 1 19 ? C20 (0.01) (1 ? 0.01)

? 0.0175.

例5. 从某大学到火车站途中有6个交通岗,假设在各 个交通岗是否遇到红灯相互独立,并且遇到红灯 的概率都是1/3. (1)设X为汽车行驶途中遇到的红灯数,求X的分布律. (2)求汽车行驶途中至少遇到5次红灯的概率. 解:(1)由题意,X~B(6,1/3),于是,X的分布律为:
? 2? P{ X ? k} ? k ? 0,1,...,6 ? ? ? 3? ? 3 ? (2) P{ X ? 5} ? P{ X ? 5} ? P{ X ? 6}
k?1? C6 ? ? k 6? k

?

5? 1 ? C6 ? ?

13 ? 2? ?1? ? ??? ? ? 729 ? 3? ? 3 ? ? 3?

5

6

例6 在参加人寿保险的某一年龄组中,每人每年的死亡率为 0.001,现有属于这一年龄组的3000人参加了保险.试求(1)在未 来的一个里,投保者中恰好有15人死亡的概率;(2)如果投保人 在一年的第一天交付10元保险金,死亡时家属可以从保险公司 领取2000元,求保险公司亏本的概率. 解 设X表示在未来的一年里,投 保者中死亡人数,则X服从二项 分布,即X~B(3000, p).

(1) 恰好有15人死亡的概率为
15 P{ X ? 15} ? C3000 (0.001 15 (1 ? 0.001 2985 ? 0.00001 ) ) (2)当赔偿金多于保险金额 时, 保险公司亏本 , 即2000X ? 30000 ? X ? 15.故所求的概率为
i P{ X ? 15} ? 1 ? P{ X ? 15} ? 1 ? ? C3000 (0.001 i (0.999)3000?i ? 0 ) i ?0 15

思考题:你能求出保险公司盈利超过10000的概率吗?

习作题. 某人射击的命中率为0.02,他独立射击 400次,试求其命中次数不少于2的概率。 解 设X表示400次独立射击中命中的次数, 则X~B(400, 0.02),故 P{X?2}=1- P{X=0}-P{X=1} =1-0.98400-(400)(0.02)(0.98399)=… 4. 二项分布的最大值及近似计算 1) 二项分布的最大值
i P{ X ? i} Cn pi (1 ? p) n ?i n ? i ?1 p ? i ?1 i ?1 ? ? n ?i ?1 P{ X ? i ? 1} Cn p (1 ? p) i 1? p

?? 1,当i ? (n ? 1) p (递增) (n ? 1) p ? i ? ?1? ?? 1, 当i ? (n ? 1) p i (1 ? p) ? ?? 1,当i ? (n ? 1) p (递减)

(1) 若(n ? 1) p为整数, 则当 ? (n ? 1) p或i ? (n ? 1) p ? 1, i P{ X ? i} ? P{ X ? (n ? 1) p} ? P{ X ? (n ? 1) p ? 1}最大;
(2) 若(n ? 1) p不是整数 , 则当i ? [(n ? 1) p]时, P{X ? i}最大;

2) 二项分布的近似计算 泊松定理(p46) 设随机变量 X ~ B ( n , p ), 记 ? ? np ?k ?? k 当n很大, p很小时, 有 lim Cn p k (1 ? p)n ? k ? e k! n ??

即 P{ X ?

k k} ? Cn p k (1 ?

p)

n?k

?

?

k

k!

e?? , k ? 0,1,2,...

上题用泊松定理取? =np=(400)(0.02)=8, 故近似地有 P{X?2}=1- P{X=0}-P {X=1} =1-(1+8)e-8=0.996981.

证 由? ? np, 得 p ? ? / n, 于是有 n! k k n?k k n?k Cn p (1 ? p ) ? p (1 ? p ) k !(n ? k )! n(n ? 1) ? (n ? k ? 1) ? k ? n?k ? ( ) (1 ? ) k! n n n 1 k ?1 ? n?k ? ? ? (1 ? ) ? ? ? (1 ? ) ? (1 ? ) k! n n n n 1 2 k ?1 又 lim (1 ? ) ? lim (1 ? ) ? ? ? lim (1 ? ) ?1 n n ?? n n n ?? n ??
k

?

? n?k lim (1 ? ) ? lim n n ?? n ??

n ? ? ? ?( n ? k ) ? ? n [(1 ? ) ]

n

代入上式 ? ? 即可得到 ?e 结论

(二 ) 泊松(Poisson)分布P(?) (p45) 1. 定义3 设随机变量X的概率函数为 ?k ?? P{ X ? k} ? e , k ? 0,1, 2,?; 其中? ? 0. k!

则称随机变量X服从泊松(Poisson)分布, 记作X~P(?), 其中?是分布的参数. 直 观 (2)泊松分布常见于稠密性问题中,如在一段时间内电话交 解 换台接到的呼换次数;公共汽车站候车的旅客数;售票口 说 到达的顾客数,保险公司在一定时期内被索赔的次数等
等均可近似地用泊松分布来描述.
(1)泊松分布为二项分布的近似值.

泊松定理表明,泊松分布是二项分布的极限分布, 当n很大,p很小时,二项分布就可近似地

看成是参数?=np的泊松分布

2. 泊松分布的最大值与经典题型 最大值(P 73)
(1) 若?为整数, 则当k ? ?或k ? ? ? 1时, P{ X ? k}最大; (2)若?不为整数, 则当k ? [? ]时, P{ X ? k}最大. ?? 1,当i ? ? k k ?1 P{ X ? k} ? ?? ? ? ? ?? ? ( e ) /[ e ] ? ? ?? 1,当i ? ? P{ X ? k ? 1} k! (k ? 1)! k ?? 1,当i ? ? ? 例1 设 X ~ P(? ), 且2 P{ X ? 2} ? P{ X ? 3}, 求 P{ X ? 2}.

分析 泊松分布设X ~ P(? )的关键在于求出参数?.
解 由2 P{ X ? 2} ? P{ X ? 3},得 2 ? 62 ? 6 故 P{ X ? 2} ? e ? 18e?6 2!

?2
2!

e?? ?

?3
3!

e ? ? , 得? ? 6

例2.设某国每对夫妇的子女数X服从参数为?的泊 松分布,且知一对夫妇有不超过1个孩子的概率

为3e-2.求任选一对夫妇,至少有3个孩子的概率.
解:由题意,

? X ~ P(? ), 且 P? X ? 1? ? P{X ? 0} ? P{X ? 1} ? 3e?2

e?? ? ?e?? ? 3e? 2 ? ? ? 2

P{ X ? 3} ? 1 ? P{ X ? 0} ? P{ X ? 1} ? P{ X ? 2}
? 1 ? e? 2 21 ? 2 22 ? 2 ? e ? e ? 1 ? 5e? 2 ? 0.323 1! 2!

例3. 进行独立重复试验,每次成功的概率为p,令X表 示直到出现第m次成功为止所进行的试验次数,求X 的分布律。
解:m=1时,

P{X ? k} ? (1 ? p)k ?1 p, k ? 1,2,...

m>1时,X的全部取值为:m,m+1,m+2,… P{X=k}=P{第k次试验时成功并且 在前k-1次试验中成功了m-1次} m ? Ck ??1 pm?1(1 ? p)k ?m p k ? m, m ? 1, m ? 2,... 1

习作题. 进行独立重复试验,每次成功的概率为p,令X 表示直到出现首次成功为止所进行的试验次

数,求X 的分布律。

(三) 几何分布
定义 在n次独立试验中,事件A发生的概率为p,

设随机变量X表示试验直到事件A首次发生为止,则有

P{X ? k} ? (1 ? p)k ?1 p , k ?1, 2,?; 则称随机变量
X服从几何分布,记作X~g(k,p), 其中p是分布的参数.
直 观 解 说 (1)几何分布的概率构成等比(几何)数列,成几何 增长,公比为(1-p).顾名思义称之为几何分布.

(2)几何分布直观叙述为期待某个事件首次出现.

例子

设X服从几何分布,则对任何两个正整数

m, n 有 P{ X ? m ? n / X ? m} ? P{ X ? n}.
证 P{ X ? m} ? ? (1 ? p )
k ? m ?1 m ? k ?1

p ? (1 ? p ) p ? (1 ? p )i
m i ?0

?

1 ? (1 ? p ) p ? (1 ? p ) m , [1 ? (1 ? p )] 同理, 有 P{ X ? m ? n} ? (1 ? p ) m ? n , P{ X ? n} ? (1 ? p ) n .于是得 P{( X ? m ? n) ? ( X ? m)} P{( X ? m ? n} P{ X ? m ? n / X ? m} ? ? P{ X ? m} P{ X ? m} ? (1 ? p ) m ? n (1 ? p ) m ? (1 ? p ) n ? P{ X ? n}

这一性质称为几何分布的无记忆性,意指几何分布 对过去的m次失败的信息在后面的计算中被遗忘了.

(四) 超几何分布
定义 一个袋中装有N件产品,其中有M件次品,从中无 放回抽取n件.以X表示取到的次品数. 那么X的分布根据古典概型计算得到

n CN 称随机变量X服从超几何分布,可记X~H(n,M,N)

P{ X ? k} ?

k n CM C N? k ?M

, 0 ? k ? n.

直观 解说

(1)从一批产品中一次抽取n件样品与不放回地抽取n 件是等价的,都服从超几何分布. (2)当有放回地抽取n件样品时,每次取到次品的概率都 是一样的(多少?),此时超几何分布退化为二项分布.

直观 解说
N ??

(3)在无放回抽样中,当样本总数N很大,而n很 小时,超几何分布可近似用二项分布描述.
k n CM C N? kM ? n CN N ?? k ? CN

即 lim P{ X ? k} ? lim

p (1 ? p)
k

n?k

M , 其中p ? . N

M ?( M ? k ? 1) ( N ? M )?[ N ? M ? (n ? k ) ? 1] ? k n?k C CN k! (n ? k )! lim M n ? M ? lim N ( N ? 1)?( N ? n ? 1) N ?? N ?? CN n! M M k ?1 N ? M N ? M n ? k ?1 ?( ? )? ?( ? ) k N N N N N ? Cn lim N 1 2 n ?1 N ?? 1 ? (1 ? ) ? (1 ? )?(1 ? ) N N N M n?k k M k k ? Cn ( ) (1 ? ) ? Cn p k (1 ? p ) n ? k N N

例1

纺织厂女工照顾800个纺锭,每一纺锭在某一短时间内发 生断头的概率为0.005(设短时间内最多只发生一次断头). 求在这段时间内总共发生的断头次数超过2的概率.

分析 设断头次数为随机变量X,则X~B(800,0.005)

解 所求的概率为 P{ X ? 2} ? 1 ? P{ X ? 0} ? P{ X ? 1} ? P{ X ? 2}
0 1 1 ? 1 ? C800 0.0050 ? 0.995800 ? C800 0.005 ? 0.995799 2 ? C800 0.0052 ? 0.995798 因n ? 800 很大 , p ? 0.005 很小 , 故可用泊松分布 进行近似计算 ? ? np ? 800 ? 0.005 ? 4, 从而有

40 ?4 41 ?4 42 ?4 P{X ? 2} ? 1 ? e ? e ? e ? 0.7619 0! 1! 2!

例2 设一批产品共2000个,其中有40个次品.随机抽取100个样 品,求样品中次品数的概率分布,若抽样方式是:(1)不放回抽 样;(2)放回抽样.

解 (1)不放回抽样时, 样品中的次品数X1服从超几何分布 X1 ~ H (40,100,200), 概率函数为 P{ X1 ? k} ?
k 100 ? C40C1960 k 100 C2000

, k ? 0,1, 2 ,?, 40 .

近似计算 :因为这批产品总量N ? 2000很大,而抽取的样品 数量n ? 100远较N为小(n / N ? 0.05), 故可用二项分布进行
k 计算,即 P{ X1 ? k} ? C100 (0.02) k (0.98)100 ? k , k ? 0,1,2,?,40. 进一步可用泊松分布再进行近似计算, 此时? ? 100 ? 0.02 ? 2 k 故 P{ X1 ? k} ? C100 (0.02) k (0.98)100 ? k

2k ? ? ? e , k ? 0,1,2,?,40 k!

(2) 放回抽样时 , 每次取到次品的概率相 等为0.02, 故抽取的 次品数 X 2 服从二项分布 ,即 X 2 ~ B(100, 0.02), 概率函数为
k P{ X 2 ? k} ? C100 (0.02) k (0.98)100 ? k , k ? 0 , 1 , 2 , ?, 40 .

因为抽取的样品数量 n ? 100较大 , 而p ? 0.02较小, 故可用泊松分布进行近似计算 , 此时 ? ? 100? 0.02 ? 2
k P{ X 2 ? k} ? C100 (0.02) k (0.98)100 ? k

2 k ?? ? e , k ? 0,1,2, ? ,40 k!

想一想:离散型随机变量的统计特征可以用分布律来 描述,非离散型的该如何描述? 如:联想电脑的寿命X是一个随机变量,对于你来说,你 是否在意P{X>5年}还是P{X>5年零1分钟}.
【返回】

第三节 连续型随机变量
一、概率密度 1. 定义(p48) 若随机变量 X 的取值范围是某个实数区 间 I ,且存在非负函数 f (x) ,使对任意区间 (a, b] ? I , 有

P(a ? X ?

则称 X 为连续型随机变量; f ( x) (?? ? x ? ??) 称为 X的 概率密度函数,简称概率密度或密度函数.

b b) a =

? f ( x)dx
f (x)

密度函数的几何意义为:
曲边梯形的面积.

2. 密度函数的性质 (p48) (1) 非负性 f(x)?0,(-?<x<?);

(2)归一性

?

??

??

f ( x)dx 1. =

性质(1)、(2)是构成密度函数的充要条件。 (3) 连续型随机变量取某一可能值的概率等于0.

即 P{ X ? x0} ? 0, 事实上
?x ?0 ?x ?0 注 意 (1)概率等于0的事件不一定是不可能事件. 事 (2) P{a ? X ? b} ? P{a ? X ? b} ? P{a ? X ? b} ? P{a ? X ? b} 项

P{ X ? x0} ? lim

x0 ? ? x ? x0

f ( x)dx ? lim f (? )?x ? 0

3. 常见题型
例1 设随机变量X的概率密度为 f ( x ) ? ae 求常数 a . ?? 解 由密度函数的归一性 ? ?? f ( x)dx ? 1 , 可得
? x

例2 设连续型随机变量 X的概率密度为 ? Ax2 , 当0 ? x ? 1 f ( x) ? ? 其它 ? 0 ,

1 ? ? ae dx ? 2? ae dx ? 2a(?e ) ? 2a ? a ? 1 / 2 .
?? ? x ?? ?x ?x ?? ?? 0 0

, 求 : (1) 系数 A;

(2) 随机变量 X的中值 x* , 即 x*应满足 P{ X ? x*} ? P{ X ? x*}.



(1) 由密度函数的归一性
1?
0 ? ??

0dx

1 ? ?0

A x dx

2

? ? ?0 ?

?? ? ??

f ( x)dx ? 1 , 可得

? A ? 3.

A A 3 1 0dx ? ? ( x ) 0 ? 3 3

(2) 因为 P{ X ? x } ? 0, 所以由
*

P{ X ? x*} ? P{ X ? x*} ? P{ X ? x*} ? 1 ? P{ X ? x*} ? P{ X ? x*} ? 1 / 2 即 , P{ X ? x } ?
* x* ? ??

y 面积? 1 2

f ( x) ? 3 x 2

f ( x)dx ? 1 / 2

x*

x

? , 解得 x* ? 3 1 / 2 ? 0.794 . 例3 设随机变量 X具有对称的概 率密度函数 ,即 f (? x) ? f ( x) 求 P{ X ? a }, 其中a为任意的常数 .
? 对于 ? a ? f ( x)dx, 令 x ? ?u, 则f (?u) ? f (u), dx ? ?du ?

0 x* 0dx ? ?1 3x 2 dx ? 1 / 2 ? ??

? ?a 解 P{ X ? a } ? P{ X ? a} ? P{ X ? ?a}? ? a ? f ( x)dx ? ? ?? f ( x)dx
?? ?? ?? ?a f ( x)dx ? ? ?a f (?u)(?du) ? ?? ?a f (u)(du) ? ? ?? f ( x)(dx)

?a

?a 故 P{ X ? a} ? 2 P{ X ? ?a} ? 2? ?? f ( x)dx

第一个梯形面积 ? [(0.5 ? 1) ? 0.5] / 2 ? 0.375

第二个梯形面积 ? [(0.5 ? 1) ? 0.5] / 2 ? 0.375

直观 解法

例4 已知随机变量X的概率密度
0 ? x ?1 ? x ? f ( x) ? ?2 ? x 1 ? x ? 2 ? 0 其他 ? 求 P{X?(0.5, 1.5)}

y 1

0.5

1 1.5

2 x

15 1 解 P{ X ? (0.5 , 1.5)} ? ? 0..5 f ( x)dx ? ? 0.5 f ( x)dx ? ?11.5 f ( x)dx

?

1 xdx ? ?11.5 (2 ? ? 0.5

1 21 1 x)dx ? x 0.5 ? (2 ? x) 2 1.5 ? 0.75. 1 2 2

例5 如果随机变量 X的可能值充满下列区间 , 问函数 sin x是否为随机变量 X的密度函数 ? (1) [0 , ? / 2] (2) [0 , ? ] (3) [0 , 3? / 2]
? ? 解 (1)在[ 0 , ? / 2]上, f ( x) ? 0, 且 ? 0 / 2 f ( x)dx ? ? 0 / 2 sin xdx ? 1

? (2)在[0 , ? ]上, ? 0 sin xdx ? 2 ? 1,

故在在 [ 0 , ? / 2]上sin x可作为随机变量 X的密度函数 , 即 ?sin x, 0 ? x ? ? / 2 f ( x) ? ? 其它 ? 0 ,

故 sin x不能作为随机变量 X的密度函数 . (3)在[0 , 3? / 2]上, sin x在子区间 (? , 3? / 2)上, sin x ? 0
故 sin x不能作为随机变量 X的密度函数 .

二、几个常用的连续型分布
? 1 定义 设随机变量 X f ( x) ? ?b ? a , a ? x ? b ? 0 ? 的密度函数为 0,其它 ?

f (x)

1. 均匀分布

。 。
a

b 则称X在(a,b)内服从均匀分布.记作 X~U(a,b)
对任意实数c, d (a<c<d<b),都有

x

P{c ? X ?
直 观 解 说

d d } ?c =

f

d ( x)dx=c ?

有一类特殊的随机变量,它有n个不同的可能取值,且取每一 个值的概率相同 P{ X ? xi } ? 1 / n (i ? 1,?, n) 则说随机变量X 在n个点上均匀分布;对于区间[a,b]来说,描述为取值落在该 区间中的每点的概率密度相同.长度为 b-a质量为1的细棒 的线密度为1/(b-a).

1 d ?c dx= b?a b?a

例1 长途汽车起点站于每小时的10分、25分、55分发 车,设乘客不知发车时间,于每小时的任意时刻随机 到达车站,求乘客候车时间超过10分钟的概率.
0 10 15 25 45 55 60

分析 由汽车起点站的发车时间可见,乘客候车时间超过10分钟, 必须在(10,15] 、(25,45]和(55,60)时间段内到达.

解:设A—乘客候车时间超过10分钟 X—乘客于某时X分钟到达,则X?U(0,60)

P( A) ? P{10 ? X ? 15} ? P(25 ? X ? 45} ? P{55 ? X ? 60} 5 ? 20 ? 5 1 ? ? 思考题.求乘客候车时间不 60 2
超过5分钟的概率.

两种类型随机变量结合的题型
例2 设随机变量X在[1,4]上服从均匀分布,现在对X进行3次独 立观察,求至少有2次观察值大于2的概率. 分析:本题的主干在于3次独立试验中,某事件A至少发生2次的 概率的计算.这是一个伯努利试验,为些必须先求出事件A在 每次试验中发生的概率. ?1 / 3 , 1 ? x ? 4 解 随机变量X的密度函数为 f ( x) ? ? , 则每次 其它 ? 0 , 2 41 试验中观察值大于 2的概率为 p ? P{ X ? 2} ? ? 2 dx ? . 3 3 于是所求的概率为
2 3 P{至少有 2次观察值大于 2} ? C3 p 2 (1 ? p )1 ? C3 p 3 (1 ? p ) 0 21 2 0 20 2 2 2 3 2 3 ? C3 ( ) (1 ? ) ? C3 ( ) (1 ? ) ? . 3 3 3 3 27

例3 设随机变量X服从均匀分布U[0,5],求方程 4 x 2 ? 4 Xx ? X ? 2 ? 0 有实根的概率.
分析: 要求与连续型随机变量X有关的概率,必须 知道X的密度函数,同时要找出X落在某个区间上,这 点可由方程根的判别式求得.
?1 / 5, 0 ? x ? 5 解 由 X ~ U [0, ], 得X的密度函数为 f ( x) ? ? 5 . 其它 ? 0 , 而方程 4 x 2 ? 4 Xx ? X ? 2 ? 0有实根的 ? 是 ? ? 0, ? X ? 2, 或 X ? ?1, 于是所求的概率为 P{方程有实根 } ? P{ X ? 2} ? P{ X ? ?1} 3 51 ?? ?1 ? ? 2 dx ? ? 5 0dx ? ? ?? 0dx ? . 5 5

2. 指数分布 定义 若随机变量X的密度函数为
x?0 x?0 ? ?e ? ? x , f ( x) ? = ? 0,

f (x)

则称X服从参数指数分布,记作X~e(?),其中? >0 是指数分布的参数。 直 观 解 说

0

x

(1) 指数分布通常用来描述对某一事件发生的等待时间,几 何分布描述伯努利试验中,直到事件A发生为止进行的试验 次数.如果将每次试验视为经历一个单位时间,则直到A发生 为止进行的试验的次数可视为直到A发生为止的等待时间. (2)电子元件、灯泡的使用寿命;电话台收到两次呼叫的时 间间隔;随机服务系统的服务时间等均服从指数分布.

例1 电子元件的寿命X(年)服从参数为1/3的指数分布 (1)求该电子元件寿命超过2年的概率;(2)已知该电子 元件已使用了1.5年,求它还能使用2年的概率为多少?
?1 ? x / 3 解 由题设,得随机变 f ( x) ? ? e ?3 量X 的密度函数为 ? 0 ? x?0 x ? 0,

(1) P{X

x ? ?? 1 ? x / 3 ? 2} ? ? 2 e dx ? ?(e 3 ) ?? 2

(2) P{ X ? 1.5 ? 2 | X ? 1.5} ? P{ X ? 3.5 | X ? 1.5} P{ X ? 3.5, X ? 1.5} P{ X ? 3.5} ?2 / 3 ? ? ?e ? P{ X ? 2}. P{ X ? 1.5} P{ X ? 1.5} 一般地有以下的结论:P{X>s+t/X>s}=P{X>t}

3

? e ?2 / 3 .



P{ X ? s} ? ? ?e
s

??

?? x

dx ? ?e

?? x ? ? s

?e

?? s

,

同理, 得 P{ X ? t} ? e ?? t , P{ X ? s ? t} ? e ?? ( s ?t ) , P{ X ? s ? t , X ? s} P{ X ? s ? t} P{ X ? s ? t / X ? s} ? ? P{ X ? s} P{ X ? s} e ?? ( s ?t ) ? ?? s ? e ?? t ? P{ X ? t} . e
X ?s X ? s?t

s

这一性质称为指数分布的无记忆性,意指指数分布
对过去的信息在后面的计算中被遗忘了.

s ?t

例2 已知某电子元件厂生产的电子元件的寿命X(h) 服从指数分布e(1/3000),该厂规定寿命低于300h的 元件可以退货,问该厂被退元件的数量大约占总 产量的百分之几? ? 1 ? x / 3000 ? e , x ? 0; 解 由题设寿命 X的概率密度为 f ( x) ? ? 3000 ? 0 , x ? 0. ? 故 P{ X ? 300} ? ?300 f ( x)dx ? ?0 ? f ( x)dx ? ?300 f ( x)dx ?? ? 0

1 ? x / 3000 ? e dx ? ? e ? x / 3000 300 ? 1 ? e ?0.1 ? 0.095 0 3000 不合格退货的产品的概 率为0.095, 即占总产量的 9.5% .
300 ?0

例3 已知某种类型电子管的寿命X服从参数为1/1000 的指数分布;现有一台仪器中装有5只此类电子管, 任一只电子管损坏,仪器便不能正常工作.求仪器 正常工作1000小时以上的概率.
分析 解 仪器正常工作必须每一只电子管都正常工作,因此先求出 每一只电子管正常工作1000小时以上的概率. 由题设知电子管寿

? 1 ? x / 1000 e , x ? 0; ? f ( x) ? ?1000 命X的概率密度函数为 ? 0 , x ? 0. ? ?? p ? P{电子管正常工作 1000小时以上} ? ? 1000 f ( x)dx
?? ? 1000

1 ? x / 1000 ?? ? e dx ? ?e ? x / 1000 1000 ? e ?1. 1000 故所求的概率 ? p 5 ? e ?5 ? 0.00673

例4 某型号电子管的寿命 ?100 x ? 2 , x ? 1000 f ( x) ? ? . X(h)的密度函数为 , x ? 1000 ? 0 现有大批这种电子管,从中任取5只,求至少有2只寿 命大于1500小时的概率

解 每只电子管寿命大于 1500小时的概率为 2 p ? P{ X ? 1500} ? ( x)dx ? , 3 设Y — 任取5只中寿命大于1500小时的电子管数 2 则Y为随机变量, 且Y ~ B (n, ), 故所求的概率为 3 P{Y ? 2} ? 1 ? P{Y ? 0} ? P{Y ? 1} 2 5 2 4 232 0 2 0 1 2 1 ? 1 ? C5 ( ) (1 ? ) ? C5 ( ) (1 ? ) ? . 3 3 3 3 243
?? ?1500 f ?? ? ?15001000 x ? 2 dx

【返回】

第四节 随机变量的分布函数
一、分布函数的概念 定义(P52) 设 X 是随机变量,对任意实数 x,事件 { X ? x} 的概率 P{X ? x} 称为随机变量 X 的分布函数.

记为F ( x) ? P{ X ? x} 易知, 对任意实数a, b(a ? b)有 : P{a ? X ? b} ? P{ X ? b} ? P{ X ? a} ? F (b) ? F (a).
X ?x
X ?a X ?b

b 注 (1) P{a ? X ? b} ? P{ X ? b} ? P{ X ? a} ? P{ X ? b}. 意 事 (2) P{a ? X ? b} ? P{ X ? b} ? P{ X ? a} ? P{ X ? a}

x

a

项 (3) P{a ? X ? b} ? P{ X ? b} ? P{ X ? a} ? P{ X ? b} ? P{ X ? a}

二、分布函数的性质(P55)
1 单调不减性 对任意实数 x1 ? x2 , 有F ( x1 ) ? F ( x2 ) 2 归一 性

对任意实数x, 有0 ? F ( x) ? 1, 且 F (??) ? lim F ( x) ? 0, F (??) ? lim F ( x) ? 1;
x ? ?? x ? ??

3 右连续性 对任意实数 x, F ( x0 ? 0) ? lim ? F ( x) ? F ( x0 ).
x ? x0

具有上述三个性质的实函数,必是某个随机变量的
分布函数.故这三个性质是分布函数的充分必要性质.

三. 离散型随机变量的分布函数
定义 若离散型随机变量X具分布律
X ~ P{ X ? xk } ? pk , k ? 1, 2,?, n,? 则称 F ( x) ? P{ X ? x} ? ? pk 为X的分布函数.
(1)当X ? x1时, F ( x) P{ X ? x} ? P{? } ? 0 = (2)当x1 ? X ? x2时, F ( x) ? P{ X ? x} ? P{ X (3)当x2 ? X ? x3时, F ( x) ? P{ X ? x} ? P{ X (4)当xk ?1 ? X ? xk时, X ?x F ( x) ? P{ X ? x} X ?x ? P{ X ? x1} ? P{ X ? x2 } ? ? ? P{ X ? xk ?1} X ? x x1 x
xk ? x

? x1} ? x1} ? P{ X ? x2}
X ?x

x2 x

xk ?1 x3 x xk x

例1 设随机变量X具分布律 如右表, 试求出X的分布函数.

X

0

1

2

解 F ( x) ? P{ X ? x} ? ? pk
k : xk ? x

P

0.1 0.6 0.3

(1)当x ? 0时, F ( x) ? P{X ? x} ? P{?} ? 0
(2)当0 ? x ? 1时, F ( x) ? P{X ? x}
(3)当1 ? x ? 2时, F ( x) ? P{ X ? x} ? P{ X ? 0} ? P{ X ? 1} ? 0.1 ? 0.6 ? 0.7

? P{ X ? 0} ? 0.1

X ?x X ?x X ?x X ?x

? 0, x ? 0 综上得 ? ? 0.1,0 ? x ? 1 F ( x) ? = ?0.7,1 ? x ? 2 ? 1, x ? 2 ?

(4)当x ? 2时, F ( x) ? P{ X ? x} ? P{ X ? 0} ? P{ X ? 1} ? P{ X ? 2} ? 0.1 ? 0.6 ? 0.3 ? 1

x 0 x
F (x)

1

x

2

x

x

1

0.7

0.1

0

1

2

x

例2

向[0,1]区间随机抛一质点,以X表示质点坐 标.假定质点落在[0,1]区间内任一子区间内的 概率与区间长成正比,求X的分布函数.
X ?x X ?x X ?x
x 0 x

解 F ( x) ? P{ X ? x} 当x ? 0时, F ( x) ? P{X ? x} ? P{?} ? 0;

当0 ? x ? 1时, F ( x) ? P{ X ? x} ? P{0 ? X ? x} ? kx;
特别地, F (1) ? P{0 ? X ? 1} ? k ? 1; 当x ? 1时, F ( x) ? 1.
x?0 ? 0, ? ? F ( x)=P( X ? x)=? x, 0 ? x ? 1 ? 1, x ?1 ?

1

x

x

F (x)

1
0

1

x

四. 连续型随机变量的分布函数
定义 若连续型随机变量X的密度函数为 f (x) ,则称
x ??

F ( x) ? P{ X ? x} ? ?

P{ X ? x} ? ?

f (t )dt
x ??

为X的分布函数,记作 (这是变上限函数积分)

f (t )dt

? ex / 2 x?0 例1 已知随机变量 X的分布函数 F ( x) ? ? , ?x ?1 ? e / 2 x ? 0 求 X的密度函数 f ( x) ?e x / 2 , x ? 0
【答案】 f ( x) ? ? ? x ?e / 2 , x ? 0

若x是f (x)的连续点,则有 F ?( x) ?

f ( x)

例2

f ( x) ? 1/(1 ? x2 ), ? ? ? x ? ??, 函数

可否是连续型随机变量X的分布函数? 解 因为 f (??) ? lim f ( x) ? lim 1/(1 ? x2 ) ? 0 ? 1
x ??? x ???

1 ? 0 ? xlim F ( x) ? A ? 2 B ? A ? 2 ? ?? 解 (1)由分布函数性质, 得 ? ?? ; 1 ? ?1 ? lim F ( x) ? A ? B ?B ? ? ? 2 ? x ? ?? (2) P{?1 ? X ? 1} ? P{?1 ? X ? 1} ? F (1) ? F (?1) 1 1 1 1 1 1 1 ? ( ? arctan 1) ? [ ? arctan( ?1)] ? ? (? ) ? 2 ? 2 ? 4 4 2 (3) f ( x) ? F ?( x) ? 1/ ? (1 ? x2 ) , ? ? ? x ? ??.

例3 已知连续型随机变量X的分布函数为 F ( x) ? A ? B arctan x (?? ? x ? ??) . 求 : (1) A, B ; (2) P{?1 ? x ? 1}; (3) 随机变量 X的密度函数. ? ? ?

求:(1) P{0.4 ? X ? 1.2} ; (2)随机变量X的分布函数. 12 1 1 解 (1) P{0.4 ? X ? 1.2} ? ? 0..4 f ( x)dx ? ? 0.4 xdx ? ?1 .2 (2 ? x)dx 1 21 1 f (t ) ? 0 ? x 0.4 ? (2 ? x) 2 1.2 ?0.42 ? 0.18 ? 0.6 . 1 2 2 X ?x x
(2)当x ? 0时, F ( x) ? P{X ? x} ? ? f (t )dt ? 0 ?? 积分范围从 ? ? 到 x (3)当0 ? x ? 1时,
F ( x) ? P{X ? x} ? ?
x ??

, 0 ? x ? 1; ?x 例4 设随机变量X的 ? f ( x ) ? ?2 ? x , 1 ? x ? 2 概率密度为 ?0 , 其它. ?

x

0x

f (t )dt

X ?x
f (t ) ? 0

f (t ) ? t

0 x ? ? ? ? f (t )dt ? ? 0 f (t ) dt

?

0 ? ? ? 0dt

?

x ? 0 tdt

1 2 ? x . 2

积分范围从 ? ? 到 x

0

x

1

0 1 ? ? ? ? f (t )dt ? ? 0 f (t ) dt ? ?1x f (t ) dt

(3)当 ? x ? 2时, F ( x) ? P{X ? x} ? ? 1

x ??

f (t )dt
f (t ) ? 2 ? t

(4)当x ? 2时, F ( x) ? ? ? ? f (t )dt
0 ? ?? ? f (t )dt ? ? 1 f (t ) dt 0

0 1 ? ? ? ? 0dt ? ? 0 tdt ? ?1x ( 2 ? t ) dt X ? x f (t ) ? t 1 ? ? x 2 ? 2 x ? 1; f (t ) ? 0 2 1 0 x

x

积分范围从 ? ? 到 x f (t ) ? 0 f (t ) ? 2 ? t
f (t ) ? t

2

x ? ?12 f (t ) dt ? ?2 f (t ) dt

0 1 ? ??? 0dt ? ?0 tdt ? ?12 (2 ? t )dt

f (t ) ? 0

X ?x

x ? ?2 0dt ? 1 ?0 , ??? x?0 ?x2 / 2 , 0 ? x ?1 ? 综上得 F ( x) ? ? 1 2 ?? 2 x ? 2 x ? 1, 1 ? x ? 2 ? 2 ? x ? ?? 【返回】 ?1 ,

0

积分范围从 ? ? 到 x

1

2

x

F (x)

1

0

1

2

x

第五节

一维随机变量函数的分布

一、随机变量函数的含义
在实际问题中往往需要讨论随机变量的函数的变化规律. 例如某影剧院每次演出所售出的门票数是一个随机变量,而票 房收入就是售出门票数的函数,也是随机变化的;在分子物理学 中(布朗运动),已知分子的速度V是一个随机变量,这时分子的 动能W=MV2/2是随机变量V的函数,同样是一个随机变量;本节 就是要研究这类随机变量的分布问题. 一般地,设 X为一个随机变量, y ? g (x) 是一元单值实函数,则Y ? g (X ) 也是一个随机变量,称 Y是随机变量 X的函数.变量Y 既是随机 变量,同时也是因变量.由于自变量 X只有一个,故 Y 称为一维随 机变量函数.以下讨论因变量 Y的分布问题.

二、离散型随机变量函数的分布律

定义 设 X为一个随机变量,其分布律为

若 y ? g (x) 是一元单值实函数,则 Y ? g (X ) 也是一个随机
变量. 而且随机变量 Y 的分布律如下:
X

X ~ P{ X ? xi } ? pi , i ? 1, 2 ,?, k ,?

P{X ? xi } p1 p2 ? pk ?

x1 x2 ? ? ? xk ? ? ?

Y ? g (X ) g ( x1 ) g ( x2 ) ? ? ? g ( xk ) ? ? ? P{Y ? g ( xi )} p1 p2 ? ? ? pk ? ? ?

或 Y ? g ( X ) ~ P{Y ? g ( xi )} ? pi , i ? 1, 2 ,?, k ,? 其中g ( xi )有相同的, 其对应的概率值合并 .

例1

已知随机变量X的分布律,

求(1)Y=X2 (2)Y=2X-1 的分布律

X -1 Pk 1
3

0
1 3

1
1 3

解 (1) 由随机变量X的取值和随机变量函数Y ? X 2 , 得 Y ? (?1) 2 ? 1, Y ? (0) 2 ? 0, Y ? (1) 2 ? 1, 相应的概率为: p1 ? P{Y ? 1} ? 1 , p2 ? P{Y ? 0} ? 1 , p3 ? P{Y ? 1} ? 1 3 3 3 对Y取值相同项的概率进行合并, 得Y的分布律如下 : (2) 由Y ? 2 X ? 1, 得Y ? ?3 , ? 1 , 1 ; Y 1 0 1 Pk 2 相应的概率为 p1 ? P{Y ? ?3} ? 1 ,
3 3

3

Y -3 Pk 1 3

-1 1 3

1 1 3

p2 ? P{Y ? ?1} ? 1 , 3 p3 ? P{Y ? 1} ? 1 3

例2

某射手对靶射击,单发命中概率都为0.6;现他 扔一个均匀的骰子,扔出几点就对靶独立射击几 发,求他恰好命中两发的概率。
机出现的,故射击次数是随机出现的变量.

分析 由于射击次数与扔出的骰子点数相同,而骰子的点数是随

解 设 X ~ 骰子出现的点数 ;Y ~ 相应的命中次数 .则有 X 1 2 3 4 5 6 恰好命中两发相当于下列情
形之一发生:两发都击中;三 发中正好击中两发;四发中 正好击中两发;五发中正好击中两发;六发中正好击中两发.
6 6

1 Pk 6

1 6

1 6

1 6

1 6

1 6

1 2 2 p ? ? P{ X ? k}P{Y ? 2 / X ? k} ? ? Ck p (1 ? p ) k ? 2 k ?2 i?2 6 1 6 2 ? ? C k ( 0 .6 ) 2 ( 0 . 4 ) k ? 2 6 i?2

例3.设某昆虫的产卵数X服从参数为 ? 的泊松分布,又
设一个虫卵能孵化成虫的概率为 p,且各卵的孵化是相 互独立的,求此昆虫下一代幼虫只数Y的分布律.

解 由题设知 P{ X ? m} ?

?m

m! 而产卵数 X 能发育成幼虫数Y ( X ? Y )为条件概率, k 且服从二项分布,即P{Y ? k / X ? m} ? Cm p k q m ? k 其中 q ? 1 ? p , k ? 0,1, 2 ,?, m .

e ? ? , m ? 0 ,1, 2 ,? ;

由全概率公式 , 得 P{Y ? k} ? ? P{ X ? m}P{Y ? k / X ? m}
?? m?k ? ? ?m ??

?m ?? m! k k m?k ? ? e Cm p q ? ? e p k q m?k k !(m ? k )! m?k m ! m?k m ! (? p ) k ?? ?? ?m?k m?k 令 i ?m?k (? p ) k ?? ?? (? q )i ? e ? q e ? ? k! k! m?k (m ? k )! i ?0 i ! (? p ) k ?? ? q (? p ) k ?? (1?q ) (? p ) k ?? p ? e e ? e ? e k! k! k! 即Y服从参数为 ? p的泊松分布 .
??

二、连续型随机变量函数的密度函数 1、一般方法(P64~ P65) 若随机变量 X 的密度函数为 f ( x) (?? ? x ? ??)

Y ? g (X )为随机变量 X 的函数则可先求 Y 的分布函数

FY ? ( y) ? P{Y ? y} ? P{g ( X ) ? y} ? ? g ( x )? y f ( x)dx
dFY ( y ) 然后再求 Y 的密度函数 fY ( y ) ? dy 此法也叫“ 分布函数法



例1 设随机变量 X的概率密度为 ?6 x(1 ? x) , 0 ? x ? 1; f X ( x) ? ? 其它 ?0 , 求随机变量Y ? 2 X ? 1的概率密度 .
解 FY ( y ) ? P{Y ? y} ? P{2 X ? 1 ? y} y ?1 ( ? P{ X ? }? ? ?y ?1) / 2 f X ( x)dx ? 2
( 故 FY ( y ) ? ? ?y ?1) / 2 f X ( x)dx ? 0 ? (2)当x ? ( y ? 1) / 2 ? 1,即 y ? 3时,
( 0 FY ( y ) ? ? ?y ?1) / 2 f X ( x)dx ? ? ? ? f X ( x)dx ?

f X ( x) ? 0
X ? ( y ? 1) / 2 ( y ? 1) / 2
0

x

积分范围, x 从 ? ? 到( y ? 1) / 2
f X ( x) ? 6 x(1 ? x) f X ( x) ? 0 f X ( x) ? 0

(1)当x ? ( y ? 1) / 2 ? 0,即 y ? 1时, f X ( x) ? 0,

X ? ( y ? 1) / 2
0
1 ( y ? 1) / 2

x

积分范围, x 从 ? ? 到( y ? 1) / 2

?

1 ?0

0 ( ? ? ? ? 0dx ? ? 1 6 x(1 ? x)dx ? ?1 y ?1) / 2 0dx ? 1 0

( f X ( x)dx ? ?1 y ?1) / 2 f X ( x)dx

(3)当 0 ? x ? ( y ? 1) / 2 ? 1,即1 ? y ? 3时,
( FY ( y ) ? ? ?y ?1) / 2 f X ( x)dx ?

0 ( ? ? ? ? 0dx ? ? 0 y ?1) / 2 6 x(1 ? x)dx

0 ( ? ? ? ? f X ( x)dx ? ? 0 y ?1) / 2 f X ( x)dx

f X ( x) ? 6 x(1 ? x)

X ? ( y ? 1) / 2
f X ( x) ? 0

y ?1 2 ?( ) (4 ? y ) 2

0

( y ? 1) / 2

1

x

y ?1 ?0, ? y ?1 2 ? 综上得 FY ( y ) ? ?( ) (4 ? y ), 1 ? y ? 3 ? 2 y ?3 ?1, ?

积分范围, x 从 ? ? 到( y ? 1) / 2

?3 ? ( y ? 1)(3 ? y ) , 1 ? y ? 3 故 fY ( y ) ? FY? ( y ) ? ? 4 ?0 , 其它 ?

例2.设X?U(-1,1),求Y=X2的分布函数与概率密度。 ?1 / 2 ? 1 ? x ? 1 X2 ? y 2 ? f X ?x ? ? ? ,Y ? g( X ) ? X 其它 ?0 { X 2 ? y} ? ? y ? FY ? y ? ? P(Y ? y ) ? P( X 2 ? y ) 2 X 从 ? ?到y

0

?

x ?y

2

?

f X ( x) dx

即 X从 ? y 到 y

(1)当y <0时 FY ( y ) ? P{Y ? y}

f X ( x) ? 0
? y
?1

1 f X ( x) ? 2
0

f X ( x) ? 0

? P{X ? y} ? P{?} ? 0
2

x
1

(2)当y≥1时 FY ( y ) ? P{Y ? y}

y

积分范围 x 从 ? ,

y到 y

? P{ X 2 ? y} ? P{? y ? X ? y} 1 ?1 y ? ??1 f ( x)dx ? ?1 f ( x)dx ? ? f ( x) dx ? ?
? y

y

? y

f ( x)dx

1 ? 1 1 ? ?? 1 y 0 dx ? ??1 dx ? ?1 y 0dx ? 0 ? x 1 1 ?0 ?1 ? 2 2

(3)当0 ? y ? 1时, FY ( y ) ? P{Y ? y} ? P{ X 2 ? y} ? P{? y ? X ?
? y} ? ? ? y y

f ( x)dx
1 f X ( x) ? 2
y
y到 y
1

1 ? ? y1 ? ?? y dx ? x ? 2 2

y y

? y

0 ?0, y ? 0 ? 1 ? y ? 积分范围 x 从 ? , 综上得 FY ( y ) ? ? y , 0 ? y ? 1 ?1, y ?1 ? ? 1 , 0 ? y ?1 ? 故 fY ( y ) ? FY? ( y ) ? ? 2 y ?0 , 其它 ?

2、公式法一 一般地,若X~fX(x), y =g(x)是单调可导函数,则

Y ? g ( X ) ~ fY ( y) ? f X [h( y)] | h?( y) |
其中h(y)为y=g(x)的反函数.
注:(1) 只有当g(x)是x的单调可导函数时,才可用以上公

式求Y的密度函数.(2) 注意定义域的选择. (3)应用公式求Y的密度函数分为两个步骤:先求反函 数及反函数的导数,然后再代入所给出的公式.

例1 已知随机变量 X的密度函数 1 ? f ( x) ? e 2?
( x?? )2 2? 2

(?? ? x ? ??)

? x?? 解 y? 关于x严格单调,其反函数为 ? x ? h( y ) ? ?y ? ? 故 fY ( y ) ? f X [h( y )] | h?( y ) |? f X (?y ? ? )?

求Y ?

X ??

的概率密度函数.

?

1 ? e 2?

?? y ? ? ? ? ?2
2? 2

?

1 2?

y2 ? e 2

例2 设X~U[0,1],求Y=ax+b的概率密度.(a≠0)
解 y ? ax ? b关于 x严格单调 , 其反函数 x ? h( y) ? ( y ? b) / a

y ?b 1 故 fY ( y) ? f [h( y)] | h?( y) |? f X ( ) a a ?1 , 0 ? x ?1 由于 X ~ U [0 , ] , 密度函数 f ( x) ? ? 1 ?0 , 其它




y ?b ?1 0? ?1 ? fY ( y ) ? ? a a ?0 其它 ? ?1 / a b ? y ? a?b fY ( y ) ? ? 其它 ? 0

2、公式法二

设随机变量 X的密度函数为 f X ( x), 若 y ? g ( x)在不 相重叠的区间I1 , I 2 ,?, 上逐段严格单调, 相应的反函 数分别为h1 ( y ), h2 ( y ),?, 那么Y ? g ( X )的密度函数为
? ? fY ( y) ? f X [h1 ( y)] | h1 ( y) | ? f X [h2 ( y)] | h2 ( y) | ??
步 骤 (1)在不同的单调区间上分别求出反函数以及反 函数的导数; (2)代入以上公式,即可得Y 的密度函数.

例3 已知随机变量 X的密度函数 1 f ( x) ? 2?
2
x2 ? e 2

(?? ? x ? ??)

求 Y ? X 的概率密度函数 .
解 y ? x2 关于 x分段单调,其反函数和导数为 ? 在区间 (??,0)上 h1 ( y ) ? ? y , 导数为 h1 ( y ) ? ?1 / 2 y ; ? 在区间 (0, ? ?)上 h2 ( y ) ? y , 导数为 h2 ( y ) ? 1 / 2 y

? ? 故 fY ( y ) ? f X [h1 ( y )] | h1 ( y ) | ? f X [h2 ( y )] | h2 ( y ) | ? f X (? y ) ? 1 / 2 y ? f X ( y ) 1 / 2 y
1 ? e 2?
?

?? y ?
2

2

1 ?1/ 2 y ? e 2?

?

? y?
2

2

1 1/ 2 y ? e 2?

?

y 1 ? 2y 2.

习作题 1.已知随机变量X的概率密度为 ?2 ? (1 ? x) ? 2 ? x ? 1 f ( x) ? ? 9 ? 0 others ? 求:Y=1-X2的概率密度 2. 设随机变量X服从(0,2)上的均匀分布,求随机 变量Y=X2的密度函数.

作业题: 1. 设随机变量 X的概率密度为

? 1 ? 3 2 , 若x ? [1,8], f ( x) ? ? 3 x ?0, others. ? F ( x)是X的分布函数 , 求随机变量 Y ? F ( X )的分布函数 . (2003 ) 答案 : Y ? F ( X )的分布函数 年 ?0 , 若y ? 0 ? G ( y ) ? ? y, 若0 ? y ? 1. ?1, 若y ? 1. ?

解 F ( x) ? P{ X ? x} ? ? f (t )dt
??

x

(1)当x ? 1时, f ( x) ? 0, 故F ( x) ? 0
(3)当x ? 8时, F ( x) ? ? f (t )dt ? ? f (t )dt ? ? f (t )dt ? 1
?? 1 8

(2)当 ? x ? 8时, F ( x) ? ? 1
1

1

??

f (t )dt ? ? f (t )dt ? 3 x ? 1
8

x

1

x

随机变量 Y ? F ( X )的分布函数

当x ? 1 ?0, ?3 综上得 , F ( x) ? ? x ? 1,当 ? x ? 8 1 ?1, 当x ? 8 ?

G( y) ? P{Y ? y} ? P{F ( X ) ? y}
(1)当y ? 0时,{F ( X ) ? y}为不可能事件 , 故G( y) ? 0; (2)当y ? 1时,{F ( X ) ? y}为必然事件 , 故G( y) ? 1;

(3)当0 ? y ? 1时, G( y) ? P{F ( X ) ? y} ? P{3 X ? 1 ? y}
? P{X ? ( y ? 1)3} ? F[( y ? 1)3 ] ? [3 ( y ? 1) 3 ? 1] ? y

综上得 , Y ? F ( X )的分布函数为 ?0 , 若 y ? 0, ? G ( y ) ? ? y , 若0 ? y ? 1, ?1, 若 y ? 1. ?

2. 设随机变量 X的概率密度为 ?1 ? 2 , ? 1 ? x ? 0, ? ? 1 , 0 ? x ? 2, f X ( x) ? ? ?4 ? ?0 , others. ? 令Y ? X 2 , F ( x, y )为二维随机变量 ( X , Y )的分布函数 , 求 1 (1)随机变量 Y的概率密度 f Y ( y ); (2)Cov( X , Y ); (3) F (? ,4). 2 ? 3 ? 8 y , 若0 ? y ? 1, ? ? 1 2 (2006 ) 答案 : Y ? X 的概率密度 fY ( y ) ? ? 年 , 若1 ? y ? 4, ?8 y ?0, others. ? ?

小结
随机变量 随机变量函数的分布

离散型——分布律 归一性 分布函数与分布律的互变 概率计算

分布函数 归一性 概率计算 单调性

连续型——概率密度 归一性 概率计算 分布函数与概率密度的互变

0-1分布 二项分布B(n,p) 泊松分布P(? )
【返回】

正态分布的概率计算

均匀分布U(a,b) 正态分布N(a, ? 2 ) ? 指数分布E( )

第六节 二维随机变量的联合分布
多维随机变量 联合分布 边缘分布 二维离散型随机变量 1. 联合分布 2. 边缘分布 3. 条件分布 五. 二维连续型随机变量 1. 联合分布 2. 边缘分布 3. 条件分布 一. 二. 三. 四.

一、多维随机变量
定义 将n个随机变量X1,X2,...,Xn构成一个

n维向量 (X1,X2,...,Xn)称为n维随机变量。
一维随机变量X——R1上的随机点坐标 二维随机变量(X,Y)——R2上的随机点坐标

n维随机变量(X1,X2,…,Xn)———Rn上的随机点坐标
多维随机变量的研究方法也与一维类似,用分布函数、

概率密度、或分布律来描述其统计规律.

二. 联合分布函数
( X , Y ) 是二维随机变量,( x, y ) ? R 2 则称 1定义 设

F ( x, y ) ? P{ X ? x, Y ? y}
为(X,Y)的分布函数,或(X,Y) 的联合分布函数. y 几何意义:分布函数 F ( x0 , y0 ) 表示随机点(X,Y)落在区域
( x0 , y0 )

??x, y ?,?? ? x ? x0 ,?? ? y ? y0 ?
中的概率.如图阴影部分:

x

对任意两点( x1 , y1 )和 ( x2 , y2 ),其中x1 ? x2 , y1 ? y2 , 则

P( x1 ? X ? x2 , y1 ? Y ? y2 ) ? P( X ? x2 ,Y ? y2 ) ? P( X ? x1,Y ? y2 )? P( X ? x2 ,Y ? y1 ) ? P( X ? x1,Y ? y1 ) ? F ( x2 , y2 ) ? F ( x1 , y2 ) ? F ( x2 , y1 ) ? F ( x1 , y1 )
y ( x1 , y2 )
( x2 , y2 )

( x1 , y1 )

( x2 , y1 )
x

2.性质 分布函数F(x, y)具有如下性质: (1)归一性 对任意(x, y)?R2,0? F(x, y) ? 1, 且 F (?, ?) ? lim F ( x, y ) ? 1, F ( ??,??) ? lim F ( x, y ) ? 0
x ?? y ??

x??? y ???

F (??, y ) ? lim F ( x, y ) ? 0
x ? ??

F ( x,??) ? lim F ( x, y ) ? 0
y ???

(2)单调不减

对任意y?R, 当x1<x2 时,

F(x1,y) ? F(x2 ,y); 对任意x?R, 当y1<y2 时, F(x,y1) ? F(x,y2).

(3)右连续

对任意x?R,y?R,
F ( x, y0 ? 0) ? lim F ( x, y) ? F ( x, y0 ).

F ( x0 ? 0, y) ? lim F ( x, y) ? F ( x0 , y);
? x ? x0

? y ? y0

(4)矩形不等式 对于任意(x1,y1),(x2,y2)?R2,(x1< x2,y1<y2 ),

F(x2,y2)-F(x1,y2)-F(x2,y1)+F(x1,y1)?0.
反之,任一满足上述四个性质的二元函数F(x,y)都 可以作为某个二维随机变量(X,Y)的分布函数。

例. 已知二维随机变量(X,Y)的分布函数为 x y F ( x, y ) ? A[ B ? arctg ( )][ C ? arctg ( )] 2 3 1)求常数A,B,C; 2)求P{0<X<2,0<Y<3} ? ? 解:
][ C ? ] ? 1 2 2 ? y F (??, y) ? A[ B ? ][C ? arctg ( )] ? 0 2 3 x ? F ( x,??) ? A[ B ? arctg ( )][C ? ] ? 0 2 2 ? 1 ? B?C ? A? 2 2 ? F ( ?? ,?? ) ? A[ B ?

1 P{0 ? X ? 2,0 ? Y ? 3} ? F (0,0) ? F (2,3) ? F (0,3) ? F (2,0) ? 16
【返回】

三.边缘分布
FX(x)=F (x, +?)=ylim F ( x, y) =P{X?x},称为 ??? 二维随机变量(X,Y)关于X的边缘分布称为函数; FY(y)=F (+?, y)= lim F ( x, y )=P{Y?y} ,称为
x ? ??

二维随机变量(X,Y)关于Y的边缘分布函数. 边缘分布实际上是高维随机变量的某个(某些) 低维分量的分布.



已知(X,Y)的联合分布函数为
0? x? y 0 ? y ? x ,求 FX ( x)与FY ( y). 其它

?1 ? e? x , x ? 0 解 FX ( x) ? lim F ( x, y ) ? ? y ? ?? 其它 ?0 , ?1 ? e? y ? ye? y , y ? 0 FY ( y ) ? lim F ( x, y ) ? ? x ? ?? 其它 ?0 ,

?1 ? e? x ? xe? y ? F ( x, y ) ? ?1 ? e ? y ? ye? y ? 0 ?

四. 二维离散型随机变量的分布律
1. 联合分布律

若二维随机变量(X,Y)只能取至多可列个值( xi , y j )

(i, j ? 1, 2,?) ,则称(X,Y)为二维离散型随机变量。
若二维离散型随机变量(X,Y)取 ( xi , y j )的概率为 pij , 则称 pij ? P( X ? xi , Y ? y j ) (i, j ? 1, 2,?, ) 为二维离散 型随机变量(X,X,)的分布律,或随机变量X与Y的联合

分布律.可记为 ( X , Y ) ~ pij ? P( X ? xi ,Y ? y j ) (i, j ? 1, 2,?, )

二维离散型随机变量的联合分布律可列表如下:

x1 p11 p12 ? p1 j ? x 2 p21 p22 ? p2 j ? ? ? ? ? xi pi1 pi 2 ? pij ? ? ? ? ? 联合分布律的性质 (1) p ? 0 ; (2) ? ? p ? 1 ij ij
i ?1 j ?1

X Y y1

y2

?

yj

?

2. 边缘分布律 二维离散型随机变量的边缘分布律可列于联合分布 表的两侧: Y y1 y2 ? y j ? X

x1 x2 ? xi ?

p11 p12 p21 p22 ? ? pi1 pi 2 ? ? p?1 p?2

? p1 j ? p2 j ? ? pij ? ? p? j

? p1? ? p2 ? ? ? pi ? ? ? 1

其中

p? j ? ? pij ? p1 j ? p2 j ? ? ? p2 j ? ?
i ?1

如: p?1 ? p11 ? p21 ? ? ? pi1 ? ?; p? 2 ? p12 ? p22 ? ? ? pi 2 ? ? pi ? ? ? pij ? pi1 ? pi 2 ? ? ? pij ? ?
j ?1

如: p1? ? p11 ? p12 ? ? ? p1 j ? ?; p2? ? p21 ? p22 ? ? ? p2 j ? ?;
也 可 表 示 为
x1 X P( X ? xi ) p1?
Y P(Y ? y j )

x2 p2?
p?2

? xi ? pi ?

? ?

y1
p?1

y2 ? y j
? p? j

?
?

例1 设二维随机向量(变量)(X,Y)的联合分布如下表, 求:(1)概率 P( X ? Y ? 1);(2) X与Y的边缘概率函数.
X 0 1 2

Y

0

1

2

3

10 / 50 6 / 50 9 / 50 10 / 50 5 / 50 2 / 50

4 / 50 1 / 50 3 / 50 0 0 0

解 (1) P( X ? Y ? 1) ? P( X ? 0, Y ? 1) ? P( X ? 1, Y ? 0) ? P( X ? 1, Y ? 2) ? P( X ? 2, Y ? 1) ? P( X ? 2, Y ? 3) 6 9 3 2 2 ? ? ? ? ?0? . 50 50 50 50 50

(2)边缘分布可直接加到联合分布律的两侧, 见下表 :
X

Y

0

1

2

3

p X ( xi )

0 1 2

10 / 50 6 / 50 9 / 50 10 / 50 5 / 50 2 / 50

4 / 50 1 / 50 21/ 50 3 / 50 0 22 / 50 0 0 7 / 50
1

pY ( y j ) 24 / 50 18 / 50 7 / 50 1 / 50

例2

二维离散型随机向量 ( X , Y ) 取下列数组中的值:(0,0),(-1,1) (-1,2),(2,0);且相应的概率依次为:1/6, 1/3, 1/12, 5/12. 求X与Y的联合概率分布.

解 由题设条件可求得 X ? 0 , ?1 , 2 Y ? 0, 1, 2 根据所给的概率填二向 表

X

由二维联合分布的性 质知, ? ? pij ? 1, 即
i ?1 j ?1

Y 0 1/ 6 0 p21 ?1 2 5 / 12

1 p12 1/ 3 p32

2
p13 1 / 12 p33

1 / 6 ? p12 ? p13 ? p21 ? 1 / 3 ? 1 / 12 ? 5 / 12 ? p32 ? p33 ? 1 ? p12 ? p13 ? p21 ? p32 ? p33 ? 1 ? (1 / 6 ? 1 / 3 ? 1 / 12 ? 5 / 12) ? 1 ? 1 ? 0, 又因为 pij ? 0 ? p12 ? p13 ? p21 ? 0

P( XY ? 0) ? 1, 求 ( X , Y )的联合分布律 . X ?1 0 1 0 Y P(Y ? y j ) 1 / 2 P( X ? xi ) 1 / 4 1 / 2 1 / 2
解 先画出二向表的表头 因 XY ? 0) ? ( X ? ?1, Y ? 0) ? ( X ? 0, Y ? 0) ( X Y ? ( X ? 0, Y ? 1) ? ( X ? 1, Y ? 0) ? 1 故由P( XY ? 0) ? 1 ? 0 P( X ? ?1, Y ? 0) ? P( X ? 0, Y ? 0) 1

例3 已知随机变量X 与Y 各自的分布律如下,且有

1 1/ 2
1
p12 1 / 4 p22 1 / 2 p32 1 / 4 1/ 2 1

0
p11 p21 p31

? P( X ? 0, Y ? 1) ? P( X ? 11, Y ? 0) ? 1 1/ 2 即 p11 ? p21 ? p22 ? p31 ? 1 又 p11 ? p12 ? p21 ? p22 ? p31 ? p32 ? 1(二维联合分布的性质) ? p12 ? p32 ? 0, 再由 pij ? 0 ? p12 ? p32 ? 0 再由边缘分布得 p11 ? 1/ 4 , p31 ? 1/ 4, p22 ? 1/ 2, p21 ? 0

3. 求联合分布的步骤与方法 (1) 先画出二向表的表头,并确定X与Y的取值; (2) 求联合分布表的中的概率项.
Y y1 y2 ? y j ? pij ? P( X ? xi , Y ? y j ) X x1 p11 p12 ? p1 j ? ? P( X ? xi ? Y ? y j ) x2 p21 p22 ? p2 j ? ? P( X ? xi ) P(Y ? y j / X ? xi ) ?
xi ?
概率的乘法公式 P(AB)=P(A)P(B/A)

? pi1 ?

? pi 2 ? ?

? pij ?

?

例1 袋中有两只红球,三只白球,现不放回摸球二次,令

?1 第一次摸到红球 ?1 第二次摸到红球 X ?? ; Y ?? ?0 第一次摸到白球 ?0 第二次摸到白球 求(X,Y)的分布律. 解 先确定X与Y的取值 Y 0 1 X P{ X ? 0, Y ? 0} ? P{ X ? 0}P{Y ? 0 / X ? 0} 0 3 / 10 3 / 10 1 1 1 1 ? (C3 / C5 ) ? (C2 / C4 ) ? 3 / 10 1 3 / 10 1/ 10 P{ X ? 0, Y ? 1} ? P{ X ? 0}P{Y ? 1 / X ? 0} 1 1 1 1 ? (C3 / C5 ) ? (C2 / C4 ) ? 3 / 10
P{ X ? 1, Y ? 0} ? P{ X ? 1}P{Y ? 0 / X ? 1} 1 1 1 1 ? (C2 / C5 ) ? (C3 / C4 ) ? 3 / 10
1 1 1 1 P{ X ? 1, Y ? 1} ? P{ X ? 1}P{Y ? 1/ X ? 1} ? (C2 / C5 ) ? (C1 / C4 ) ? 1/ 10

例2 一口袋中有四个球,上面标有数字1, 2, 2, 3;从口袋中任取 一球后不放回,再任取一球,依次用X和Y表示第一次、第二 次取出球上标有的数字,求(X,Y)的联合分布.

解 先确定X与Y的取值

P{X ? 1,Y ? 1} ? P{X ? 1}P{Y ? 1/ X ? 1} ? 0 X 1 / 6 1/ 12 1 0 P{ X ? 1,Y ? 2} ? P{ X ? 1}P{Y ? 2 / X ? 1} 2 1/ 6 1/ 6 1/ 6 ? (1/ 4) ? (2 / 3) ? 1/ 6 3 1/ 12 1 / 6 0 P{ X ? 1, Y ? 3} ? P{ X ? 1}P{Y ? 3 / X ? 1} ? (1/ 4) ? (1/ 3) ? 1/ 12 P{ X ? 2, Y ? 1} ? P{ X ? 2}P{Y ? 1 / X ? 2}? (2 / 4) ? (1 / 3) ? 1 / 6 P{ X ? 2, Y ? 2} ? P{ X ? 2}P{Y ? 2 / X ? 2}? (2 / 4) ? (1 / 3) ? 1 / 6 P{ X ? 2, Y ? 3} ? P{ X ? 2}P{Y ? 3 / X ? 2}? (2 / 4) ? (1 / 3) ? 1 / 6 P{ X ? 3, Y ? 1} ? P{ X ? 3}P{Y ? 1 / X ? 3}? (1 / 4) ? (1 / 3) ? 1 / 12 P{ X ? 3, Y ? 2} ? P{ X ? 3}P{Y ? 2 / X ? 3}? (1 / 4) ? (2 / 3) ? 1 / 6
P{ X ? 3, Y ? 3} ? P{ X ? 3}P{Y ? 3 / X ? 3}? (1 / 4) ? 0 ? 0

Y1

2

3

例3 设X表示随机从1~4的四个整数中取出的一个整数,Y表示 从1~X中随机取出的一个整数,求(X,Y)的联合分布.

解 先确定 X与Y的取值

P( X ? 1, Y ? 1) ? P( X ? 1) P(Y ? 1/ X ? 1) Y 1 2 3 X ? (1/ 4) ? 1 ? 1/ 4 P( X ? 1,Y ? 2) ? P( X ? 1) P(Y ? 2 / X ? 1) ? 0 1 1/ 4 0 0 2 1/ 8 1/ 8 0 同理 , p13 ? p14 ? p23 ? p24 ? p34 ? 0 3 1/12 1/12 1/12 P( X ? 2,Y ? 1) ? P( X ? 2) P(Y ? 1/ X ? 2) 4 1/16 1/16 1/16 ? (1/ 4) ? (1/ 2) ? 1/ 8 P( X ? 2, Y ? 2) ? P( X ? 2) P(Y ? 2 / X ? 2) ? (1 / 4) ? (1 / 2) ? 1 / 8 P( X ? 3, Y ? 1) ? P( X ? 3) P(Y ? 1 / X ? 3) ? (1 / 4) ? (1 / 3) ? 1 / 12 同理 , p32 ? p34 ? 1 / 12 P( X ? 4, Y ? 1) ? P( X ? 4) P(Y ? 1 / X ? 4) ? (1 / 4) ? (1 / 4) ? 1 / 16 同理 , p42 ? p43 ? p44 ? 1 / 16

4

0 0 0
1/ 16

作业题(2005年)
1. 从1,2,3,4中任取一数 , 记为X , 再从1,?, X中任取一数 , 记为Y , 求P{Y ? 2}.

13 答案 : . 48 2. 设二维随机变量 ( X , Y )的概率分布为
X Y 0 1

0
0.4 b

1
a 0.1 答案 ( D)

若随机事件 { X ? 0}与 X ? Y ? 1}相互独立 , 则 { ( A) a ? 0.2 , b ? 0.3 . ( B) a ? 0.1 , b ? 0.4 . (C ) a ? 0.3 , b ? 0.2 . ( D) a ? 0.4 , b ? 0.1.

4. 离散型随机变量的条件分布律
设随机变量X与Y的联合分布律为

( X , Y ) ~ P( X ? xi , Y ? y j ) ? pij (i, j ? 1, 2 , ?) X和Y的边缘分布律分别为

P{ X ? xi } ? pi? ?

? pij
j ?1

i ? 1,2,...
j ? 1,2,...

P{Y ? y j } ? p? j ?

? pij
i ?1

若对固定的j, p.j>0, 则称

pi| j ? P{ X ? xi | Y ? y j } ?

P{ X ? xi , Y ? y j }

P{Y ? y j } 为Y=yj的条件下,X的条件分布律;
同理,对固定的i, pi. >0, 称

?

pij p. j

, i ? 1,2,...

P{ X ? xi , Y ? y j } pij p j|i ? P{Y ? y j | X ? xi } ? ? , j ? 1,2,... P{ X ? xi } pi.
为X=xi的条件下,Y的条件分布律;

例1 已知随机变量(X,Y)的联合分布如下,求在Y=1的条 件下关于X的条件分布.

解 先求出关于 X , Y的边缘分布 . 由于 X 取三个值 0,1,2 ; 故在条 Y 0 1 2 X 件Y ? 1下, 有三个条件概率 . 0 1 / 4 1 / 4 1 / 16 9 / 16
1 1/ 4 1/ 8 0 6 / 16 P( X ? 0 / Y ? 1) P( X ? 0, Y ? 1) 1 / 4 2 0 0 1 / 16 2 1 / 16 ? ? ? 9 / 16 6 / 16 1 / 16 P(Y ? 1) 6 / 16 3 P ( X ? 1, Y ? 1) 1 / 8 1 P ( X ? 1 / Y ? 1) ? ? ? P (Y ? 1) 6 / 16 3 P ( X ? 2, Y ? 1) 0 P ( X ? 2 / Y ? 1) ? ? ?0 习作题 P (Y ? 1) 6 / 16 X 0 1 2 即 求在X=0的条件下, P( X ? i / Y ? 1) 2 / 3 1 / 3 0

关于Y的条件分布

例 2 已知随机变量X服从参数为p ? 0.6的0 — 1分布, 在 X ? 0及 X ? 1下,关于Y的条件分布如下两表 :

1 2 3 P(Y ? y j / X ? 0) 1 / 4 1 / 2 1 / 4

Y

Y

1

2

3

P(Y ? y j / X ? 1) 1 / 2

1/ 6 1/ 3

求:(1) ( X , Y )的联合分布; (2) 在Y ? 1时关于X的条件分布. 解 (1) 先确定要计算的概率个数 Y 1 2 3
P( X ? 0,Y ? 1) ? P( X ? 0) P(Y ? 1/ X ? 0) ? (1 ? 0.6) ? (1/ 4) ? 0.1
X
0.1 0.2 0.1 0.2 0.3 0.1 P( X ? 0, Y ? 2) ? P( X ? 0) P(Y ? 2 / X ? 0)? (1 ? 0.6) ? (1 / 2) ? 0.2
0 1

P( X ? 0,Y ? 3) ? P( X ? 0) P(Y ? 3 / X ? 0) ? (1 ? 0.6) ? (1/ 4) ? 0.1 P( X ? 1,Y ? 1) ? P( X ? 1) P(Y ? 1/ X ? 1) ? 0.6 ? (1/ 2) ? 0.3 P( X ? 1,Y ? 2) ? P( X ? 1) P(Y ? 2 / X ? 1) ? 0.6 ? (1/ 6) ? 0.1 P( X ? 1,Y ? 3) ? P( X ? 1) P(Y ? 3 / X ? 1) ? 0.6 ? (1/ 3) ? 0.2

P( X ? 0, Y ? 1) (2) P( X ? 0 / Y ? 1) ? P(Y ? 1) P( X ? 0, Y ? 2) ? P( X ? 0, Y ? 3) 0.2 ? 0.1 ? ? ? 0.5 P(Y ? 2) ? P(Y ? 3) (0.2 ? 0.1) ? (0.1 ? 0.2) P( X ? 1, Y ? 1) P( X ? 1 / Y ? 1) ? P(Y ? 1) P( X ? 1, Y ? 2) ? P( X ? 1, Y ? 3) 0.1 ? 0.2 ? ? ? 0.5 P(Y ? 2) ? P(Y ? 3) (0.2 ? 0.1) ? (0.1 ? 0.2)

或者 P( X ? 1/ Y ? 1) ? 1 ? P( X ? 0 / Y ? 1) ? 1 ? 0.5 ? 0.5

0 P( X ? xi / Y ? 1) 0.5

X

1 0. 5
【返回】

习作题(2009年)

袋中有1个红球 、 个黑球与 3个白球 .现有放回 2 地从袋中取两次 , 每次取一个球 .以X , Y , Z分别表 示两次取球所取得的红 球、 黑球与白球的个数 . (1)求P{ X ? 1 | Z ? 0}; (2)求二维随机变量 ( X , Y )的概率分布 . 1 1 1 C2 ? P{ X ? 1, z ? 0} 6 3?4 提示 : P{ X ? 1 | z ? 0} ? ? 1 2 P{z ? 0} 9 ( ) 2

(2) X ,Y的所有可能的取值均为 : 0 , 1 , 2.

五. 二维连续型随机变量 1. 联合密度函数与分布函数 定义 对于二维随机变量(X,Y),若存在一个非负

可积函数 f ( x, y ), 使对任意( x, y ) ? R

2

其分布函数为 F ( x, y ) ? P{ X ? x, Y ? y} ? ? ? f (u, v)dudv, ?? ?? 则称(X,Y)为二维连续型随机变量, f ( x, y) 为(X,Y)的 密度函数(概率密度),或X与Y的联合密度函数. 联合密度 f ( x, y) 的性质 f ( x, y ) ? 0 , ( x, y ) ? R 2 (1)非负性:
?? ?? (2)归一性:? ? ? ? ? ? f ( x, y ) ? 1

x

y

反之,具有以上两个性质的二元函数 f ( x, y) 必是某个二维连续型随机变量的密度函数.

此外, f ( x, y )还具有下述性质 : 2 (3) 若 f ( x, y )在( x, y ) ? R 处连续, 则有
? 2 F ( x, y ) ? f ( x, y ); ?x?y
(4)对于任意平面区域G? R2, 有

P{( X , Y ) ? G} ? ?? f ( x, y )dxdy.
注意:二维连续型随机变量落在某区域的概率转化为二
重积分的计算.
G

例1 设( X , Y )的联合密度函数为 ?1 0 ? x ? 1 , 0 ? y ? 1 f ( x, y ) ? ? , 求:P{ X ? Y }. others ?0 y y?x 解 先找出被积函数 f ( x, y) ? 0的区域 1 再找出积分区域

P{ X ? Y } ?

?? x ? ? ? dx ? ? ?

f ( x, y ) dy

0

?
注 意

1 x dx ? 0 1dy ?0

1 ? 2

1

x

由于联合密度函数为分段函 数,故要分开积分区域进行积 分,特别要注意被积函数不等 于零的积分区域.

有效的 积分区 域

例2

设(X,Y)的联合密度函数为

求:(1)常数 A; (2) F (1, 1) 、 ( x, y ) ; (3) ( X , Y )落在三 F 角形区域D : x ? 0 , y ? 0 , 2 x ? 3 y ? 6内的概率.

? Ae? ( 2 x ? 3 y ) , x ? 0 , y ? 0 f ( x, y ) ? ? 其它 ? 0,
?? ?? ? ? ? ?? ?

解 (1)由归一性
?? ?? ? 0 dx ?0

f ( x, y )dxdy ? 1

1

y f ( x, y) ? 0

?

Ae

?(2 x ?3 y )

dxdy ? 1
0
1 x

? A?6 1 1 (2) F (1,1) ? P{ X ? 1, Y ? 1} ? ? ? ? ?? ? f ( x, y )dxdy
1 1 ??0 dx ?0 6e ? ( 2 x ? 3 y ) dy ? (1 ? e ? 2 )(1 ? e ? 3 )

下面计算分布函数 F ( x, y ) ? P{ X ? x, Y ? y} ?

y

当x ? 0, y ? 0时, 有 f ( x, y) ? 0

x y ? ?? ? ??

f ( x, y )dxdy
x y ? ??? ??? f (u, v)dudv x y ? ??? ??? 0 dudv ? 0

f (u, v) ? 0 ?

故 F ( x, y)

f (u, v) ? 0
积分区域

x

当 x ? 0 , y ? 0时

故 F ( x, y ) ? P{ X ? x, Y ? y}
x ? ? ? ? ??y? f (u, v)dudv

y
积分区域
0

f (u, v) ? 0

?

? ?

x y ? ( 2u ? 3v ) dudv ?0 ?0 6e x y ? ( 2u ? 3v ) dv ?0 du ?0 6e

x

? (1 ? e? 2 x )(1 ? e?3 y )

(3) ( X , Y )落在三角形区域 D : x ? 0, y ? 0, 2 x ? 3 y ? 6 内的概率P{( X , Y ) ? D}
解 P{( X , Y ) ? D} ? ?? f ( x, y)dxdy
3 (6? 2 x) / 3 6e ?0 dx ?0 ?6
D ?(2 x ?3 y )

f ( x, y) ? 0

?

dy

y

?

? 1 ? 7e

2
积分区域

习作题 0 设二维随机向量( X , Y )的概率密度 ?4 xy , 0 ? x ? 1 , 0 ? y ? 1 函数为 f ( x, y ) ? ? 其它 ? 0, 求 : ( X , Y )的联合分布函数 F ( x, y ) .

x 3 2x ? 3 y ? 6

两个常用的二维连续型分布 (1)二维均匀分布(2)二维正态分布(略) 若二维随机变量(X,Y)的密度函数为
1 ? , , y) ? D ? R 2 (x ? f ( x, y ) ? ? D的面积 ? 0 , 其它 ?

则称(X,Y)在区域D上(内)服从均匀分布. 易见,若(X,Y)在区域D上(内)服从均匀分布,对D 内任意区域G,有 P{( X , Y } ? G} ? SG SD

例5.设(X,Y)服从如图区域D上的均匀分布, y (1)求(X,Y)的概率密度; f ( x, y) ? 0 1 (2)求P{Y<2X};(3)求F(0.5,0.5).

y ? 2x
积 分 区 域

解 (1) S D ? 1, 密度函数为 ?1 / S D ? 1, ( x, y ) ? D 积分区域 f ( x, y ) ? ? ?1 0 ( x, y ) ? D ?0, 1 3 1 SG 1 / 4 1 (2) SG ? 1 ? ? ? 1 ? , P{Y ? 2 X } ? ? ? ; 2 2 4 SD 1 4

D 0.5

0.5 1

x

1 1 或 P{Y ? 2 X } ? ? 0 dy ? yy/ 21dx ? ? 0 ( y ? y / 2)dy ?1 / 4 . 1 1 1 S3 1 (3) S3 ? ? 1 ? ? , F (0.5,0.5) ? P( X ? 0.5, Y ? 0.5) ? ? 2 2 4 SD 4 0.5 0.5 或 F (0.5,0.5) ? P( X ? 0.5, Y ? 0.5) ? ??? ??? f ( x, y)dxdy

0 y ? ? 0 .5 dx ?? y/ 221dy ? 1/ 4 /

分布函数的概念可推广到n维随机变量的情形 事实上,对n维随机变量(X1,X2,…,Xn),

F(x1,x2,…,xn)=P(X1?x1,X2 ?x2,…,Xn ?xn)
称为的n维随机变量(X1,X2,…,Xn)的分布 函数,或随机变量X1,X2,…,Xn的联合分布函数. 定义 n维随机变量(X1,X2,...,Xn),如果存在非负的n 元函数f(x1,x2,...,xn)使对任意的n元立方体

P?? X1, X 2 ,?, X n ? ? D? ? ?D?? f ( x1, x2 ,?, xn )dx1 ?dxn

D ? ?? x1, x2 ,?, xn ? : a1 ? x ? b1,?, an ? x ? bn ?

则称(X1,X2,...,Xn)为n维连续型随机变量,

称f(x1,x2,...,xn)为(X1,X2,...,Xn)的概率密度.
定义2 若(X1,X2,...,Xn)的全部可能取值为Rn上的

有限或可列无穷多个点,称(X1,X2,...,Xn)为n维离
散型的,称 P{X1=x1,X2=x2,...,Xn=xn}(x1,x2,...xn) 为n维随机变量(X1,X2,...,Xn)的联合分布律.
【返回】

2、边缘密度函数
设( X , Y )的联合密度函数为 f ( x, y), 则称
?? f X ( x) ? ?? ? f ( x, y )dy

为(X,Y)关于X的边缘密度函数; 同理,称

fY ( y ) ?

?? ?? ?

f ( x, y )dx

为(X,Y)关于Y的边缘密度函数.

例1

随机变量(X,Y)的概率密度为
?y

?e 0? x? y f ( x, y) ? 0 f ( x, y ) ? ? others ? 0 y?x 求 : (1) P{X ? 0} ; (2) P{X ? 1} ; (3) P{Y ? y0} 解 (1)先求边缘密度函数 x 0 ?? ?? 当 x ? 0时, f ( x, y) ? 0 , f X ( x) ? ? ?? f ( x, y)dy ? ? ?? 0dy ? 0 ?? x ? 当x ? 0时, f X ( x) ? ? ?? f ( x, y)dy ?? ?? f ( x, y)dy ? ? x ? f ( x, y)dy

y

?

故 f ( x) ?

x ?? ? y ? ? ?? 0dy ? ? x e dy ? ?e? y ?? ? e? x x ?x ?e , x ? 0 0 于是 P{ X ? 0} ? ? ?? f X ( x)dx ? 0 ?

?0 , x ? 0

1 0 1 (2) P{ X ? 1} ? ? ?? f X ( x)dx ? ? ?? f X ( x)dx ? ? 0 f X ( x)dx 0 1 ? ? ?? 0dx ? ? 0 e ? x dx ? 1 ? e ?1

?? 0 当 y ? 0时, fY ( y) ? ? ?? f ( x, y)dx ?? ?? f ( x, y)dx

求 (3) P{Y ? y0} ? y 解 先求边缘密度函数 f ( x, y) ? 0 当 y ? 0 时, f ( x, y ) ? 0 y?x ?? ?? fY ( y ) ? ? ?? f ( x, y )dx ? ? ?? 0dx ? 0
? y ? ? 0y f ( x, y)dx ? ? y ? f ( x, y)dx ? 0 ? ? 0ye? y dx ? 0 ? e? y ? ( x) 0 ? ye? y

0

x

? ye? y , y ? 0 于是 ,当 y0 ? 0时, P{Y ? y0 } 故 f ( y) ? ? y0 y0 0 , y?0 ? ? ?? f ( y )dy ? ? ?? 0dy ? 0 ? y0 当 y0 ? 0时, P{Y ? y0 }? ? ?? f ( y )dy
y0 y y0 y ? ? ?? f ( y )dy ? ? 0 0 f ( y )dy ? ? ?? 0dy ? ? 0 0 ye? y dy

? (? ye? y )

y0 0

y ? ? 0 0 e ? y dy ? 1 ? ( y0 ? 1)e ? y0

例2 设(X,Y)的概率密度为 ?c x 2 ? y ? x f ( x, y ) ? ? (1) 求常数 c ; 0 others ?

y
1

y ? x2
y?x

(2) 求边缘密度函数 f X ( x) , fY ( y) .

f ( x, y) ? 0

?? ?? 解:(1)由归一性 ? ?? ? ?? f ( x, y )dxdy ? 1

0

1

x

1 1 即 ? 0 dx? x2 c dx ? 1 ? ? 0 c( x ? x 2 )dx ? 1 ? c ? 6 x (2) 当 x ? 0 或 x ? 1时, f ( x, y) ? 0 ? ?? ?? f X ( x) ? ? ?? f ( x, y)dy ? ? ?? 0dy ? 0 ; ?? 当 0 ? x ? 1时, f X ( x) ? ? ?? f ( x, y )dy

? ?

x2 ? ??

? f ( x, y ) dy ? ? x2 f ( x, y ) dy ? ? x ? f ( x, y )dy x

x2 ? 0dy ? ? x2 6 dy ? ? x ? 0dy ? 6( x ? x 2 ) ? ?? x

;

?6( x ? x 2 ) 0 ? x ? 1 综上得, f X ( x) ? ? 0 others ? 同理, 当y ? 0 或 y ? 1时, f ( x, y ) ? 0 ? ?? ?? fY ( y ) ? ? ? ? f ( x, y )dx ? ? ? ? 0dx ? 0 ;
?? 当 0 ? y ? 1时, fY ( y ) ? ? ? ? f ( x, y ) dx y ? ? ? ? f ( x, y )dx ? ? y y

f ( x, y ) dx ? ? ? ? f ( x, y ) dx y

y ? ? ? ? 0dx ? ? y y 6 dx ? ? ? ?0dx ? 6( y ? y ) ; y

?6( y ? y ) 综上得, fY ( y ) ? ? 0 ?

0 ? y ?1 others

设(X,Y)服从如图区域D上的 均匀分布,求关于X的和关 f ( x, y) ? 0 于Y的边缘概率密度.

y ? ?x y
1

y?x

D

x 1 解 因S D ? 1, 故( X , Y )的联合密度函数为 ? 1 0 ?1 / S D ? 1, ? 1 ? x ? 1, 0 ? y ? 1 f ( x, y ) ? ? others ? 0, ?? ?? 当 x ? ?1或x ? 1时, f ( x, y ) ? 0, f X ( x) ? ?? ? f ( x, y )dy ? ?? ? 0dy ? 0 ;
?? ?x 当 ? 1 ? x ? 0时, f X ( x) ? ??? f ( x, y)dy? ??? f ( x, y)dy ? ?1 x f ( x, y)dy ? ? ?x ? ? ?1 ? f ( x, y)dy ? ??? 0dy ? ?1 x 1dy ? ?1 ? 0dy ? (1 ? x) ; ?

?? 当0 ? x ? 1时, f X ( x) ? ?? ? f ( x, y )dy x ? ?? ? f ( x, y )dy ? ?1 f ( x, y )dy x x ??? ? 0dy ? ?1 1dy ? (1 ? x) ; x

综上所述,得

?0 , ? 1 ? x 或x ? 1 ? f X ( x) ? ?1 ? x , ? 1 ? x ? 0 ?1 ? x , 0 ? x ? 1 ?

以下计算 关于Y的边缘密度函数 fY ( y)

当 y ? 0 或 y ? 1时, f ( x, y) ? 0, ?? ?? 故 fY ( y) ? ??? f ( x, y)dx ? ??? 0dx ? 0 ;
?? 当 0 ? y ? 1 时, f X ( x) ? ??? f ( x, y )dx ?y y ? ??? f ( x, y ) dx ? ?? y f ( x, y )dx ? ? ?? f ( x, y )dx y

?y y ? ??? 0dx ? ?? y 1dx ? ? ?? 0dx ? 2 y ; y

2y , 0 ? y ?1 fY ( y ) ? ? 综上所述,得 ? 0, 其它 ?

作业题 1 设二维随机向量( X , Y )的联合密度函数为 ?4.8 y (2 ? x) , 0 ? x ? 1, 0 ? y ? x ; f ( x, y ) ? ? 其它. ?0 , 求 : 关于 X的和关于Y的边缘密度函数 .

2 设二维随机向量 ( X , Y )的联合密度函数为 ?cx 2 y , x 2 ? y ? 1 ; f ( x, y ) ? ? 其它. ?0, 求 :(1)常数 c ; (2) 关于 X的和关于Y的边缘密度函数 . 3 设二维随机向量( X , Y )服从单位园上的均匀分布 求 :(1) 二维随机向量( X , Y )的联合密度函数 ; (2) 关于 X的和关于Y的边缘密度函数 .
【返回】

3. 连续型随机变量的条件概率密度 定义 给定y,设对任意固定的正数?>0,极限
? ?0

lim P{ X ? x | y ? ? ? Y ? y ? ? } P{ X ? x, y ? ? ? Y ? y ? ? } ? lim ? ?0 P{ y ? ? ? Y ? y ? ? }

存在,则称此极限为在 Y

? y 条件下X的条件

分布函数.记作 FX |Y ( x | y ) ? P{ X ? x | Y ? y}

可证当 f y ( y ) ? 0 时 F ( x | X |Y

y)

x ? (? ??

f (u, v)du ) / fY ( y )

若记 f ( x | y ) 为在Y=y条件下X的条件概率密度, X |Y 则当 fY ( y ) ? 0 时,

f X |Y ( x | y ) ?

?FX |Y ( x | y ) ?x

f ( x, y ) ? fY ( y )

类似定义,当 f X ( x) ? 0 时,在X=x条件下X的条件概 率密度为 ?FY |X ( y | x ) f ( x, y ) fY |X ( y | x ) ? ? ?y f X ( x)

例1.已知(X,Y)的概率密度为

?21x y / 4, f ( x, y ) ? ? ? 0,
2

x ? y ?1 其它
2

y
y ? x2
1

(1)求条件概率密度 fY | X ( y | x) (2)求条件概率 P{Y ? 1/ 3 | X ? 0} (3)求条件概率 P{Y ? 1/ 3 | X ? ?1/ 3}

f ( x, y) ? 0
0

解 (1)当x ? ?1或x ? 1时, f ( x, y ) ? 0 ?? 故 f X ( x) ? ?? ? f ( x, y )dy ? 0 ?? 当? 1 ? x ? 1时, f X ( x) ? ?? ? f ( x, y )dy
? ?
x2 ?? ? x x2 ?? ? 0dy

x

f ( x, y )dy ? ? 12 f ( x, y )dy ? ?1? ? f ( x, y )dy ?
1 ?x2

21 2 21 2 ?? x ydy ? ?1 0dy ? x (1 ? x 4 ) 4 8

?21x 2 (1 ? x 4 ) / 8 , ? 1 ? x ? 1 综上所述, 得 f X ( x) ? ? 其它 ? 0, f ( x, y ) ?2 y /(1 ? x 4 ) , x 2 ? y ? 1 故 fY / X ( y / x ) ? ?? 其它 f X ( x) ? 0 ,

(2) P{ X ? 0} ?

1 ? ?0 21x 2 (1 ? x

?? ?0 f X 4

1 ?? ( x)dx ? ?0 f X ( x)dx ? ?1 ) / 8dx ? ?1? ? 0dx ? 1 / 2
?? ?? ?0 ?1 / 3 f X ( x)dx

f X ( x)dx

P{ X ? 0, Y ? 1 / 3} ?

?

1 ? y ?1 / 3 dy ?0

21 2 x ydx 4

1 1 7/2 ? [1 ? ( ) ] 2 3 P( X ? 0, Y ? 1 / 3) 1 7/2 P{Y ? 1 / 3 | X ? 0} ? ?1? ( ) . P ( X ? 0) 3

(3) 求 P{Y ? 1/ 3 | X ? ?1/ 3}
f ( x, y) ?2 y /(1 ? x 4 ) , x 2 ? y ? 1 由 fY / X ( y / x ) ? ?? 其它 f X ( x) ? 0 ,
1 1 1 ?2 y /[1 ? ( )4 ], ( )2 ? y ? 1 ? 得 fY / X ( y / x ? ? ) ? ? 3 3 3 ? 0, 其它 ?

P{Y ? 1 / 3 / X ? ?1 / 3} 2y 1 ? (1 / 3) 2 1 9 1 ? ?1 / 3 dy ? ? ? 4 4 2 10 1 ? (1 / 3) 1 ? (1 / 3) 1 ? (1 / 3)

例2 设随机变量 X在区间 (0,1)上服从均匀分布 , 在 X ? x (0 ? x ? 1)下, 随机变量 Y在区间 (0, x)上服从均匀分布 . 求 : (1) ( X , Y )的联合概率密度 ; (2) 随机变量 Y的概率密度 ; (3) P{ X ? Y ? 1} .

解 (1) 依题设条件 , 得 ?1 , 0 ? x ? 1; ?1 / x , 0 ? y ? x f X ( x) ? ? fY / X ( y / x ) ? ? others. others . ? 0, ?0, 当 0 ? y ? x ? 1时, f X ( x) ? 0, fY / X ( y / x) ? 0, f ( x, y ) ? f X ( x) fY / X ( y / x) ? 1 / x , 其它地方 f ( x, y ) ? 0 ?1 / x , 0 ? y ? x ? 1; 即 f ( x, y ) ? ? others. ?0 ,

? 1 / x , 0 ? y ? x ? 1; (2) 求Y的密度函数 fY ( y ) ,已求得 f ( x, y ) ? ? others. ?0,
?? 当 y ? 0 或 y ? 1时, f ( x, y ) ? 0, 故 fY ( y ) ? ? ?? f ( x, y )dx ? 0 ?? 当 0 ? y ? 1时 , fY ( y ) ? ? ?? f ( x, y )dx ? y ? ? ?? f ( x, y )dx ? ? 1 f ( x, y )dx ? ?1?? f ( x, y )dx y

x ? ln y , 0 ? y ? 1 ; 即 fY ( y ) ? ? ? 0, others. ?

y 11 ?? ? ? ?? 0dx ? ? y dx ? ?1 0dx ? ? ln y ,

y
f ( x, y) ? 0
0
1

x

y?x

?1 / x , 0 ? y ? x ? 1; (3) 求 P{ X ? Y ? 1}, 由(1)已求得 f ( x, y ) ? ? others. ? 0,
?? ?? P{ X ? Y ? 1} ? ? ? ? ?? ? f ( x, y ) dxdy 1 x 1 1 1 ? ?1 / 2 dx ?1? x dy ? ?1 / 2 ( 2 x ? 1) dx x x 1 1 ? ?1 / 2 ( 2 ? ) dx ? 2 x 1 / 2 ? ln x 1 / 2 1 1 x ? 1 ? ln 2 .

y
1

y?x

0

f ( x, y) ? 0
1 2

1

x
x ? y ?1

【返回】

( 2009 ) 设随机变量 ( X , Y )的概率密度为 年 ?e ? x , 0 ? y ? x, f ( x, y ) ? ? ?0, others. 求 : (1)求条件概率密度 f Y | X ( y | x); ( 2)求条件概率 P{ X ? 1Y ? 1}.
? xe? x , 0 ? x, (1) f X ( x) ? ? ?0 , x ? 0. ?1 ? , 0 ? y ? x, 当x ? 0时, fY | X ( y | x) ? ? x ?0 , others. ? ?e ? y , 0 ? y, e?2 (2) fY ( y ) ? ? P{ X ? 1 | Y ? 1} ? e ?1 ?0 , others.

答 案

(2004 ) 设随机变量 X在区间(0,1)上服从均匀分布 , 年 在X ? x(0 ? x ? 1)的条件下 , 随机变量 Y在区间(0, x) 上服从均匀分布 , 求 (1)随机变量 X和Y的联合概率密度 ; (2)Y的概率密度 ; (3)概率 P{ X ? Y ? 1}. 参考教材 P60 例5.

第七节 随机变量的独立性

定义1 设X与Y是两个随机变量,如果对任意实数

x与y, 有P{ X ? x,Y ? y} ? P{ X ? x}P{Y ? y} 即 F ( x, y ) ? FX ( x)FY ( y ) 一
成立,则称随机变量X与Y独立。 显然,如果随机变量X与Y独立,则有结论成立: 个 动 态 一 个 静 态

P{a ? X ? b,c ? Y ? d } ? P{a ? X ? b}P{c ? Y ? d }
令 A ? {a ? X ? b}, B ? {c ? Y ? d } 由上式相当于 P( AB) ? P( A) P( B)

定理1

设(X,Y)是二维连续型随机变量,X与Y独立的

充分必要条件 f ( x, y) ? f X ( x) fY ( y)
定理2 设(X,Y)是二维离散型随机变量,则X与Y独立 的充分必要条件是对任意的可能值

xi 与y j , 有P{ X ? xi ,Y ? y j } ?P{ X ? xi }P{Y ? y j } 或 pij ? pi ? p? j , 或 p( xi , y j ) ? p X ( xi ) pY ( y j ) , 其中i , j ? 1,2,?
由定理2可知,要判断两个随机变量X与Y的独立性,只需 求出它们各自的边缘分布,再看是否对(X,Y)的每一对可

能取值点,边缘分布的乘积都等于联合分布即可.

例1 设二维随机向量(变量)(X,Y)的联合分布如下表,

问:随机变量 X与Y是否相互独立?
XY
0 1 2 3

0 10 / 50 6 / 50 1 9 / 50 10 / 50 2 / 50 2 5 / 50
24 / 50 18 / 50

4 / 50 1 / 50 21 / 50 22 / 50 3 / 50 0 0 0 7 / 50
7 / 50 1 / 50

解 先求出 X和Y的边缘分布 , 列于联合分布表的两侧 . 7 7 由于 P{ X ? 2 , Y ? 2} ? 0 , 而 P{ X ? 2} ? , P{Y ? 2} ? 50 50 显然 P{ X ? 2 , Y ? 2} ? P{ X ? 2}P{Y ? 2} 所以随机变量 X与Y 不独立 .

例2

已知随机变量(X,Y)的分布律为

x 0 1
分析

Y 1

2 0.15 0.15 a b

且知X与Y独立,求a、b的值.

求两个未知数需要建立两个方程

解 由联合分布的性质 , 有 a ? b ? 0.15 ? 0.15 ? 1, 即 a ? b ? 0.7 ? ? ? (1) 再由独立性得 P{ X ? 0, Y ? 1} ? P{ X ? 0}P{Y ? 1}, 即 0.15 ? (0.15 ? 0.15) ? (0.15 ? a) ? ? ? (2) 解 (1)与(2)的联立方程组得 , a ? 0.35 , b ? 0.35

例3

甲乙约定8:00?9:00在某地会

面.设两人都随机地在这期间的任一 (60,45) 时刻到达,先到者最多等待15分钟过 15 时不候.求两人能见面的概率。 解 设 X — 表示甲到达的时间 ; 15 60 Y — 表示甲到达的时间 . 由于甲 、 乙于一个小时内任何时 刻到达的机会均等 , 故 X和Y都服从均匀分布 , 密度函数分别为 ? 1 / 60 , 0 ? x ? 60; ? 1 / 60 , 0 ? y ? 60; f X ( x) ? ? fY ( x ) ? ? 其它. 其它. ? 0, ? 0,

60

(45,60)

由于 X与Y 相互独立 (甲、 乙到达的时间互不影响 ), 故 ?1 / 3600 , 0 ? x ? 60, 0 ? y ? 60; f ( x, y ) ? f X ( x ) f Y ( y ) ? ? 其它. ?0 ,

要使甲 、 乙能够会面必须 X ? Y ? 15, 为图中阴暗部分 , 由均匀分布的性质知所 求的概率为面积的比 , 即 1 2 ? ( ?15? 45) SD 9 2 P{能会面 } ? 1 ? ? ? . S 3600 12 习作题

1. 已知( X , Y )的联合密度函数为 ?ke? (5 x ? 6 y ) , x ? 0, y ? 0 f ( x, y ) ? ? 【解答】 0, 其它 ? (1) 求常数 k ; (2)问随机变量 X与Y是否相互独立?

2. 已知随机变量( X , Y )服从园域 G: x 2 ? y 2 ? 1上的均匀 分布,问 随机变量 X与Y是否相互独立? 【解答】
PLAY



因为 f ( x, y ) ? f X ( x) fY ( y ), 故 X与Y相互独立 .
【返回】

?? ?? ke?(5 x ?6 y ) dxdy ? 1, ? k ? 30 ?0 ?0 ?? ?? ?( 5 x ? 6 y ) f X ( x) ? ? ?? f ( x, y )dy ? ? 0 30e dy ? ? 30e ?5 x ? 0 ? e ?6 y dy ? 5e ?5 x . ?? ? fY ( y ) ? ? ?? f ( x, y )dx ? ? 0 ? 30e ?(5 x ?6 y ) dyx ? 6 y ? ? ?5 x ?6 y ? 30e . ? 0 e dy ? 6e

?? ?? 由归一性 ? ?? ? ?? f ( x, y )dxdy ? 1, 得

解 由题设知 ( X , Y )的联合密度函数为 ?1 2 ? , x ? y2 ? 1 f ( x, y ) ? ? ? ? 0, 其它 ? ?? 当 x ? ?1或 x ? 1时, f ( x, y ) ? 0, 故f X ( x) ? ? ?? f ( x, y )dy ? 0;
?? 当? 1 ? x ? 1时, f X ( x) ? ? ?? f ( x, y )dy ? ? ? 1? x
2

1

当y ? ?1或 y ? 1 时, f ( x, y ) ? 0, 故fY ( y )

? 1? x ?? ? ? ?? f

2

?
2

dy ?

2 1? x2

?

;

( x, y )dx ? 0; 1
2

?? 当 ? 1 ? y ? 1时, fY ( y ) ? ? ?? f ( x, y )dx ? ? ?

1? y

? 1? y

?

dx ?

2 1? y2

?

;

在单位园域 D : x 2 ? y 2 ? 1内, f ( x, y ) ? f X ( x) fY ( y ), 故 随机变量 X与Y 不独立 .
【返回】

(2007年)
在区间(0 ,1)中随机地取两个数 , 求两数之差的绝对值 1 3 小于 的概率 . 答案 : 2 4

2.n维随机变量的独立性
定义 2 设n维随机变量( X 1 , X 2 ,?, X n )的联合分布函数 为 F ( x1 , x2 ,?, xn ) ? P( X 1 ? x1 , X 2 ? x2 ,?, X n ? xn ) 其边缘分布函数为 FX i ( xi ) ? P( X i ? xi ) , i ? 1, 2,?, n ; 若对于任意的实数 x1 , x2 ,?, xn , 有

F ( x1 ,... xn ) ? FX1 ( x1 ) FX 2 ( x2 ).... FX n ( xn )
则称X1,X2,...,Xn相互独立,或称(X1,X2,...,Xn)

是独立的.

对于离散型随机变量的情形,
若对任意实数 xi ,xi ,...,xi 有 1 2 n

P{ X i1 ? xi1 ,?,X in? xin } ? P{ X i1 ? xi1 }? P{ X in ? xin }
则称离散型随机变量X1,X2,…,Xn 相互独立。
设X1,X2,…,Xn为n 个连续型随机变量,若

对任意的实数

x1 , x2 , ?, xn



f ( x1 , x2 , ?, xn ) ? f X1 ( x1 ) f X 2 ( x2 )? f X n ( xn )
几乎处处成立,则称X1,X2,…,Xn相互独立.
【返回】

第八节

多维随机变量函数的分布

(一) 二维离散型随机变量函数的分布律

设二维离散型随机变量( X , Y )的联合分布为 ( X , Y ) ~ P{ X ? xi ,Y ? y j } ? pij (i , j ?1, 2 , ?, ) 则Z ? g ( X , Y ) ~ P{Z ? zk } ? pij ?
i , j : g ( xi , y j ) ? z k



(X,Y) p

(x1,y1) p11

(x1,y2) p12

… (xi,yj) pij g(xi,yj)



Z=g(X,Y) g(x1,y1) g(x1,y2)

Z的值相同的项应进行合并.

例1 设随机变量X与Y独立,且服从参数为?x 和?y的泊松分布, 求随机变量Z=X+Y的分布律. 解 先写出X与Y的分布

P{ X ? i} ?

?ix

i!

e

?? x

, P{Y ? j} ?
k

j ?y

j!

e

?? y

, i, j ? 0 ,1,2, ?;

故 P{Z ? k} ? P{ X ? Y ? k} ? ? P{ X ? i}P{Y ? k ? i / X ? i} i ?0 k ?i i k ? k ?i ?y ?k ?i ?? y ?( ? x ? ? y ) y x ??x x ? ? e ? e ?e ? ? (k ? i) ! i ?0 i ! i ?0 i ! ( k ? i ) !
?
? ( ?x ? ? y ) k e

k!

k !?ix e i k ?i (? x ? y ) ? ? i ?0 i !( k ? i ) !

? ( ?x ? ? y )

?

e

? ( ?x ? ? y )

k!

i i k ?i ( ? Ck ? x ? y ) i ?0

k

k!

(? x ? ? y ) k , k ? 0 ,1, 2 ,? ;

? 1 , 当事件 A发生 ; ? 1 , 当事件 B发生 ; X ?? Y ?? ? 0, 当事件 A不发生 . ? 0, 当事件 B不发生 . 求 : (1) 随机向量 ( X , Y )的联合分布 ; (2) Z ? X 2 ? Y 2的分布 .
解 先求出(X,Y)的可能取值,再求出相应的概率.

例2(2004年) 设A、B为两个随机事件,且P(A)=1/4,P(B/A)=1/3, P(A/B)=1/2,令

P( AB) ? P( A) P( B / A) ? (1/ 4) ? (1/ 3) ? 1/ 12 1 ? P( B) ? [ P( AB)] /[ P( A / B)] ? (1/12) ? (1/ 2) ? 1/ 6 X Y 0 2/3 1/12 0 P( X ? 0, Y ? 1) ? P( A B) ? P( B) ? P( AB) 1 ? P( B) ? P( A) P( B / A) ? 1 / 6 ? (1 ? 1 / 3) ? 1 / 12 1/6 1/12 P( X ? 1, Y ? 0) ? P( AB ) ? P( A) P( B / A) ? (1 / 4) ? (2 / 3) ? 1 / 6
P( X ? 0,Y ? 0) ? 1 ? P( X ? 0,Y ? 1) ? P( X ? 1,Y ? 0) ? P( X ? 1,Y ? 1) ? 1 ? (1/12) ? (1/ 6) ? (1/12) ? 8 /12 ? 2 / 3

P( X ? 1,Y ? 1) ? P( AB) ? P( A) P( B / A) ? (1/ 4) ? (1/ 3) ? 1/12

求 (2) Z ? X 2 ? Y 2的分布. 解 先求出Z=X2+Y2的可能取值, 再求出相应的概率.
(X,Y) (0,0) Z=X2+Y2 0 P( Z ? zi ) 1/12 (0,1) 1 1/6 (1,0) 1 1/12 (1,1) 2 2/3

X

Y
0 1

0 1/12 1/12

1 1/6 2/3

取值相同的概率进行合并,得随机变量Z的分布律如下:
0 P( Z ? zi ) 1/12 Z=X2+Y2 1 3/12 2 2/3

15 (3)求X与Y的相关系数 ? XY . ( ) 15

例3

设随机变量X与Y独立,且均服从0-1分布,其分 X 0 1 (1)求W=X+Y的分布律; 布律均为 pi q p (2)求V=max(X,Y)的分布律;
(3)求U=min(X,Y)的分布律;(4)求w与V的联合分布律. 解 先求(X,Y)的联合分布 (1)计算W=X+Y的取值及相应的概率 Y 0 1
(X,Y) W=X+Y (0,0) (0,1) (1,0) (1,1) 0 1 1 2

X 0

q 2 qp 2 1 pq p
1 2

q2 P{W ? wi }

qp

pq

p2
W=X+Y 0

故W=X+Y的分布律为:

P{W ? wi } q 2

2qp

p2

(2)求V=max(X,Y)和U=min(X,Y)的分布律;

计算U和V的取值及相应的概率
(X,Y) V (0,0) (0,1) (1,0) (1,1) 0 1 1 1

XY 0 q2 0

1

qp

1

pq

p2

P{V ? vi }
U

q2
0

qp
0

pq
0

p2
1

P{U ? ui }

q2

qp

pq

p2

故 V=max(X,Y)和U=min(X,Y)的分布律为:
V 0 1 U 0 1

P{V ? vi } q2

2qp ? p2

P{U ? ui } q2 ? 2qp

p2

(4)求(W,V)的联合分布律,其中W=X+Y,V=max(X,Y)
W=X+Y 0 1 2 V 0 1

P{V ? 0,W ? 1} ? P{max( X , Y ) ? 0, X ? Y ? 0} ? P{? } ? 0 同理 P{V ? 0,W ? 2} ? P{? } ? 0

2qp p2 P{W ? wi } q 2 P{V ? vi } q2 2qp ? p2 先确定W=X+Y和V=max(X,Y)的所有取值组合: P{V ? 0,W ? 0} ? P{max( X , Y ) ? 0, X ? Y ? 0} W 0 1 2 V ? P{ X ? 0, Y ? 0} ? q 2 q2
0 1 0 0 0 2 pq

p2

P{V ? 1,W ? 1} ? P{max( X , Y ) ? 1, X ? Y ? 1} ? P{ X ? 0, Y ? 1} ? P{ X ? 1, Y ? 0} ? qp ? pq ? 2 pq 2 P{V ? 1,W ? 2} ? P{max( X ,Y ) ? 1, X ? Y ? 2} ? P{X ? 1,Y ? 1} ? p

P{V ? 1,W ? 0} ? P{max( X ,Y ) ? 1, X ? Y ? 0} ? P{? } ? 0

设随机变量X与Y独立同分布,且X的概率分布为

X pi

1

2

2 / 3 1/ 3

记U=max(X,Y), V=min(X,Y),求 (1) (U,V)的联合分布; (2) U与V的协方差Cov(U,V). (2007年)

习作题1. 设 X ,Y是相互独立且服从相同分布的两个 随机变量, 且P( X ? k ) ? 1/ 3 (k ? 1, 2 , 3), 设 U ? max( X , Y ), V ? min( X , Y ), 求(U ,V )的联合分布.
解 先求出(U,V)的可能取值,再求出相应的概率.

P{U ? 1,V ? 1} ? P{max( X , Y ) ? 1, min( X , Y ) ? 1} V 2 3 U 1 ? P{ X ? 1,Y ? 1} ? P{ X ? 1}P{Y ? 1} ? 1/ 9 3 1 1/9 0 0 同理 P{U ? 2,V ? 2} ? P{U ? 2,V ? 2} ? 1/ 9 2 2/9 1/9 0 P{U ? 2,V ? 1} ? P{max( X , Y ) ? 2, min( X , Y ) ? 1} 2/9 2/9 1/9 ? P{ X ? 2, Y ? 1} ? P{ X ? 1, Y ? 2} ? P{ X ? 2}P{Y ? 1} ? P{ X ? 1}P{Y ? 2} ? 2 / 9 同理 P{U ? 3,V ? 1} ? P{U ? 3,V ? 2} ? 2 / 9 P{U ? 1,V ? 2} ? P{max( X , Y ) ? 1, min{ X , Y } ? 2} ? P{? } ? 0 同理 P{U ? 1,V ? 3} ? P{U ? 2,V ? 3} ? P{? } ? 0

习作题 2 . 设随机变量 U i (i ? 1, 2 , 3)是相互独立且服 从参 数为 p的 0 — 1分布 , 令 ? 1 , 若 U 2 ? U 3为奇数 ? 1 , 若 U1 ? U 2为奇数 X ?? ,Y ? ? ?0 , 若 U1 ? U 2为偶数 ?0 , 若 U 2 ? U 3为偶数 求 : 二维随机向量 ( X , Y )的联合分布 . 解 依题设得 Ui (i ? 1, 2 , 3)的分布 Ui 0 1 再确定 ( X , Y )的可能取值 , 并求出相应的概率 . P(U ? u ) p i i q P{ X ? 0, Y ? 0} ? P{U1 ? U 2为偶数,U 2 ? U 3为偶数} ? P{U1 ? 0,U 2 ? 0,U 3 ? 0} ? P{U1 ? 1,U 2 ? 1,U 3 ? 1} X Y 0 1 ? P{U1 ? 0}P{U 2 ? 0}P{U 3 ? 0} 1 0 ? P{U1 ? 1}P{U 2 ? 1}P{U 3 ? 1} ? q 3 ? p 3 P{ X ? 0, Y ? 1} ? P{U1 ? U 2为偶数 , U 2 ? U 3为奇数} ? P{U1 ? 0,U 2 ? 0,U 3 ? 1} ? P{U1 ? 1,U 2 ? 1,U 3 ? 0} ? pq 同理 P{ X ? 1, Y ? 0} ? pq, P{ X ? 1, Y ? 1} ? pq

二、多个随机变量函数的密度函数
1、一般的方法:分布函数法

若随机变量( X1, X 2 ,?, X n )的密度函数为 f ( x1, x2 ,?, xn ) 而Y ? g ( X1, X 2 ,?, X n ), 此时求Y的密度函数 fY ( y )
可先求Y的分布函数:

FY ( y) ? P{Y ? y} ? P{g ( X1,..., X n ) ? y}

?

dFY ( y ) 然后再求出Y的密度函数: fY ( y ) ? FY? ( y ) ? . dy

g ( x1 ,..., xn ) ? y

? ...

? f ( x1,..., xn )dx1...dxn ;

2、几个常用函数的密度函数
(1)和的分布

已知二维随机向量( X , Y )的密度函数为 f ( x, y ), 则Z ? X ? Y的密度函数为

f Z ( z ) ? ? f ( z ? y, y )dy ? ? f ( x, z ? x)dx.
?? -?

?

或 ?

z

若X与Y相互独立,则Z=X+Y的密 度函数为

x+y=z x+y? z Z

f Z ( z ) ? ? f X ( z ? y ) fY ( y )dy= ? f X ( x) fY ( z ? x)dx.
?? ??

?

或?

其中f X ( x)、fY ( y)分别为X 和Y的密度函数.

(2)商的分布
X 已知( X , Y )的密度函数为 f ( x, y ), 则 Z ? 的密度函数为 Y

fZ ( z) ?

? ?? ? |

y | f ( yz, y )dy.
y G1
0

特别,当X与Y相互独立时,上式可化为

X=YZ

fZ ( z) ?

? ?? ? |

y | f X ( yz) fY ( y )dy,

f 其中 f X ( x)、Y ( y) 分别为X和Y的密度函数. x

G2

3、极大(小)值的分布
设随机变量X1, X2, …, Xn相互独立,其分

布函数分别为 FX ( x1 ), FX ( x2 ),?, FX ( xn ) ,记 1 2 n
M=max{X1, X2, …, Xn },

N=min{X1, X2, …, Xn }
则M和N的分布函数分别为: FM(z)=F1(z) … Fn(z)

FN ( z ) ? 1 ? ? [1 ? Fi ( z )].
i ?1

n

特别,当X1, X2, …, Xn独立同分布(分布函数相 同)时,则有 FM(z)=[F(z)] ; FN(z)=1-[1-F(z)] .
n n

进一步地,若X1, X2, …, Xn独立且具相同
的密度函数f (x),则M和N的密度函数分别由以

下二式表出
fM(z)=n[F(z)]
n-1

f (z);
n-1

fN(z)=n[1-F(z)]

f (z).

1(2006 ). 设随机变量 X与Y相互独立 , 且均服从区间 [0,3]上的 年 均匀分布 , 求 P{max{X , Y } ? 1} 1 答案 : . 9

2.设随机变量X与Y独立同分布,且X的分布函数为F(x),则 Z=max{X,Y}的分布函数为 2008年(答案: A)

( A) F 2 ( x). (C ) 1 ? [1 ? F ( x)]2 .

( B) F ( x) F ( y). ( D) [1 ? F ( x)][1 ? F ( y)].

例1

已知随机变量X与Y相互独立,其密度函数分别为

?1 ?x / 2 ? e , x? 0 f X ( x) ? ? 2 ?0, 其它 ? 求 Z ? X ? Y的密度函数 .

?1 ? y / 3 ? e , y? 0 fY ( x ) ? ? 3 ?0, 其它 ?

分析 使用分布函数法,先求Z的分布函数,然后再求 导数即可得到随机变量Z的密度函数 解 由X与Y相互独立 ,可求得 ( X , Y )的联合密度函数 ? 1 ?( 2 x ? 3 y ) ? e , x ?0 , y ?0 f ( x, y ) ? ? 6 ?0, others. ?

1)当z ? 0时,在区域 x ? y ? 0内 f ( x, y) ? 0,故 , FZ ( z ) ? P{Z ? z} ? P{ X ? Y ? z} ? ?? f ( x, y)dxdy ? 0; x? y? z y ? 2)当z ? 0时, FZ ( z ) ? P{Z ? z} ? P{ X ? Y ? z} ? ?? f ( x, y)dxdy f ( x, y) ? 0
x? y? z

?

z z ? x 1 ?(2 x ?3 y ) e dy ? 0 dx ? 0 ?z / 2

z

6

? 1 ? 2e

? 3e

?z /3

0

? 故 f Z ( z ) ? FZ ( z ) ? ?e? z / 2 ? e? z / 3 ? e? z / 3 (1 ? e? z / 6 ) ? e? z / 3 (1 ? e? z / 6 ) , z ? 0 综上得 f Z ( z ) ? ? z?0 ?0,

x? y ? z

z

x

1) 当 z ? 0时, 在区域 x ? y ? 2 z , f ( x, y ) ? 0, 故 FZ ( z ) ? P{Z ? z} ? P{ X ? Y ? 2 z} ? ?? f ( x, y )dxdy ? 0 ;
x ? y ?2 z

例 2 已知( X , Y )的密度函数 X ?Y ?e ?( x? y ) , x ? 0 , y ? 0 f ( x, y ) ? ? ,求Z ? 的密度函数 . others. 2 ?0, y

?

2z f ( x, y) ? 0
0

2) 当 z ? 0时, FZ ( z ) ? P{Z ? z} ? P{ X ? Y ? 2 z} ? ?? f ( x, y )dxdy
x ? y ?2 z
2 ? ? 0 z dx ? 2 z ? x e ? ( x ? y ) dy ? 1 ? e ? 2 z ? 2 ze ? 2 z 0

2z x
x ? y ? 2z

? 故 f Z ( z ) ? FZ ( z) ? 4 ze

?2 z

? 4 ze ?2 z , z ? 0 . 综上得 f Z ( z ) ? ? z?0 ?0,

例3

已知随机变量X与Y相互独立,其密度函数分别为

? e ? y , y? 0 ?1, 0? x? 1 f X ( x) ? ? , fY ( x ) ? ? .求 Z ? X ? Y的密度函数. ? 0 , 其它 ? 0 , 其它 分析 使用分布函数法,先求Z的分布函数,然后再求导数即可 得到随机变量Z的密度函数 ? 解 由X与Y相互独立,可求得( X , Y )的联合密度函数

? e? y , 0 ? x ? 1, y ? 0 f ( x, y ) ? f X ( x ) f Y ( y ) ? ? others. ?0, 1)当z ? 0时, 在区域 x ? y ? z, f ( x, y ) ? 0, 故 FZ ( z ) ? P{Z ? z} ? P{ X ? Y ? z} ? ?? f ( x, y )dxdy ? 0;

y

f ( x, y) ? 0

? f Z ( z ) ? FZ ( z ) ? 0

x? y? z

0

1 x

x? y ? z

2) 当 0? z ? 1时, 在区域 x ? y ? z内, FZ ( z ) ? P{Z ? z} ? P{ X ? Y ? z} ? ?? f ( x, y )dxdy;
z z z ? ? 0 dx? 0? x e ? y dy ? ? 0 (?e ? y ) z ? ? 0 [1 ? e ?( z ? x ) ]dx ? z ? 1 ? e ? 故 f Z ( z ) ? FZ ( z ) ? 1 ? e ? z
x? y? z

z?x dx 0 ?z

,

y

3) 当 z ? 1时 , FZ ( z ) ? P{Z ? z} ? P{ X ? Y ? z} ? ?? f ( x, y )dxdy
1 z ? ? 0 dx? 0 ? x e ? y dy ? e

x? y ? z

?

z f ( x, y) ? 0

x? y? z ?z

? 1 ? e ? z ?1

? e ? z (e ? 1) , z ? 1 ? 综上所述 ,得 f Z ( z ) ? ?1 ?e ? z , 0 ? z ? 1 ?0, z?0 ?

? 故 f Z ( z ) ? FZ ( z ) ? e ? z (e ? 1)

z
0

z

x

1z

例 4 已知二维随机向量 ( X , Y )的联合密度函数为 ? 1 , 0 ? x ? 1,0 ? y ? 1; f ( x, y ) ? ? , 求 : Z ? X Y的密度函数 . others. ? 0, y

解 先找出 f ( x, y)? 0 的区域

1) 当 z ? 0时, 在区域 xy ? z内, f ( x, y ) ? 0积分区域 1 FZ ( z ) ? P{Z ? z} ? P{ XY ? z} f ( x, y) ? 0 ? ?? f ( x, y )dxdy ? 0 ? 故 f Z ( z ) ? FZ ( z ) ? 0
xy? z

积分区域

z

1 x

积分区域 2) 当0 ? z ? 1时,积分区域如右图 FZ ( z ) ? P{Z ? z} ? P{ XY ? z} z 1 z ? ?? f ( x, y )dxdy ? ?0 dx?01dy ? ? 1 dx?0 / x 1dy ? z (1 ? ln z ) z

? 故 f Z ( z ) ? FZ ( z ) ? ? ln z .

xy? z

3) 当z ? 1时,积分区域如右图

FZ ( z ) ? P{Z ? z} ? P{ XY ? z} ? ?? f ( x, y )dxdy ? ?? f ( x, y )dxdy ? ?? f ( x, y )dxdy
xy? z D 1 1 ? 0 dx ? 01dy D

y

D 1

?

? ?? 0dxdy ? 1
D

D D D 1z
积分区域
x

f ( x, y) ? 0

? 故 f Z ( z ) ? FZ ( z ) ? 0 ? ? ln z , 0 ? z ? 1 , 综上得 f Z ( z ) ? ? others. ?0,

(2005 ) 设随机变量 ( X , Y )的概率密度为 年 ?1, 0 ? x ? 1, 0 ? y ? 2 x, f ( x, y ) ? ? . ?0, others 求 : (1)( X , Y )的边缘概率密度 f X ( x), fY ( y ); (2) Z ? 2 X ? Y的概率密度 f Z ( z ); 1 1 (3) P{Y ? X ? }. 2 2
答 案
?2 x , 0 ? x ? 1, (1) f X ( x) ? ? ?0 , others. ? y ?1 ? , 0 ? y ? 2, fY ( y ) ? ? 2 ?0 , others. ?

? z ?1 ? , 0 ? z ? 2, (2) f Z ( z ) ? FZ? ( z ) ? ? 2 其中 FZ ( z ) ? ?? f ( x, y )dxdy 2 x? y? z ?0 , others. ? 1 1 3 (3) P{Y ? X ? } ? . 2 2 4

例 5 相互独立随机变量 X , Y的分布函数分别为 FX ( x) 和FY ( y ).求 : (1) Z ? max(X , Y )的分布函数 FZ ( z ) ; (2) Z ? min(X , Y )的分布函数 FZ ( z ) .

解 (1) FZ ( z) ? P{Z ? z} ? P{max(X , Y ) ? z}
? P{X ? z, Y ? z} ? P{X ? z}P{Y ? z} ? FX ( z) FY ( z)

(2) FZ ( z ) ? P{Z ? z} ? P{min( X , Y ) ? z}
? 1 ? P{min(X , Y ) ? z} ? 1 ? P{ X ? z, Y ? z}
? 1 ? P{X ? z}P{Y ? z}

? 1 ? [1 ? P{X ? z}][1 ? P{Y ? z}] ? 1 ? [1 ? FX ( z)][1 ? FY ( z)].

例 6 假设一电路有3个同种电子元件, 其工作状态相 互独立, 无故障工作时间服从参数为 ? 的指数分布; 当 3个元件都无故障时, 电路工作正常, 否则电路不能正 常工作, 求电路正常工作时间T 的分布 . 解 设 X i — 第 i 个元件正常工作 时间(i ? 1, 2 , 3) 于是电路正常工作的时间 T ? min{ X 1 , X 2 , X 3 }.

FT (t ) ? P{T ? t} ? P{min( X1 , X 2 , X 3 ) ? t}
? 1 ? P{min( X1 , X 2 , X 3 ) ? t} ? 1 ? P{( X1 ? t , X 2 ? t , X 3 ? t )} ? 1 ? P{ X1 ? t}P{ X 2 ? t}P{ X 3 ? t} ? 1 ? [1 ? P{ X1 ? t}][1 ? P{ X 2 ? t}][1 ? P{ X 3 ? t}]
? 1 ? [1 ? F (t )][1 ? F (t )][1 ? F (t )] ? 1 ? [1 ? F (t )]3 ?t / ? 3 ?3t / ?

? 1 ? [1 ? (1 ? e

)] ? 1 ? e

.

例 7 设随机变量 Y 服从参数为 ? ? 1的指数分布 , 随机变量 ?0 , 若Y ? k Xk ? ? (k ? 1 , 2) ;求 ( X1 , X 2 )的联合分布 . ?1 , 若 Y ? k 解 ( X1 , X 2 )的可能取值为 (0,0) , (0,1) , (1,0) , (1,1) P{X1 ? 0, X 2 ? 0} ? P{Y ? 1, Y ? 2} X2 1 ? P{Y ? 1} ? ? ?? f ( y )dy 0 1 X1
0 1 ? ? ?? 0dy ? ? 0 e? y dy ? ?e? y 1 ? 1 ? e?1 ; 0

0

P{X1 ? 0, X 2 ? 1} ? P{Y ? 1, Y ? 2} ? P{?} ? 0 P{X 1 ? 1, X 2 ? 0} ? P{Y ? 1, Y ? 2} ? P{1 ? Y ? 2}
2 ? ? f ( y)dy ? ? e? y dy ? ?e? y 1 ? e?1 ? e?2 ; 1 1 2 2

1

P{ X1 ? 1, X 2 ? 1} ? P{Y ? 1, Y ? 2} ? P{Y ? 2} ?
?? ?2

f ( y )dy ?

?? ? y e dy ? ?e ? y ?? ?2 2

? e ?2 .

例 8 一设备开机后无故障工 作的时间 X 服从参数为 5 的指数分布 .设备定时开机 , 出现故障时自动关机 , 而 在无故障的情况下工作 2小时便关机 , 求该设备每次 开机无故障工作的时间 Y 的分布函数 F ( y ) . 解 依题设条件可知 ,设备无故障工作时间 Y ? min(X ,2) 其分布函数 F ( y ) ? P{Y ? y} ? P{min(X ,2) ? y}

1) 当 y ? 0 时, F ( y) ? P{Y ? y} ? P{?} ? 0 ;
2) 当 y ? 2 时, F ( y) ? P{Y ? y} ? P{min(X ,2) ? y} ? P{?} ? 1;

3) 当 0 ? y ? 2 时 , F ( y ) ? P{Y ? y} ? P{min(X ,2) ? y} ? P{X ? y} ? 1 ? e? y / 5 .

综上所述得

y?0 ?0, ? F ( y ) ? ?1 ? e ? y / 5 , 0 ? y ? 2 ?1, y?2 ?

(2007年) 设二维随机变量 ( X , Y )的概率密度为 ?2 ? x ? y, 0 ? x ? 1,0 ? y ? 1 f ( x, y ) ? ? others. ?0, 求 : (1) P{ X ? 2Y }; (2) Z ? X ? Y的概率密度 f Z ( z ). 7 答案 : (1) 24 ?2(2 ? z ) , 0 ? z ? 1, ? (2) f Z ( z ) ? ?(2 ? z ) 2 , 1 ? z ? 2, ?0, others. ?

1 设随机变量 X与Y相互独立 , X的概率分布为 P{ X ? i} ? (i ? ?1,0,1), 3 ?1, 0 ? y ? 1, Y的概率密度为 fY ( y ) ? ? 记Z ? X ? Y . ?0, others. 1 X ? 0}; (2)求Z的概率密度 f Z ( z ). (2008 ) 年 2 1 P{ X ? 0, Z ? } P{ X ? 0, Y ? 1 } 1 2 ? 2 ? P{Y ? 1 } ? 1 . 解 (1) P{Z ? X ? 0} ? 2 P{ X ? 0} 2 2 P{ X ? 0} (2)FZ ( z) ? P{Z ? z} ? P{X ? Y ? z} (1)求P{Z ?

? P{X ? Y ? z, X ? ?1} ? P{X ? Y ? z, X ? 0} ? P{X ? Y ? z, X ? 1}
? P{Y ? z ? 1, X ? ?1} ? P{Y ? z, X ? 0} ? P{Y ? z ? 1, X ? 1}

? P{Y ? z ? 1}P{X ? ?1} ? P{Y ? z}P{X ? 0} ? P{Y ? z ?1}P{X ? 1}
1 ? [ P{Y ? z ? 1} ? P{Y ? z} ? P{Y ? z ? 1}] 3

1 ? [ FY ( z ? 1) ? FY ( z ) ? FY ( z ? 1)] 3 1 f Z ( z ) ? FZ? ( z ) ? [ FY? ( z ? 1) ? FY? ( z ) ? FY? ( z ? 1)] 3 1 ? [ fY ( z ? 1) ? fY ( z ) ? fY ( z ? 1)] 3

?1 ? , ? 1 ? z ? 2, ? ?3 ?0 , others . ?

f Z ( z ? 1) ? 1
0

-1

z z z

f Z ( z) ? 1
0 1

f Z ( z ? 1) ? 1
1 2

小结
多维随机变量 离散型——分布律 归一性 概率计算 分布函数与分布立场律的互变 分布函数 归一性 概率计算 二维随机变量函数的分布 连续型——概率密度 归一性 概率计算 分布函数与概率密度的互变

边缘分布律

边缘分布函数

边缘概率密度

均匀分布 正态分布

独立性


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