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2012版步步高高考数学考前三个月抢分训练25:函数


解答题模块练
训练 25 函数
(推荐时间:75 分钟) 1.记函数 f(x)= B. (1)求 A;(2)若 B?A,求实数 a 的取值范围. 1 1 2. 函数 g(x)= x3+ ax2-bx(a, b∈R), 在其图象上一点 P(x, y)处的切线的斜率记为 f(x). 3 2 (1)若方程 f(x)=0 有两个实根分别为-2 和 4,求 f(x)的表

达式; (2)若 g(x)在区间[-1,3]上是单调递减函数,求 a2+b2 的最小值. 1 3.已知函数 f(x)= x3-x2+ax-a(a∈R). 3 (1)当 a=-3 时,求函数 f(x)的极值; (2)求证:当 a≥1 时,函数 f(x)的图象与 x 轴有且只有一个交点. 2- x+3 的定义域为 A,g(x)=lg[(x-a-1)(2a-x)] (a<1)的定义域为 x+1

x-5 4.设 a>0,a≠1 为常数,函数 f(x)=loga .(1)讨论函数 f(x)在区间(-∞,-5)内的单调 x+5 性, 并给予证明; (2)设 g(x)=1+loga(x-3), 如果方程 f(x)=g(x)有实根, 求实数 a 的取值范围. a 5. 已知函数 y=x+ 有如下性质: 如果常数 a>0, 那么该函数在(0, x +∞)上是增函数. 2b (1)如果函数 y=x+ 在(0,4]上是减函数,在[4,+∞)上是增函数,求实常数 b 的值; x c (2)设常数 c∈[1,4],求函数 f(x)=x+ (1≤x≤2)的最大值和最小值. x a2 6.已知函数 f(x)=x+ ,g(x)=x+ln x,其中 a>0.(1)若 x=1 是函数 h(x)=f(x)+g(x)的极 x 值点, 求实数 a 的值; (2)若对任意的 x1, x2∈[1, e](e 为自然对数的底数)都有 f(x1)≥g(x2)成立, 求实数 a 的取值范围.

a]上是减函数, 在[ a,

答案

x+3 x-1 1.解 (1)由 2- ≥0,得 ≥0. x+1 x+1 解上式得 x<-1 或 x≥1, 即 A=(-∞,-1)∪[1,+∞). (2)由(x-a-1)(2a-x)>0, 得(x-a-1)(x-2a)<0. 由 a<1,得 a+1>2a. 所以 g(x)的定义域 B=(2a,a+1). 又因为 B?A,则可得 2a≥1 或 a+1≤-1, 1 即 a≥ 或 a≤-2. 2 1 因为 a<1,所以 ≤a<1 或 a≤-2. 2 故当 B?A 时,实数 a 的取值范围是 1 ? (-∞,-2]∪? ?2,1?. 2.解 (1)f(x)=g′(x)=x2+ax-b. ∵-2,4 分别是 f(x)=x2+ax-b=0 的两实根, ∴a=-(-2+4)=-2,b=2×4=8, ∴f(x)=x2-2x-8.

(2)∵g(x)在区间[-1,3]上是单调递减函数, ∴g′(x)≤0 即 f(x)=x2+ax-b≤0 在[-1,3]上恒成立.
? ?1-a-b≤0, ∴? ?9+3a-b≤0, ? ?a+b-1≥0, ? 即? ?3a-b+9≤0, ?

A 点坐标为(-2,3), ∴a2+b2 的最小值为 13. 1 3.(1)解 当 a=-3 时,f(x)= x3-x2-3x+3, 3 ∴f′(x)=x2-2x-3=(x-3)(x+1). 令 f′(x)=0,得 x1=-1,x2=3.

当 x<-1 时,f′(x)>0,则 f(x)在(-∞,-1)上单调递增; 当-1<x<3 时,f′(x)<0,则 f(x)在(-1,3)上单调递减; 当 x>3 时,f′(x)>0,f(x)在(3,+∞)上单调递增. ∴当 x=-1 时,f(x)取得极大值为 1 14 f(-1)=- -1+3+3= ; 3 3 当 x=3 时,f(x)取得极小值为 1 f(3)= ×27-9-9+3=-6. 3 (2)证明 ∵f′(x)=x2-2x+a, ∴Δ=4-4a=4(1-a). 由 a≥1,则 Δ≤0,∴f′(x)≥0 在 R 上恒成立, ∴f(x)在 R 上单调递增. ∵f(0)=-a<0,f(3)=2a>0, ∴当 a≥1 时,函数 f(x)的图象与 x 轴有且只有一个交点. x2-5 x1-5 4.解 (1)设 x1<x2<-5,则 - x2+5 x1+5 = 1 · 10· (x2-x1)>0. ?x1+5??x2+5?

若 a>1,则 f(x2)-f(x1)>0. ∴f(x2)>f(x1),此时 f(x)在(-∞,-5)内是增函数; 若 0<a<1,则 f(x2)-f(x1)<0, ∴f(x2)<f(x1),此时 f(x)在(-∞,-5)内是减函数. (2)由 g(x)=1+loga(x-3)及 f(x)=g(x)得 x-5 x-5 1+loga(x-3)=loga ?a= . x+5 ?x-3??x+5? x-3>0 ? ? 由?x-5 ?x>5. >0 ? x + 5 ? x-5 令 h(x)= ,则 h(x)>0. ?x-3??x+5? 由 ?x-3??x+5? 1 20 = =(x-5)+ +12 h?x? x-5 x-5

≥4 5+12, 20 ? ?x-5=x-5 当且仅当? ?x=5+2 5时等号成立. ?x>5 ?

1 ∴0<h(x)≤ . 4 5+12 1 故所求 a 的取值范围是 0<a≤ . 12+4 5 a 2b 5.解 (1)由函数 y=x+ 的性质知:y=x+ 在(0, 2b]上是减函数,在[ x x 是增函数, ∴ 2b=4,∴2b=16=24,∴b=4. (2)∵c∈[1,4],∴ c∈[1,2]. c 又∵f(x)=x+ 在(0, x c]上是减函数,在[ c,+∞)上是增函数, c时,函数取得最小值 2 c. 2b,+∞)上

∴在 x∈[1,2]上,当 x=

c 又 f(1)=1+c,f(2)=2+ , 2 c f(2)-f(1)=1- . 2 当 c∈[1,2)时,f(2)-f(1)>0,f(2)>f(1), c 此时 f(x)的最大值为 f(2)=2+ . 2 当 c=2 时,f(2)-f(1)=0,f(2)=f(1), 此时 f(x)的最大值为 f(2)=f(1)=3. 当 c∈(2,4]时,f(2)-f(1)<0,f(2)<f(1), 此时 f(x)的最大值为 f(1)=1+c. 综上所述,函数 f(x)的最小值为 2 c; c 当 c∈[1,2)时,函数 f(x)的最大值为 2+ ; 2 当 c=2 时,函数 f(x)的最大值为 3; 当 c∈(2,4]时,函数 f(x)的最大值为 1+c. a2 6.解 (1)∵h(x)=2x+ +ln x, x 其定义域为(0,+∞), a2 1 ∴h′(x)=2- 2 + , x x ∵x=1 是函数 h(x)的极值点, ∴h′(1)=0,即 3-a2=0. ∵a>0,∴a= 3. 经检验当 a= 3时,x=1 是函数 h(x)的极值点,∴a= 3. (2)对任意的 x1,x2∈[1,e]都有 f(x1)≥g(x2)成立等价于对任意的 x1,x2∈[1,e],

都有 f(x)min≥g(x)max. 1 当 x∈[1,e]时,g′(x)=1+ >0. x ∴函数 g(x)=x+ln x 在[1,e]上是增函数, ∴g(x)max=g(e)=e+1. a2 ?x+a??x-a? ∵f′(x)=1- 2 = , x x2 且 x∈[1,e],a>0. ①当 0<a<1 且 x∈[1,e]时, ?x+a??x-a? f′(x)= >0, x2 a2 ∴函数 f(x)=x+ 在[1,e]上是增函数, x ∴f(x)min=f(1)=1+a2. 由 1+a2≥e+1,得 a≥ e, 又 0<a<1,∴a 不合题意. ②当 1≤a≤e 时, 若 1≤x≤a, ?x+a??x-a? 则 f′(x)= <0, x2 若 a<x≤e, ?x+a??x-a? 则 f′(x)= >0. x2 a2 ∴函数 f(x)=x+ 在[1,a)上是减函数, x 在(a,e]上是增函数. ∴f(x)min=f(a)=2a. e+1 由 2a≥e+1,得 a≥ . 2 e+1 又 1≤a≤e,∴ ≤a≤e. 2 ③当 a>e 且 x∈[1,e]时 ?x+a??x-a? f′(x)= <0, x2 a2 函数 f(x)=x+ 在[1,e]上是减函数. x a2 ∴f(x)min=f(e)=e+ . e

a2 由 e+ ≥e+1,得 a≥ e, e 又 a>e,∴a>e. e+1 综上所述,a 的取值范围为[ ,+∞). 2


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