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襄阳四中2015级高一年级上学期期中考试数学试题


襄阳四中 2015 级高一年级上学期期中考试数学试题
本试卷两大题 22 个小题,满分 150 分,考试时间 120 分钟 ★ 祝考试顺利 ★

第 I 卷(选择题共 60 分)
一、选择题(本大题 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.已知全集 I={0,1,2,3},集合 A={1,2},B={2,3},则 A∪(CIB)=(

A、{1} B、{2,3} C、{0,1,2} D、{0,2,3} 2.已知二次函数 f(x)=ax +2x+c(x∈R)的值域为[0,+∞) ,则 值为( A.4 ) B.4 2 C.8 D.8 2 ( )
2



a ?1 c ?1 + 的最小 c a

2 3.若函数 f ( x) ? x ?

a (a ? R) ,则下列结论正确的是 x

A. ?a ? R , f ( x) 在 (0, ??) 上是增函数 B. ?a ? R , f ( x) 在 (0, ??) 上是减函数 C. ?a ? R , f ( x) 是偶函数 D. ?a ? R , f ( x) 是奇函数 4.设集合 M={x|x -3x-4<0},N={x|0≤x≤5},则 M∩N=( A. (0,4] B.[0,4) C.[-1,0) D. (-1,0] 5 . 设 集 合 M ? ?x m ? x ? m ? ? , N ? ?x n ?
2



? ?

3? 4?

? ?

1 ? ? x ? n? , 且 M , N 都 是 集 合 3 ?

,那么集合 M ? N ? x 0 ? x ? 1? 的子集合,如果把 b ? a 叫做集合 ? x a ? x ? b? 的“长度” 的“长度”的最小值是( A. ) C.

2 3

B.

5 12

1 3

D.

1 12


6. 若函数 f ( x) ? ? A . [1, 2]

?(2b ? 1) x ? b ? 1, x ? 0
2 ?? x ? (2 ? b) x, x ? 0

在 R 上为增函数, 则实数 b 的取值范围为 ( D. ( , 2)

1 2 f (2 x) 7.若函数 y ? f ( x ) 的定义域是 [0, 2] ,则函数 g ( x ) ? 的定义域是( x ?1
B. ( , 2] C. (1, 2] A. [0,1) ? (1, 2] B. [0,1) ? (1, 4] C. [0,1) D. (1, 4]

1 2



8 . 设 M , P 是 两 个 非 空 集 合 , 定 义 M 与 P 的 差 集 为 M ? P ? x x ? M且x ? P , 则

?

?

M ? ?M ? P? 等于(
A. P

) B. M ? P C. M ? P ) D. M

9.函数 y ? ?( x ? 5) | x | 的递减区间是( A. (5, ??) C. (??, 0) ? (5, ??) B. (??, 0)

D. ( ??, 0),( , ?? )

5 2

10. 集合 A, B 各有两个元素,A ? B 中有一个元素, 若集合 C 同时满足: (1) C ? ? A ? B? , (2) C ? ? A ? B ? ,则满足条件 C 的个数 为( A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 ) )

?a ? 2 x , x ? 0 11.已知函数 f ( x) ? ? ? x (a ? R) ,若 f [ f (?1)] ? 1 ,则 a ? ( ? 2 ,x ?0 1 1 A. B. C.1 D.2 4 2
x ?1 12.函数 f ( x) ? a ? 2 ( a ? 0 且 a ? 1 )的图象一定经过点(

) D. (1,3)

A. (0,1)

B. (0,3)

C. (1,2)

第 II 卷(非选择题)
二、填空题(本大题共 4 个小题,每题 5 分,满分 20 分) 13. 下列函数中, 既是偶函数又是区间 (0, ??) 上的增函数的有。 (填写所有符合条件的序号) ① y ? x ② y ?| x | ?1 ③ y ? x ④ y ? ?
3

3 2

? ln x ( x ? 0) ?ln(? x) ( x ? 0)
x

] 的 奇 函 数 , 当 x ? ( 0 , 2时 ] , f ( x )? 2 ? 1 14.已 知 f ( x ) 是 定 义 在 [? 2 , 2上 ,函
数 g ( x) ? x ? 2x ? m .如果对于 ?x1 ?[?2, 2] , ?x2 ?[?2, 2] ,使得 g ( x2 ) ? f ( x1 ) ,则
2

实数 m 的取值范围是. 15 .定义在 R 上的函数 f ( x ) 满足 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) ? 2 xy( x, y ? R), f (1) ? 2 ,则

f (?3) ? .

16. 设 f ( x) ? ?

?log 2 x, x ? 0 1 1 ,则 f ( f ( )) 的值为,不等式 f ( x) ? 的解集为 ; x 2 2 x?0 ? 2,

三、解答题(本大题共 6 个小题,满分 70 分) 17 . ( 10 分 ) 已 知 函 数

f ? x ? ? ax2 ? 2ax ? b,(a ? 0), x ???2,2? , 若

f ? x ?max ? 9, f ? x ?min ? ?9 ,求实数 a , b 的值.
18. (15 分)已知函数 f ? x ? 对一切实数 x , y 都有 f ? x ? y ? ? f ? y ? ? x ? x ? 2 y ?1? 成立, 且 f ?1? ? 0 (1)求 f ? 0 ? ; (2)求 f ? x ? 的解析式; (3)当 x ? ?0, ? 时, f ? x ? 3? ? 2x ? a 恒成立,求 a 得范围 2
2 19. (14 分)已知函数 f ? x ? ? x ?

? 1? ? ?

1 x

(1)求函数 f ? x ? 的定义域; (2)判断 f ? x ? 的奇偶性,并说明理由; (3)判断 f ? x ? 在 ?2,??? 上的单调性.

x 2 ? ax ? b 20. (本小题满分 12 分)已知 f(x)= ,x∈(0,+∞) . x
(1)若 b≥1,求证:函数 f(x)在(0,1)上是减函数; (2)是否存在实数 a,b,使 f(x)同时满足下列两个条件: ①在(0,1)上是减函数, (1,+∞)上是增函数; ②f(x)的最小值是 3.若存在,求出 a,b 的值;若不存在,请说明理由. 21. (本小题满分 12 分) (1)函数 f(x)是 R 上的偶函数,且当 x>0 时,函数的解析式为

2 -1.求当 x<0 时,函数的解析式. x 1 (2)若 f ( x ) 满足关系式 f ( x ) ? 2 f ( ) ? 3 x ,求 f ( x ) . x
f(x)= 22. (10 分)已知函数 f ? x ? ?

22 x 2 ? 22 x

(1)求 f ?

?1? ?; ?2?

(2)求 f ( x) ? f ?1 ? x? 的值; (3)求 f ?

? 1 ? ? 2 ? ? 3 ? ? 98 ? ? 99 ? ?? f ? ?? f ? ? ??? f ? ?? f ? ?的值 ? 100? ? 100? ? 100? ? 100? ? 100?

参考答案 选择: 1_5CACBD 6_10ACBDD 11_12AD 填空: 13.②④ 14. [?5, ?2] 15.6 16.

1 ; (?1,0] ? ( 2, ??) 2

解答题: 17. ?

? a ? 2 ?a ? ?2 或? ?b ? ?7 ? b ? 7

试题分析: 二次函数最值问题要结合函数图像得到利用对称轴判定单调性, 由单调性确定取 得最值的位置,代入相应的自变量 x 值求解最值,本题求解时需对函数开口方向加以讨论 试题解析: f ? x ? ? ax ? 2ax ? b ,函数 f ? x ? 图象的对称轴为 x ? 1
2

当a ? 0时?

? ? f ? x ?max ? f ? ?2 ? ? 4a ? b ? 4a ? 9 ? ? f ? x ?min ? f ?1? ? a ? 2a ? b ? ?9

解得 ?

?a?2 ?b ? ?7

当a ? 0时?

? f ? x ?max ? f ?1? ? ? a ? b ? 9 ? ? ? f ? x ?min ? f ? ?1? ? 8a ? b ? ?9

解得 ?

?a ? ?2 ? b?7

? a ? 2 ?a ? ?2 或? ?? ?b ? ?7 ? b ? 7
18. (1) f ? 0? ? ?2 (2) f ? x ? ? x ? x ? 2 (3) a ?
2

11 4

试题分析: (1)求函数值 f ? 0 ? 需将已知关系式 f ? x ? y ? ? f ? y ? ? x ? x ? 2 y ?1? 中的变量 (2) 求函数式即将已知关系式转 化为 f ? x ? 的形式, 因此赋值 y ? 0 即可; x ? 1, y ? 0 即可; (3)利用求得的函数式代入不等式中,将不等式变形分离参 数 a ,转化为求函数最值问题 试题解析: (1)令 x ? 1, y ? 0 得 f ?1 ? 0? ? f ? 0? ? 2? f ?1? ? 0, 可得 f ? 0? ? ?2 (2)令 y ? 0 ,可得 f ? x ? ? f ? 0? ? x ? x ?1? ? f ? x ? ? x ? x ? 2
2
2 ( 3 ) x ? ?0, ? 时 f ? x ? 3? ? 2x ? a 恒 成 立 , 即 x ? ?0, ? 时 a ? x ? 5x 恒 成 立 , 2 2

? 1? ? ?

? 1? ? ?

? a ? ? x2 ? 5x ?

max

11 11 ? 1? ? x2 ? 5x 在 ?0, ? 单调增,所以最大值为 ,所以 a 得范围是 a ? 4 4 ? 2?
19. (1) ?x | x ? 0? ; (2)既不是奇函数也不是偶函数; (3)单调递增函数 试题分析: (1)函数定义域为使函数有意义的自变量 x 的取值范围,本题中只需满足分母不 为零; (2)判断函数奇偶性首先看定义域是否对称,在定义域对称的基础上判断 (3)判 断函数单调性可 f ? ?x ? ? f ? x ? , f ? ?x ? ? ? f ? x ? 哪一个成立, 从而确定奇偶性; 利用定理法,设 x1 ? x2 ,判断 f ? x1 ? , f ? x2 ? 的大小关系,得到函数单调性 试题解析: (1)函数 f ? x ? 的定义域为 ?x | x ? 0? ; (2)∵函数 f ? x ? 的定义域为 ?x | x ? 0? 关于原点对称

∴ f ??x? ? ??x? ?
2

1 1 ? x2 ? ? f ? x ? ?x x

∴函数 f(x)既不是奇函数也不是偶函数. (2)任取 x1,x2∈[2,+∞) ,且 x1<x2, 则 f(x1)-f(x2)=( x12 +

x ? x1 1 1 2 )-( x2 + )=(x1+x2) (x1-x2)+ 2 x1 x2 x1 x2

=(x1-x2) (x1+x2-

1 ) . x1 x2

由于 x1≥2,x2≥2,且 x1<x2, ∴x1-x2<0,x1+x2>

1 , x1 x2

所以 f(x1)<f(x2) , 故 f(x)在[2,+∞)上是单调递增函数. 20. (1)详见解析(2) a ? 1.b ? 1 试题分析: (1)求 f
' ' , f ? x ? ? 0 即可; ? x ? ,所以只要证明 b≥1 时,对于 x∈(0,1) '

(2)根据条件①知,方程 f

? x? ? 0 在(0,+∞)上有解,并且解为 x=b,所以令 b=1,便

满足条件①了,再根据 x=1 时,f(x)取最小值 3 求出 a 即可 试题解析: (1)证明 设 0<x1<x2<1,则 x1x2>0,x1-x2<0. 又 b>1,且 0<x1<x2<1,∴x1x2-b<0. ∵f(x1)-f(x2)=

? x1 ? x2 ?? x1 x2 ? b ? >0,
x1 x2

∴f(x1)>f(x2) , 所以函数 f(x)在(0,1)上是减函数. (2)解:设 0<x1<x2<1, 则 f(x1)-f(x2)=

? x1 ? x2 ?? x1 x2 ? b ?
x1 x2

由函数 f(x)在(0,1)上是减函数,知 x1x2-b<0 恒成立,则 b≥1. 设 1<x1<x2,同理可得 b≤1,故 b=1. x∈(0,+∞)时,通过图象可知 f(x)min=f(1)=a+2=3. 故 a=1. 21. (1) f ? x ? ? ?

2 2 ? 1? x ? 0 ? ;(2) f ( x) ? ? x x x

试题分析: (1)由由函数的 f ? ?x ? ? f ? x ? ,将所求 x<0 转化为 x>0 的范围,代入函数式

f(x)=

2 1 -1,两式结合即可求得解析式; (2)将 x 换为 得到新的方程,与原方程解方 x x

程组可得函数解析式 试题解析:解(1)设 x<0,则-x>0, ∴f(-x)=-

2 -1, x 2 -1, x

又 f(x)为偶函数, ∴f(-x)=f(x)=- 即 f ? x? ? ?

2 ? 1? x ? 0 ? x

1 ? f ( x) ? 2 f ( ) ? 3 x ? ? x (2) ? ? f ( 1 ) ? 2 f ( x) ? 3 ? x ? x
解得 f ( x) ?

2 ?x x

22.(1)

1 99 ; (2)1;(3) 2 2

试题分 析: (1) (2)求值时只需将相应的自变量值代入化简即可, (3)中式子项数较多, 求解时借助于(2)中的结论 f ( x) ? f ?1 ? x ? ? 1 ,对所求式子重新分组可较快的求得其值

21 1 ?1? ? 试题解析: (1) f ? ? ? 1 ? 2? 2?2 2

2 1? x

2



22 x 2? ? 4x 44 ? x 4x 4 4x 2 f ? x ? ? f ?1 ? x ? ? ? ? ? ? ? ? ? x 2x x 4? x x x x 2 ?1? x ? 2?2 2?4 2?4 2 ? 4 2?4 ? 4 2 ? 4 4 ? 2 2?2
4x ? 2 ?1 2 ? 4x
? 1 ? ? 2 ? ? 98 ? ? 99 ? 99 ?? f ? ? ??? f ? ?? f ? ?? ? 100 ? ? 100 ? ? 100 ? ? 100 ? 2

?

(3)由(2)知 f ?


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