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研究性学习38 排列组合中的经典问题2


2013 届高三理科数学研究性学习(37) 专题:排列组合中的经典问题研究(2)
元素位置典型问题: 类型一:元素的在与不在问题 例 1:7 个人站成一排照相. (1)有多少种不同的排法? (2)甲必须在中间,有多少种排法? (3)甲不在中间,有多少种排法? (4)甲、乙两人必须在两端,有多少种排法? (5)甲不在左端,乙不在右端,有多少种排法? (6)甲站在乙的左边的排法有多少种?

例 2:8 人站成前后两排,每排 4 人,其中甲、乙两人必须在前排,丙在后排,则排列数 共有多少种?

类型二:元素的邻与不邻问题 例 3:7 人站成一排. (1)甲、乙两人相邻的排法有多少种? (2)甲、乙两人不相邻的排法有多少种? (3)甲、乙、丙三人必相邻的排法有多少种? (4)甲、乙、丙三人互不相邻的排法有多少种?

例 4:三个女生和五个男生排成一排. (1)如果女生必须全排在一起,可有多少种不同的排法? (2)如果女生必须全分开,可有多少种不同的排法? (3)如果两端都不能排女生,可有多少种不同的排法? (4)如果两端不能都排女生,可有多少种不同的排法?

例 5:书架上某层有 6 本书,新买了 3 本书插进去,要保持原来 6 本书的原有顺序,问有 多少种插法?

练习: 1. 如图所示的阴影部分由方格纸上 3 个小方格组成, 我们称这样 的图案为 L 型(每次旋转 90 ? 仍为 L 型图案) ,那么在由 4 ? 5 个 小正方格组成的方格纸上可以画出不同位置的 L 型图案的个数为 _____________________. 2.在连接正八边形的三个顶点而成的三角形中,与正八边形有公共边的三角形的个数为 ______________ 3. 形如 45132 的数称为“波浪数” ,即十位数字,千位数字均比它们各自相邻的数字大, 则由 1,2,3,4,5 可构成不重复的五位“波浪数”的个数为______________. 4. 从 10 名医生中选出 4 人组成一个医疗队,甲、乙至少有一人参加,有多少种选法?

1,2,3,4,5,6,7,8,9?中分别取 2 个不同的数作为对数的底数与真数,一共可 5. 从集合 M ? ?
得到多少个不同的对数值?

6. 已知两条异面直线 a , b 上分别有 5 个点和 8 个点,用这 13 个点可确定多少个不同的平 面?

7. 已知 10 件不同的产品中有 4 件次品, 现对它们一一测试, 直至找到所有 4 件次品为止. (1)若恰在第 2 次测试时,才找到第一件次品,第 8 次才找到最后一件次品,则共有多 少种不同的测试方法? (2)若至多测试 6 次就能找到所有 4 件次品,则共有多少种不同的测试方法? 易错点:注意到最后一次测试必须是次品;在(2)中测试 6 次找到全部次品极易漏掉 6 件全是正品这一情形

8.已知集合 A ? ?a1 , a2 , a3 , a4 ? , B ? ?0,1,2,3?, f 是从 A 到 B 的映射. (1)若 B 中每一个元素都有原象,这样不同的 f 有多少个? (2)若 B 中的元素 0 必无原象,这样不同的 f 有多少个? (3)若 f 满足 f (a1 ) ? f (a2 ) ? f (a3 ) ? f (a4 ) ? 4 ,这样不同的 f 有多少个?

9. (1)证明: (n ? 1)!?n!? n ? n! ,并用它来化简 1 ? 1!?2 ? 2!?3 ? 3!? ? ? 10 ? 10! .

(2)证明:

1 2 9 n 1 1 ,并利用这一结果化简 ? ? ? ? . ? ? 2! 3! 10! (n ? 1)! n! (n ? 1)!

n 0 10. 规定 Ax ? x( x ? 1)?( x ? m ? 1) ,其中 x ? R, m 为正整数,且 Ax ? 1 ,这是排列数 m 3 (1)求 A? An (n, m ? N?, m ? n) 的一种推广. 15 的值;

(2)我们已知排列数的两个等式:① An ? nAn?1 ,② An ? mA n
m m m

m?1

m?1

m ? An ?1 ,这两个性质

能否推广到 Ax ( x ? R, m ? N ?) 的情形?若能推广,写出推广后的等式并给予证明;若不 能,试说明理由; (3)确定函数 f ( x) ? Ax 的单调区间.
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